Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Chương IV. Nguyên hàm. Tích phân

Đáp án đúng là : C

Ta có: \(f(x) = {x^2} + 4 \Rightarrow \int f (x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + C\).

Đáp án đúng là : A

\(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).

Đáp án đúng là: B

Vì \({\left[ {\frac{1}{4}{{\left( {x - 1} \right)}^4} + C} \right]^\prime } = {\left( {x - 1} \right)^3}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\int {f(x)dx} = \int {\left( {3{x^2} + 2x + 5} \right)dx} = \int {3{x^2}dx} + \int {2xdx} + \int {5dx} = {x^3} + {x^2} + 5x + C\).

Đáp án đúng là: A

\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} \,\)\( = {x^7} - 2x + C\).

Đáp án đúng là: C

\(\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx = {x^3} + x + C.} \)

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {\left( {{x^2} - 2} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} - 2x + C\) với \(C\) là hằng số.

Đáp án đúng là: C

\(\int {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + x - 2024} \right)dx = } \frac{1}{3}.\frac{{{x^4}}}{4} - 2.\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2024x + C = \frac{1}{{12}}{x^4} - \frac{2}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} - 2024x + C.\)

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[f\left( x \right)\, = \,\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = \,{x^3} + \,6{x^2}\, + \,11x\, + \,6\]

\[ \Rightarrow \,\,F\left( x \right)\, = \,\int {\left( {{x^3} + \,6{x^2}\, + \,11x\, + \,6} \right)} dx\, = \,\,\frac{{{x^4}}}{4}\, + 2{x^3}\, + \,\frac{{11}}{2}{x^2} + \,6x\, + \,C\].

Đáp án đúng là: C

\[f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}\]\[ \Rightarrow \int {f(x)dx = } \int {{{(5x + {\rm{ }}3)}^5}dx = } \frac{1}{5}.\frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{6} + C = \frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{{30}} + C\].

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\int {\left( {2x - 1} \right){\rm{d}}x = {x^2} - x + {C_1}} \]; \[\int {\left( {3{x^2} - 2} \right){\rm{d}}x} = {x^3} - 2x + {C_2}\].

Suy ra \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + {C_1}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ge 1\\{x^3} - 2x + {C_2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 1\end{array} \right.\]

Mà ta có \[F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2\]

Mặt khác hàm số \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] trên \[\mathbb{R}\] nên \[y = F\left( x \right)\] liên tục tại \[x = 1\]

Suy ra \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) \Rightarrow {C_1} = 1\].

Khi đó ta có: \[F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ge 1\\{x^3} - 2x + 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 1\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}F\left( { - 1} \right) = 3\\F\left( 2 \right) = 3\end{array} \right..\]

Vậy \[F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = 9\].

Đáp án đúng là : B

Ta có \[\int {{{({x^2} + 1)}^2}dx} = \int {\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right)dx} = \frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{2{x^3}}}{3} + x + C\,\].

Theo giả thiết \[F(1) = \frac{{28}}{{15}} \Rightarrow \frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1 + C = \frac{{28}}{{15}} \Rightarrow C = 0\,\].

Suy ra \[F(x) = \frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{2{x^3}}}{3} + x \Rightarrow T = 5F(6) - 30F(4) + 18 = 1000.\,\]

Đáp án đúng là : A

Ta có \[\int {{{(2x - 3)}^2}dx} = \int {\left( {4{x^2} - 12x + 9} \right)dx} = \frac{{4{x^3}}}{3} - 6{x^2} + 9x + C\,\].

Theo giả thiết \[F(0) = \frac{1}{3} \Rightarrow C = \frac{1}{3}\,\].

Suy ra \[F(x) = \frac{{4{x^3}}}{3} - 6{x^2} + 9x + \frac{1}{3} \Rightarrow T = {\log _2}\left[ {3F(1) - 2F(2)} \right] = 2.\,\]

Đáp án đúng là: C

Ta có : \(h'\left( t \right) = 10t + 500\)

\( \Rightarrow h\left( t \right) = \int {\left( {10t + 500} \right)} dx = 5{t^2} + 500t + C\)

\( \Rightarrow h\left( t \right) = 5{t^2} + 500t + C\).

Chọn \(t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\).

\( \Rightarrow h\left( t \right) = 5{t^2} + 500t\)

Thủy điện đã xả lũ trong 40 phút = 2400 giây thì thoát đi một lượng nước là:

\(h\left( {2400} \right) = {5.2400^2} + 500.2400 = {3.10^7}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Ta có :\(h'\left( t \right) = 3a{t^2} + bt\)

\[ \Rightarrow h\left( t \right) = \int {\left( {3a{t^2} + bt} \right)} dt = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C\]\[ \Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C\].

Chọn \(t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\)

\[ \Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2}\].

Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là : \[h\left( 5 \right) = 150 \Leftrightarrow 125a + \frac{{25}}{2}b = 150\].

Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là :\[h\left( {10} \right) = 1100 \Leftrightarrow 1000a + 50b = 1100\].

Ta có hệ : $\left\{\begin{array}{l}125a+\frac{25}{2}b=150\\ 1000a+50b=1100\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\end{array}\right.$

\[ \Rightarrow h\left( t \right) = {t^3} + {t^2}\]

Thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là \[h\left( {20} \right) = {20^3} + {20^2} = 8400\;{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\].

Đáp án đúng là : C

Vì hàm số \(f\left( x \right)\)là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right) \Rightarrow \)\(g\left( x \right) = f'\left( x \right) = {x^2} + {e^x}\).

Đáp án đúng là : A

Ta có \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{x^2} - 3x + \frac{1}{x}} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| + C\).

Đáp án đúng là : B

Ta có \(\int {\frac{4}{{{{\cos }^2}x}}dx} = 4\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = 4\tan x + C} \).

Đáp án đúng là : B

Ta có: \(F\left( x \right) = 4.\frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + C = 2{x^2} - \cos x + C\).

Đáp án đúng là : C

Ta có:\(\int {f\left( x \right)} dx = \int {{x^{\frac{3}{2}}}} dx = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + C\).

Đáp án đúng là : B

Ta có:\(f\left( x \right) = {\cos ^2}\frac{x}{2} \Rightarrow F\left( x \right) = \int {{{\cos }^2}\frac{x}{2}dx} = \int {\frac{{1 + \cos x}}{2}dx} = \frac{1}{2}\int {\left( {1 + \cos x} \right)dx} = \frac{1}{2}\left( {x + \sin x} \right) + C\).

Đáp án đúng là : C

Do theo bảng nguyên hàm: \(\int {{2^x}{\rm{d}}x = \frac{{{2^x}}}{{\ln \,2}} + C} \).

Đáp án đúng là : C

Ta có: \(\int {\left( {{x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C,C \in \mathbb{R}\).

Đáp án đúng là : B

Ta có: \[\int {\left( {{e^x} - 2x} \right)dx = {e^x} - {x^2} + C} \].

Đáp án đúng là: B

\(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{3^x} + \frac{2}{x}} \right)dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + 2\ln \left| x \right| + C.\)

Chọn \(C = 0\) thì ta được một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = {3^x} + \frac{2}{x}\) là \(\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + 2\ln \left| x \right|\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\int {\left( {\sin 2x + \cos x} \right){\rm{d}}x} = - \frac{1}{2}\cos 2x + \sin x + C'\)\( = - \frac{1}{2}\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + \sin x + C'\)

\( = {\sin ^2}x + \sin x + C\). \(\left( {C = C' - \frac{1}{2}} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Xét nguyên hàm\[\int {\sin 2x} {\rm{d}}x = - \frac{1}{2}\cos 2x + C = F\left( x \right)\].

Ta có \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1 = \frac{{ - 1}}{2}\cos \frac{\pi }{2} + C \Rightarrow C = 1 \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\cos \frac{\pi }{3} + 1 = \frac{3}{4}\].

Đáp án đúng là: B

Xét \(I = \int {\sin (2x + 1)dx} = \int {\frac{1}{2}\sin (2x + 1)d(2x + 1)} = - \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right) + C\).

Do đó đáp án B sai.

Đáp án đúng là: C

Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức

\(v\left( t \right) = \int {a(t)dt} = \int {\frac{3}{{t + 1}}dt} = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C\,\).

Vì vận tốc ban đầu (lúc \(t = 0\)) của vật là \({v_0} = 6{\rm{m/s}}\,\) nên

\(v\left( 0 \right) = 3\ln \left| {0 + 1} \right| + C = 6 \Leftrightarrow C = 6 \Rightarrow v\left( t \right) = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6\,\).

Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là \(v\left( {10} \right) = 3\ln \left| {10 + 1} \right| + 6 \approx 13,2{\rm{m/s}}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có : \(N'\left( t \right) = \frac{{1000}}{t}\).

\( \Rightarrow N\left( t \right) = \int {\frac{{1000}}{t}dt = 1000\ln \left| t \right|} + C\)\( \Rightarrow N\left( t \right) = 1000\ln \left| t \right| + C\).

Chọn \(t = 1 \Rightarrow N\left( 1 \right) = 250000 \Rightarrow C = 250000\).

\( \Rightarrow N\left( t \right) = 1000\ln \left| t \right| + 250000\).

Số lượng vi rút sau 10 ngày là: \(N\left( {10} \right) = 1000\ln 10 + 250000 \approx 252302\).

Đáp án đúng là: A

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^6{\sin }^{5}x\text{d}x={\left.F\left(x\right)\right|}_1^2=F\left(2\right)-F\left(1\right)$

Đáp án đúng là: C

Do tích phân không phụ thuộc vào cách viết biến nên\(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( t \right){\rm{d}}} t.\)

Đáp án đúng là: D

\[\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \ne \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\int\limits_a^b {g\left( x \right){\rm{d}}x} \].

Đáp án đúng là: D

$\underset{a/2}{\overset{b/2}{\int }}f\left(2x\right)dx$ $=\frac{1}{2}\underset{a/2}{\overset{b/2}{\int }}f\left(2x\right)d\left(2x\right)$ $=\frac{1}{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt$ $=\frac{1}{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{\alpha }{2}$

Đáp án đúng là: A

\[I = \int\limits_0^1 {(3{x^2} + 2x - 1)} {\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {3{x^2}} {\rm{d}}x + \int\limits_0^1 {2x} {\rm{d}}x - \int\limits_0^1 {{\rm{d}}x} = \left. {\left( {{x^3} + {x^2} - x} \right)} \right|_0^1 = 1\].

Đáp án đúng là: C

\[I = \int\limits_1^e {\frac{1}{{x + 3}}{\rm{d}}x} = \left. {\left[ {\ln \left( {x + 3} \right)} \right]} \right|_1^e = \ln \left( {e + 3} \right) - \ln 4 = \ln \frac{{\left( {e + 3} \right)}}{4}\].

Đáp án đúng là: B

 Ta có \(\int\limits_1^4 {f'(x)dx = 2} \Leftrightarrow f(x)|_1^4 = 2 \Leftrightarrow f(4) - f(1) = 2\) mà \(f(1) = 1 \Rightarrow f(4) = 3\).

Đáp án đúng là: B

\(A = \int\limits_2^5 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_2^5 {f(x)} dx + \int\limits_2^5 {g(x)} dx = 3 + 9 = 12\).

Đáp án đúng là: D

\[\begin{array}{l}I = \int\limits_0^4 {\left| {x - 2} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left| {x - 2} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_2^4 {\left| {x - 2} \right|{\rm{d}}x} = - \int\limits_0^2 {\left( {x - 2} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_2^4 {\left( {x - 2} \right){\rm{d}}x} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left. {\left( { - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_2^4 = 4.\end{array}\]

Đáp án đúng là: B

\[\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {{{\sin }^2}x{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{1 - {\rm{cos}}2x}}{2}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\left( {1 - {\rm{cos}}2x} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\left. {\left( {x - \frac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{6}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{6} - \frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{\pi }{{12}} - \frac{{\sqrt 3 }}{8}.\end{array}\]

Đáp án đúng là: A

\[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} + 2\ln x}}{x}{\rm{d}}x} \]\[ = \int\limits_1^2 {x{\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {\frac{{2\ln x}}{x}{\rm{d}}x} \]\[ = \int\limits_1^2 {x{\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {2\ln x{\rm{d}}\left( {{\rm{ln}}x} \right)} \]\[ = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + {{\ln }^2}x} \right)} \right|_1^2\]

\[ = \frac{4}{2} + {\ln ^2}2 - \frac{1}{2}\]\[ = \frac{3}{2} + {\ln ^2}2 = \frac{{3 + 2{{\ln }^2}2}}{2}\,\,\].

Đáp án đúng là: D

\[\int\limits_0^2 {\frac{1}{{3x + 1}}{\rm{d}}x} = \left. {\frac{1}{3}\ln \left| {3x + 1} \right|} \right|_0^2 = \frac{1}{3}\ln 7\].

Vậy :\(a = 3,b = 7\). Nên \({a^2} + b = 16\).

Đáp án đúng là: A

Thời điểm máy bay đạt vận tốc \(200\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) là \(v\left( t \right) = 200 \Leftrightarrow {t^2} + 10t = 200 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\\t = - 20\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 10\)

Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là

\[s = \int\limits_0^{10} {\left( {{t^2} + 10t} \right)\,{\rm{d}}t} = \left( {\frac{{{t^3}}}{3} + 5{t^2}} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle10\atop\scriptstyle}} \right. = \frac{{2500}}{3}\,\left( {\rm{m}} \right)\].

Đáp án đúng là: A

Giai đoạn 1: Xe bắt đầu chuyển động đến khi gặp chướng ngại vật.

Quãng đường xe đi được là:

\({S_1} = \int\limits_0^{12} {{v_1}\left( t \right){\rm{d}}t} \) \( = \int\limits_0^{12} {2t{\rm{d}}t} \) \( = \left. {{t^2}} \right|_0^{12}\) \( = 144\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Giai đoạn 2: Xe gặp chướng ngại vật đến khi dừng hẳn.

Ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \({v_2}\left( t \right) = \int {a{\rm{d}}t} = - 12t + c\).

Vận tốc của xe khi gặp chướng ngại vật là: \({v_2}\left( 0 \right) = {v_1}\left( {12} \right) = 2.12 = 24\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).

\( \Rightarrow - 12.0 + c = 24\)\( \Rightarrow c = 24\)\( \Rightarrow {v_2}\left( t \right) = - 12t + 24\).

Thời gian khi xe gặp chướng ngại vật đến khi xe dừng hẳn là nghiệm phương trình:

\( - 12t + 24 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 2\).

Khi đó, quãng đường xe đi được là:

\({S_2} = \int\limits_0^2 {{v_2}\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_0^2 {\left( { - 12t + 24} \right){\rm{d}}t} \) \( = \left. {\left( { - 6{t^2} + 24t} \right)} \right|_0^2 = 24\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Vậy tổng quãng đường xe đi được là: \(S = {S_1} + {S_2} = 168\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Ta có 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ \( \Rightarrow S = \int\limits_0^{1,5} {v(t){\rm{d}}t} \).

Đồ thị \[v = v(t)\] đi qua gốc tọa độ nên \[v(t)\] có dạng \[v(t) = a{t^2} + bt\].

Đồ thị \[v = v(t)\] có đỉnh là I(1;5) nên $\left\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=1\\ a+b=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=-2a\\ a+b=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-5\\ b=10\end{array}\right.\Rightarrow v\left(t\right)=-5t^2+10t$

\(S = \int\limits_0^{1,5} {\left( { - 5{t^2} + 10t} \right){\rm{d}}t} = \frac{{45}}{8} \approx 5,63\).

Đáp án đúng là: B

\[{S_D} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|d} x = \int\limits_a^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|d} x + \int\limits_0^b {\left| {f\left( x \right)} \right|d} x = - \int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx} \].

Đáp án đúng là: B

Diện tích hình phẳng cần tìm là: \(S = \int\limits_{ - 1}^3 {\left| {{x^4}} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^3 {{x^4}} dx = \left. {\frac{{{x^5}}}{5}} \right|_{ - 1}^3 = \frac{{{3^5}}}{5} - \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^5}}}{5} = \frac{{244}}{5}\).

Đáp án đúng là: B

Từ đồ thị suy ra \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\).

\(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx = \int {\left( {3{x^2} - 3} \right)dx = {x^3} - 3x + C} } \).

Do \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(y = 4\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) âm nên \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = - 1\).

Suy ra \(f\left( { - 1} \right) = 4 \Leftrightarrow C = 2\)\( \Rightarrow \left( C \right):y = {x^3} - 3x + 2\)

Xét phương trình \({x^3} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng cần tìm là: \(\int_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} - 3x + 2} \right|dx} = \frac{{27}}{4}\).

Đáp án đúng là: A

Diện tích cần tìm \(S = \int_{ - 2}^4 {\left| {{x^3} - 4x} \right|} dx\)

Ta có: \[{x^3} - 4x = x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = \pm 2}\end{array}} \right.\]

Vậy \(S = \int_{ - 2}^0 {\left| {{x^3} - 4x} \right|dx} + \int_0^2 {\left| {{x^3} - 4x} \right|} dx + \int_2^4 {\left| {{x^3} - 4x} \right|} dx\)

\( = \left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 4\frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - 2}\end{array}} \right. + \left( { - \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{4{x^2}}}{2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\0\end{array}} \right. + \left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 4\frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4\\2\end{array}} \right. = 44\).

Đáp án đúng là: A

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_a^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_0^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_a^0 {f(x)} dx - \int\limits_0^b {f(x)dx} \).

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị ta có \(I = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)} dx = {S_1} - {S_2} = \frac{{11}}{6} - \frac{9}{2} = - \frac{8}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \({S_1} = \int\limits_0^k {{e^x}dx} = \left. {{e^k}} \right|_0^k = {e^k} - 1\) và \({S_2} = \int\limits_k^{\ln 4} {{e^x}dx = \left. {{e^x}} \right|} _k^{\ln 4} = 4 - {e^k}\)

Ta có \({S_1} = 2{S_2} \Leftrightarrow {e^k} - 1 = 2\left( {4 - {e^k}} \right) \Leftrightarrow k = \ln 3\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \({S_a} = \int\limits_a^{\ln 2} {\left( {{e^{2x}} - 2{e^x}} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{e^{2x}}}}{2} - 2{e^x}} \right)} \right|_a^{\ln 2} = \left( {2 - 4 - \left( {\frac{{{e^{2a}}}}{2} - 2{e^a}} \right)} \right) = - \frac{1}{2}{e^{2a}} + 2{e^a} - 2\).

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } {S_a} = - 2\).

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị, ta xây dựng được công thức của hàm số là \(y = 4 - {x^2}\).

Diện tích là: \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)} dx = \frac{{32}}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Diện tích hình phẳng cần tìm: \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - 6x + 5} \right|dx} = \frac{7}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Thể tích cần tính là \(V = \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx = \pi .\left. {\frac{{{x^5}}}{5}} \right|} _0^2 = \frac{{32\pi }}{5}\).

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm các đồ thị là \(4 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{x = 2}\end{array}} \right.\).

Suy ra thể tích cần tính bằng $V=\pi \underset{-2}{\overset{2}{\int }}{\left(4-x^2\right)}^{2}dx=\frac{512\pi }{15}\left(\text{đvtt}\right)$.

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{ - x}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Ta có:

\(V = \pi {\int\limits_0^1 {\left( {\frac{{ - x}}{{x + 1}}} \right)} ^2}dx = \pi {\int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)} ^2}dx = \pi \int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \right)} dx = \left. {\pi \left( {x - 2\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{{x + 1}}} \right)} \right|_0^1\)

\( = \left( {\frac{3}{2} - 2\ln 2} \right)\pi \)do đó \(a.b = - 3.\)

Đáp án đúng là: B

Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD có AB = 3 mét, BC = 6 mét, đỉnh của parabol là I.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB, A, B∈ Ox và I∈ Oy, phương trình của parabol có dạng \(y = a{x^2} + b,\;a \ne 0\).

Do I, A, B thuộc nên ta có \(y = - \frac{4}{3}{x^2} + 3\)

Vậy thể tích phần không gian phía trong trại là \(V = 6.2\int\limits_0^{\frac{3}{2}} {( - \frac{4}{3}} {x^2} + 3)dx = 36\).

a) S, b) S, c) S, d) S

a) \(f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 2x + 1\).

b) Ta có \(f\left( 1 \right) = 3;f\left( 2 \right) = 5;f\left( 3 \right) = 7;...;f\left( {49} \right) = 99;f\left( {50} \right) = 101\).

Do đó

\(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {49} \right) + f\left( {50} \right) = 3 + 5 + 7 + ... + 99 + 101 = \frac{{\left( {3 + 101} \right).\left[ {\left( {101 - 3} \right):2 + 1} \right]}}{2} = 2600\).

c) Vì \(G\left( x \right) = F\left( x \right) + C\) mà \(G\left( 1 \right) = F\left( 1 \right) + C\)\( \Leftrightarrow 3 = - 4 + C\)\( \Leftrightarrow C = 7\).

Suy ra \(G\left( 4 \right) = F\left( 4 \right) + C = 14 + 7 = 21\).

d) Có \(f\left( {x - 1} \right) = 2\left( {x - 1} \right) + 1 = 2x - 1\).

Do đó \(H\left( {x - 1} \right) = \int {\left( {2x - 1} \right)dx} = {x^2} - x + C\).

Vì \(H\left( 0 \right) = 3\) nên \({1^2} - 1 + C = 3 \Rightarrow C = 3\). Do đó \(H\left( {x - 1} \right) = {x^2} - x + 3\).

Suy ra \(H\left( 2 \right) = {3^2} - 3 + 3 = 9,H\left( 4 \right) = {5^2} - 5 + 3 = 23\). Do đó \(H\left( 2 \right) - H\left( 4 \right) = - 14.\)

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2{\sin ^2}x + \sin x - 1 = 3{x^2} + 1 - \cos 2x + \sin x - 1\)\( = 3{x^2} + \sin x - \cos 2x\).

b) \(F\left( x \right) = \int {\left( {3{x^2} + \sin x - \cos 2x} \right)dx} = {x^3} - \cos x - \frac{{\sin 2x}}{2} + C\).

Suy ra \(a = 1;b = - 1;c = - \frac{1}{2}\). Do đó \(a + b + c = - \frac{1}{2}\).

c) Vì \(F\left( 0 \right) = 2\) nên \(F\left( 0 \right) = {0^3} - \cos 0 - \frac{{\sin 0}}{2} + C = 2 \Rightarrow C = 3\).

Do đó \(F\left( x \right) = {x^3} - \cos x - \frac{{\sin 2x}}{2} + 3\). Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^3} - \cos \frac{\pi }{2} - \frac{{\sin \pi }}{2} + 3 = \frac{{{\pi ^3}}}{8} + 3\).

d) \(g\left( x \right) = F\left( x \right) - {x^3} - \sin x\cos x\)\( = {x^3} - \cos x - \frac{{\sin 2x}}{2} + C - {x^3} - \sin x\cos x\)

\( = - \cos x - 2\sin x\cos x + C\).

Ta có \(g\left( { - x} \right) \ne g\left( x \right)\) nên hàm số \(g\left( x \right) = F\left( x \right) - {x^3} - \sin x\cos x\) không là hàm số chẵn.

a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2}} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {{x^2}dx} \)\( = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^1 = \frac{1}{3}\).

b) \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{4}{3}\).

c) Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d:y = 3x - 2\) là nghiệm của phương trình

\({x^2} = 3x - 2\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).

\(S = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx} \)\(S = \int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 3x - 2} \right)dx} = \frac{1}{6}\).

d) Gọi \(A\left( {a;{a^2}} \right),B\left( {b;{b^2}} \right)\) với \(a < b\).

Ta có \(AB = 2 \Leftrightarrow {\left( {b - a} \right)^2} + {\left( {{b^2} - {a^2}} \right)^2} = 4\).

Phương trình đường thẳng \(AB\) có dạng: \(\frac{{x - a}}{{b - a}} = \frac{{y - {a^2}}}{{{b^2} - {a^2}}} \Rightarrow y = \left( {a + b} \right)x - ab\).

Khi đó \(S = \int\limits_a^b {\left[ {\left( {a + b} \right)x - ab - {x^2}} \right]dx = } \left. {\left( {\frac{{a + b}}{2}{x^2} - abx - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_a^b\)

\( = \frac{{a + b}}{2}.\left( {{b^2} - {a^2}} \right) - ab\left( {b - a} \right) - \frac{{{b^3} - {a^3}}}{3}\)\( = \frac{{a + b}}{2}.\left[ {\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2} - ab - \frac{{{a^2} + ab + {b^2}}}{3}} \right] = \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^3}}}{6}\).

Mặt khác \({\left( {b - a} \right)^2} + \left( {{b^2} - {a^2}} \right) = 4 \Leftrightarrow {\left( {b - a} \right)^2}\left[ {1 + {{\left( {b + a} \right)}^2}} \right] = 4\)

\( \Rightarrow 4 \ge {\left( {b - a} \right)^2}\) (vì \(1 + {\left( {b + a} \right)^2} \ge 1\)) \( \Rightarrow b - a \le 2\).

Do đó \(S \le \frac{{{2^3}}}{6} \Rightarrow S \le \frac{4}{3}\).

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Do \(s'(t) = v(t)\) nên quãng đường \(s(t)\) mà xe ô tô đi được trong thời gian \(t\) (giây) là một nguyên hàm của hàm số \(v(t)\).

b) Ta có: \(s\left( t \right) = \int {( - 10t + 20)} dt = - 5{t^2} + 20t + C\) với \(C\) là hằng số.

Do \(s(0) = 0\) nên \(C = 0\). Suy ra \(s(t) = - 5{t^2} + 20t\).

c) Xe ô tô dừng hẳn khi \(v(t) = 0\) hay \( - 10t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 2\).

Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.

d) Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ \(65\;{\rm{km/h}} \approx 18\;{\rm{m/s}}\).

Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: \(s(2) = - 5 \cdot {2^2} + 20 \cdot 2 = 20\,{\rm{(\;m)}}\).

Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: \(18 + 20 \approx 38\,{\rm{(\;m)}}\).

Do \(38 < 50\) nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

Ta có: \({V_1} = \pi \int\limits_0^4 {{{(\sqrt x )}^2}} \;{\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^4 x \;{\rm{d}}x = 8\pi \); \({V_2} = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\frac{1}{2}\sqrt x } \right)}^2}} \;{\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^4 {\frac{1}{4}x} \;{\rm{d}}x = 2\pi \).

Khi đó, \({V_1} - {V_2} = 6\pi \).

Vậy thể tích của vật thể \({\rm{A}}\) là \(6\pi \approx 18,8\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Ta có \(S\left( t \right)\) là một nguyên hàm của \(S'\left( t \right)\)

b) \[\int {S'\left( t \right){\rm{d}}t = } \int {1,2698{{\rm{e}}^{0,014t}}{\rm{d}}t} = 1,2698\int {{{\left( {{{\rm{e}}^{0,014}}} \right)}^t}} {\rm{d}}t = \frac{{1,2698{{\rm{e}}^{0,014t}}}}{{0,014}} = 90,7{{\rm{e}}^{0,014t}} + C.\]

Vì \(S\left( 0 \right) = 90,7\) nên \(C = 0\). Suy ra \(S\left( t \right) = 90,7{{\rm{e}}^{0,014t}}\).

c) Tốc độ tăng dân số ở nước ta năm 2034 là:

\(S'\left( {20} \right) = 1,2698{{\rm{e}}^{0,014.20}} \approx 1,7\) (triệu người/năm).

d) Dân số nước ta năm 2034 là: \(S\left( {20} \right) = 90,7{{\rm{e}}^{0,014.20}} \approx 120\) (triệu người).

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Ta có: \(f(x) = {\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)^2} = 1 + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} = 1 + \sin x.\)

b) Nhận thấy \(f(x)\)liên tục trên\(\mathbb{R}.\)

c) Ta có: \(\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {{\rm{d}}x} + \int {\sin x{\rm{d}}x} \).

d) \(\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {{\rm{d}}x} + \int {\sin x{\rm{d}}x} = x - \cos x + C\).

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\frac{\pi }{4}\) nên \(OB:y = x.\tan \frac{\pi }{4} = x\).

Khi đó thể tích của khối \(\beta \) theo \(V = \pi \int\limits_0^a {{x^2}dx} = \left. {\frac{{\pi {x^3}}}{3}} \right|_0^a = \frac{{\pi {a^3}}}{3}\).

b) Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\frac{\pi }{6}\) nên \(OB:y = x.\tan \frac{\pi }{6} = \frac{x}{{\sqrt 3 }}\).

Khi đó, thể tích của khối \(\beta \) theo \(V = \pi \int\limits_0^a {{{\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^a {\frac{{{x^2}}}{3}dx} = \left. {\frac{{\pi {x^3}}}{9}} \right|_0^a = \frac{{\pi {a^3}}}{9}\).

c) Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\alpha \) nên \(OB:y = x.\tan \alpha \).

Khi đó, thể tích của khối \(\beta \) theo \(V = \pi \int\limits_0^a {{{\left( {x.\tan \alpha } \right)}^2}dx} = \left. {\frac{{\pi {x^3}{{\tan }^2}\alpha }}{3}} \right|_0^a = \frac{{\pi .{a^3}{{\tan }^2}\alpha }}{3}\).

ta có \(\frac{{\pi .{a^3}{{\tan }^2}\alpha }}{3} = \frac{{4\pi {a^3}}}{3} \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha = 4 \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha + 1 = 5\)\( \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{ \pm 1}}{{\sqrt 5 }}\).

Mặt khác \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).

d) Do \(\tan \alpha = \cot \alpha \Rightarrow {\tan ^2}\alpha = \cot \alpha .\tan \alpha = 1 \Leftrightarrow \tan \alpha = \pm 1\).

Mặt khác \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\tan \alpha = 1\).

Theo câu c, ta có \(V = \frac{{\pi .{a^3}{{\tan }^2}\alpha }}{3}\) mà \(\tan \alpha = 1\) nên \(V = \frac{{\pi {a^3}}}{3}\).

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Khi \(A = \pi ,B = 1\) thì \(f\left( x \right) = \pi \sin \pi x + 1\).

Khi đó \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left( {\pi \sin \pi x + 1} \right)dx} \)\( = \left. {\left( { - \cos \pi x + x} \right)} \right|_0^2\)\( = 2\).

b) \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_0^2 {\left( {A\sin \pi x + B} \right)dx} \)\( = \left. {\left( { - \frac{A}{\pi }\cos \pi x + Bx} \right)} \right|_0^2\)\( = \left. {\left( { - \frac{A}{\pi }\cos \pi x + Bx} \right)} \right|_0^2 = 2B\).

c) Vì \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4\) nên \(2B = 4 \Leftrightarrow B = 2\).

d) Ta có \(f'\left( x \right) = A\pi \cos \pi x\).

Vì \(f'\left( 1 \right) = 2\) nên \(A\pi \cos \pi = 2 \Rightarrow A = - \frac{2}{\pi }\).

Theo câu c, ta có \(B = 2\).

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Công thức tính diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) là \({S_H} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right)dx} \).

b) \({S_H} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 3x} \right)} \right|_0^2 = \frac{{26}}{3}\).

c) Công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) xung quanh trục \(Ox\) là \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx} \).

d) \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx} = \frac{{202\pi }}{5}\).

Trả lời: 4

\(F\left( x \right) = \int {{e^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C;\;F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{2} \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{2}{e^{2x}} - \frac{1}{2}\).

Khi đó \(F\left( {\ln 3} \right) = \frac{1}{2}{e^{2\ln 3}} - \frac{1}{2} = 4\).

Trả lời: 7

Ta có $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{x+2}{x}dx=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(1+\frac{2}{x}\right)dx=\underset{1}{\overset{3}{\int }}dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{2}{x}dx=2+2{\left.\ln \left|x\right|\right|}_1^3=2+2\ln 3.$

Do đó \(a = 2,\,b = 2,\,c = 3 \Rightarrow S = 7.\)