Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 1. Nguyên hàm

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[f\left( x \right)\, = \,\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = \,{x^3} + \,6{x^2}\, + \,11x\, + \,6\].

\[ \Rightarrow \,\,F\left( x \right)\, = \,\int {\left( {{x^3} + \,6{x^2}\, + \,11x\, + \,6} \right)} dx\, = \,\,\frac{{{x^4}}}{4}\, + 2{x^3}\, + \,\frac{{11}}{2}{x^2} + \,6x\, + \,C\].

Đáp án đúng là: B

Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {3{x^2} + 2x + 4} \right)} dx = {x^3} + {x^2} + 4x + C\).

Theo giả thiết \(F\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow C = 1\). Suy ra \(F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + 4x + 1\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\left( 2 \right) = 21\\F\left( 3 \right) = 49\end{array} \right.\).

Vậy \(F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) = 70\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( {3{t^2} + t} \right)dt} = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + C\).

Vì vận tốc ban đầu của vật là 2 m/s nên \(v\left( 0 \right) = 2 \Leftrightarrow C = 2\).

Suy ra \(v\left( t \right) = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 2\).

Vậy \(v\left( 2 \right) = {2^3} + \frac{1}{2}{.2^2} + 2 = 12\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Gọi \(h\left( t \right)\) là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau t giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.

Khi đó \(h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {\left( {25 - 9,8t} \right)dt} = 25t - 4,9{t^2} + C\) (m).

Do \(h\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\)\( \Rightarrow h\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 25t\) (m).

Viên đạn đạt độ cao lớn nhất là \(h = - \frac{\Delta }{{4a}} = \frac{{3125}}{{98}}\) (m) khi \(t = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{125}}{{49}}\) giây.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(v\left( t \right) = - 40t + 20\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {\left( { - 40t + 20} \right)} dt = - 20{t^2} + 20t + C\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) = - 20{t^2} + 20t + C\)

Chọn \(t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0\) \( \Rightarrow C = 0\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) = - 20{t^2} + 20t\)

Khi xe dừng hẳn thì \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 40t + 20 = 0 \Rightarrow t = 0,5\).

Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được: \(s\left( {0,5} \right) = - 20.{\left( {0,5} \right)^2} + 20.\left( {0,5} \right) = 5{\rm{m}}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(v\left( t \right) = 3{t^2} + 5\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {3{t^2} + 5} \right)} dt = {t^3} + 5t + C\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) = {t^3} + 5t + C\)

Chọn \(t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0\) \( \Rightarrow C = 0\).

\( \Rightarrow s\left( t \right) = {t^3} + 5t\)

Sau 4 giây, quãng đường máy bay bay được là: \(s\left( 4 \right) = {4^3} + 5.4 = 84{\rm{m}}\).

Sau 10 giây, quãng đường máy bay bay được là: \(s\left( {10} \right) = {10^3} + 5.10 = 1050{\rm{m}}\).

Quãng đường máy bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là: \[s\left( {10} \right) - s\left( 4 \right) = 966{\rm{m}}\].

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) b) Ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

c) Có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {4{x^3} - 6x} \right)dx} = {x^4} - 3{x^2} + C\).

Mà \(F\left( 0 \right) = 2\) nên \(C = 2\).

Do đó \(F\left( x \right) = {x^4} - 3{x^2} + 2\).

d) Có \(F\left( 1 \right) = {1^4} - {3.1^2} + 2 = 0\).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Vì \({\left( { - 2\sin x + C} \right)^\prime } = - 2\cos x \ne 4{\cos ^2}\frac{x}{2}\) nên hàm số \(F\left( x \right) = - 2\sin x + C\) không phải là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) đã cho.

b) Có \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {4{{\cos }^2}\frac{x}{2}} dx = \int {2\left( {1 + \cos x} \right)} dx = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).

Suy ra \(a = 2;b = 2\). Do đó \(a + b = 4\).

c) Theo câu b, \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).

Vì \(F\left( 0 \right) = 1\) nên \(C = 1\). Vậy ta có \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + 1\).

d) Theo câu b, \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).

Vì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên \(2\left( {\frac{\pi }{2} + \sin \frac{\pi }{2}} \right) + C = 0 \Leftrightarrow C = - \pi - 2\).

Vậy \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) - \pi - 2\).

Trả lời: 0,5

Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx = \int {2\sin 2xdx} = - \cos 2x + C\).

Theo giả thiết \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2 \Leftrightarrow C = 1\). Suy ra \(F\left( x \right) = - \cos 2x + 1\).

Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\).