Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Đáp án đúng là: D

\(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{e^{2x}} + \sin 3x} \right)} dx = \frac{{{e^{2x}}}}{2} - \frac{1}{3}\cos 3x + C\).

Đáp án đúng là: C

\[\int {f\left( x \right)} dx = \int {{5^x}} dx = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} + C\].

Đáp án đúng là: B

\[\int {\frac{{\sqrt x - 2\sqrt[3]{{{x^2}}} + 1}}{{\sqrt[4]{x}}}dx} = \int {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}} - 2{x^{\frac{2}{3}}} + 1}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}}dx = } \int {\left( {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} - 2\frac{{{x^{\frac{2}{3}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} + \frac{1}{{{x^{\frac{1}{4}}}}}} \right)dx} \]

\[ = \int {\left( {{x^{\frac{1}{4}}} - 2{x^{\frac{5}{{12}}}} + {x^{ - \frac{1}{4}}}} \right)dx = \frac{4}{5}} x\sqrt[4]{x} - \frac{{24}}{{17}}x\sqrt[{12}]{{{x^5}}} + \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{x^3}}} + C\].

Đáp án đúng là: A

Ta có \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {1 + \sin x} \right){\rm{d}}x} = \int {1{\rm{d}}x} + \int {\sin x{\rm{d}}x} = x - \cos x + C} \].

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\int {\left( {{x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C\).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\int {{x^{2022}}{\rm{d}}} x = \frac{{{x^{2023}}}}{{2023}} + C,{\rm{ }}C\)là hằng số.

Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm số \(y = {x^{2022}}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\int {\left( {{x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {\cos x + 6x} \right){\rm{d}}x = \sin x + 3{x^2} + C} } \).

Đáp án đúng là: D

\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\int {\sin x} dx = - \frac{1}{2}\cos x + C\).

Đáp án đúng là: B

\[F\left( x \right) = \int {\left( {{2^x} + x + 1} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C.\]

\[ \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C.\]

\(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 1 = \frac{1}{{\ln 2}}{2^0} + \frac{1}{2}{0^2} + 0 + C \Rightarrow C = 1 - \frac{1}{{\ln 2}}\)

\[ \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + 1 - \frac{1}{{\ln 2}}\]

\( \Rightarrow F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^{ - 1}} + \frac{1}{2} - 1 + 1 - \frac{1}{{\ln 2}} \Rightarrow F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2\ln 2}}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có\(F\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} + 2x} \right){\rm{d}}x} = {e^x} + {x^2} + C\).

Theo bài ra ta có: \(F\left( 0 \right) = 1 + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\int {f'\left( x \right).f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {{x^4} + {x^2}} \right){\rm{d}}x} + C\)\( \Rightarrow \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{{x^3}}}{3} + C\).

Do \(f\left( 0 \right) = 2\) nên suy ra \(C = 2\).

Vậy \({f^2}\left( 2 \right) = 2\left( {\frac{{32}}{5} + \frac{8}{3} + 2} \right)\)\( = \frac{{332}}{{15}}\).

Đáp án đúng là: C

Có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\sin x + \cos x} \right){\rm{d}}x} = - \cos x + \sin x + C\).

Do \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cos \frac{\pi }{2} + \sin \frac{\pi }{2} + C = 2 \Leftrightarrow 1 + C = 2 \Leftrightarrow C = 1\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = - \cos x + \sin x + 1\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \(f\left( x \right) = \int {\left( {3 - 5{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \right)dx} = 3x + 5\cos x + C\).

Theo giả thiết \(f\left( 0 \right) = 10\) nên \(5 + C = 10 \Rightarrow C = 5\).

Vậy \(f\left( x \right) = 3x + 5\cos x + 5.\)

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[\int {f'\left( x \right){\rm{d}}} x\]\[ = \int {\left( {{\rm{2}}{{\rm{e}}^{2x}} + 1} \right){\rm{d}}} x\]\[ = {{\rm{e}}^{2x}} + x + C\].

Suy ra \[f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}} + x + C\].

Theo bài ra ta có: \[f\left( 0 \right) = 2\]\[ \Rightarrow 1 + C = 2\]\[ \Leftrightarrow C = 1\].

Vậy: \[f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}} + x + 1\].

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Ta có \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)nên \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow m + 5 = 3 \Leftrightarrow m = - 2\).

b) Ta có \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {x^2} + mx + {C_1}\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\5x - {x^2} + {C_2}\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.\).

Ta có \(F\left( { - 2} \right) = 5.\left( { - 2} \right) - {\left( { - 2} \right)^2} + {C_2} \Rightarrow {C_2} = - 10 + 14 = 4\).

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3} + {x^2} + mx + {C_1}} \right) = m + 2 + {C_1}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {5x - {x^2} + {C_2}} \right) = 4 + {C_2}\).

Ta lại có \(F\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\) nên

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)\) \( \Leftrightarrow m + 2 + {C_1} = 4 + {C_2} \Leftrightarrow {C_1} = 6 - m\).

Mà \(m = - 2\) nên \({C_1} = 8\).

Vậy \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {x^2} - 2x + 8\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\5x - {x^2} + 4\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.\).

c) \(F\left( 3 \right) = {3^3} + {3^2} - 2.3 + 8 = 38\).

d) \(\int\limits_1^{{e^2}} {f\left( {\ln x} \right)\frac{1}{x}dx} \)\( = \int\limits_1^{{e^2}} {f\left( {\ln x} \right)d\left( {\ln x} \right)} \)\( = \int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} \)\( = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} } \)

\( = \int\limits_0^1 {\left( {5 - 2x} \right)dx + \int\limits_1^2 {\left( {3{x^2} + 2x - 2} \right)dx} } = 12\).