Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Chương VIII. Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu vuông góc
42 câu hỏi
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = a\), \(IJ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) (\(I\), \(J\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\)). Số đo góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm \(AC\), \(BD\).
Ta có:
\(MI = NI = NJ = MJ = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2} \Rightarrow MINJ\) là hình thoi.
Gọi \(O\) là giao điểm của \(MN\) và \(IJ\).
Suy ra \(O\) là trung điểm của \(IJ\) \( \Rightarrow IO = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Ta có: \(\widehat {MIN} = 2\widehat {MIO}\).
Xét \(\Delta MIO\) vuông tại \(O\), ta có: \(\cos \widehat {MIO} = \frac{{IO}}{{MI}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {MIO} = 30^\circ \Rightarrow \widehat {MIN} = 60^\circ \).
Mà: \(\left( {AB,CD} \right) = \left( {IM,IN} \right) = \widehat {MIN} = 60^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = 2a\), \(BC = a\). Các cạnh bên của hình chóp cùng bằng \[a\sqrt 2 \]. Tính góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\).
\[45^\circ \].
\[30^\circ \].
\[60^\circ \].
\[\arctan 2\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(AB{\rm{//}}CD\) nên \[\left( {AB,\,SC} \right) = \left( {CD,\,SC} \right) = \widehat {SCD}\].
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\)\( \Rightarrow CM = \frac{{CD}}{2} = \frac{{AB}}{2} = a\).
Tam giác \(SCM\) vuông tại \(M\) và có \(SC = a\sqrt 2 \), \(CM = a\) nên là tam giác vuông cân tại \(M\) nên \[\widehat {SCD} = 45^\circ \]. Vậy \[\left( {AB,\,SC} \right) = 45^\circ \].
Cho tứ diện \(MNPQ\) có hai tam giác \(MNP\) và \(QNP\) là hai tam giác cân lần lượt tại \(M\) và \(Q\). Góc giữa hai đường thẳng \(MQ\) và \(NP\) bằng
\(45^\circ \).
\(30^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Gọi \(I\) là trung điểm của \(NP\).
Do tam giác \(MNP\) và \(QNP\) là hai tam giác cân lần lượt tại \(M\) và \(Q\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}NP \bot MI\\NP \bot QI\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow NP \bot \left( {QIM} \right)\)\( \Rightarrow NP \bot QM\). Do đó \(\left( {NP,QM} \right) = 90^\circ \).
Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt \(a\), \(b\), \(c\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Nếu \(a\) và \(b\) cùng vuông góc với \(c\) thì \(a\,\,{\rm{//}}\,b\).
Nếu \(a\,\,{\rm{//}}\,b\) và \(c \bot a\) thì \(c \bot b\).
Nếu góc giữa \(a\) và \(c\) bằng góc giữa \(b\) và \(c\) thì \(a\,\,{\rm{//}}\,b\).
Nếu \(a\) và \(b\) cùng nằm trong mp \(\left( \alpha \right)\,\,{\rm{//}}\,c\) thì góc giữa \(a\) và \(c\) bằng góc giữa \(b\) và \(c\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đáp án A sai vì nếu \(a\) và \(b\) cùng vuông góc với \(c\) thì \(a\) và \(b\) hoặc song song hoặc chéo nhau.
Đáp án C sai do:
Giả sử hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau, ta dựng đường thẳng \(c\) là đường vuông góc chung của \(a\) và \(b\). Khi đó góc giữa \(a\) và \(c\) bằng với góc giữa \(b\) và \(c\) và cùng bằng \(90^\circ \), nhưng hiển nhiên hai đường thẳng \(a\) và \(b\) không song song.
D sai do: giả sử \(a\) vuông góc với \(c\), \(b\) song song với \(c\), khi đó góc giữa \(a\) và \(c\) bằng \(90^\circ \), còn góc giữa \(b\) và \(c\) bằng \(0^\circ \).
Do đó B đúng.
Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?
Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đáp án B sai vì vẫn có thể xảy ra các trường hợp hai đường thẳng cắt nhau, chéo nhau hoặc có thể vuông góc. Do đó đáp án D cũng sai.
Đáp án C sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[c\] khi \[b\] song song với \[c\] (hoặc \[b\] trùng với\[c\]).
Góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[c\] thì \[b\] song song với \[c\]
Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.
Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đáp án B sai vì hai đường thẳng có thể trùng nhau.
Đáp án C sai vì góc giữa hai đường thẳng có thể là góc vuông.
Đáp án D sau vì góc giữa hai véctơ chỉ phương có thể là góc tù.
Cho tứ diện đều \(ABCD\) (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)\).
Gọi \(E\) là trung điểm \(CD\) \( \Rightarrow BE \bot CD\) (do \(\Delta BCD\) đều).
Do \(AH \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AH \bot CD\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot BE\\CD \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABE} \right) \Rightarrow CD \bot AB \Rightarrow \left( {AB,CD} \right) = 90^\circ \).
Cho tứ diện đều \(ABCD\), \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Khi đó côsin góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(DM\) bằng
\(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\).
Gọi \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)\).
Gọi \(E\) là trung điểm \(AC\) \( \Rightarrow ME{\rm{ // }}AB \Rightarrow \left( {AB,DM} \right) = \left( {ME,MD} \right)\)
Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều nên \(ME = \frac{a}{2}\), \(ED = MD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét \(\Delta MED\), ta có: \(\cos \widehat {EMD} = \frac{{M{E^2} + M{D^2} - E{D^2}}}{{2ME.MD}} = \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).
Cho hai đường thẳng phân biệt \(a,\,\,b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\), trong đó \(a \bot \left( P \right)\). Chọn mệnh đề sai.
Nếu \(b\;{\rm{//}}\;a\) thì \(b\;{\rm{//}}\;\left( P \right)\).
Nếu \(b\;{\rm{//}}\;a\) thì \(b \bot \left( P \right)\).
Nếu \(b \bot \left( P \right)\) thì \(b\;{\rm{//}}\;a\).
Nếu \(b\;{\rm{//}}\;\left( P \right)\) thì \(b \bot a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Nếu \(a \bot \left( P \right)\) và \(b\;{\rm{//}}\;a\) thì \(b \bot \left( P \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O\), \(SA = SC,SB = SD\). Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
\(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(SC \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(SB \bot \left( {ABCD} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(O\) là trung điểm của \(AC,BD\)
Mà \(SA = SC,SB = SD \Rightarrow \Delta SAC,\Delta SBD\) đều \( \Rightarrow SO \bot AC,SO \bot BD\)
\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Cho tứ diện \[ABCD\] có hai mặt \[ABC\] và \[ABD\] là hai tam giác đều. Gọi \[M\] là trung điểm của \[AB\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(CM \bot \left( {ABD} \right)\).
\(AB \bot \left( {MCD} \right)\).
\(AB \bot \left( {BCD} \right)\).
\(DM \bot \left( {ABC} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\Delta ABC\), \(\Delta ABD\) đều , M là trung điểm của AB nên
\[\left. \begin{array}{l}CM \bot AB\\DM \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {CDM} \right)\].
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\]là hình vuông, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(AM \bot SD\).
\(AM \bot \left( {SCD} \right)\).
\(AM \bot CD\).
\(AM \bot \left( {SBC} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \[ABCD\]là hình vuông nên \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right.\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).
+) \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot \left( {SAB} \right)\\AM \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AM \bot BC\).
+) \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot SB\\AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right)\).
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,OB,\,OC\) đôi một vuông góc với nhau. Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(H\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
\(H\) là trung điểm của \(BC\).
\(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\)
\(H\) là trung điểm của \(AC\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\left. \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right\} \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\] .
Mà \[OH \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OH \bot BC\].
Vậy ta có: \[\left. \begin{array}{l}BC \bot OA\\BC \bot OH\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot AH\].
Chứng minh tương tự ta có \[AB \bot CH\].
Suy ra \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(J,\,I,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(BC\) và \(SB\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
\(\left( {IJK} \right)//\left( {SAC} \right)\).
\(BD \bot \left( {IJK} \right)\).
\(\left( {SD,BC} \right) = 60^\circ \).
\(BD \bot \left( {SAC} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Các đáp án A, B, D đều đúng. Đáp án C chưa đủ dữ kiện để kết luận\(\left( {SD,BC} \right) = 60^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(E,\,F\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(SB,\,SD\). Chọn khẳng định sai ?
\[\left( {SC,EF} \right) = 90^\circ \].
\[\left( {SC,AE} \right) = 90^\circ \].
\[\left( {SC,AF} \right) = 90^\circ \].
\[\left( {SC,BC} \right) = 90^\circ \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\). Lại có \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AE\).
\(AE \bot SB,\,\,AE \bot BC \Rightarrow AE \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AE \bot SC,{\rm{ }}\left( 1 \right)\).
Chứng minh tương tự ta có \(SC \bot AF,{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Vậy từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\]ta có \(SC \bot \left( {AEF} \right)\)\( \Rightarrow SC \bot EF\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(I\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(H,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(SC,\,SD\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(AK \bot (SCD)\).
\(BD \bot \left( {SAC} \right)\).
\(AH \bot \left( {SCD} \right)\).
\(BC \bot \left( {SAC} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\left. \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AK\).
Mà \(AK \bot SD\) nên \(AK \bot (SC{\rm{D}})\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \[A\] và \[D\], biết \[AD = CD = a\] và \[AB = 2a\], \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \[E\] là trung điểm \[AB\]. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
\(CE \bot \left( {SAB} \right)\).
\(CB \bot SB\).
\(CE \bot \left( {SDC} \right)\).
\(SC \bot CD\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có \(AD \bot AB\) (do ABCD là hình thang) mà \(SA \bot AD\) (do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)) nên \(AD \bot \left( {SAB} \right)\).
Vì \(E\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AE = EB = a\).
Vì \(AE = CD = a,AE//CD\) nên \(AECD\) là hình bình hành nên \(AD//CE\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}CE//AD\\AD \bot \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CE \bot \left( {SAB} \right)\) .
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(BC\). Hãy chọn khẳng định đúng.
\(BC \bot SC\).
\(BC \bot AH\).
\(BC \bot AB\).
\(BC \bot AC\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SH\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]; tam giác ABC đều cạnh \[a\] và \[SA = a\] (tham khảo hình vẽ bên). Tìm góc giữa đường thẳng \(SC\)và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].
\[{60^{\rm{o}}}\].
\[{45^{\rm{o}}}\].
\[{135^{\rm{o}}}\].
\[{90^{\rm{o}}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABC) là AC.
Góc giữa đường thẳng \(SC\)và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là góc \(\widehat {SCA}\).
Tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(A\) nên góc \(\widehat {SCA} = 45^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có cạnh \(SA\) vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng nào dưới đây?
\(SB\) và \(AB\).
\(SB\)và \(SC\).
\(SA\)và \(SB\).
\(SB\)và \(BC\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: Hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \((ABC)\) là \(AB\) nên góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(AB\).
Cho tứ diện đều \[ABCD\](tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Gọi \[\varphi \] là góc giữa đường thẳng \[AB\] và mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\]. Tính \[{\rm{cos}}\varphi \].
\[{\rm{cos}}\varphi = 0\].
\[{\rm{cos}}\varphi = \frac{1}{2}\].
\[{\rm{cos}}\varphi = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\].
\[{\rm{cos}}\varphi = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gọi \[M\] là trung điểm của \[CD\]. Ta có \[BM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2}\].
Gọi \[H\] là chân đường cao hạ từ \[A\] xuống mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\] thì \[H \in BM\] và \[BH = \frac{2}{3}BM\]\[ = \frac{{AB\sqrt 3 }}{3}\].
Góc giữa đường thẳng \[AB\] và mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\] là \[\widehat {ABM}\].
Ta có \[{\rm{cos}}\varphi = \cos \widehat {ABM}\]\[ = \frac{{BH}}{{AB}}\]\[ = \frac{{\frac{{AB\sqrt 3 }}{3}}}{{AB}}\]\[ = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\].
\(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
\(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\).
\(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\).
\(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).
Vì ABCD là hình vuông nên BO ^ AC mà SA ^ (ABCD) Þ SA ^ BO.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BO \bot AC\\BO \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BO \bot (SAC)\).
Suy ra \[SO\] là hình chiếu vuông góc của \[SB\] lên mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\].
Khi đó góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) chính là \(\widehat {BSO}\).
Do ABCD là hình vuông cạnh a nên \(BD = a\sqrt 2 \)\( \Rightarrow BO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Xét DSAB vuông tại A, có \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {3{a^2} + {a^2}} = 2a\).
Xét \(\Delta SBO\) vuông tại \(O\), ta có:\(\sin \widehat {BSO} = \frac{{BO}}{{SB}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
Cho hình chóp \[S.ABC\] có tất cả các cạnh bằng \[a\], \[SO \bot \left( {ABC} \right)\,\](\(O\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)). Gọi là góc giữa cạnh bên \[SA\] và mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\alpha = 60^\circ \).
\[\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\].
\[\tan \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\].
\[\alpha = 45^\circ \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi \(O\) là trọng tâm của tam giác \[ABC\]\( \Rightarrow AO = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\).
Vì \[SO \bot \left( {ABC} \right)\,\]nên \[OA\] là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].
\[ \Rightarrow \left( {SA\,,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA\,,\,OA} \right) = \widehat {SAO}\] .
Xét \[\Delta SAO\] vuông tại \[O\], ta có:\(\cos \alpha = \frac{{AO}}{{SA}} = \frac{{\frac{a}{{\sqrt 3 }}}}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy\(ABCD\) là hình vuông, \(BD = a\sqrt 2 \). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\sqrt 3 \). Số đo của góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) bằng
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
\(30^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Do \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BA \bot SA\\BA \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow BA \bot \left( {SAD} \right)\,\)
\( \Rightarrow SA\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {SB,\left( {SAD} \right)} \right) = \left( {SB,SA} \right) = \widehat {BSA}\).
Hình vuông \(ABCD\) có \(BD = a\sqrt 2 \)nên cạnh hình vuông là \(a\).
Xét \(\Delta BSA\) vuông tại \(A\), ta có: \(\tan \widehat {BSA} = \frac{{BA}}{{SA}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Suy ra \(\widehat {BSA} = 30^\circ \) hay góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) bằng \(30^\circ \).
Cho hình chóp\(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\), \(O\) là tâm của hình vuông và \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {B,SD,C} \right]\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(\tan \varphi = \sqrt 2 \).
\(\tan \varphi = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\tan \varphi = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\tan \varphi = \sqrt 6 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OC\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OC \bot BD\\OC \bot SO\end{array} \right.\) \( \Rightarrow OC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow OC \bot SD\) \(\left( 1 \right)\)
Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), từ \(O\) kẻ \(OH \bot SD\) tại \(H\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \( \Rightarrow SD \bot \left( {COH} \right) \Rightarrow SD \bot CH\).
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SD\\OH \bot SD\\CH \bot SD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ {B,SD,C} \right] = \widehat {OHC} = \varphi \).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = BD = a\sqrt 2 \Rightarrow CO = OD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Xét \(\Delta SOC\) vuông tại \(O\), ta có \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Xét \(\Delta SOD\) vuông tại \(O\), có \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{a}{2}\).
Xét \[\Delta OHC\] vuông tại \[O\], ta có: \(\tan \varphi = \tan \widehat {OHC} = \frac{{OC}}{{OH}} = \sqrt 2 \).
Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] vuông cân tại \[B\], \[AB = BC = a\], \[SA = a\sqrt 3 \], \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]. Số đo của góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\) là
\(90^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).
Khi đó: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\BC \bot AB\\BC \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SBA}\].
Xét \[\Delta SAB\] vuông tại \[A\], ta có: \[\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}}\]\[ = \frac{{a\sqrt 3 }}{a}\] \[ \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ \].
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a,M\) là trung điểm cạnh \(BC\), \(N\) là trung điểm của \(AC\). Khi đó:
\(MN//AB\).
\(MD = ND = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
\((AB,DM) = (MN,DM)\).
\(\cos (AB,DM) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(N\) là trung điểm của \(AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN//AB(*)}\\{MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}}\end{array}} \right.\)
b) Vì \(\Delta BCD\) và \(\Delta ACD\) là các tam giác đều cạnh bằng \(a\) nên \(MD = ND = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
c) Từ \((*)\) suy ra: \((AB,DM) = (MN,DM) = \widehat {DMN}\).
d) Xét \(\Delta MND\), ta có:
\(\cos \widehat {DMN} = \frac{{M{N^2} + M{D^2} - N{D^2}}}{{2MN \cdot MD}} = \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6} > 0\)
\( \Rightarrow \widehat {DMN}\) là góc nhọn.
Vậy \((AB,DM) = (MN,DM) = \widehat {DMN}\) nên \(\cos (AB,DM) = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác \(ABC\) vuông tại B. Gọi \(H,K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên các cạnh .\(SB,SC\).. Khi đó
Tam giác \(SBC\) cân tại \(B\).
\(AH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SC,HK} \right) = 90^\circ \).
Giả sử \(HK\) cắt \(BC\) tại D. Khi đó \(\left( {AC,AD} \right) = 90^\circ \).
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ
a) Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow SA \bot BC\) và \(AB \bot BC\) (do tam giác \(ABC\) vuông tại B) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).
Do đó tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\).
b) Vì \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\) mà \(AH \bot SB\) nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).
c) Vì \(AH \bot \left( {SBC} \right)\)\( \Rightarrow AH \bot SC\) mà \(AK \bot SC\) nên \(SC \bot \left( {AHK} \right)\)\( \Rightarrow SC \bot HK\).
Do đó \(\left( {SC,HK} \right) = 90^\circ \).
d) Vì \((AHK) \equiv (ADK)\) mà \(SC \bot (AHK)\) nên \(SC \bot (ADK) \Rightarrow SC \bot AD\). (1)
Mặt khác \(SA \bot AD\) (do \(SA \bot (ABC),AD \subset (ABC)\)). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AD \bot (SAC) \Rightarrow AD \bot AC\) hay \((AC,AD) = 90^\circ \).
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC,DB = DC\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó:
\(BC \bot AI\)
\(BC \bot (ADI)\).
\(BC \bot AD\).
Nếu \(AI = AD\), gọi \(H\) là trung điểm \(ID\). Khi đó \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \((BCD)\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ
a) Vì \(AB = AC\) nên \(\Delta ABC\) cân tại \(A\). Mà \(AI\) là trung tuyến nên \(BC \bot AI\).
b) Tương tự \(BC \bot DI\) mà \(BC \bot AI\)\( \Rightarrow BC \bot (ADI)\).
c) Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot (ADI)}\\{AD \subset (ADI)}\end{array} \Rightarrow BC \bot AD} \right.\).
d) Ta có \(AI = AD \Rightarrow AH \bot DI\)
Mặt khác \(AH \bot BC\) (do \(BC \bot (ADI)) \Rightarrow AH \bot (BCD)\).
Vậy \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \((BCD)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(H,K\) theo thứ tự là hình chiếu của \(A\) trên các cạnh \(SB,SD\). Khi đó:
Tam giác \(SBC\) vuông.
Tam giác \(SCD\) vuông.
\(SC \bot (AHK)\)
\(HK \bot SC\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ
a) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA({\rm{ do }}SA \bot (ABCD))}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB)} \right.\).
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot (SAB)}\\{SB \subset (SAB)}\end{array} \Rightarrow BC \bot SB} \right.\) hay \(\Delta SBC\) vuông tại \(B\).
b) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CD \bot AD}\\{CD \bot SA({\rm{do }}SA \bot (ABCD))}\end{array} \Rightarrow CD \bot (SAD)} \right.\).
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CD \bot (SAD)}\\{SD \subset (SAD)}\end{array} \Rightarrow CD \bot SD} \right.\) hay \(\Delta SCD\) vuông tại \(D\).
c) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AH \bot SB}\\{AH \bot BC({\rm{do }}BC \bot (SAB))}\end{array} \Rightarrow AH \bot (SBC) \Rightarrow AH \bot SC} \right.\). (1)
Tương tự: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AK \bot SD}\\{AK \bot CD({\rm{do }}CD \bot (SAD))}\end{array} \Rightarrow AK \bot (SCD) \Rightarrow AK \bot SC} \right.\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(SC \bot (AHK)\).
d) Vì \(SC \bot (AHK)\) mà \(HK \subset (AHK)\) nên \(HK \bot SC\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy là hình thoi tâm \(O\) và \(SA = SC,SB = SD\). Khi đó:
\(SO \bot AC\).
\(SO \bot (ABCD)\).
\(AC \bot (SBD)\).
\((AC,SB) = 60^\circ \).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Tam giác \(SAC\) cân tại \(S\)(do \(SA = SC)\), mà \(O\) là trung điểm \(AC\) nên \(SO \bot AC\). (1)
b) Tam giác \(SBD\) cân tại \(S\) (do \(SB = SD\)), mà \(O\) là trung điểm \(BD\) nên \(SO \bot BD\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(SO \bot (ABCD)\).
c) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot BD}\\{AC \bot SO({\rm{do }}SO \bot (ABCD))}\end{array}} \right. \Rightarrow AC \bot (SBD)\).
d) Vì \(AC \bot (SBD)\) nên \(AC \bot SB\). Suy ra \((AC,SB) = 90^\circ \).
Cho tứ diện \(ABCD\), có \(AB\) vuông góc với mặt đáy, tam giác \(BCD\) vuông tại \(B\).
Góc giữa \(CD\) và \(\left( {ABD} \right)\) là \(\widehat {CBD}\).
Góc giữa \(AC\) và \(\left( {BCD} \right)\) là \(\widehat {ACB}\).
Góc giữa \(AD\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {ADB}\).
Góc giữa \(AC\) và \(\left( {ABD} \right)\) là \(\widehat {CBA}\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) S, d) S
a) Có \(CB \bot BD\) (do tam giác \(BCD\) vuông tại \(B\)) và \(CB \bot AB\) (do \(AB \bot \left( {BCD} \right)\)).
Suy ra \(CB \bot \left( {ABD} \right)\). Do đó \(BD\) là hình chiếu vuông góc của \(CD\) trên mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\).
Vậy \(\left( {CD,\left( {ABD} \right)} \right) = \left( {CD,BD} \right) = \widehat {CDB}\).
b) Do \(AB \bot (BCD)\) nên \(BC\) là hình chiếu của \(AC\) lên \(\left( {BCD} \right)\).
Suy ra góc giữa \(AC\) và \(\left( {BCD} \right)\) là \(\left( {AC,BC} \right) = \widehat {ACB}\).
c) Tương tự có \(BD \bot \left( {ABC} \right)\). Suy ra \(AB\) là hình chiếu của \(AD\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Do đó \(\left( {AD,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {AD,AB} \right) = \widehat {BAD}\).
d) Vì \(CB \bot \left( {ABD} \right)\) nên hình chiếu của \(AC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) là \(AB\).
Do đó \(\left( {AC,\left( {ABD} \right)} \right) = \left( {AC,AB} \right) = \widehat {BAC}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right),ABCD\) là hình thoi cạnh \(a,AC = a\), \(SA = \frac{a}{2}\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên cạnh \(CD\).
\(AH \bot CD\).
\(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Góc \(SDC\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {S,CD,A} \right]\).
Số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,CD,A} \right]\) bằng \(30^\circ \).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot CD\).
Mà \(SH \bot CD\) nên \(CD \bot \left( {SHA} \right)\).
Do đó, \(CD \bot AH\) và góc \(\widehat {SHA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {S,CD,A} \right]\).
b) Xét tam giác \(ACD\) đều cạnh \(a\) có \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
c) Góc \(\widehat {SHA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {S,CD,A} \right]\).
d) Tam giác \(SAH\) vuông có: \({\rm{tan}}\widehat {SHA} = \frac{{SA}}{{AH}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)
Suy ra \(\widehat {SHA} = 30^\circ \). Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,CD,A} \right]\) bằng \(30^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right),AB \bot BC\), \(SA = AB = a,AC = a\sqrt 3 \).
\(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng \(\widehat {CSA}\).
\({\rm{tan}}\widehat {CSB} = 1\).
Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng \(60^\circ \).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot BC\). Mà \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
b) Vì \(BC \bot (SAB)\) nên góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng \(\widehat {CSB}\).
c) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2 \), tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 2 \).
Xét tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\) có \({\rm{tan}}\widehat {CSB} = \frac{{BC}}{{SB}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 2 }} = 1\) .
d) Vì \({\rm{tan}}\widehat {CSB} = 1\) nên \(\widehat {CSB} = 45^\circ \).
Vậy góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng \(45^\circ \).
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc với nhau. Biết rằng \(AB = AC = a,AD = a\sqrt 3 \).
\[AC \bot (ABD)\].
\((CD,(ABD)) = 30^\circ \).
Góc phẳng nhị diện \([A,BC,D] \approx 87,79^\circ \).
Góc phẳng nhị diện \([C,AB,D] = 90^\circ \).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot AB}\\{AC \bot AD}\end{array} \Rightarrow AC \bot (ABD)} \right.\).
b)\(AD\) là hình chiếu của \(CD\) trên \((ABD)\).
Ta có: \((CD,(ABD)) = (CD,AD) = \widehat {CDA}\).
Tam giác \(ACD\) vuông tại \(A\) có:
\(\tan \widehat {CDA} = \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {CDA} = 30^\circ \).
Vậy \((CD,(ABD)) = \widehat {CDA} = 30^\circ \).
c) Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) thì \(AM \bot BC\) (do \(AB = AC\)).
\({\rm{ V\`i }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD \bot AB}\\{AD \bot AC}\end{array}} \right. \Rightarrow AD \bot (ABC) \Rightarrow AD \bot BC.\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AM}\\{BC \bot AD}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow BC \bot (ADM)\) \( \Rightarrow BC \bot DM{\rm{.}}\)
Khi đó: \((AM,DM) = \widehat {AMD}\) là góc phẳng nhị diện \([A,BC,D]\).
Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên đường cao \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Tam giác \(ADM\) vuông tại \(A\) có:
\(\tan \widehat {AMD} = \frac{{AD}}{{AM}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 6 \Rightarrow \widehat {AMD} \approx 67,79^\circ \).
d) Vì \(AB \bot AC,AB \bot AD\) nên \((AC,AD) = \widehat {CAD}\) là góc phẳng nhị diện \([C,AB,D]\) và \(\widehat {CAD} = 90^\circ .\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \), biết \(SA = a\), \(SC = a\sqrt 3 \). Gọi \(M,N\) theo thứ tự là trung điểm các cạnh \(AD,SD\). Góc của hai đường thẳng \(MN\) và \(SC\)bằng bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 90
Vì \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\) nên \(MN//SA \Rightarrow (MN,SC) = (SA,SC)\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{AC}&{ = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }\\{}&{ = \sqrt {{{(a\sqrt 2 )}^2} + {{(a\sqrt 2 )}^2}} = 2a.}\end{array}\)
Xét tam giác \(SAC\), ta có:
\(S{A^2} + S{C^2} = A{C^2}\left( {{\rm{do }}{a^2} + {{(a\sqrt 3 )}^2} = {{(2a)}^2}} \right)\)
Suy ra tam giác \(SAC\) vuông tại \(S\).
Vậy \((MN,SC) = (SA,SC) = 90^\circ .\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(D,AB = 2AD = 2CD = 2\). Biết \(SA \bot (ABCD),SA = 3\). Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác \[SBC\] lên mặt phẳng \((SAB)\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 1,5
-Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\).
Dễ dàng chứng minh \(AICD\) là hình vuông \( \Rightarrow CI = \frac{1}{2}AB \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(C\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot SA}\\{BC \bot AC}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAC)} \right.\).
- Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CI \bot AB}\\{CI \bot SA}\end{array} \Rightarrow CI \bot (SAB)} \right.\)
Hình chiếu của \(\Delta SBC\) trên \(mp(SAB)\) là \(\Delta SIB\).
\({S_{\Delta SIB}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot 2 = \frac{3}{2} = 1,5\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và đáy \(ABCD\)là hình vuông cạnh 2 cm, \(SA = 1\;{\rm{cm}}\). Tính độ dài cạnh \(SC\) (đơn vị cm).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 3
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC\). Do đó tam giác \(SAC\) vuông tại \(A.\)
Hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng 2 nên \(AC = 2\sqrt 2 \).
Xét tam giác \(SAC\), ta có: \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {1 + 8} = 3\).
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(2a\sqrt 2 \). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA\). Góc giữa đường thẳng \(BM\) với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 60
Gọi \(O\) là giao điểm \(AC\) và \(BD,I\) là trung điểm của \(AO\).
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Do \(MI//SO\) nên \(MI \bot \left( {ABCD} \right)\); Suy ra \(\left( {BM,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {MBI}\).
Xét tam giác \(SAO\) vuông có \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \frac{{a\sqrt {30} }}{2}{\rm{.}}\)
Suy ra \(MI = \frac{1}{2}SO = \frac{{a\sqrt {30} }}{4}\).
Xét tam giác vuông \(BIO\) có \(BI = \sqrt {O{B^2} + O{I^2}} = \sqrt {O{B^2} + {{\frac{{OB}}{4}}^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\).
Khi đó, \({\rm{tan}}\widehat {MBI} = \frac{{MI}}{{BI}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {30} }}{4}}}{{\frac{{a\sqrt {10} }}{4}}} = \sqrt 3 \). Suy ra \(\widehat {MBI} = 60^\circ \).
Vậy góc giữa đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(60^\circ \).
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Góc giữa đường thẳng \(SA\) với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 45
Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\).
Do \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Khi đó hình chiếu của \(SA\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(OA\).
Do đó, góc giữa đường thẳng \(SA\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(OA\).
Xét tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\), ta có \(OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), \(SA = a\).
\(\cos \widehat {SAO} = \frac{{OA}}{{SA}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Do đó \(\widehat {SAO} = 45^\circ \).
Vậy, \(\left( {SA,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SA,AO} \right) = \widehat {SAO} = 45^\circ .\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,SA \bot (ABCD)\). Biết góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là \(60^\circ \). Góc phẳng nhị diện \([S,BD,C]\) là bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 106
![Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,SA vuông góc ABCD). Biết góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \((ABC) là 60 độ. Góc phẳng nhị diện [S,BD,C] là bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/03/blobid5-1773889676.png)
Ta có: \(SA \bot (ABCD)\) tại \(A\) \( \Rightarrow AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mp \((ABCD)\)
\( \Rightarrow (SC,(ABCD)) = (SC,AC) = \widehat {SCA} = 60^\circ \).
Ta có: \(SA = AC \cdot \tan 60^\circ = a\sqrt 2 \cdot \sqrt 3 = \sqrt 6 a\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot SA}\\{BD \bot AC}\end{array} \Rightarrow BD \bot (SAC)} \right.\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SBD) \cap (CBD) = BD}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} \,(CBD),CO \bot BD \Rightarrow [S,BD,C] = \widehat {SOC}}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} \,(SBC),SO \bot BD}\end{array}} \right.\)
Xét \(\Delta SAO\) vuông tại \(A:\tan \widehat {SOA} = \frac{{SA}}{{AO}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = 2\sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SOA} \approx 74^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {SOC} \approx 106^\circ \).
Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có đáy tâm \(O\), cạnh \(a\) và cạnh bên là \(2a\), \(I\) là trung điểm của \(BC\). Góc phẳng nhị diện \([S,BC,O]\) bằng bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 81,4
![Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy tâm O, cạnh a và cạnh bên là 2a, I là trung điểm của BC. Góc phẳng nhị diện [S,BC,O] bằng bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/03/blobid6-1773889760.png)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SBC) \cap (ABC) = BC}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} \,(ABC),OI \bot BC \Rightarrow [S,BC,O] = \widehat {SIO}}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} \,(SBC),SI \bot BC}\end{array}} \right.\)
\(OI = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6},SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {33} }}{3}a\)
Xét \(\Delta SOI\) vuông tại \(O:\tan \widehat {SIO} = \frac{{SO}}{{OI}} = \frac{{\frac{{\sqrt {33} a}}{3}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{6}}} = 2\sqrt {11} \Rightarrow \widehat {SIO} \approx 81,4^\circ \).
\( \Rightarrow [S,BC,O] \approx 81,4^\circ \).
