Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 1. Phương trình mặt phẳng
29 câu hỏi
Trong không gian \[Oxyz\], phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
\(x - 3{y^2} + z - 1 = 0\).
\({x^2} + 2y + 4z - 2 = 0\).
\(2x - 3y + 4z - 2024 = 0\).
\(2x - 3y + 4{z^2} - 2025 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: \(2x - 3y + 4z - 2024 = 0\).
\(\overrightarrow n = ( - 3;1; - 2)\).
\(\overrightarrow n = (3;1;2)\).
\(\overrightarrow n = (3; - 1;2)\).
\(\overrightarrow n = (6; - 2;4)\).
Đáp án đúng là: B
Véc tơ pháp tuyến của \((P)\) là: \(\overrightarrow n = (3; - 1;2)\).
\(\overrightarrow n = ( - 3;1; - 2) = - 1(3; - 1;2)\) là một vec tơ pháp tuyến của \((P)\).
\(\overrightarrow n = (6; - 2;4) = 2(3; - 1;2)\) là một vec tơ pháp tuyến của \((P)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{P_m}} \right) \bot \left( \alpha \right)\\\left( {{Q_m}} \right) \bot \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \\\overrightarrow {{n_2}} \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_\alpha }} = 0\\\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow {{n_\alpha }} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m - 2 - 6n = 0\\4 + m - 6n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 1\end{array} \right..\).
\(m + n = 3\).
\[Oxyz\].
\[\left( P \right)\].
Đáp án đúng là: B
Thế tọa độ điểm \[\left( Q \right)\] vào phương trình mặt phẳng \[A\left( {1;1;1} \right)\] ta có: \[B\left( {0; - 2;2} \right)\].
Vậy mặt phẳng \[Ox,Oy\] không đi qua điểm \(N\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\).
\(x - 2y + 3z + 12 = 0\).
\(x - 2y - 3z - 6 = 0\).
\(x - 2y + 3z - 12 = 0\).
\(x - 2y - 3z + 6 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm\(M\left( {1;2; - 3} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)\) là \(\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x - 2y + 3z + 12 = 0\).
\(3x - 5y - z - 9 = 0\).
\(3x - 5y - z + 9 = 0\).
\(3x + 5y - z + 9 = 0\).
\(3x - 5y + z - 9 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\vec n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {3; - 5; - 1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {0; - 2;1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {3; - 5; - 1} \right)\) nên có phương trình
\(3\left( {x - 0} \right) - 5\left( {y + 2} \right) - \left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 5y - z - 9 = 0\).
Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình: \(3x - 5y - z - 9 = 0\).
\(a = 1,d = 1\).
\(a = 6,d = - 6\).
\(a = - 1;d = - 6\).
\(a = - 6;d = 6\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;0; - 2} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&{ - 1}\\0&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 3}\\{ - 2}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;6; - 6} \right)\).
Chọn \(\overrightarrow n = \frac{1}{6}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Ta có phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x + y - 1 - z + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow x + y - z + 1 = 0\).
Vậy \(a = 1;d = 1\).
\(2x - y + 3z + 9 = 0\).
\(2x + y + 3z - 3 = 0\).
\(2x + y + 3z + 3 = 0\).
\(2x - y + 3z - 9 = 0\).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(\left( Q \right)\)là mặt phẳng cần tìm.
Theo bài \(\left( Q \right)//\left( P \right) \Rightarrow \left( Q \right):\,2x - y + 3z + m = 0\,\,\left( {m \ne 5} \right)\).
Mà \(\left( Q \right)\) qua \(A \Leftrightarrow 2.0 - \left( { - 3} \right) + 3.2 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 9\).
Vậy mặt phẳng\(\left( Q \right):2x - y + 3z - 9 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Khoảng cách \(3x + 2y + z + 14 = 0.\)từ \(A\)đến \(\left( P \right)\)là \(d(A,\,(P)) = \frac{{\left| {3{x_A} + 4{y_A} + 2{z_A} + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {3 - 8 + 6 + 4} \right|}}{{\sqrt {29} }}\)
\( \Rightarrow d(A,\,(P)) = \frac{5}{{\sqrt {29} }}\).
\(4x - 3y + 2z + 3 = 0\).
\(4x - 3y - 2z + 3 = 0\).
\(2x + y - 3z - 1 = 0\).
\(4x + y - 2z - 1 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Ta có\(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;1} \right)\), vectơ pháp tuyến mặt phẳng\(\left( Q \right):\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Theo đề bài ta có vectơ pháp tuyến mặt phẳng\(\left( P \right)\):\(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {4; - 3; - 2} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \(4x - 3y - 2z + C = 0\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {0;1;0} \right)\) nên: \( - 3 + C = 0 \Leftrightarrow C = 3\).
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(4x - 3y - 2z + 3 = 0\).
\(2x - y - 2z = 0\).
\(2x - y + 2z = 0\).
\(2x + y - 2z = 0\).
\(2x + y - 2z + 1 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3; - 2;2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {5; - 4;3} \right)\).
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {2;1; - 2} \right)\).
Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ \(O\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 2} \right)\) có dạng:
\(2x + y - 2z = 0\).
\(x + y + z - 3 = 0\).
\(x + y + z + 3 = 0\).
\( - 2x + z + 6 = 0\).
\( - 2x + z - 6 = 0\).
Đáp án đúng là: A
\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)\), \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0; - 1} \right)\).
Vì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với cả \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên \(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {3;3;3} \right) = 3\left( {1;1;1} \right)\).
Vì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ bằng 3 nên \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {3;0;0} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {3;0;0} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;1;1} \right)\) nên \(\left( \alpha \right)\) có phương trình:
\(x + y + z - 3 = 0\).
\(y = 0\).
\(3y - 5z = 0\).
\(5y + 3z = 0\).
\(y - z = 0\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(\left( P \right)\) chứa trục \(Ox\) nên \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Vì \(\left( P \right)\) đi qua O và \(A\left( {2;3; - 5} \right)\) nên \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {OA} = \left( {2;3; - 5} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OA} } \right] = \left( {0;5;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là \(5y + 3z = 0\).
\(\left( Q \right):2x + 2y - z + 10 = 0\).
\(\left( Q \right):2x + 2y - z + 4 = 0\).
\(\left( Q \right):2x + 2y - z + 8 = 0\).
\(\left( Q \right):2x + 2y - z - 8 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {0;0; - 1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với \(\left( P \right)\) nên có dạng \(\left( Q \right):2x + 2y - z + d = 0,\,\,\left( {d \ne - 1} \right)\).
Mặt khác ta có \(d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + d} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {d + 1} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 8\\d = - 10\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Do đó \(\left( Q \right):2x + 2y - z + 8 = 0\) hoặc \(\left( Q \right):2x + 2y - z - 10 = 0\).
\(6x + 3y + 2z - 24 = 0\).
\(6x + 3y + 2z - 12 = 0\).
\(6x + 3y + 2z = 0\).
\(6x + 3y + 2z - 36 = 0\).
Đáp án đúng là: A
\[\left( {ABC} \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\].
\[\left( P \right){\rm{//}}\left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( P \right):6x + 3y + 2z + m = 0\,\,\left( {m \ne - 12} \right)\].
\(\left( P \right)\)cách đều \(D\)và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {D,\left( P \right)} \right) = d\left( {A,\left( P \right)} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {6.2 + 3.4 + 2.6 + m} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {6.2 + 3.0 + 2.0 + m} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} \Leftrightarrow \left| {36 + m} \right| = \left| {12 + m} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}36 + m = 12 + m\\36 + m = - 12 - m\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow m = - 24\](nhận).
Vậy phương trình của \(\left( P \right)\) là \(6x + 3y + 2z - 24 = 0\).
\(M\left( {0; - 3;0} \right)\).
\(M\left( {0;3;0} \right)\).
\(M\left( {0; - 2;0} \right)\).
\(M\left( {0;2;0} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(M \in Oy\) nên \(M\left( {0;a;0} \right)\).
Ta có \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\left| { - a - 5} \right|}}{{\sqrt 3 }}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 1 = a + 5\\a + 1 = - a - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow a = - 3\).
Vậy \(M\left( {0; - 3;0} \right)\).
\(\overrightarrow v = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \).
\(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \).
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\)và vuông góc với giá của vectơ \(\overrightarrow v = \left( { - 1;2;3} \right)\)là: \(x - 2y - 3z + 4 = 0\).
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\)và vuông góc với giá của vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 2;0;1} \right)\)là: \(2x - y + 1 = 0\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) \(\overrightarrow v = \left( { - 1;2;3} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow v = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \) .
b) \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \Leftrightarrow \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right) + 2.0 + 3.1 = 5 \ne 0\).
c) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\)và vuông góc với giá của vectơ \(\overrightarrow v = \left( { - 1;2;3} \right)\)là: \( - 1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 2} \right) + 3\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + 2y + 3z - 4 = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 3z + 4 = 0\).
d) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\)và vuông góc với giá của vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 2;0;1} \right)\)là: \( - 2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {z - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - z + 1 = 0\).
\(\overrightarrow {AB} = (3;1;2)\).
Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với \(AB\) có phương trình là \(3x + y + 2z - 3 = 0\).
Nếu \(I\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) thì \(I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)\).
Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng \(AB\)có phương trình là \(3x + y + 2z - 12 = 0\).
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = (3;1;2)\)
b) Gọi \((Q)\) là mặt phẳng đi qua \(A(1;0;0)\) và vuông góc với \(AB\) suy ra mặt phẳng \((Q)\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = (3;1;2)\) làm véc tơ pháp tuyến.
Vậy phương trình mặt phẳng \((Q)\) cần tìm có dạng: \(3(x - 1) + y + 2z = 0 \Leftrightarrow 3x + y + 2z - 3 = 0\)
c) \(I\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) nên \(I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)\).
d) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng \(AB\) là mặt phẳng đi qua I và vuông góc \(AB\) nên có phương trình là \(3\left( {x - \frac{5}{2}} \right) + y - \frac{1}{2} + 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y + 2z - 10 = 0\).
Điểm \(A\) có tọa độ là \(A\left( {1;0;0} \right)\).
Điểm \(B\) có tọa độ là \(A\left( {1;2;0} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 0\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\).
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) \(A\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục \(Ox\)\( \Rightarrow A\left( {1;0;0} \right)\).
b) \(B\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục \(Oy\)\( \Rightarrow B\left( {0;2;0} \right)\).
c) d) \(C\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục \(Oz\)\( \Rightarrow C\left( {0;0;3} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1; - 1} \right)\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua \(A,B\) và vuông góc với \(\left( P \right)\)là \(x + z = 0\).
Khoảng cách từ điểm \(A\)đến mặt phẳng \(\left( P \right)\)là: \[d(A,(P)) = \frac{{7\sqrt 6 }}{6}\].
Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua\(A,B\) và vuông góc với \(\left( P \right)\)là \(3x - y + z = 0\).
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 2;2} \right)\).
b) \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 2;0; - 2} \right) = - 2\left( {1;0;1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình \(1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + z = 0\).
c) \[d(A,(P)) = \frac{{|1 + 4 + 1 + 1|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \frac{{7\sqrt 6 }}{6}\].
\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 2\).
\(M\) cách đều hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
\(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 1\).
\(\left( \alpha \right)\) song song và cách \(\left( Q \right)\) một khoảng bằng 2 có phương trình là \(\left( \alpha \right):2x - y + 2z - 9 = 0\).
a) S, b) S, c) Đ, d) S
a) Ta có \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) + 4 + 2.3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1\).
b) Ta có \(d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) + 4 + 2.3 - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 0 \Rightarrow M \in \left( Q \right)\).
c) \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 1\).
d) Vì \(\left( \alpha \right)//\left( Q \right)\) nên \(\left( \alpha \right):2x - y + 2z + D = 0\).
Vì \(d\left( {\left( \alpha \right),\left( Q \right)} \right) = 2 \Leftrightarrow d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) + 4 + 2.3 + D} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2 \Leftrightarrow D = 0\).
Vậy \(\left( \alpha \right):2x - y + 2z = 0\).
\(OM = \sqrt {14} \).
Điểm \(M\left( {2;1; - 3} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(x + y + z = 0\).
Khoảng cách từ \(M\left( {2;1; - 3} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 3 = 0\) nhỏ hơn 1.
Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và chứa trục \(Ox\) có dạng \(ax + 6y + cz + d = 0\). Giá trị biểu thức \(a - 2c + d\) lớn hơn \( - 1\).
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) \(OM = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {14} \).
b) Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng \(x + y + z = 0\) ta được \(2 + 1 - 3 = 0\).
Vậy điểm \(M\left( {2;1; - 3} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(x + y + z = 0\).
c) \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 1 - 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 3 > 1\).
d) Ta có \(\overrightarrow {OM} = \left( {2;1; - 3} \right),\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow i } \right] = \left( {0; - 3; - 1} \right)\).
Ta có mặt phẳng \(\left( \alpha \right): - 3\left( {y - 1} \right) - \left( {z + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3y + z = 0 \Leftrightarrow 6y + 2z = 0\).
Suy \(a = 0;c = 2;d = 0\). Do đó \(a - 2c + d = - 4 < - 1\).
\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)\).
\(\left| {\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right]} \right| = 3\sqrt 3 \).
\(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {3;0;0} \right)\).
Giá trị biểu thức \(a + 2b + 3c\) là một số tự nhiên chia hết cho 9.
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)\).
b) \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0; - 1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {3;3;3} \right)\).
Suy ra \(\left| {\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right]} \right| = \sqrt {{3^2} + {3^2} + {3^2}} = 3\sqrt 3 \).
c) \(\left( \alpha \right)\) cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ bằng 3 nên \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {3;0;0} \right)\).
d) \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với cả \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(x + y + z - 3\).
Suy ra \(a = 1;b = 1;c = 1\). Do đó \(a + 2b + 3c = 6\) không chia hết cho 9.
Trả lời: −3
Ta có \(M \in Oy\, \Rightarrow \,M\left( {0;\,y;\,0} \right)\).
Theo giả thiết: \[d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{{\left| {y + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\left| { - y - 5} \right|}}{{\sqrt 3 }}\,\, \Leftrightarrow \,y = - 3\].
Vậy \(M\left( {0;\, - 3;\,0} \right)\). Suy ra \(a = 0;b = - 3;c = 0\). Do đó \(a + b + c = - 3\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;\,2;\,3} \right)\), \(B\left( {5;\, - 4;\, - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(Ox\)sao cho \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = 2d\left( {A,\left( P \right)} \right)\), \(\left( P \right)\) cắt \(AB\) tại \(I\left( {a;\,b;\,c} \right)\) nằm giữa \(AB\). Tính \(a + b + c\).
Trả lời: 4
Vì \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = 2d\left( {A,\left( P \right)} \right)\) và \(\left( P \right)\) cắt đoạn \(AB\) tại \(I\) nên
Trả lời: 4
\[I(1; - 2;4)\] có VTPT \[(P)\]
\[I(1; - 2;4)\] có VTPT \[\overrightarrow n {\rm{ = [}}\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ] = (6;9;1)\]
\[(P)\].
Trả lời: 2
Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1; - 2; - 5} \right)\).
Mặt phẳng qua \(A\left( {2; - 1;1} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) nhận vectơ \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1; - 2; - 5} \right)\) là một vectơ pháp tuyến nên có phương trình \( - \left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) - 5\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - x - 2y - 5z + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow x + 2y + 5z - 5 = 0\).
Suy ra \(a = 2;b = 5;c = - 5\). Do đó \(a + b + c = 2\).
Trả lời: 2
Gọi \(C\left( {0;y;0} \right) \in Oy\) với \(y > 0\).
Ta có \(OA = 1,OB = 2,OC = y\) và \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc.
Suy ra \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{3}y\).
Theo đề ta có \(\frac{1}{3}y = 2 \Leftrightarrow y = 6 \Rightarrow C\left( {0;6;0} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{6} + \frac{z}{2} = 1\).
Điểm \(S\left( { - 1;6;m} \right)\) thuộc \(\left( P \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{1} + \frac{6}{6} + \frac{m}{2} = 1 \Leftrightarrow m = 2\).
Trả lời: 2
Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {2;4; - m} \right)\).
Để \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau thì \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = k\overrightarrow {{n_\beta }} \left( {k \in \mathbb{N}*} \right) \Leftrightarrow \frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{m}{1} \Rightarrow m = 2\).
Trả lời: 0,58
Phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) có phương trình \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1\).
Theo bất đẳng thức Bunhia-Copsky ta có:
\(\left( {{m^2} + {n^2} + {p^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} \right) \ge 9\)\( \Rightarrow \frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}} \ge \frac{9}{{{m^2} + {n^2} + {p^2}}} = 3\).
Khi đó \(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} }} \le \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Dấu bằng xảy ra khi \(m = n = p = 1\).
Vậy khoảng cách lớn nhất từ \(O\) đến \(\left( {MNP} \right)\) bằng \(\frac{1}{{\sqrt 3 }} \approx 0,58\).
