Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit
50 câu hỏi
Nếu \({(a - 2)^{\frac{1}{4}}} < {(a - 2)^{\frac{1}{3}}}\) thì khẳng định nào sau đây là đúng?
\(2 < a < 3\).
\(a > 2\).
\(a < 3\).
\(a > 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\frac{1}{4} < \frac{1}{3}\) và \({(a - 2)^{\frac{1}{4}}} < {(a - 2)^{\frac{1}{3}}}\) nên \(a - 2 > 1 \Leftrightarrow a > 3\).
Biểu thức \(T = \sqrt[5]{{a\sqrt[3]{a}}}\) với \(a > 0\). Viết biểu thức \(T\) dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ là:
\({a^{\frac{3}{5}}}\).
\({a^{\frac{2}{{15}}}}\).
\({a^{\frac{1}{3}}}\).
\({a^{\frac{4}{{15}}}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(T = \sqrt[5]{{a\sqrt[3]{a}}} = \sqrt[5]{{a \cdot {a^{\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[5]{{{a^{\frac{4}{3}}}}} = {a^{\frac{4}{{15}}}}\).
Cho \(a > 0,b > 0\) và \(x,y\)là các số thực bất kỳ. Đẳng thức nào sau đúng?
\({(a + b)^x} = {a^x} + {b^x}\).
\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^x} = {a^x} \cdot {b^{ - x}}\).
\({a^{x + y}} = {a^x} + {a^y}\).
\({a^x}{b^y} = {(ab)^{xy}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^x} = \frac{{{a^x}}}{{{b^x}}} = {a^x} \cdot {b^{ - x}}\).
Cho hai số thực dương \(a,b\). Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}}\) ta thu được \(A = {a^m} \cdot {b^n}\). Tích của \(m.n\)là
\(\frac{1}{8}\).
\(\frac{1}{{21}}\).
\(\frac{1}{9}\).
\(\frac{1}{{18}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[A = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}} \cdot {b^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}} \cdot {b^{\frac{1}{3}}}\left( {{b^{\frac{1}{6}}} + {a^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} = {a^{\frac{1}{3}}} \cdot {b^{\frac{1}{3}}} \Rightarrow m = \frac{1}{3},n = \frac{1}{3} \Rightarrow m \cdot n = \frac{1}{9}.\]
Cho \(a\) là số dương khác 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
\({a^{ - 2019}} = {a^{2019}}\).
\({a^{ - 2019}} = - {\left( {\frac{1}{a}} \right)^{2019}}\).
\({a^{ - 2019}} = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^{2019}}\).
\({a^{ - 2019}} = - {a^{2019}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({a^{ - 2019}} = \frac{1}{{{a^{2019}}}} = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^{2019}}\).
Cho a là số thực dương. Viết và rút gọn biểu thức \({a^{\frac{3}{{2018}}}} \cdot \sqrt[{2018}]{a}\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Tìm số mũ của biểu thức rút gọn đó.
\(\frac{2}{{1009}}\).
\(\frac{1}{{1009}}\).
\(\frac{3}{{1009}}\).
\(\frac{3}{{{{2018}^2}}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\({a^{\frac{3}{{2018}}}} \cdot \sqrt[{2018}]{a} = {a^{\frac{3}{{2018}}}} \cdot {a^{\frac{1}{{2018}}}} = {a^{\frac{4}{{2018}}}} = {a^{\frac{2}{{1009}}}}\). Vậy số mũ của biểu thức rút gọn bằng \(\frac{2}{{1009}}\).
Cho số thực \(a > 1\) và các số thực \(\alpha ,\beta \). Kết luận nào sau đây đúng?
\({a^\alpha } > 1,\forall \alpha \in \mathbb{R}\).
\({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta \)
\(\frac{1}{{{a^\alpha }}} < 0,\forall \alpha \in \mathbb{R}\).
\({a^\alpha } < 1,\forall \alpha \in \mathbb{R}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Với \(a > 1\) và \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\). Ta có: \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta \).
Cho a, b là các số thực thỏa điều kiện \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} \right)^a}\) và \({b^{\frac{5}{4}}} > {b^{\frac{4}{3}}}\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
\(a > 0\) và \(b > 1\).
\(a > 0\) và \(0 < b < 1\).
\(a < 0\) và \(0 < b < 1\).
\(a < 0\) và \(b > 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} \right)^a} \Rightarrow a < 0\).
Và \({b^{\frac{5}{4}}} > {b^{\frac{4}{3}}} \Rightarrow 0 < b < 1\).
Cho biểu thức \(P = {x^{\frac{1}{2}}} \cdot {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{{\rm{x}}}\) với \(x > 0\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(P = x\).
\(P = {x^{\frac{{11}}{6}}}\).
\(P = {x^{\frac{7}{6}}}\).
\(P = {x^{\frac{5}{6}}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(P = {x^{\frac{1}{2}}} \cdot {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{{\rm{x}}} = {x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = x\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
\({2^{\sqrt 2 + 1}} > {2^{\sqrt 3 }}\).
\({\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2019}} < {\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2018}}\).
\({(\sqrt 2 - 1)^{2017}} > {(\sqrt 2 - 1)^{2018}}\).
\({(\sqrt 3 - 1)^{2018}} > {(\sqrt 3 - 1)^{2017}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
A đúng vì \(2 > 1\) và \(\sqrt 2 + 1 > \sqrt 3 \) nên \({2^{\sqrt 2 + 1}} > {2^{\sqrt 3 }}\).
\(B\) đúng vì \(\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) < 1\) và \(2019 > 2018\) nên \({\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2019}} < {\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2018}}\).
\(C\) đúng vì \((\sqrt 2 - 1) < 1\) và \(2017 < 2018\) nên \({(\sqrt 2 - 1)^{2017}} > {(\sqrt 2 - 1)^{2018}}\).
D sai vì \(\sqrt 3 - 1 < 1\) và \(2017 < 2018\) nên \({(\sqrt 3 - 1)^{2018}} < {(\sqrt 3 - 1)^{2017}}\).
Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(\log (ab) = \log a \cdot \log b\).
\(\log \frac{a}{b} = \frac{{\log a}}{{\log b}}\).
\(\log (ab) = \log a + \log b\).
\(\log \frac{a}{b} = \log b - \log a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\log (ab) = \log a + \log b\).
Với a, b là các số thực dương tuỳ ý thoả mãn \(a \ne 1\) và \({\log _a}b = 2\), giá trị của \({\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right)\) bằng
2 .
\(\frac{3}{2}\).
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{5}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \({\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right) = \frac{{{{\log }_a}\left( {a{b^2}} \right)}}{{{{\log }_a}{a^2}}} = \frac{{1 + {{\log }_a}{b^2}}}{2} = \frac{{1 + 2{{\log }_a}b}}{2} = \frac{{1 + 2 \cdot 2}}{2} = \frac{5}{2}\).
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, \({\log _7}(7a)\) bằng
\(1 - {\log _7}a\).
\(1 + {\log _7}a\).
\(1 + a\).
\(a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\({\log _7}(7a) = {\log _7}7 + {\log _7}a = 1 + {\log _7}a\).
Cho \({\log _a}b = 2\) và \({\log _a}c = 3\). Tính \(P = {\log _a}\left( {{b^2}{c^3}} \right)\).
\(P = 13\).
\(P = 31\).
\(P = 30\).
\(P = 108\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({\log _a}\left( {{b^2}{c^3}} \right) = 2{\log _a}b + 3{\log _a}c = 2.2 + 3.3 = 13\).
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực dương thỏa mãn \({a^3}{b^2} = 32\). Giá trị của \(3{\log _2}a + 2{\log _2}b\) bằng
4 .
5 .
2 .
32 .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({\log _2}{a^3}{b^2} = {\log _2}32 \Leftrightarrow 3{\log _2}a + 2{\log _2}b = 5\).
Cho các số thực dương a, b với \(a \ne 1\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
\({\log _{{a^2}}}(ab) = \frac{1}{4}{\log _a}b\).
\({\log _{{a^2}}}(ab) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{\log _a}b\).
\({\log _{{a^2}}}(ab) = \frac{1}{2}{\log _a}b\).
\({\log _{{a^2}}}(ab) = 2 + 2{\log _a}b\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({\log _{{a^2}}}(ab) = {\log _{{a^2}}}a + {\log _{{a^2}}}b = \frac{1}{2} \cdot {\log _a}a + \frac{1}{2} \cdot {\log _a}b = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot {\log _a}b\).
Với mọi a, b, \(x\) là các số thực dương thoả mãn \({\log _2}x = 5{\log _2}a + 3{\log _2}b\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(x = 5a + 3b\).
\(x = {a^5} + {b^3}\).
\(x = {a^5}{b^3}\).
\(x = 3a + 5b\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Có \({\log _2}x = 5{\log _2}a + 3{\log _2}b = {\log _2}{a^5} + {\log _2}{b^3} = {\log _2}{a^5}{b^3} \Leftrightarrow x = {a^5}{b^3}\).
Đặt \({\log _3}2 = a\) khi đó \({\log _{16}}27\) bằng
\(\frac{{3a}}{4}\) .
\(\frac{3}{{4a}}\).
\(\frac{4}{{3a}}\)
\(\frac{{4a}}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \({\log _{16}}27 = \frac{3}{4}{\log _2}3 = \frac{3}{{4 \cdot {{\log }_3}2}} = \frac{3}{{4a}}\).
Với mọi số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 8ab\), mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(\log (a + b) = \frac{1}{2}(\log a + \log b)\).
\(\log (a + b) = \frac{1}{2} + \log a + \log b\).
\(\log (a + b) = \frac{1}{2}(1 + \log a + \log b)\)
\(\log (a + b) = 1 + \log a + \log b\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \({a^2} + {b^2} = 8ab \Leftrightarrow {(a + b)^2} = 10ab\).
Lấy \(\log \) cơ số 10 hai vế ta được: \(\log {(a + b)^2} = \log (10ab) \Leftrightarrow 2\log (a + b) = \log 10 + \log a + \log b\).
Hay \(\log (a + b) = \frac{1}{2}(1 + \log a + \log b)\).
Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn \({\log _3}a - 2{\log _9}b = 3\), mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(a = 27b\).
\(a = 9b\).
\(a = 27{b^4}\).
\(a = 27{b^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({\log _3}a - 2{\log _9}b = 3 \Leftrightarrow {\log _3}a - {\log _3}b = 3 \Leftrightarrow {\log _3}\frac{a}{b} = 3 \Leftrightarrow \frac{a}{b} = 27 \Leftrightarrow a = 27b\).
Tập xác định của hàm số \(y = {2^x}\) là
\(\mathbb{R}\).
\((0; + \infty )\),
\([0; + \infty )\).
\(\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hàm số mũ \(y = {2^x}\) xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên tập xác định là \(D = \mathbb{R}\).
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _3}(x - 4)\) là
\((5; + \infty )\).
\(( - \infty ; + \infty )\).
\((4; + \infty )\).
\(( - \infty ;4)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện: \(x - 4 > 0 \Leftrightarrow x > 4\).
Tập xác định: \(D = (4; + \infty )\).
Cho \(a > 0,b > 0,b \ne 1\). Đồ thị các hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _b}x\) cho như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(a > 1;0 < b < 1\).
\(1 > a > 0;b > 1\).
\(0 < a < 1;0 < b < 1\).
\(a > 1;b > 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Quan sát đồ thị ta thấy. Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến \( \Rightarrow a > 1\).
Hàm số \(y = {\log _b}x\) nghịch biến \( \Rightarrow 0 < b < 1\).
Cho đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _b}x\) như hình vẽ:
Khẳng định nào sau đây đúng?
\(0 < a < \frac{1}{2} < b\).
\(0 < a < 1 < b\).
\(0 < b < 1 < a\).
\(0 < a < 1,0 < b < \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+ Xét hàm số \(y = {a^x}\) đi qua \((0;1)\) suy ra đồ thị hàm số (1) là đường nghịch biến, suy ra \(0 < a < 1\).
+ Xét hàm số \(y = {\log _b}x\) đi qua (1; 0) suy ra đồ thị hàm số (2) là đường đồng biến, suy ra \(b > 1.\)
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau
Hàm số \(y = {\log _2}x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\) nghịch biến trên tập xác định của nó.
Hàm số \(y = {2^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(y = {x^{\sqrt 2 }}\) có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hàm số \(y = {\log _2}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(y = {\log _{\sqrt 3 }}x.\)
\(y = {\log _{\frac{\pi }{6}}}x.\)
\(y = {\log _{\frac{e}{3}}}x.\)
\(y = {\log _{\frac{1}{4}}}x.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow a > 1\).
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó.
\(y = {\left( {\frac{1}{\pi }} \right)^x}.\)
\(y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}.\)
\(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}.\)
\(y = {\left( {0,5} \right)^x}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(a > 1\).
Vì \(\sqrt 3 > 1\) nên hàm số \(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \log \left( {{x^2} - 2x - m + 1} \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
\(m \le 2.\)
\(m > 2.\)
\(m \ge 0.\)
\(m < 0.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Để hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \({x^2} - 2x - m + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1\left( { - m + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow m < 0\).
Năm 2020 một hãng xe niêm yết giá bán loại xe X là 750 000 000 đồng và dự định trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm giảm 2% giá bán so với giá bán của năm liền trước. Theo dự định đó năm 2025 hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng nghìn)?
677 941 000 đồng.
675 000 000 đồng.
664 382 000 đồng.
691 776 000 đồng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Giá xe năm 2020 là A
Giá xe năm 2021 là \({A_1} = A - A.r = A\left( {1 - r} \right)\)
Giá xe năm 2022 là \({A_2} = A{\left( {1 - r} \right)^2}\)
Tương tự, ta có giá xe năm 2025 là \({A_5} = A{\left( {1 - r} \right)^5} = 750000000{\left( {1 - \frac{2}{{100}}} \right)^5} \approx 677\;941\;000\) đồng.
Anh An gửi số tiền 58 triệu đồng vào một ngân hàng theo hình thức lãi kép và ổn định trong 9 tháng thì lĩnh về được 61 758 000 đồng. Hỏi lãi suất ngân hàng hàng tháng là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất không thay đổi trong thời gian gửi.
0,8%.
0,6%
0,7%.
0,5%.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Áp dụng công thức \({A_n} = {A_0}{\left( {1 + r} \right)^n}\) với n là số kỳ hạn, A0 là số tiền ban đầu, An là số tiền có được sau n kỳ hạn , r là lãi suất.
Do đó \({A_9} = {A_0}{\left( {1 + r} \right)^9} \Rightarrow r = \sqrt[9]{{\frac{{{A_9}}}{{{A_0}}}}} - 1 \approx 0,7\% \).
Cho biểu thức \(P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}\) với \(a,b > 0\).
\(P = a + 2b\).
Với \(a = \sqrt 5 ,b = \sqrt 3 \) thì \(P = \sqrt 5 + 2\sqrt 3 \).
\(P = 5\).
Với \(a = \sqrt {22} ,b = 4\) thì \(P = 0\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) S, c) S, d) Đ
\(P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}\)\( = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}.{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{3}}}.{a^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} - \sqrt[3]{{ab}}\)\( = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}\left( {{b^{\frac{1}{6}}} + {a^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} - \sqrt[3]{{ab}}\)\[ = {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} - \sqrt[3]{{ab}} = 0\].
Do đó a, b, c sai và d đúng.
Cho biểu thức \(\sqrt[5]{{2 \cdot \sqrt[3]{{2 \cdot \sqrt 2 }}}} = {2^{\frac{a}{b}}}\) và \(\sqrt[6]{{3 \cdot \sqrt[3]{{3 \cdot \sqrt 3 }}}} = {3^{\frac{m}{n}}}\) trong đó (\(\frac{a}{b},\frac{m}{n}\) là các phân số tối giản), khi đó:
\(a + b = 13\).
\(m - n = 3\).
\(\frac{a}{b} + \frac{m}{n} = \frac{{11}}{{20}}\).
\(\frac{a}{b} - \frac{m}{n} = \frac{1}{{20}}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
Ta có: \(\sqrt[5]{{2 \cdot \sqrt[3]{{2 \cdot \sqrt 2 }}}} = \sqrt[5]{{2 \cdot \sqrt[3]{{2 \cdot {2^{\frac{1}{2}}}}}}} = \sqrt[5]{{2 \cdot \sqrt[3]{{{2^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[5]{{2 \cdot {2^{\frac{1}{2}}}}} = \sqrt[5]{{{2^{\frac{3}{2}}}}} = {2^{\frac{3}{{10}}}}\).
Ta có: \(\sqrt[6]{{3 \cdot \sqrt[3]{{3 \cdot \sqrt 3 }}}} = \sqrt[6]{{3 \cdot \sqrt[3]{{3 \cdot {3^{\frac{1}{2}}}}}}} = \sqrt[6]{{3 \cdot \sqrt[3]{{{3^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[6]{{3 \cdot {3^{\frac{1}{2}}}}} = \sqrt[6]{{{3^{\frac{3}{2}}}}} = {3^{\frac{1}{4}}}\).
a) \(a + b = 13\).
b) \(m - n = - 3\).
c) \(\frac{a}{b} + \frac{m}{n} = \frac{3}{{10}} + \frac{1}{4} = \frac{{11}}{{20}}\).
d) \(\frac{a}{b} + \frac{m}{n} = \frac{3}{{10}} - \frac{1}{4} = \frac{1}{{20}}\).
Tại một xí nghiệp, công thức \(P\left( t \right) = 500.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{3}}}\) được dùng để tính giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc máy sau thời gian \(t\) (tính theo năm) kể từ khi đưa vào sử dụng.
Giá trị còn lại của máy sau 3 năm sử dụng là 250 triệu đồng.
Giá trị còn lại của máy sau 4 năm 3 tháng sử dụng gần bằng 180 triệu đồng.
Sau 2 năm đưa vào sử dụng thì giá trị của chiếc máy giảm 185 triệu đồng so với giá trị ban đầu.
Sau 1 năm đưa vào sử dụng thì giá trị của chiếc máy giảm 20,6% so với giá trị ban đầu của nó.
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Giá trị còn lại của máy sau 3 năm sử dụng là \(P\left( 3 \right) = 500.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{3}{3}}} = 250\) (triệu đồng).
b) Đổi 4 năm 3 tháng = 4,25 năm.
Giá trị còn lại của máy sau 4 năm 3 tháng sử dụng là \(P\left( {4,25} \right) = 500.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{4,25}}{3}}} \approx 187\) (triệu đồng).
c) Giá trị của máy lúc ban đầu là \(P\left( 0 \right) = 500\) triệu đồng.
Giá trị còn lại của máy sau 2 năm đưa vào sử dụng là \(P\left( 2 \right) = 500.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{2}{3}}} \approx 315\) (triệu đồng).
Vậy sau 2 năm đưa vào sử dụng thì giá trị của chiếc máy giảm \(500 - 315 = 185\) triệu đồng so với giá trị ban đầu.
d) Giá trị của máy lúc ban đầu là \(P\left( 0 \right) = 500\) triệu đồng.
Giá trị còn lại của máy sau 1 năm đưa vào sử dụng là \(P\left( 1 \right) = 500.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{3}}} \approx 397\) triệu đồng.
Vậy sau 1 năm đưa vào sử dụng thì giá trị của chiếc máy giảm \(100\% - \frac{{397}}{{500}}.100\% \approx 20,6\% \) so với giá trị ban đầu của nó.
Cho các biểu thức \(P = \frac{{{{\log }_a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) - {{\log }_b}\left( {\frac{{{b^3}}}{{{a^2}}}} \right)}}{{\log _a^2b + 1}}\) và \(Q = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6}\) với \(a,b\) là các số dương và \(a \ne 1\).
\(Q = 6{\log _a}b\).
\(P = 6{\log _b}a\).
\(Q = 3P\).
\(Q.P = 12\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) \(Q = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6}\)\( = 3{\log _a}b + \frac{6}{2}{\log _a}b\)\( = 6{\log _a}b\).
b) \(P = \frac{{{{\log }_a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) - {{\log }_b}\left( {\frac{{{b^3}}}{{{a^2}}}} \right)}}{{\log _a^2b + 1}}\)\[ = \frac{{3{{\log }_a}a + 2{{\log }_a}b - 3{{\log }_b}b + 2{{\log }_b}a}}{{\log _a^2b + 1}}\]
\[ = \frac{{2{{\log }_a}b + \frac{2}{{{{\log }_a}b}}}}{{\log _a^2b + 1}}\]\[ = \frac{{2\left( {\log _a^2b + 1} \right)}}{{{{\log }_a}b\left( {\log _a^2b + 1} \right)}} = \frac{2}{{{{\log }_a}b}} = 2{\log _b}a\].
c) \(Q = 6{\log _a}b \ne 3P = 6{\log _b}a\).
d) \(Q.P = 6{\log _a}b.\frac{2}{{{{\log }_a}b}} = 12\).
Cho \[{\log _c}a = 3\], \[{\log _c}b = 4\] (\[a,b > 0;0 < c \ne 1\]).
\[{\log _c}\frac{a}{b} = \frac{3}{4}\].
\[{\log _c}\left( {{a^2}b} \right) = 14\].
\[{\log _c}ab = 12\].
\[{\log _{{c^2}}}\frac{{{a^4}}}{b} = 4\].
Hướng dẫn giải
a) S, b) S, c) S, d) Đ
a) \[{\log _c}\frac{a}{b} = {\log _c}a - {\log _c}b = 3 - 4 = - 1\].
b) \[{\log _c}\left( {{a^2}b} \right) = 2{\log _c}a + {\log _c}b = 2.3 + 4 = 10\].
c) \[{\log _c}ab = {\log _c}a + {\log _c}b = 3 + 4 = 7\].
d) Với \[a,b > 0;0 < c \ne 1\], ta có \[{\log _{{c^2}}}\frac{{{a^4}}}{b} = 2{\log _c}a - \frac{1}{2}{\log _c}b = 2.3 - 2 = 4\].
Cho \(a\), \(b\) là các số thực dương thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 7ab\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\(2{\log _2}\frac{{a + b}}{3} = {\log _2}a + {\log _2}b\).
\({\log _2}\frac{{a + b}}{3} = 2\left( {{{\log }_2}a + {{\log }_2}b} \right)\).
\(2{\log _2}\left( {a + b} \right) = {\log _2}a + {\log _2}b\)
\(4{\log _2}\frac{{a + b}}{6} = {\log _2}a + {\log _2}b\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) S, d) S
Ta có: \({a^2} + {b^2} = 7ab \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 9ab \Leftrightarrow {\left( {\frac{{a + b}}{3}} \right)^2} = ab\)\( \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {\frac{{a + b}}{3}} \right)^2} = {\log _2}\left( {ab} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {\frac{{a + b}}{3}} \right) = {\log _2}a + {\log _2}b\).
Biết \(\log 2 = a,\log 3 = b\).
\({\log _4}9 = \frac{b}{a}\).
\({\log _6}12 = \frac{{2a + b}}{{a + b}}\).
\({\log _5}6 = \frac{{a + b}}{{1 - a}}\).
\({\log _5}30 = \frac{{b - 1}}{{1 - a}}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) \({\log _4}9 = \frac{{\log 9}}{{\log 4}} = \frac{{2\log 3}}{{2\log 2}} = \frac{b}{a}\).
b) \({\log _6}12 = \frac{{\log 12}}{{\log 6}} = \frac{{\log 3 + \log 4}}{{\log 2 + \log 3}} = \frac{{\log 3 + 2\log 2}}{{\log 2 + \log 3}} = \frac{{2a + b}}{{a + b}}\).
c) \({\log _5}6 = \frac{{\log 6}}{{\log 5}} = \frac{{\log 2 + \log 3}}{{\log 10 - \log 2}} = \frac{{a + b}}{{1 - a}}\).
d) \({\log _5}30 = {\log _5}5 + {\log _5}6 = 1 + \frac{{a + b}}{{1 - a}} = \frac{{1 + b}}{{1 - a}}\).
Cho hàm số \(y = {2^x}\)
Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {2;4} \right)\).
Đồ thị hàm số có hình sau bên:
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
b) Vì \(a = 2 > 1\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
c) Thay tọa độ điểm \(A\left( {2;4} \right)\) vào hàm số ta thấy thỏa mãn.
d) Xét hàm số \(y = {2^x}\). Ta có bảng giá trị:
\(x\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
\(y\) | 0,25 | 0,5 | 1 | 2 | 4 |
Đồ thị hàm số \(y = {2^x}\) :
Cho hàm số \(y = {\log _4}x\).
Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Hàm số có tập giá trị \(T = \mathbb{R}\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Đồ thị hàm số cắt đường thẳng \(y = 1\) tại điểm có hoành độ bằng 3.
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) S, d) S
a) Hàm số \(y = {\log _4}x\) xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Do đó hàm số có tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
b) Hàm số \(y = {\log _4}x\) có tập giá trị \(T = \mathbb{R}\).
c) Hàm số \(y = {\log _4}x\) xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và cơ số 4 > 1.
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
d) Phương trình hoành độ giao điểm: \({\log _4}x = 1 \Leftrightarrow x = 4\).
Vậy đồ thị hàm số cắt đường thẳng \(y = 1\) tại điểm có hoành độ bằng 4.
Cho hàm số \(y = {\log _3}\left( {5x - 3} \right)\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(M\left( {2;7} \right)\).
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) là 2.
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Hàm số xác định khi \(5x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{5}\). Do đó hàm số có tập xác định \(D = \left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).
b) Với \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\); \({x_1} < {x_2}\)\( \Rightarrow 5{x_1} - 3 < 5{x_2} - 3\)\( \Rightarrow {\log _3}\left( {5{x_1} - 3} \right) < {\log _3}\left( {5{x_2} - 3} \right)\).
Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).
c) Với \(x = 2\) thì \(y = {\log _3}7\).
Vậy đồ thị hàm số qua điểm \(\left( {2;{{\log }_3}7} \right)\) và không đi qua điểm \(M\).
d) Do hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) là \(f\left( {\frac{{12}}{5}} \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{{12}}{5} - 3} \right) = 2\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) là \(f\left( {\frac{4}{5}} \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{4}{5} - 3} \right) = 0\).
Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) là 2.
Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất \(8\% /\) năm. Biết rằng nếu người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Số tiền người đó nhận sau \(n\) năm sẽ được tính theo công thức \({T_n} = 100{(1 + r)^n}\) (triệu đồng), trong đó \(r(\% )\) là lãi suất và \(n\) là số năm gửi tiền. Hỏi số tiền lãi thu được của người đó sau 10 năm là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 116
Số tiền người đó nhận sau 10 năm là: \({T_{10}} = 100{\left( {1 + \frac{8}{{100}}} \right)^{10}} \approx 215,89\) (triệu đồng).
Số tiền lãi sau 10 năm gửi tiền xấp xỉ là: \(215,89 - 100 = 115,89 \approx 116\) (triệu đồng).
Biết \({9^\alpha } = \frac{1}{2}\). Tính \(B = {\left( {{3^\alpha } + {3^{ - \alpha }}} \right)^2} - \left( {{{81}^\alpha } - {{81}^{ - \alpha }}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 8,25
\(\begin{array}{*{20}{l}}B&{ = {{\left( {{3^\alpha }} \right)}^2} + 2 \cdot {3^\alpha } \cdot {3^{ - \alpha }} + {{\left( {{3^{ - \alpha }}} \right)}^2} - {{\left( {{9^2}} \right)}^\alpha } + {{\left( {{9^2}} \right)}^{ - \alpha }}}\\{}&{ = {3^{2\alpha }} + 2 \cdot {3^{\alpha + ( - \alpha )}} + {{\left( {{3^2}} \right)}^{ - \alpha }} - {{\left( {{9^\alpha }} \right)}^2} + {{\left( {{9^{ - \alpha }}} \right)}^2}}\\{}&{ = {9^\alpha } + 2 \cdot {3^0} + {9^{ - \alpha }} - {{\left( {{9^\alpha }} \right)}^2} + {{\left( {{9^\alpha }} \right)}^{ - 2}} = \frac{1}{2} + 2 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{ - 1}} - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{ - 2}} = \frac{{33}}{4} = 8,25.}\end{array}\)
Cho số thực \(a\) thõa mãn \(0 < a \ne 1\). Tính giá trị của biểu thức \(T = {\log _a}\left( {\frac{{{a^2} \cdot \sqrt[3]{{{a^2}}} \cdot \sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[{15}]{{{a^7}}}}}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 3
Ta có: \(T = {\log _a}\left( {\frac{{{a^2} \cdot \sqrt[3]{{{a^2}}} \cdot \sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[{15}]{{{a^7}}}}}} \right) = {\log _a}\frac{{{a^{2 + \frac{2}{3} + \frac{4}{5}}}}}{{{a^{\frac{7}{{15}}}}}} = {\log _a}{a^{2 + \frac{2}{3} + \frac{4}{5} - \frac{7}{{15}}}} = {\log _a}{a^3} = 3\).
Trong vật lí, sự phân rã các chất phóng xạ được cho bởi công thức \(m\left( t \right) = {m_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{T}}}\).
Trong đó, \({m_0}\) là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm \(t = 0\)), \(m\left( t \right)\) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm \(t\) và \(T\) là chu kì bán rã. Hạt nhân Poloni \(\left( {{P_0}} \right)\) là chất phóng xạ \(\alpha \) có chu kì bán rã 138 ngày. Giả sử lúc đầu có 100 g Poloni. Tính khối lượng Poloni còn lại sau 100 ngày theo đơn vị gam (làm tròn kết quả đến phần mười).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 60,5
Khối lượng Poloni còn lại sau 100 ngày là \(m\left( {100} \right) = 100.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{100}}{{138}}}} \approx 60,5\) (g).
Cho \(x,y\) là các số thực lớn hơn \(1\) thỏa mãn \({x^2} + 9{y^2} = 6xy\). Tính \(M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}.\)
Hướng dẫn giải
Trả lời: 1
Ta có \({x^2} + 9{y^2} = 6xy\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 6xy + 9{y^2} = 12xy\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 3y} \right)^2} = 12xy\)
\( \Leftrightarrow {\log _{12}}{\left( {x + 3y} \right)^2} = {\log _{12}}\left( {12xy} \right)\)\( \Leftrightarrow 2{\log _{12}}\left( {x + 3y} \right) = {\log _{12}}12 + {\log _{12}}x + {\log _{12}}y\)\( \Leftrightarrow M = \frac{{{{\log }_{12}}12 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}} = 1\).
Cường độ một trận động đất \(M\)(độ Richter) được cho bởi công thức \(M = \log A - \log {A_0}\), với \(A\) là biên độ rung chấn tối đa và \({A_0}\) là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỉ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, một trận động đất khác ở Nam Mỹ có biên độ rung chấn mạnh hơn gấp 4 lần. Hỏi cường độ trận động đất ở Nam Mỹ là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 8,6
Gọi \({M_1},{M_2}\) lần lượt là cường độ của trận động đất ở San Francisco và ở Nam Mỹ. Trận động đất ở San Franciso có cường độ là 8 độ Richter nên:
\({M_1} = \log A - \log {A_0} \Leftrightarrow 8 = \log A - \log {A_0}\).
Trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ là \(4A\), khi đó cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là:
\({M_2} = \log \left( {4A} \right) - \log {A_0} = \log 4 + \log A - \log {A_0} = \log 4 + 8 \approx 8,6\) độ Richter.
Tính giá trị biểu thức \({\log _2}\left( {2\sin \frac{\pi }{{12}}} \right) + {\log _2}\left( {\cos \frac{\pi }{{12}}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: −1
\({\log _2}\left( {2\sin \frac{\pi }{{12}}} \right) + {\log _2}\left( {\cos \frac{\pi }{{12}}} \right)\)\( = {\log _2}\left( {2\sin \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{\pi }{{12}}} \right)\)\( = {\log _2}\left( {\sin \frac{{2\pi }}{{12}}} \right)\)\( = {\log _2}\frac{1}{2} = - 1\).
Để xác định một chất có nồng độ pH, người ta tính theo công thức \(pH = \log \frac{1}{{\left[ {{H^ + }} \right]}}\), trong đó \(\left[ {{H^ + }} \right]\) là nồng độ ion \({H^ + }\) (đơn vị là \(M\)). Một dung dịch có nồng độ ion \({H^ + }\) gấp 17 lần nồng độ ion \({H^ + }\) của cà phê đen. Tính độ pH của dung dịch đó (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm), biết nồng độ ion \({H^ + }\) của cà phê đen là \({10^{ - 5}}M\) .
Hướng dẫn giải
Trả lời: 3,77
Độ pH của dung dịch đó là \(pH = \log \frac{1}{{\left[ {{{17.10}^{ - 5}}} \right]}} \approx 3,77\).
Biết \(D = \left( {a;b} \right)\) là tập xác định của hàm số \(y = {\left( {2 - x} \right)^e} + {\log _2}x\). Tính giá trị \(a + b\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 2
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x > 0\\x > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x > 0\end{array} \right.\). Do đó tập xác định \(D = \left( {0;2} \right)\).
Suy ra \(a + b = 2\).
Trong một phòng thí nghiệm, người ta nuôi một loại vi khuẩn. Lúc đầu có 300 vi khuẩn. Sau một giờ, số vi khuẩn là \(705\)con. Giả sử số vi khuẩn tăng lên theo công thức tăng trưởng mũ, số vi khuẩn sau \(x\) giờ là \(f(x) = C \cdot {e^{kx}}\).
Hỏi số vi khuẩn có được sau 5 giờ là bao nhiêu nghìn con? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 21,5
Lúc đầu có 300 vi khuẩn. Sau một giờ, số vi khuẩn là 705 con.
\({\rm{ Ta có }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(0) = 300 = C.{e^{k.0}} = C}\\{f(1) = 705 = C.{e^{k.1}} = C.{e^k}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C = 300}\\{{e^k} = \frac{{705}}{{300}} = 2,35}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}\)Vậy \(f(x) = 300 \cdot {(2,35)^x}\).
Số vi khuẩn có được sau 5 giờ là \(f(5) = 300 \cdot {(2,35)^5} \approx 21501\) con \( \approx 21,5\) nghìn con.
