Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Chương VI. Một số yếu tố xác suất

Đáp án đúng là: A

\(A = \left\{ {(2,1),(2,3),(2,4),(4,1),(4,2),(4,3)} \right\}\).

\(B = \left\{ {(1,1),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,3),(4,1),(4,3)} \right\}\).

\[C = B|A\]\[ = A \cap B = \left\{ {\left( {2,1} \right),{\rm{ }}\left( {2,3} \right),{\rm{ }}\left( {4,1} \right),{\rm{ }}\left( {4,3} \right)} \right\}\].

Đáp án đúng là: B

\(A\): "học sinh đã làm đúng bài toán đầu tiên" , thì \[P\left( A \right) = 60\% = 0,6\].

\(B\): "học sinh đã làm đúng bài toán thứ hai", thì \[P\left( B \right) = 40\% = 0,4\].

\[A \cap B\]: "học sinh làm đúng cả hai bài toán", thì \[P\left( {A \cap B} \right) = 20\% = 0,2\].

Xác suất để một học sinh làm đúng bài toán thứ hai biết rằng học sinh đó đã làm đúng bài toán đầu tiên là \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,2}}{{0,6}} = \frac{1}{3} \approx 0,333\].

Đáp án đúng là: A

Gọi A: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất có chất lượng thấp”,

Và B: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ hai có chất lượng thấp”.

Khi đó, xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp chính là \(P\left( {B|A} \right)\).

Từ bài ra ta có:

\(n\left( \Omega \right) = 30.29 = 870;n\left( B \right) = 4.29 = 116 \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{116}}{{870}} = \frac{2}{{15}}\)\(n\left( {AB} \right) = 4.3 = 12 \Rightarrow P\left( {AB} \right) = \frac{{12}}{{870}} = \frac{2}{{145}}\).

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{2}{{145}}:\frac{2}{{15}} = \frac{3}{{29}}\).

Đáp án đúng là: D

\[A\] và \[B\]là hai biến cố độc lập nên: \[P\left( {A|B} \right) = P\left( A \right) = 0,2024\].

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[P\left( {\bar B|A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 1 - \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = 1 - \frac{{0,3}}{{0,6}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\].

Đáp án đúng là: C

Gọi \[A\] là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”

Gọi \[B\] là biến cố “ Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.

Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì thì lần thứ hai xuất hiện 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm thì \[P\left( {B|A} \right) = \frac{1}{6}\].

Đáp án đúng là: A

Gọi \[A\] là biến cố “viên bi lấy lần thứ nhất là màu đỏ”.

Gọi \[B\] là biến cố “viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ”.

Ta đi tính \[P\left( {B|A} \right)\] với \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\].

Không gian mẫu \[n\left( \Omega \right) = 10.9\] cách chọn

Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi trong 9 viên còn lại có cách 9 chọn, do đó \[P\left( A \right) = \frac{{7.9}}{{10.9}} = \frac{7}{{10}}\].

Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi màu đỏ trong 6 viên bi còn lại có 6 cách chọn, do đó \[P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{7.6}}{{10.9}} = \frac{7}{{15}}\].

Vậy xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ là \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{7}{{15}}}}{{\frac{7}{{10}}}} = \frac{2}{3}\].

Đáp án đúng là: C

Gọi \[A\] là biến cố “thắng thầu dự án 1”

Gọi \[B\] là biến cố “thắng thầu dự án 2”

theo đề bài \[P\left( A \right) = 0,6 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 0,4;P\left( B \right) = 0,7 \Rightarrow P\left( {\bar B} \right) = 0,3\] với 2 biến cố \[A,B\]độc lập

Gọi \[C\] là biến cố “thắng thầu đúng 1 dự án”

\[P\left( C \right) = P\left( {\left( {A \cap \bar B} \right) \cup \left( {\bar A \cap B} \right)} \right) = P\left( {A \cap \bar B} \right) + P\left( {\bar A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {\bar B} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( B \right)\]

\[ = 0,6.0,3 + 0,4.0,7 = 0,46\].

Đáp án đúng là: C

Gọi A: “Học sinh đó học khá môn Toán”,

Và B: “Học sinh đó học khá môn Hóa học”.

Từ bài ra ta có \(P\left( A \right) = \frac{{16}}{{30}}\), \(P\left( B \right) = \frac{{25}}{{30}}\); \(P\left( {AB} \right) = \frac{{12}}{{30}}\).

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{12}}{{25}} = 0,48\).

Đáp án đúng là: C

Gọi \(A\): “Người được chọn ra không nhiễm bệnh”.

Và \(B\): “Người được chọn ra có phản ứng dương tính”

Theo bài ta có: \(\;P\left( A \right) = 0,91;P\left( {B|A} \right) = 0,07;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,85\)

Do đó:

\(\;P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,91 = 0,09;P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 1 - 0,07 = 0,93\)

\(\;P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - 0,85 = 0,15\).

Ta có sơ đồ hình cây như sau:

Vậy: \(\;P\left( {A\overline B } \right) = 0,91.0,93 = 0,8463\).

Đáp án đúng là: D

Gọi \[A\]: "ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm".

Và \[B\]: "tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10 ".

Ta có:

\[P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - {\left( {\frac{5}{6}} \right)^2} = \frac{{11}}{{36}}\].

Biến cố \(B\) có các trường hợp \(\left( {4;6} \right),\left( {6;4} \right),\left( {5;5} \right),\left( {5;6} \right),\left( {6;5} \right),\left( {6;6} \right)\).

Biến cố \(A \cap B\) có 3 trường hợp xảy ra: \(\left( {5;5} \right),\left( {5;6} \right),\left( {6;5} \right)\) có xác suất là: \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{3}{{36}}\).

Vậy \(P\left( {B\mid A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{3}{{36}}}}{{\frac{{11}}{{36}}}} = \frac{3}{{11}}\).

Đáp án đúng là: B

Gọi \[A\]: “lấy viên bi thứ nhất là màu xanh”.

Và \[B\]: “lấy viên bi thứ hai là màu đỏ”.

Ta có: \[P\left( A \right) = \frac{{3.4}}{{5.4}} = \frac{3}{5}\]; \[P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{3.2}}{{5.4}} = \frac{3}{{10}}\].

Do đó: \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{3}{{10}}}}{{\frac{3}{5}}} = \frac{1}{2}\].

Đáp án đúng là: A

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {\left. A \right|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {\left. A \right|\bar B} \right).\)

Đáp án đúng là: C

Theo công thức Bayes, ta có \[P\left( {\left. B \right|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {\left. A \right|B} \right)}}{{P\left( B \right).P\left( {\left. A \right|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {\left. A \right|\bar B} \right)}}.\]

Đáp án đúng là: C

Theo công thức Bayes, ta có $P\left(\left.B\right|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(\left.A\right|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,6.0,4}}{\mathrm{0,3}}=\mathrm{0,8.}$

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(P\left( {\bar B} \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,6 = 0,4\).

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A\mid B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {A\mid \bar B} \right) = 0,6.0,7 + 0,4.0,4 = 0,58\).

Đáp án đúng là: C

Xét các biến cố:

\(A\): "Bạn An lấy được bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên";

B: "Bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội".

Khi đó, \(P\left( A \right) = \frac{{20}}{{36}} = \frac{5}{9};\;\;P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}\).

Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên thì sau đó còn 35 bộ câu hỏi, trong đó có 16 bộ câu hỏi về chủ đề xã hội\( \Rightarrow P\left( {B\mid A} \right) = \frac{{16}}{{35}}\).

Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề xã hội thì sau đó còn 35 bộ câu hỏi, trong đó có 15 bộ câu hỏi về chủ đề xã hội\( \Rightarrow P\left( {B\mid \bar A} \right) = \frac{{15}}{{35}}\).

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội là: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B\mid \bar A} \right) = \frac{5}{9}.\frac{{16}}{{35}} + \frac{4}{9}.\frac{{15}}{{35}} = \frac{4}{9}\).

Đáp án đúng là: B

Xét các biến cố:

\(A:\) "Người được chọn mắc bệnh X";

\(B:\) "Người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y".

Theo giả thiết ta có: \(P\left( A \right) = 0,002;\;\;P\left( {\bar A} \right) = 1 - 0,002 = 0,998\);

\(P\left( {B\mid A} \right) = 1;\;\;P\left( {B\mid \bar A} \right) = 0,06\).

Theo công thức Bayes, ta có:

\(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B\mid A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B\mid \bar A} \right)}} = \frac{{0,002.1}}{{0,002.1 + 0,998.0,06}} \approx 0,03\).

Đáp án đúng là: D

Xét các biến cố:

\(A:\) "Khách hàng chọn được bóng đèn Led màu trắng";

\(B:\) "Khách hàng chọn được bóng đèn Led không hỏng".

Ta có: \(P\left( A \right) = 0,65;\;\;P\left( {\bar A} \right) = 0,35;\;\;P\left( {B\mid A} \right) = 1 - P\left( {\bar B\mid A} \right) = 1 - 0,02 = 0,98\);

\(P\left( {B\mid \bar A} \right) = 1 - P\left( {\bar B\mid \bar A} \right) = 1 - 0,03 = 0,97\).

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B\mid \bar A} \right) = 0,65.0,98 + 0,35.0,97 = 0,9765\).

Đáp án đúng là: A

Gọi \(A\) “Lần thứ hai hai chiếc bút lấy ra đều là chiếc mới”

\({B_0}\) “Lần thứ nhất lấy ra một chiếc bút cũ” và \({B_1}\) “Lần thứ nhất lấy ra một chiếc bút mới”.

Nên \({B_0},\;{B_1}\) là hệ biến cố đầy đủ.

Từ \(15\) chiếc bút có \(9\) chiếc bút mới và \(6\) chiếc bút cũ

Ta có: \(P\left( {{B_0}} \right) = \frac{{C_6^1}}{{C_{15}^1}} = \frac{2}{5}\), \(P\left( {{B_1}} \right) = \frac{{C_9^1}}{{C_{15}^1}} = \frac{3}{5}\).

\(P\left( {A|{B_0}} \right) = \frac{{C_9^2}}{{C_{15}^2}} = \frac{{12}}{{35}}\) và \(P\left( {A|{B_1}} \right) = \frac{{C_8^2}}{{C_{15}^2}} = \frac{4}{{15}}\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần

\(P\left( A \right) = P\left( {A|{B_0}} \right).P\left( {{B_0}} \right) + P\left( {A|{B_1}} \right).P\left( {{B_1}} \right)\)\( = \frac{{12}}{{35}}.\frac{2}{5} + \frac{4}{{15}}.\frac{3}{5} = \frac{{52}}{{175}}\).

Đáp án đúng là: C

Gọi \({A_1},\;{A_2},\;{A_3}\) lần lượt là các biến cố gọi một sinh viên Giỏi, Khá, Trung Bình

Nên \({A_1},\;{A_2},\;{A_3}\) là hệ biến cố đầy đủ

Gọi \(B\) “ Sinh viên đó trả lời được \(4\) câu hỏi”

Ta có: \(P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{C_2^1}}{{C_{10}^1}} = \frac{1}{5}\); \(P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{C_3^1}}{{C_{10}^1}} = \frac{3}{{10}}\); \(P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{C_5^1}}{{C_{10}^1}} = \frac{1}{2}\)

Ta lại có:

\(2\) sinh viên Giỏi (trả lời \(100\% \) các câu hỏi)\( \Rightarrow \) Trả lời \(20\) câu hỏi

\(3\) sinh viên Khá (trả lời \(80\% \) các câu hỏi) \( \Rightarrow \) Trả lời \(20.80\% = 16\) câu hỏi.

\(5\) sinh viên Trung Bình (trả lời \(50\% \) các câu hỏi) \( \Rightarrow \) Trả lời \(20.50\% = 10\) câu hỏi.

Từ đó \(P\left( {B|{A_1}} \right) = \frac{{C_{20}^4}}{{C_{20}^4}} = 1\), \(P\left( {B|{A_2}} \right) = \frac{{C_{16}^4}}{{C_{20}^4}} = \frac{{364}}{{969}}\), \(P\left( {B|{A_3}} \right) = \frac{{C_{10}^4}}{{C_{20}^4}} = \frac{{14}}{{323}}\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần

\(P\left( B \right) = P\left( {B|{A_1}} \right).P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {B|{A_2}} \right).P\left( {{A_2}} \right) + P\left( {B|{A_3}} \right).P\left( {{A_3}} \right)\)

\( = 1.\frac{1}{5} + \frac{{364}}{{969}}.\frac{3}{{10}} + \frac{{14}}{{323}}.\frac{1}{2} = \frac{{108}}{{323}}\)

Xác suất để sinh viên đó là sinh viên khá là \(P\left( {{A_2}|B} \right)\)

Áp dụng công thức Bayes \(P\left( {{A_2}|B} \right) = \frac{{P\left( {B|{A_2}} \right).P\left( {{A_2}} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)\(\frac{{\frac{{364}}{{969}}.\frac{3}{{10}}}}{{\frac{{108}}{{323}}}} = \frac{{91}}{{270}} \approx 0,337\).

Đáp án đúng là: A

Gọi \(A\): “Lấy ra một bi một màu xanh ở hộp thứ nhất”

Gọi \(B\): “Hai bi lấy ra từ hộp thứ hai là màu đỏ”

Ta có: \(P\left( A \right) = \frac{{C_3^1}}{{C_9^1}} = \frac{1}{3}\); \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{C_6^1}}{{C_9^1}} = \frac{2}{3}\)

\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{C_7^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{{21}}{{55}}\); \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{C_8^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{{28}}{{55}}\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần

\(P\left( B \right) = P\left( {B|A} \right).P\left( A \right) + P\left( {B|\overline A } \right).P\left( {\overline A } \right)\)\( = \frac{1}{3}.\frac{{21}}{{55}} + \frac{2}{3}.\frac{{28}}{{55}} = \frac{7}{{15}}\)

Xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ, biết rằng hai bi lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ, ta áp dụng công thức Bayes

\(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {B|\overline A } \right).P\left( {\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}}\)\( = \frac{{\frac{{28}}{{55}}.\frac{2}{3}}}{{\frac{7}{{15}}}} = \frac{8}{{11}}\).

Đáp án đúng là: C

Gọi \[A\] là biến cố “người đó mắc bệnh”

Gọi \[B\] là biến cố “kết quả kiểm tra người đó là dương tính (bị bệnh)”

Xác suất để người đó mắc bệnh khi chưa kiểm tra:\[P\left( A \right) = 1\%  = 0,01\]

Do đó xác suất để người đó không mắc bệnh khi chưa kiểm tra: \[P\left( {\bar A} \right) = 1 - 0,01 = 0,99\]

Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là: \[P\left( {B|A} \right) = 99\%  = 0,99\]

Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là: \[P\left( {B|\bar A} \right) = 1 - 0,99 = 0,01\]

\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right)}} = \frac{{0,01.0,99}}{{0,01.0,99 + 0,99.0,01}} = 0,5\].

Xác suất kết để người đó mắc bệnh nếu kết quả kiểm tra người đó là dương tính là \[0,5\].

Đáp án đúng là: D

Gọi \(A\): “Học sinh đó là nam”

Gọi \(B\) “ Học sinh đó tham gia câu lạc bộ nghệ thuật ”

\(P\left( {\overline A } \right) = 52\% = 0,52\), \(P\left( A \right) = 1 - 0,52 = 0,48\).

\(P\left( {B|\overline A } \right) = 18\% = 0,18\); \(P\left( {B|A} \right) = 15\% = 0,15\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần

\(P\left( B \right) = P\left( {B|\overline A } \right).P\left( {\overline A } \right) + P\left( {B|A} \right).P\left( A \right)\)\( = 0,18.0,52 + 0,15.0,48 = \frac{{207}}{{1250}} = 0,1656\).

Xác suất để học sinh đó là nam, biết rằng học sinh đó tham gia câu lạc bộ nghệ thuật, ta áp dụng công thức Bayes

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {B|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}}\)\( = \frac{{0,15.0,48}}{{0,1656}} = \frac{{10}}{{23}}\).

Đáp án đúng là: A

Gọi \[A\] là biến cố “người nghiện thuốc lá”, suy ra \[\bar A\] là biến cố “người không nghiện thuốc lá”

Gọi \[B\] là biến cố “người bị bệnh phổi”

Ta có \[P\left( A \right) = 0,2;P\left( {B|A} \right) = 0,7;P\left( {\bar A} \right) = 0,8;P\left( {B|\bar A} \right) = 0,15\]

 \[P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right) = 0,2.0,7 + 0,8.0,15 = 0,26\]

Theo công thức Bayes, ta có\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2.0,7}}{{0,26}} = \frac{7}{{13}}\].

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) \[P\left( {\bar A} \right) = 0,4 \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - 0,4 = 0,6\].

\[P\left( B \right) = 0,8 \Rightarrow P\left( {\bar B} \right) = 1 - 0,8 = 0,2\].

\[P\left( {A \cap B} \right) = 0,4\].

b) Ta có: \[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,4}}{{0,8}} = \frac{1}{2}\].

c) Ta có: \[P\left( {\bar B|A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 1 - \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = 1 - \frac{{0,4}}{{0,6}} = \frac{1}{3}\].

d) Ta có: \[P\left( {\bar A \cap B} \right) = P\left( {\bar A|B} \right).P\left( B \right)\].

Mà \[P\left( {\bar A|B} \right) = 1 - P\left( {A|B} \right) = 1 - \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = 1 - \frac{{0,4}}{{0,8}} = \frac{1}{2}\].

Do đó \[P\left( {\bar A \cap B} \right) = P\left( {\bar A|B} \right).P\left( B \right) = \frac{1}{2}.0,8 = \frac{2}{5}\].

a) S, b) Đ, c) S, d) S

\[P\left( A \right) = 0,5 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 0,5;P\left( B \right) = 0,6 \Rightarrow P\left( {\bar B} \right) = 0,4\].

\[P\left( {A \cap B} \right) = 0,4\].

a) \[A,B\] độc lập \[ \Leftrightarrow P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\]

mà \[0,4 \ne 0,5.0,6\] nên \[A,B\] không độc lập.

b)Gọi \[C\] là biến cố “thắng thầu đúng 1 dự án”

\[P\left( C \right) = P\left( {A \cap \bar B} \right) + P\left( {\bar A \cap B} \right) = P\left( A \right) - P\left( {A \cap B} \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)\]

\[ = P\left( A \right) + P\left( B \right) - 2P\left( {A \cap B} \right) = 0,5 + 0,6 - 2.0,4 = 0,3\].

c) Gọi \[D\] là biến cố “thắng dự 2 biết thắng dự án 1”

\[P\left( D \right) = P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {B \cap A} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,4}}{{0,5}} = 0,8\].

d)Gọi \[E\] là biến cố “thắng dự án 2 biết không thắng dự án 1”

\[P\left( E \right) = P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{{P\left( {B \cap \bar A} \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}} = \frac{{0,6 - 0,4}}{{0,5}} = 0,4\].

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

Gọi \(A\) là biến cố "Học sinh được gọi lên bảng tên là Hiền"

Gọi \(B\) là biến cố "Học sinh được chọn mang giới tính nữ".

a)Xác suất để học sinh được gọi có tên là Hiền là: \(P(A) = \frac{3}{{30}} = \frac{1}{{10}}\).

b)Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là \[P\left( {A\mid B} \right)\]

Ta có: \(P\left( B \right) = \frac{{17}}{{30}},\,\,P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{30}}\).

Do đó: \(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{{30}}}}{{\frac{{17}}{{30}}}} = \frac{1}{{17}}\).

c)Gọi \(C\) là biến cố " Học sinh được chọn mang giới tính nam".

Xác suất thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Hiền, với điều kiện bạn đó nam là \(P\left( {A\mid C} \right)\)

Ta có: \(P\left( C \right) = \frac{{13}}{{30}},\,\,P\left( {A \cap C} \right) = \frac{2}{{30}}\). Do đó: \(P\left( {A\mid C} \right) = \frac{{P\left( {A \cap C} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{2}{{30}}}}{{\frac{{13}}{{30}}}} = \frac{2}{{13}}\).

d)Nếu thầy giáo gọi 1 bạn có tên là Hiền lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là \(P\left( {B\mid A} \right)\)

Ta có: \(P\left( {B\mid A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{1}{{30}}}}{{\frac{3}{{30}}}} = \frac{1}{3}\).

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

Xét các biến cố:

A: "Lần thứ nhất lấy được bóng đèn loại II";

\(B\) : "Lần thứ hai lấy được bóng đèn loại II".

a) Xác suất đề lần thứ nhất lấy được bóng đèn loại II là: \({\rm{P}}\left( A \right) = \frac{2}{{20}} = \frac{1}{{10}}\).

b)Sau khi lấy 1 bóng đèn loại II thì chỉ còn 1 bóng đèn loại II trong hộp.

Suy ra xác suất để lần thứ hai lấy được quá bóng đèn loại II, biết lần thứ nhất lấy được bóng đèn loại II, là \({\rm{P}}\left( {B\mid A} \right) = \frac{1}{{19}}\).

c) Khi đó, xác suất để cả hai lần đều lấy được bóng đèn loại II là:

\({\rm{P}}\left( C \right) = {\rm{P}}\left( {A \cap B} \right) = {\rm{P}}\left( A \right) \cdot {\rm{P}}\left( {B\mid A} \right) = \frac{1}{{10}} \cdot \frac{1}{{19}} = \frac{1}{{190}}\).

d) Vậy để ít nhất 1 lần lấy được bóng đèn loại \(I\) là: \({\rm{P}}\left( {\overline C } \right) = 1 - {\rm{P}}\left( C \right) = 1 - \frac{1}{{190}} = \frac{{189}}{{190}}\).

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Ta có: \(B\) là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ” nên \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{10}} = 0,5\).

b) Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 7 bi đỏ và 4 bi xanh nên \(P\left( {A|B} \right) = \frac{7}{{11}}\).

c) Gọi \(\bar B\): “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh”

Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 6 bi đỏ và 5 bi xanh. Khi đó \(P\left( {A|\bar B} \right) = \frac{6}{{11}}\).

d) Ta có: \(P\left( {\bar B} \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,5 = 0,5\).

Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có

\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {A|\bar B} \right) = 0,5.\frac{7}{{11}} + 0,5.\frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}\).

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là \[60\% .50 = 30\].

b) Số viên bi màu vàng không đánh số là \[50\% .30 = 15\].

c) Gọi \[A\] là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số”

và \[B\] là biến cố “viên bi được lấy ra có màu đỏ”,

\[ \Rightarrow \bar B\] là biến cố “viên bi được lấy ra có màu vàng”,

Lúc này ta đi tính \[P\left( A \right)\] theo công thức: \[P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {A|\bar B} \right)\].

Ta có:\[P\left( B \right) = \frac{{50}}{{80}} = \frac{5}{8}\].

\[P\left( {\bar B} \right) = \frac{{30}}{{80}} = \frac{3}{8}\].

\[P\left( {A|B} \right) = 60\%  = \frac{3}{5}\].

\[P\left( {A|\bar B} \right) = 50\%  = \frac{1}{2}\].

Vậy \[P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {A|\bar B} \right) = \frac{5}{8}.\frac{3}{5} + \frac{3}{8}.\frac{1}{2} = \frac{9}{{16}}\].

d) \[A\] là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số”

\[ \Rightarrow \bar A\] là biến cố “viên bi được lấy ra không có đánh số”

Ta có:\[P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{9}{{16}} = \frac{7}{{16}}\].

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

Gọi \({B_1}\) là biến cố: “Lô lấy ra là lô I”

Gọi \({B_2}\) là biến cố: “Lô lấy ra là lô II”

a) Gọi \(A\)là biến cố: “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt”

Ta có: \(P\left( A \right) = P\left( {{B_1}} \right).P\left( {A|{B_1}} \right) + P\left( {{B_2}} \right).P\left( {A|{B_2}} \right)\)

Mà \(P\left( {{B_1}} \right) = \frac{1}{2}\), \(P\left( {{B_2}} \right) = \frac{1}{2}\), \(P\left( {A|{B_1}} \right) = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4}\), \(P\left( {A|{B_2}} \right) = \frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2}.\)

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{1}{2}.\frac{3}{4} + \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{5}{8}\).

b) Ta có: \(P\left( A \right) = \frac{5}{8} \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}\).

c) Ta có: \(P\left( {{B_2}} \right) = \frac{1}{2}\), \(P\left( {A|{B_2}} \right) = \frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2},P\left( A \right) = \frac{5}{8}\).

Vậy \[P\left( {{B_2}|A} \right) = \frac{{P\left( {{B_2}} \right).P\left( {A|{B_2}} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,5.0,5}}{{\frac{5}{8}}} = \frac{2}{5}\].

d) Ta có: \(P\left( A \right) = \frac{5}{8} \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}\), \(P\left( {{B_1}} \right) = \frac{1}{2}\), \[P\left( {\overline A |{B_1}} \right) = \frac{1}{4}\]

\[P\left( {{B_1}|\overline A } \right) = \frac{{P\left( {{B_1}} \right).P\left( {\overline A |{B_1}} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{0,5.0,25}}{{\frac{3}{8}}} = \frac{1}{3}\].

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Chọn 2 sản phẩm tốt từ 13 sản phẩm tốt trong hộp loại I là \(C_{13}^2 = 78\) cách.

b)Số cách chọn 2 phế phẩm từ 4 phế phẩm trong hộp loại II là \(C_4^2 = 6\) cách.

Tổng số cách chọn 2 sản phẩm từ 10 sản phẩm (6 tốt và 4 phế phẩm) trong hộp II là \(C_{10}^2 = 45\) cách.

Vậy xác suất chọn được 2 phế phẩm là \(\frac{6}{{45}} = \frac{2}{{15}}.\)

c) Gọi \(A\): “Chọn được trong thùng một hộp loại I”.

Và \(B\): “Chọn được trong thùng một hộp loại II”.

Xác suất chọn hộp loại I là \(P\left( A \right) = \frac{2}{5}\) và xác suất chọn hộp loại II là \(P\left( B \right) = \frac{3}{5}.\)

Gọi \(C\) là biến cố “Cả 2 sản phẩm lấy ra đều tốt”.

Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ hộp loại I là \(P\left( {C\left| A \right.} \right) = \frac{{C_{13}^2}}{{C_{15}^2}} = \frac{{26}}{{35}}.\)

Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ hộp II là \(P\left( {C\left| B \right.} \right) = \frac{{C_6^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{1}{3}.\)

Vậy xác suất hai sản phẩm lấy ra từ một hộp trong thùng đều tốt là

\(P\left( C \right) = P\left( {C\left| A \right.} \right).P\left( A \right) + P\left( {C\left| B \right.} \right).P\left( B \right) = \frac{{26}}{{35}}.\frac{2}{5} + \frac{1}{3}.\frac{3}{5} = \frac{{87}}{{175}}.\)

d) Xác suất lấy ra hai sản phẩm đều tốt thuộc hộp loại I là

Công thức Bayes: \(P\left( {A\left| C \right.} \right) = \frac{{P\left( {C\left| A \right.} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{{26}}{{35}}.\frac{2}{5}}}{{\frac{{87}}{{125}}}} = \frac{{52}}{{87}}.\)

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Gọi \(A\): “Email nhận được là email rác”.

Và \(B\): “Email bị lọc đúng email rác của hệ thống lọc email rác”.

Vì \(5\% \) email nhận được là rác nên xác suất nhận được một email rác là \(P\left( A \right) = 5\% = 0,05\)

b) Xác suất email bị lọc của email rác là \(P\left( {\left. B \right|A} \right) = 95\% = 0,95.\)

c) Xác suất email nhận được không phải rác là \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,05 = 0,95\).

Xác suất email bị lọc của email không phải rác là \(P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 0,1.\)

Vậy xác suất chọn một email bị lọc bất kể là rác hay không là

\(P\left( B \right) = P\left( {B\left| A \right.} \right).P\left( A \right) + P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right).P\left( {\overline A } \right) = 0,95.0,05 + 0,1.0,95 = 0,1425.\)

d) Xác suất chọn một email trong số những email bị lọc thực sự là email rác là

Công thức Bayes: \(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( {B\mid A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,95.0,05}}{{0,1425}} = \frac{1}{3}.\)

Trả lời: 4

Tập hợp các kết quả làm cho biến cố B xảy ra là: \(B = \left\{ {\left( {4;1} \right);\left( {4;2} \right);\left( {4;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {4;5} \right);\left( {4;6} \right)} \right\}\)

Trong 6 kết quả đồng khả năng xảy ra này thì có 4 kết quả \(\left( {4;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {4;5} \right);\left( {4;6} \right)\) là thuận lợi cho biến cố \(A\).

Trả lời: 0,5

Nếu biến cố A xảy ra thì bạn An lấy viên bi đen từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai. Khi đó hộp thứ hai có 5 viên bi đen và 5 viên bi trắng.

Do đó, xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{1}{2} = 0,5\).

Trả lời: 0,24

Gọi A: “Lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất”,

và B: “Lấy được một viên bi trắng ở lần thứ hai”.

Ta cần tính xác suất \[P\left( {A \cap B} \right)\]

Theo công thức nhân xác suất \[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)\]

Vì có 30 viên bi xanh trong tổng số 50 viên bi nên\[P\left( A \right) = \frac{{30}}{{50}} = \frac{3}{5}\]

Nếu A đã xảy ra, tức là một viên bi xanh đã được lấy ra ở lần thứ nhất, thì còn lại trong bình 49 viên bi trong đó số viên bi trắng là 20, do đó\[P\left( {B|A} \right) = \frac{{20}}{{49}}\]

Vậy xác suất cần tìm là\[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = \frac{3}{5}.\frac{{20}}{{49}} = \frac{{12}}{{49}} \approx 0,24\].

Trả lời: 0,29

Gọi A: “rút ra được câu hỏi lý thuyết”

và B: “rút ra được câu khó”

Ta có: \[P\left( A \right) = \frac{{13}}{{40}}\]; \[P\left( B \right) = \frac{{17}}{{40}}\]; \[P\left( {A \cap B} \right) = \frac{5}{{40}}\]

Vậy \[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{5}{{40}}}}{{\frac{{17}}{{40}}}} = \frac{5}{{17}} \approx 0,29\].

Trả lời: 0,27

Gọi A: “ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm”

và B: “tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10”

Ta có:\[P\left( A \right) = 1 - P\left( {\bar A} \right) = 1 - {\left( {\frac{5}{6}} \right)^2} = \frac{{11}}{{36}}\]

Biến cố \[B\] có các trường hợp \[\left\{ {\left( {4;6} \right),\left( {6;4} \right),\left( {5;5} \right),\left( {5;6} \right),\left( {6;5} \right),\left( {6;6} \right)} \right\}\]

Biến cố \[A \cap B\] có 3 trường hợp xảy ra: \[\left\{ {\left( {5;5} \right),\left( {5;6} \right),\left( {6;5} \right)} \right\}\] có xác suất là: \[P\left( {A \cap B} \right) = \frac{3}{{36}}\]

Vậy \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{3}{{36}}}}{{\frac{{11}}{{36}}}} = \frac{3}{{11}} \approx 0,27\].

Trả lời: 0,26

Gọi \[A\]: “người nghiện thuốc lá”, suy ra \[\bar A\] là biến cố “người không nghiện thuốc lá”

Và\[B\]: “người bị bệnh phổi”

Để người mà ta gặp bị bệnh phổi thì người đó nghiện thuốc lá hoặc không nghiện thuốc lá

Ta cần tính \[P\left( B \right)\]

Với \[P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right)\]

Ta có \[P\left( A \right) = 0,2\], \[P\left( {B|A} \right) = 0,7\], \[P\left( {\bar A} \right) = 0,8\], \[P\left( {B|\bar A} \right) = 0,15\].

Vậy \[P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right) = 0,2.0,7 + 0,8.0,15 = 0,26\].

Trả lời: 0,56

Gọi \[A\]: “viên bi được lấy ra có đánh số”

Và\[B\]:“viên bi được lấy ra có màu đỏ”, suy ra \[\bar B\] là biến cố “viên bi được lấy ra có màu vàng”,

Lúc này ta đi tính \[P\left( A \right)\] theo công thức: \[P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {A|\bar B} \right)\]

Ta có:\[P\left( B \right) = \frac{{50}}{{80}} = \frac{5}{8}\], \[P\left( {\bar B} \right) = \frac{{30}}{{80}} = \frac{3}{8}\], \[P\left( {A|B} \right) = 60\% = \frac{3}{5}\], \[P\left( {A|\bar B} \right) = 50\% = \frac{1}{2}\].

Vậy \[P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {A|\bar B} \right) = \frac{5}{8}.\frac{3}{5} + \frac{3}{8}.\frac{1}{2} = \frac{9}{{16}} \approx 0,56\].

Gọi biến cố A: “Chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress”;

Biến cố B: “Chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày”.

Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,3;P\left( B \right) = 0,4;P\left( {B|A} \right) = 0,8\).

a) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là

\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = 0,3.0,8 = 0,24\).

b) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày là

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,24}}{{0,4}} = 0,6\).

Gọi biến cố A: “Học sinh được chọn là nữ”;

Biến cố B: “Học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật X”.

Từ giả thiết ta có \(P\left( A \right) = 0,53 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,53 = 0,47;P\left( {B|A} \right) = 0,21;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,17\).

Xác suất học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật X là:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,53.0,21 + 0,47.0,17 = 0,1912\).

Gọi biến cố A: “Học sinh được chọn giỏi tiếng Anh”;

Biến cố B: “Học sinh đó tự học tiếng Anh bằng hình thức học trực tuyến”.

Theo đề ta có \(P\left( B \right) = 0,7 \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = 0,3\); \(P\left( {A|B} \right) = 0,8;P\left( {A|\overline B } \right) = 0,3\).

Xác suất học sinh được chọn giỏi tiếng Anh là

\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,7.0,8 + 0,3.0,3 = 0,65\).

Gọi biến cố A: “Vận động viên được chọn đạt huy chương vàng”;

Biến cố B: “Vận động viên được chọn thuộc đội I”.

Theo đề ta có \(P\left( B \right) = \frac{5}{{12}} \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = \frac{7}{{12}}\); \(P\left( {A|B} \right) = 0;65;P\left( {A|\overline B } \right) = 0,55\).

Xác suất vận động viên được chọn đạt huy chương vàng là

\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\)\( = \frac{5}{{12}}.0,65 + \frac{7}{{12}}.0,55 = \frac{{71}}{{120}}\).

Xác suất để vận động này thuộc đội I, biết vận động viên này đạt huy chương vàng là

\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{5}{{12}}.0,65}}{{\frac{{71}}{{120}}}} = \frac{{65}}{{142}}\).