Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Tự luận
20 câu hỏi
Tìm nguyên hàm của các hàm số
a) \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + x - 2024\);
b) \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\);
c) \(f\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\).
a) Ta có \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + x - 2024} \right)dx} \)\( = \frac{{{x^4}}}{{12}} - \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2024x + C\).
b) \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = {x^3} + 6{x^2} + 11x + 6\).
Suy ra \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{x^3} + 6{x^2} + 11x + 6} \right)dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + 2{x^3} + \frac{{11}}{2}{x^2} + 6x + C\).
c) Ta có \(f\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} = {x^2} - 2x + 1\).
Suy ra \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x + C\).
Tìm nguyên hàm của các hàm số
a)\(f\left( x \right) = 2\sin x + 3x\);
b) \(f\left( x \right) = {\cos ^2}\frac{x}{2}\);
c) \(f\left( x \right) = \sin 3x\).
a) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx} = - 2\cos x + \frac{3}{2}{x^2} + C\).
b) \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {{{\cos }^2}\frac{x}{2}dx} = \int {\frac{{1 + \cos x}}{2}dx} = \frac{1}{2}\int {\left( {1 + \cos x} \right)dx} = \frac{1}{2}\left( {x + \sin x} \right) + C\].
c) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\sin 3xdx} = \frac{1}{3}\int {\sin 3xd\left( {3x} \right)} = - \frac{{\cos 3x}}{3} + C\).
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\), biết
a) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{x},\left( {x \ne 0} \right)\);
b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{\sqrt x }},\left( {x > 0} \right)\);
c) \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}},\left( {x > 0} \right)\).
a) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{x}dx} = \int {\left( {x + 3 + \frac{2}{x}} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 3x + 2\ln \left| x \right| + C\).
b) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{\sqrt x }}} dx = \int {\left( {x\sqrt x + 3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)dx} \)
\( = \int {\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 3{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)dx} = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + 2{x^{\frac{3}{2}}} + 2\sqrt x + C\).
c) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} \)\( = 2\sqrt x + \ln \left| x \right| + \frac{1}{x} + C\).
Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{{2x + 1}}dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C\).
Do \(F\left( 0 \right) = 2\) suy ra \(C = 2\) nên \(F\left( e \right) = \frac{1}{2}\ln \left( {2e + 1} \right) + 2 = \ln \sqrt {2e + 1} + 2\).
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
a) \(f\left( x \right) = {8^x}{.2^{1 - 2x}}\);
b) \(f\left( x \right) = {\left( {{3^x} - \frac{1}{{{3^x}}}} \right)^2}\);
c) \(f\left( x \right) = \left( {{e^{x + 1}} - \frac{e}{{{x^2}}}} \right)dx\).
Hướng dẫn giải
a) \(f\left( x \right) = {8^x}{.2^{1 - 2x}} = {2^{3x}}{.2^{1 - 2x}} = {2^{1 + x}} = {2.2^x}\).
Suy ra \(\int {f\left( x \right)dx} = 2\int {{2^x}dx} = 2.\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C = \frac{{{2^{x + 1}}}}{{\ln 2}} + C\).
b) \(f\left( x \right) = {\left( {{3^x} - \frac{1}{{{3^x}}}} \right)^2} = {9^x} - 2 + {9^{ - x}}\).
Suy ra \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{9^x} - 2 + {9^{ - x}}} \right)dx} = \frac{{{9^x}}}{{\ln 9}} - 2x - \frac{1}{{{9^x}\ln 9}} + C = \frac{{{9^x}}}{{2\ln 3}} - 2x - \frac{1}{{{{2.9}^x}\ln 3}} + C\).
c) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{e^{x + 1}} - \frac{e}{{{x^2}}}} \right)dx} = {e^{x + 1}} + \frac{e}{x} + C\).
Kí hiệu \(h\left( x \right)\) là chiều cao của một cây (tính theo m) sau khi trồng \(x\) năm. Biết rằng sau một năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo cây phát triển với tốc độ \(h'\left( x \right) = \frac{1}{x}\) (m/năm).
a) Xác định chiều cao của cây sau \(x\) năm \(\left( {1 \le x \le 11} \right)\).
b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m.
a) Ta có \(h\left( x \right) = \int {h'\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{x}dx} = \ln x + C\).
Vì \(h\left( 1 \right) = 2\) nên \(\ln 1 + C = 2 \Rightarrow C = 2\).
Do đó chiều cao của cây sau \(x\) năm \(\left( {1 \le x \le 11} \right)\) là \(h\left( x \right) = \ln x + 2\).
b) Ta có \(h\left( x \right) = 3 \Leftrightarrow \ln x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = e \approx 2,72\) năm.
Vậy sau khoảng 2,72 năm thì cây cao 3 m.
Tính các tích phân sau
a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{x}dx} \);
b) \(\int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)dx} \);
c) \(\int\limits_0^{2024} {{3^x}dx} \).
a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {x - 2 + \frac{1}{x}} \right)dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 2x + \ln x} \right)} \right|} _1^2 = - \frac{1}{2} + \ln 2\).
b) \(\int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)dx} \)\( = \int\limits_1^4 {\left( {x - 4} \right)dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 4x} \right)} \right|} _1^4 = - \frac{9}{2}\).
c) \[\int\limits_0^{2024} {{3^x}dx} = \left. {\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right|_0^{2024} = \frac{{{3^{2024}}}}{{\ln 3}} - \frac{1}{{\ln 3}}\].
Tính các tích phân sau
a) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} \);
b) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\cos 2x}}{{\cos x\left( {1 + \tan x} \right)}}dx} \);
c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2{{\sin }^2}x + 3} \right)dx} \)
a) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} \)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} \)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos x} \right)dx} = \left. {\left( {x - \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{\pi }{2} - 1\).
b)\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\cos 2x}}{{\cos x\left( {1 + \tan x} \right)}}dx} \)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{\cos x + \sin x}}dx} \)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\cos x - \sin x} \right)dx} = \left. {\left( {\sin x + \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \sqrt 2 - 1\).
c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2{{\sin }^2}x + 3} \right)dx} \)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos 2x + 3} \right)dx} \)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {4 - \cos 2x} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {4x - \frac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 2\pi \).
Một chiếc xe ô tô đang chạy trên đường cao tốc với vận tốc 72 km/h thì tài xế bất ngờ đạp phanh làm cho chiếc ô tô chuyển động chậm với gia tốc \(a\left( t \right) = - \frac{8}{5}t\) (m/s2), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây. Hỏi kể từ khi đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn thì ô tô di chuyển bao nhiêu mét? (Giả sử trên đường ô tô di chuyển không có gì bất thường).
Vận tốc của ô tô là \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( { - \frac{8}{5}t} \right)dt} = - \frac{4}{5}{t^2} + C\).
Ta có \(72\;{\rm{km/h}} = 20\;{\rm{m/s}}\).
Vì \(v\left( 0 \right) = 20\) nên \(C = 20\)\( \Rightarrow v\left( t \right) = - \frac{4}{5}{t^2} + 20\).
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 nên \( - \frac{4}{5}{t^2} + 20 = 0 \Rightarrow t = 5\).
Quãng đường cần tìm là \(s = \int\limits_0^5 {\left( { - \frac{4}{5}{t^2} + 20} \right)dt} = \left. {\left( { - \frac{4}{{15}}{t^3} + 20t} \right)} \right|_0^5 = \frac{{200}}{3}\) (m).
Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm \(t = 0\) đến thời điểm \(t = \frac{\pi }{2}\) là
\(s = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3 - \sin t} \right)dt} \)\( = \left. {\left( {3t + \cos t} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\)\( = \frac{{3\pi }}{2} - 1\).
Gọi phương trình parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\).
Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I \in Oy\).
Vì \(\left( P \right)\) đi qua 3 điểm \(A,B,I\) nên ta có hệ phương trình
Vậy \(\left( P \right):y = - {x^2} + \frac{9}{4}\).
Diện tích cửa parabol là \[S = \int\limits_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right)dx = 2\int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right)dx} = \left. {2\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_0^{\frac{3}{2}}} = \frac{9}{2}\] m2.
Vậy số tiền phải trả là \(\frac{9}{2}.1500000 = 6750000\) đồng.
Ta có \({x^3} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3 \in \left[ {1;4} \right]\).
Diện tích hình phẳng cần tìm là
\( = \left. {\left( {{x^3} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_1^3 + \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3}} \right)} \right|_3^4\)\( = 6 + \frac{{27}}{4} = \frac{{51}}{4}\).
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là
\(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx} \)\( = \pi \int\limits_0^2 {\left( {{x^4} + 6{x^2} + 9} \right)dx} \)\( = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} + 2{x^3} + 9x} \right)} \right|_0^2\)\( = \frac{{202\pi }}{5}\).
Một chiếc đèn cói có hình như bên. Nếu cắt đèn bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng \(x\)(dm) (\(0 \le x \le 4\)) thì được thiết diện là hình tròn có bán kính \(\sqrt {4 - x} \) (dm). Tính thể tích của chiếc đèn cói.
Diện tích của mặt cắt là \(S\left( x \right) = \pi {\left( {\sqrt {4 - x} } \right)^2}\)(dm2).
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là
\(V = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\sqrt {4 - x} } \right)}^2}dx} \)\( = \pi \int\limits_0^4 {\left( {4 - x} \right)dx} \)\( = \left. {\pi \left( {4x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^4\)\( = 8\pi \)(dm3).
Ta có \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_R}} = \left( {1;1; - 1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( { - 1;2;1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 1;5} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( { - 1;2;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \( - \left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 1} \right) + \left( {z - 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y - z + 2 = 0\).
Lập phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua:
a) Điểm \(I\left( {3; - 4;1} \right)\) và vuông góc với trục \(Ox\).
b) Điểm \(K\left( { - 2;4; - 1} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( {Ozx} \right)\).
c) Điểm \(K\left( { - 2;4; - 1} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + 7y + 10z + 1 = 0\).
a) Vì \(\left( P \right) \bot Ox\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Do đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là \(x - 3 = 0\).
b) Mặt phẳng \(\left( {Ozx} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\).
Do mặt phẳng \(\left( P \right)//\left( {Ozx} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Khi đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \(y - 4 = 0\).
c) Vì \(\left( P \right)//\left( Q \right)\) nên \(\left( P \right):3x + 7y + 10z + d = 0\left( {d \ne 1} \right)\).
Vì \(\left( P \right)\) đi qua \(K\left( { - 2;4; - 1} \right)\) nên \(3.\left( { - 2} \right) + 7.4 + 10.\left( { - 1} \right) + d = 0 \Leftrightarrow d = - 12\) (thỏa mãn).
Do đó \(\left( P \right):3x + 7y + 10z - 12 = 0\).
Trong không gian \(Oxyz\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa điểm \(M\left( {1;3; - 2} \right)\) cắt các tia \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại \(A,B,C\) sao cho \(\frac{{OA}}{1} = \frac{{OB}}{2} = \frac{{OC}}{4}\).
Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) (\(a,b,c > 0\)).
Khi đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).
Vì \(M \in \left( P \right)\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{3}{b} + \frac{{ - 2}}{c} = 1\) (1).
Mà \(\frac{{OA}}{1} = \frac{{OB}}{2} = \frac{{OC}}{4}\) nên \(\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2a\\c = 4a\end{array} \right.\) thay vào (1) ta được
\(\frac{1}{a} + \frac{3}{{2a}} + \frac{{ - 2}}{{4a}} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{2}{a} = 1 \Leftrightarrow a = 2\). Suy ra \(b = 4;c = 8\).
Do đó \(\left( P \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{8} = 1\).
Vì \(\left( P \right)//\left( Q \right)\) nên \(\left( P \right):x + 2y + 2z + d = 0\left( {d \ne 0;d \ne - 3} \right)\).
Ta có \(M\left( { - 1;1;1} \right) \in \left( Q \right)\).
Do đó \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 1\) nên \(\frac{{\left| {3 + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 0\\d = - 6\end{array} \right.\).
Kết hợp với điều kiện ta có \(\left( P \right)\) có dạng \(x + 2y + 2z - 6 = 0\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {1;0; - 1} \right),C\left( {2; - 1;2} \right)\).
a) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
b) Chứng minh mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):y + 2z - 2025 = 0\).
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2; - 4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 3; - 1} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 10; - 4;2} \right) = - 2\left( {5;2; - 1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(A\left( {1;2;3} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {5;2; - 1} \right)\) có phương trình là
\(5\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) - \left( {z - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 5x + 2y - z - 6 = 0\).
b) Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {0;1;2} \right)\).
Có \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{n_P}} = 5.0 + 2.1 + \left( { - 1} \right).2 = 0\). Do đó \(\left( {ABC} \right) \bot \left( P \right)\).
