Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 3. Tích phân

Đáp án đúng là: A

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\int\limits_4^8 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_4^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^8 {f\left( x \right)dx} \)\( = - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^8 {f\left( x \right)dx} = - 3 - 2 = - 5\).

Mặt khác: \(\int\limits_1^4 {\left[ {4f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx = 4\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} } - 2\int\limits_1^4 {g\left( x \right)dx} = 4.3 - 2.7 = - 2\).

Ta có \(\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_1^4 {g\left( x \right)} dx = 3 + 7 = 10\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \[\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_1^2 = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = 1\].

Đáp án đúng là: B

Ta có \(I = \int\limits_0^2 {(2x + 1)dx} = \left. {\left( {{x^2} + x} \right)} \right|_0^2 = 4 + 2 = 6\).

Đáp án đúng là: A

Ta có $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{x+2}{x}dx=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(1+\frac{2}{x}\right)dx=\underset{1}{\overset{3}{\int }}dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{2}{x}dx=2+2{\left.\ln \left|x\right|\right|}_1^3=2+2\ln 3.$

Do đó \(a = 2,\,b = 2,\,c = 3 \Rightarrow S = 7.\)

Đáp án đúng là: B

\(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{{2^x}}}dx = \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}dx = \frac{1}{{\ln \frac{e}{2}}}\left[ {{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}} \right]_0^1 = \frac{1}{{\ln \frac{e}{2}}}\left( {\frac{e}{2} - 1} \right)} } \).

Suy ra \(a = 2;b = - 1\). Do đó \(a + b = 1\).

Đáp án đúng là: B

\(\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2\sin x + 3\cos x + x} \right)dx} = \left. {\left( { - 2\cos x + 3\sin x + \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{8 - 3\sqrt 3 }}{2} + \frac{{5{\pi ^2}}}{{72}}\).

\( \Rightarrow P = a + 2b + c = 74\).

Đáp án đúng là: C

\(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2{{\cot }^2}x + 5} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 1} \right) + 5} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {3 + \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx = \left. {\left( {3x - 2\cot x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4} + 2\sqrt 3 - 2} \).

Suy ra \(a = 4;b = 2;c = - 2\). Do đó \(a + b + c = 4\).

Đáp án đúng là: C

\(I = \int\limits_0^2 {\left| {x - 2} \right|dx} \).

+ Do : \(x \in \left[ {0;2} \right] \Rightarrow x - 2 < 0, \Leftrightarrow \left| {x - 2} \right| = 2 - x\)

+ Vậy : $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(2-x\right)dx=\left(2x-\frac{1}{2}{x}^2\right)\left|\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}=4-2=2\right.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^2 {f(x)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_{ - 1}^2 = F\left( 2 \right) - F\left( { - 1} \right)} \).

\[\int\limits_{ - 1}^2 {f(x)dx = } \int\limits_{ - 1}^2 {\frac{2}{x}} = \left. {2\ln \left| x \right|} \right|_{ - 1}^2 = 2\ln 2 - 2\ln 1 = 2\ln 2\].

\( \Rightarrow F\left( 2 \right) - F\left( { - 1} \right) = 2\ln 2\)

\( \Leftrightarrow F\left( 2 \right) = 2\ln 2\) (do \(F\left( { - 1} \right) = 0\)).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\int\limits_1^3 {\left[ {1 + f(x)} \right]} {\rm{d}}x = \left[ {x + F(x)} \right]\left| {\mathop {}\limits_1^3 } \right. = \left[ {x + {x^3})} \right]\left| {\mathop {}\limits_1^3 } \right. = 30 - 2 = 28\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \[f(x) = \int {f'(x)dx} = \int {(2{{\cos }^2}\frac{x}{2} + 3)dx} \]\( = \int {(2.\frac{{1 + \cos x}}{2} + 3)dx} \)\[ = \int {(\cos x + 4)dx} = \sin x + 4x + C\].

\[ \Rightarrow f(x) = \sin x + 4x + C\]

do\[f(0) = 4 \Rightarrow C = 4\].

Vậy \[f(x) = \sin x + 4x + 4\] nên \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(\sin x + 4x + 4} )dx\]

\[ = \left. {( - \cos x + 2{x^2} + 4x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{{\pi ^2} + 8\pi + 8 - 4\sqrt 2 }}{8}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Thời điểm chất điểm \(B\) đuổi kịp chất điểm \(A\) thì chất điểm \(B\) đi được \(15\)giây, chất điểm \(A\)đi được \(18\) giây.

Biểu thức vận tốc của chất điểm \(B\) có dạng \({v_B}\left( t \right) = \int {a{\rm{d}}t} = at + C\) mà \({v_B}\left( 0 \right) = 0\) nên \({v_B}\left( t \right) = at\).

Do từ lúc chất điểm \(A\) bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm \(B\) đuổi kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được bằng nhau. Do đó

\(\int_0^{18} {\left( {\frac{1}{{120}}{t^2} + \frac{{58}}{{45}}t} \right){\rm{d}}t} = \int_0^{15} {at{\rm{d}}t} \Leftrightarrow 225 = a.\frac{{225}}{2} \Leftrightarrow a = 2\).

Vậy, vận tốc của chất điểm \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) bằng \({v_B}\left( t \right) = 2.15 = 30\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \({v_A}\left( 0 \right) = 16\,{\rm{m/s}}\).

Khi xe \(A\) dừng hẳn: \({v_A}\left( t \right) = 0\)\( \Leftrightarrow t = 4\,{\rm{s}}\).

Quãng đường từ lúc xe \(A\) hãm phanh đến lúc dừng hẳn là \(s = \int\limits_0^4 {\left( {16 - 4t} \right){\rm{d}}t} \) \( = 32\,{\rm{m}}\).

Do các xe phải cách nhau tối thiểu \(1\,{\rm{m}}\)để đảm bảo an toàn nên khi dừng lại ô tô \(A\) phải hãm phanh khi cách ô tô \(B\) một khoảng ít nhất là \(33\,{\rm{m}}\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \(v\left( 0 \right) = 10\,{\rm{m/s}}\) và \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int {\left( {{t^2} + 3t} \right){\rm{d}}t} \)\[ = \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{{3{t^2}}}{2} + C\].

Vì \(v\left( 0 \right) = 10\,{\rm{m/s}}\) nên \[v\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{{3{t^2}}}{2} + 10\]

Quãng đường vật đi được là \(S = \int\limits_0^6 {v\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_0^6 {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + \frac{{3{t^2}}}{2} + 10} \right){\rm{d}}t} \)\[ = \left. {\left( {\frac{1}{{12}}{t^4} + \frac{1}{2}{t^3} + 10t} \right)} \right|_0^6\]\[ = 276\,{\rm{m}}\].

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) \(\int\limits_2^0 {f\left( x \right)dx = - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = - 3} } \).

b) Ta có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx = } \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} \)\( \Rightarrow \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx - } \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 5 - 3 = 2\).

c) \(\int\limits_0^2 {\left( {f\left( x \right) - 2x} \right)dx = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^2 {2xdx = } 3 - \left. {{x^2}} \right|_0^2} = 3 - 4 = - 1\).

d) \(\int\limits_0^2 {f\left( {\frac{x}{3}} \right)dx} \)\( = 3\int\limits_0^2 {f\left( {\frac{x}{3}} \right)d\left( {\frac{x}{3}} \right)} \)\( = 3\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} = 3.3 = 9\).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( { - 10t + 30} \right)dt = - 5{t^2} + 30t + C} \).

Do \(s\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\).

Vậy \(s\left( t \right) = - 5{t^2} + 30t\).

b) Xe ô tô dừng hẳn khi \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 10t + 30 = 0 \Leftrightarrow t = 3\).

c) Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh, quãng đường xe ô tô di chuyển được là

\(s\left( 3 \right) = - {5.3^2} + 30.3 = 45\) (m).

d) Đổi 72 km/h = 20 m/s.

Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển từ từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳng là \(20 + 45 = 65\) (m).