Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Chương V. Một số yếu tố thống kê và xác suất
40 câu hỏi
Khảo sát cân nặng của 30 bạn học sinh (đơn vị: kilogam), ta có bảng tần số ghép nhóm:
Cân nặng(m) | [15;20) | [20;25) | [25;30) | [30;35) | [35;40) | [40;45) | [45;50) | [50;55) |
Số học sinh | 1 | 0 | 0 | 1 | 10 | 17 | 0 | 1 |
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {25;30} \right)\)là
\(27,5.\)
\(25.\)
\(30.\)
\(27.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Giá trị đại diện của nhóm là \(\frac{{25 + 30}}{2} = 27,5\).
Xác định số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
\(25.\)
\(40.\)
\(30.\)
\(27.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Cân nặng(m) | [15;20) | [20;25) | [25;30) | [30;35) | [35;40) | [40;45) | [45;50) | [50;55) |
Giá trị đại diện | 17,5 | 22,5 | 27,5 | 32,5 | 37,5 | 42,5 | 47,5 | 52,5 |
Số học sinh | 1 | 0 | 0 | 1 | 10 | 17 | 0 | 1 |
Số trung bình của mẫu số liệu là:
\(\frac{{17,5.1 + 22,5.0 + 27,5.0 + 32,5.1 + 37,5.10 + 42,5.17 + 47,5.0 + 52,5.1}}{{30}} = 40\).
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu
\(40,5.\)
\(42,5.\)
\(41,5.\)
\(41,25.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Nhóm chứa mốt là nhóm \(\left[ {40;45} \right)\)
Ta có \({M_o} = 40 + \frac{{17 - 10}}{{\left( {17 - 10} \right) + \left( {17 - 0} \right)}}.\left( {45 - 40} \right) \approx 41,5\).
Anh Ba ghi nhận lại kết quả ném lao của mình ở cự li 30 lần, và có bảng sau:
Cự li (m) | [69,2;70) | [70;70,8) | [70,8;71,6) | [71,6;72,4) | [72,4;73,2) |
Số lần | 4 | 2 | 9 | 10 | 5 |
Cự li trung bình mỗi lần ném của anh Ba
\(73,5.\)
\(42,5.\)
\(41,5.\)
\(71,5.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Cự li (m) | [69,2;70) | [70;70,8) | [70,8;71,6) | [71,6;72,4) | [72,4;73,2) |
Giá trị đại diện | 69,6 | 70,4 | 71,2 | 72 | 72,8 |
Số lần | 4 | 2 | 9 | 10 | 5 |
Cự li trung bình mỗi lần ném của anh Ba là:
\(\frac{{69,6.4 + 70,4.2 + 71,2.9 + 72.10 + 72,8.5}}{{30}} \approx 71,5\).
Khả năng anh Ba ném được khoảng bao nhiêu mét là cao nhất?
\(71,7.\)
\(71,75.\)
\(71,8.\)
\(71,5.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Nhóm chứa mốt là nhóm [71,6;72,4).
Khả năng anh Ba ném xa nhất là: \({M_o} = 71,6 + \frac{{10 - 9}}{{\left( {10 - 9} \right) + \left( {10 - 5} \right)}}.\left( {72,4 - 71,6} \right) \approx 71,7\).
Số lượng huy chương vàng tại Sea Games 31 được thống kê
Số huy chương | \(\left[ {0;10} \right)\) | \(\left[ {10;50} \right)\) | \(\left[ {50;100} \right)\) | \(\left[ {100;210} \right)\) |
Quốc gia | \(5\) | \(2\) | \(3\) | \(1\) |
Xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên
\(10\).
\(15\).
\(20\).
\(30\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Nhóm chứa trung vị là \(\left[ {10;50} \right)\).
Ta có \({M_e} = 10 + \frac{{5,5 - 5}}{2}.40 = 20\).
Đo cân nặng của 1 lớp gồm \(40\) học sinh lớp 12B
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm thuộc khoảng nào sau đây?
\[\left[ {40;45} \right]\].
\[\left[ {45;50} \right]\].
\[\left[ {50;55} \right]\].
\[\left[ {55;60} \right]\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Nhóm chứa tứ phân vị thứ hai là \(\left[ {50;55} \right)\).
\({Q_2} = 50 + \frac{{\frac{{40}}{2} - 17}}{7}.5 \approx 52,14\).
Đo cân nặng của 1 lớp gồm \(40\) học sinh lớp 12B
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm thuộc khoảng nào sau đây?
\[\left[ {40;45} \right]\].
\[\left[ {45;50} \right]\].
\[\left[ {50;55} \right]\].
\[\left[ {55;60} \right]\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là \(\left[ {45;50} \right)\).
\({Q_1} = 45 + \frac{{\frac{{40}}{4} - 4}}{{13}}.5 \approx 47,3\).
Thống kê điểm thi đánh giá năng lực của một trường THPT qua thang điểm \(120\) môn Toán
Điểm | \(\left[ {0;20} \right)\) | \(\left[ {20;40} \right)\) | \(\left[ {40;60} \right)\) | \(\left[ {60;80} \right)\) | \(\left[ {80;100} \right]\) |
Số học sinh | \(25\) | \(35\) | \(37\) | \(15\) | \(8\) |
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm thuộc khoảng nào sau đây?
\[\left[ {40;45} \right]\].
\[\left[ {45;50} \right]\].
\[\left[ {50;55} \right]\].
\[\left[ {55;60} \right]\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Nhóm chứa trung vị là nhóm \(\left[ {20;40} \right)\).
\({M_e} = 20 + \frac{{60 - 25}}{{35}}.20 = 40\).
Thống kê điểm thi đánh giá năng lực của một trường THPT qua thang điểm \(120\) môn Toán
Điểm | \(\left[ {0;20} \right)\) | \(\left[ {20;40} \right)\) | \(\left[ {40;60} \right)\) | \(\left[ {60;80} \right)\) | \(\left[ {80;100} \right]\) |
Số học sinh | \(25\) | \(35\) | \(21\) | \(31\) | \(8\) |
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm thuộc khoảng nào sau đây?
\[\left[ {60;65} \right]\].
\[\left[ {65;70} \right]\].
\[\left[ {50;55} \right]\].
\[\left[ {55;60} \right]\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {60;80} \right)\).
\({Q_3} = 60 + \frac{{90 - 81}}{{31}}.20 \approx 65,8\).
Cho \(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) - P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)\).
Vì \(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc nên \(A \cap B = \emptyset \). Từ đó suy ra \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Cho \(A\), \(B\) là hai biến cố xung khắc. Biết \(P\left( A \right) = \frac{1}{3}\), \(P\left( B \right) = \frac{1}{4}\). Tính \(P\left( {A \cup B} \right)\).
\(\frac{7}{{12}}\).
\(\frac{1}{{12}}\).
\(\frac{1}{7}\).
\(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{7}{{12}}\).
Một hộp đựng \(4\) viên bi xanh, \(3\) viên bi đỏ và \(2\) viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Xác suất để chọn được hai viên bi cùng màu là
\(\frac{5}{{18}}\).
\(\frac{1}{6}\).
\(\frac{1}{{36}}\).
\(\frac{1}{{12}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi \[A\] là biến cố: “Chọn được hai viên bi xanh”.
\[B\] là biến cố: “Chọn được hai viên bi đỏ”.
\[C\] là biến cố: “Chọn được hai viên bi vàng”.
Khi đó biến cố: “Chọn được hai viên bi cùng màu” là biến cố \(A \cup B \cup C\).
Do \(A,B,C\) đôi một xung khắc với nhau nên theo quy tắc cộng ta có:
\(P\left( {A \cup B \cup C} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) + P\left( C \right)\)
Ta có \(P\left( A \right) = \frac{{C_4^2}}{{C_9^2}} = \frac{6}{{36}};\,\,P\left( B \right) = \frac{{C_3^2}}{{C_9^2}} = \frac{3}{{36}};\,\,P\left( C \right) = \frac{{C_2^2}}{{C_9^2}} = \frac{1}{{36}}\).
Vậy \(P\left( {A \cup B \cup C} \right) = \frac{6}{{36}} + \frac{3}{{36}} + \frac{1}{{36}} = \frac{5}{{18}}\).
Một chiếc hộp có chín thẻ đánh số thứ tự từ \(1\) đến \(9\). Rút ngẫu nhiên \(2\) thẻ rồi nhân hai số ghi trên thẻ lại với nhau. Tính xác suất để kết quả nhân được là một số chẵn.
\(\frac{5}{{54}}\).
\(\frac{8}{9}\).
\(\frac{4}{9}\).
\(\frac{{13}}{{18}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Trường hợp 1: hai số rút ra đều là số chẵn: \({p_1} = \frac{{C_4^2}}{{C_9^2}} = \frac{1}{6}\).
Trường hợp 2: hai số rút ra có một số lẻ, một số chẵn: \({p_2} = \frac{{C_4^1.C_5^1}}{{C_9^2}} = \frac{5}{9}\).
Vậy xác suất để kết quả nhân được là một số chẵn là \(p = {p_1} + {p_2} = \frac{1}{6} + \frac{5}{9} = \frac{{13}}{{18}}\).
Đầu tiết học, cô giáo kiểm tra bài cũ bằng cách gọi lần lượt từng người từ đầu danh sách lớp lên bảng trả lời câu hỏi. Biết rằng học sinh đầu tiên trong danh sách lớp là An, Bình, Cường với xác suất thuộc bài lần lượt là \(0,9;\) \(0,7\) và \(0,8.\) Cô giáo sẽ dừng kiểm tra sau khi đã có 2 học sinh thuộc bài. Tính xác suất cô giáo chỉ kiểm tra bài cũ đúng 3 bạn trên.
\[0,504\].
\[0,216\].
\[0,056\].
\[0,272\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Trường hợp 1. An thuộc bài, Bình không thuộc bài, Cường thuộc bài ta có xác suất:
\(0,9 \times \left( {1 - 0,7} \right) \times 0,8 = 0,216.\)
Trường hợp 2. An không thuộc bài, Bình thuộc bài, Cường thuộc bài ta có xác suất:
\(\left( {1 - 0,9} \right) \times 0,7 \times 0,8 = 0,056.\)
Vậy xác suất cần tìm là \(0,216 + 0,056 = 0,272.\)
Gieo một con xúc sắc \(3\) lần. Tìm xác suất của biến cố \(A\): “ Mặt \(6\) chấm xuất hiện ít nhất một lần”
\(P\left( A \right) = 1 - {\left( {\frac{5}{6}} \right)^3}\).
\(P\left( A \right) = 1 - {\left( {\frac{1}{6}} \right)^3}\).
\(P\left( A \right) = 3 - {\left( {\frac{5}{6}} \right)^3}\).
\(P\left( A \right) = 2 - {\left( {\frac{5}{6}} \right)^3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi \({A_i}\) là biến cố : “Mặt \(6\) chấm không xuất hiện lần gieo thứ \(i\)” với \(i = 1,2,3.\)
Ta có \(P({A_i}) = \frac{5}{6}\) với \(i = 1,2,3.\)
Biến cố \(\overline A \): “ Mặt \(6\) chấm không xuất hiện trong cả 3 lần gieo”.
vì \(\overline A = {A_1}{A_2}{A_3}\)và\({A_1};\,{A_2};\,{A_3}\) độc lập với nhau.
nên \(P\left( {\overline A } \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}} \right).P\left( {{A_3}} \right) = {\left( {\frac{5}{6}} \right)^3}\).
Vậy \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - {\left( {\frac{5}{6}} \right)^3}\).
Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là \(0,51\). Tìm xác suất sao cho trong \(4\)lần sinh có ít nhất \(1\) lần sinh con trai.
\(0,84.\)
\(0,94.\)
\(0,74.\)
\(0,64.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi \(B\) là biến cố: “Trong bốn lần sinh có ít nhất \(1\) lần sinh con trai”.
\(\overline B \) là biến cố: “Trong bốn lần sinh đều không sinh con trai”.
Gọi \({B_i}\) là biến cố : “Lần thứ i sinh con gái” với \(i = 1,2,3,4.\)
Suy ra \(P({B_i}) = 0,49\) với \(i = 1,2,3,4.\)
Vì \(\overline B = {B_1}{B_2}{B_3}{B_4}\)và\({B_1};{B_2};{B_3};{B_4}\) độc lập với nhau.
nên\(P\left( {\overline B } \right) = P\left( {{B_1}} \right).P\left( {{B_2}} \right).P\left( {{B_3}} \right).P\left( {{B_4}} \right).\)
\( \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - {\left( {0,49} \right)^4} \approx 0,94.\)
Một đề trắc nghiệm gồm \(40\) câu, mỗi câu có 4 đáp án và chỉ có một đáp án đúng. Bạn Bình làm đúng \(30\)câu, còn \(10\) câu bạn Bình đánh hú họa vào đáp án mà Bình cho là đúng. Mỗi câu đúng được \(0,25\)điểm. Tính xác suất để Bình \(9\) điểm?
\(0,02622200012\).
\(0,03622200012\).
\(0,01622200012\).
\(0,04622200012\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Mỗi câu làm đúng, bạn Bình được \(\frac{1}{4}\)điểm.
Bạn Bình làm đúng \(30\) câu nên có số điểm là \(30.\frac{1}{4} = 7,5\)điểm.
Bạn Bình được \(9\)điểm khi làm đúng \(6\) trong câu \(10\) câu còn lại.
Nên xác suất để Bình làm đúng \(6\) trong câu \(10\) câu còn lại.
\(C_{10}^6{\left( {\frac{1}{4}} \right)^6}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} = 0,01622200012.\)
Cả hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia là \(0,8\); người thứ hai bắn trúng bia là\(0,6\). Hãy tính xác suất của biến cố \(D\): “Có ít nhất một người bắn trúng bia”.
\(P(D) = 0,82.\)
\(P(D) = 0,93.\)
\(P(D) = 0,83.\)
\(P(D) = 0,92.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Gọi \(B\)là biến cố: "Cả hai người đều bắn không trúng bia".
\({A_1}\) là biến cố : “ Người thứ nhất bắn trúng bia”
\({A_2}\) là biến cố : “ Người thứ hai bắn trúng bia”
\(P\left( {{A_1}} \right) = 0,8;\,P\left( {{A_2}} \right) = 0,6.\)
Vì \(B = \overline {{A_1}} \overline {{A_2}} \) và \(\overline {{A_1}} \) và \(\overline {{A_2}} \) là hai biến cố độc lập.
nên\(P(B) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right)P\left( {\overline {{A_2}} } \right) = \left[ {1 - P({A_1})} \right]\left[ {1 - P({A_2})} \right] = 0,2.0,4 = 0,08\).
Vì biến cố \(D\): "Có ít nhất một người bắn trúng bia".
Nên biến cố \(D\) là biến cố đối của \(B\).
Do đó \(P(D) = 1 - P(B) = 1 - 0,08 = 0,92.\)
Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố. Biết
A và B là hai biến cố xung khắc.
A và B là hai biến cố độc lập.
A và B là hai biến cố đối.
A và B là hai biến cố không độc lập.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(P\left( {\overline A } \right) = 0,7 \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 0,3.\)
mà\(P\left( {AB} \right) = 0,06\)
\( \Rightarrow P\left( A \right).P\left( B \right) = P\left( {AB} \right).\)
Vậy\(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập.
Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả cam ở mỗi lô hàng A, B được cho ở bảng sau:
Khi đó:
Giá trị đại diện nhóm \(\left[ {150;155} \right]\) bằng \(152,5\).
Cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô A là: 163,7 (gam).
Cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô B là: 162,1 (gam).
Theo số trung bình thì cam ở lô hàng B nặng hơn cam ở lô hàng A.
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
Bảng thống kê số lượng cam theo giá trị đại diện
Căn nặng đại diện (g) | 152,5 | 157,5 | 162,5 | 167,5 | 172,5 |
Số quả cam ở lô hàng A | 2 | 6 | 12 | 4 | 1 |
Số quả cam ở lô hàng B | 1 | 3 | 7 | 10 | 4 |
a) Giá trị đại diện nhóm \(\left[ {150;155} \right)\) bằng \(152,5\).
b) Cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô A là:
\(\overline {{x_A}} = \frac{{152,5.2 + 157,5.6 + 162,5.12 + 167,5.4 + 172,5.1}}{{25}} = 161,7\) (gam).
c) Cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô B là:
\(\overline {{x_B}} = \frac{{152,5.1 + 157,5.3 + 162,5.7 + 167,5.10 + 172,5.4}}{{25}} = 165,1\) (gam).
d) Vì \(\overline {{x_A}} < \overline {{x_B}} \). Vậy nếu so sánh theo số trung bình thì cam ở lô hàng B nặng hơn cam ở lô hàng A.
Số lượng người đi xem một bộ phim mới theo độ tuổi trong một rạp chiếu phim (sau 1 giờ đầu công chiếu) được ghi lại theo bảng phân phối ghép nhóm sau:
Khi đó:
Giá trị đại diện nhóm \(\left[ {50;60} \right)\) là 55.
Độ tuổi được dự báo là ít xem phim đó nhất là thuộc nhóm \(\left[ {50;60} \right)\).
Nhóm chứa mốt là nửa khoảng \(\left[ {30;40} \right)\).
Độ tuổi được dự báo là thích xem phim đó nhiều nhất là 31 tuổi.
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Giá trị đại diện nhóm là 55.
b) Độ tuổi được dự báo là ít xem phim đó nhất là thuộc nhóm \(\left[ {50;60} \right)\).
c) Nhóm chứa mốt là nửa khoảng \(\left[ {30;40} \right)\).
d) Ta có mốt là \({M_0} = 30 + \frac{{16 - 12}}{{\left( {16 - 12} \right) + \left( {16 - 7} \right)}}.10 = \frac{{430}}{{13}} \approx 33,08\).
Vậy độ tuổi được dự báo là thích xem phim đó nhiều nhất là 33 tuổi.
Số cuộc gọi điện thoại một người thực hiện mỗi ngày trong 30 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên được thống kê trong bảng sau:
Khi đó:
Số cuộc gọi trung bình mỗi ngày là \(8,1\).
Nhóm chứa mốt là \(\left[ {5,5;8,5} \right)\).
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm khoảng 7,21.
Người đó thực hiện tối đa khoảng 8 cuộc gọi mỗi ngày.
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
Bảng tần số ghép nhóm theo giá trị đại diện là
a) Số cuộc gọi trung bình mỗi ngày là \(\overline x = \frac{{4.5 + 7.13 + 10.7 + 13.3 + 16.2}}{{30}} = 8,4\).
b) Nhóm chứa mốt là \(\left[ {5,5;8,5} \right)\).
c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({M_0} = 5,5 + \frac{{13 - 5}}{{\left( {13 - 5} \right) + \left( {13 - 7} \right)}}.3 = \frac{{101}}{{14}} \approx 7,21\).
d) Người đó thực hiện tối đa khoảng 7 cuộc gọi mỗi ngày.
Dựa vào bảng tần số mẫu số liệu ghép nhóm sau
Khi đó:
Cỡ mẫu của mẫu số liệu là \(n = 40\).
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là \({Q_2} = 45\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là \({Q_1} = 48\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là \({Q_3} = 61,5\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Cỡ mẫu của mẫu số liệu là \(n = 2 + 10 + 16 + 8 + 2 + 2 = 40\).
b) Ta có \(\frac{n}{2} = \frac{{40}}{2} = 20\).
Suy ra nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn 20 là nhóm \(\left[ {50;60} \right)\).
Ta có \({Q_2} = 50 + \frac{{20 - \left( {2 + 10} \right)}}{{16}}.10 = 55\).
c) Ta có \(\frac{n}{4} = 10\). Suy ra nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn 10 là nhóm \(\left[ {40;50} \right)\).
Ta có \({Q_1} = 40 + \frac{{10 - 2}}{{10}}.10 = 48\).
d) Ta có \(\frac{{3n}}{4} = 30\). Suy ra nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn 30 là nhóm \(\left[ {60;70} \right)\).
Ta có \({Q_3} = 60 + \frac{{30 - 28}}{8}.10 = 62,5\).
Khi đo mắt cho học sinh khối 10 ở một trường THPT nhân viên y tế ghi nhận lại ở bảng sau:
Số trung bình của mẫu số liệu trên khoảng 1,14.
Nhóm chứa mốt của số liệu là \(\left[ {0,75;1,25} \right)\).
Mốt của mẫu số liệu là \({M_0} = 0,89\).
Trung vị của mẫu số liệu là \({M_e} \approx 1,039\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ
Ta có bảng gồm có giá trị đại diện như sau
a) Số trung bình của mẫu số liệu trên là \(\frac{{0,5.25 + 1.32 + 1,5.14 + 2.12 + 2,5.4}}{{87}} = 1,14\).
b) Nhóm chứa một của số liệu là \(\left[ {0,75;1,25} \right)\).
c) Mốt của mẫu số liệu là \({M_0} = 0,75 + \frac{{32 - 25}}{{\left( {32 - 25} \right) + \left( {32 - 14} \right)}}\left( {1,25 - 0,75} \right) = 0,89\).
d) Ta có \(\frac{n}{2} = \frac{{87}}{2} = 43,5\).
Nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn 43,5 là nhóm \(\left[ {0,75;1,25} \right)\).
Ta có \({M_e} = 0,75 + \frac{{43,5 - 25}}{{32}}.0,5 \approx 1,039\).
Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập với nhau, biết \(P(A) = 0,2;P(B) = 0,3\). Khi đó:
\(P(AB) = 0,06\).
\(P(A\bar B) = 0,12\).
\(P(\bar A\bar B) = 0,56\).
\(P(\bar AB) = 0,24\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
Vì \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên \(A,B,\bar A,\bar B\) là các biến cố đôi một độc lập.
a) \(P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,2 \cdot 0,3 = 0,06\).
b) \(P(A\bar B) = P(A) \cdot P(\bar B) = 0,2 \cdot 0,7 = 0,14\).
c) \(P(\bar A\bar B) = P(\bar A) \cdot P(\bar B) = 0,8 \cdot 0,7 = 0,56\).
d) \(P(\bar AB) = P(\bar A) \cdot P(B) = 0,8.0,3 = 0,24\).
Một người vừa gieo một con xúc xắc để ghi lại số chấm xuất hiện, sau đó người này tiếp tục chọn ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài 52 lá. Tính xác suất để :
Gọi \(A\) là biến cố: "Số chấm của xúc xắc lớn nhất", khi đó: \(P(A) = \frac{1}{6}\).
Gọi \(B\) là biến cố: "Chọn được một lá bài tây", khi đó: \(P(B) = \frac{3}{{13}}\).
Xác suất để số chấm trên con xúc xắc là lớn nhất và chọn được một lá bài tây bằng:\(\frac{1}{{26}}\).
Xác suất để số chấm trên con xúc xắc và số của lá bài là giống nhau bằng: \(\frac{1}{{16}}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
Gọi \(A\) là biến cố: "Số chấm của xúc xắc lớn nhất", \(B\) là biến cố: "Chọn được một lá bài tây".
Dễ thấy \(A,B\) là hai biến cố độc lập.
a) Ta có: \(A = \{ 6\} \Rightarrow n(A) = 1 \Rightarrow P(A) = \frac{1}{6}\).
b) Ta biết bộ bài 52 lá thì có 12 lá bài tây, nên xác suất chọn được một lá bài tây là \(P(B) = \frac{3}{{13}}\).
c) Suy ra \(P(AB) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{{13}} = \frac{1}{{26}}\).
d) Để thu được số chấm trên con xúc xắc và số của lá bài giống nhau thì ta có 6 cách để có được số chấm một con xúc xắc, ứng với mỗi cách đó thì có đúng 4 cách tìm được lá bài thoả mãn.
Việc gieo xúc xắc và rút ngẫu nhiên lá bài là độc lập.
Gọi \(X\) là biến cố cần tính xác suất, ta có: \(P(X) = \frac{6}{6} \cdot \frac{4}{{52}} = \frac{1}{{13}}\).
Một hộp đựng 30 tấm thẻ có đánh số từ 1 đến 30 , hai tấm thẻ khác nhau đánh hai số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp, khi đó xác suất để lấy được:
Thẻ đánh số chia hết cho 3 bằng:\(\frac{1}{3}\).
Thẻ đánh số chia hết cho 4 bằng:\(\frac{{11}}{{30}}\).
Thẻ đánh số chia hết cho 3 và chia hết cho 4 bằng:\(\frac{1}{{15}}\).
Thẻ đánh số chia hết cho 3 hoặc 4 bằng:\(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Gọi \(A\) là biến cố: “Lấy được thẻ đánh số chia hết cho 3". Suy ra \(n(A) = 10\) và \(P(A) = \frac{{10}}{{30}} = \frac{1}{3}\).
b) Gọi \(B\) là biến cố "Lấy được thẻ đánh số chia hết cho 4 ". Suy ra \(n(B) = 7\) và \(P(B) = \frac{7}{{30}}\).
c) Ta có \(AB\) là biến cố: "Lấy được thẻ đánh số chia hết cho 3 và chia hết cho 4". Suy ra \(AB = \{ 12;24\} ,n(AB) = 2\) và \(P(AB) = \frac{2}{{30}} = \frac{1}{{15}}\).
d) Xác suất để lấy được thẻ đánh số chia hết cho 3 hoặc 4 là:
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{1}{3} + \frac{7}{{30}} - \frac{1}{{15}} = \frac{1}{2}\).
Một hộp đựng 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20 , hai tấm thẻ khác nhau đánh hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ, gọi \(A\) là biến cố: "Rút được thẻ đánh số chia hết cho 2", gọi \(B\) là biến cố rút được thẻ đánh số chia hết cho 3. Khi đó:
\(P(A) = \frac{1}{2}{\rm{. }}\)
\(P(B) = \frac{3}{{10}}{\rm{. }}\)
\(P(AB) = \frac{3}{{20}}\).
Xác suất để rút được thẻ mang số chia hết cho 2 hoặc 3 bằng \(\frac{{13}}{{18}}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Gọi \(A\) là biến cố: "Rút được thẻ đánh số chia hết cho 2", ta có:
\(A = \{ 2;4;6;8;10;12;14;16;18;20\} {\rm{, suy ra }}P(A) = \frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2}{\rm{. }}\)
b) Gọi \(B\) là biến cố rút được thẻ đánh số chia hết cho 3, ta có:
\(B = \{ 3;6;9;12;15;18\} {\rm{, suy ra }}P(B) = \frac{6}{{20}} = \frac{3}{{10}}{\rm{. }}\)
c) Ta có biến cố giao \(AB = \{ 6;12;18\} \), suy ra \(P(AB) = \frac{3}{{20}}\).
d) Xác suất để rút được thẻ đánh số chia hết cho 2 hoặc 3 là:
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{1}{2} + \frac{3}{{10}} - \frac{3}{{20}} = \frac{{13}}{{20}}\).
Túi \(X\) chứa ba viên bi trắng và hai viên bi đỏ. Túi \(Y\) chứa một màu trắng và ba màu đỏ viên bi. Người ta chọn ngẫu nhiên mỗi hộp và lấy ra 1 viên bi.
Gọi \(A\) là biến cố "Lấy được viên bi màu trắng từ túi \(X\)" khi đó: \(P(A) = \frac{3}{5}\).
Gọi \(B\) là biến cố "Lấy được viên bi màu trắng từ túi \(Y\)" khi đó: \(P(B) = \frac{1}{3}\).
Gọi \({X_2}\) là biến cố "Lấy được hai viên bi cùng màu đỏ" khi đó: \(P\left( {{X_2}} \right) = \frac{4}{5}\).
Xác suất để lấy được hai viên bi cùng màu bằng \(P(X) = \frac{7}{{15}}.\)
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) S, d) S
Gọi \(A\) là biến cố "Lấy được viên bi màu trắng từ túi \(X\)"; \(B\) là biến cố "Lấy được viên bi màu trắng từ túi \(Y\)";
\({X_1}\) là biến cố "Lấy được hai viên bi cùng màu trắng".
a) b) Ta có: \(P(A) = \frac{3}{5},P(B) = \frac{1}{4}\).
c) Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập và \({X_1} = A \cap B\) nên \(P\left( {{X_1}} \right) = P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{{20}}\).
\({X_2}\) là biến cố "Lấy được hai viên bi cùng màu đỏ".
Vì \(\bar A\) và \(\bar B\) là hai biến cố độc lập và \({X_2} = \bar A \cap \bar B\) nên \(P\left( {{X_2}} \right) = P(\bar A) \cdot P(\bar B) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{{10}}\).
d) Biến cố để hai viên bi lấy ra cùng màu là \(X = {X_1} \cup {X_2}\)
Vì \({X_1}\) và \({X_2}\) là hai biến cố xung khắc, xác suất để hai viên bi lấy ra cùng màu là:
\(P(X) = P\left( {{X_1}} \right) + P\left( {{X_2}} \right) = \frac{3}{{20}} + \frac{3}{{10}} = \frac{9}{{20}}.\)
Khảo sát số lần sử dụng Facebook của một người thực hiện mỗi ngày trong 30 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên được thống kê trong bảng sau:
Số lần sử dụng Facebook | \([3;5]\) | \([6;8]\) | \([9;11]\) | \([12;14]\) | \([15;17]\) |
Số ngày | 2 | 5 | 11 | 8 | 4 |
Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 10,5
Do số lần sử dụng Facebook là số nguyên nên ta chỉnh lại như sau:
Số lần sử dụng Facebook | \([2,5;5,5)\) | \([5,5;8,5)\) | \([8,5;11,5)\) | \([11,5;14,5)\) | \([14,5;17,5)\) |
Số ngày | 2 | 5 | 11 | 8 | 4 |
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là \([8,5;11,5)\)
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({M_o} = 8,5 + \frac{{11 - 5}}{{(11 - 5) + (11 - 8)}} \cdot 3 = 10,5\).
Bảng sau cho ta cân nặng của học sinh một lớp 11:
Cân nặng (kg) | \([40,5;45,5)\) | \([45,5;50,5)\) | \([50,5;55,5)\) | \([55,5;60,5)\) | \([60,5;65,5)\) |
Số học sinh | 10 | 7 | 16 | 4 | 2 |
Tìm cân nặng trung bình của học sinh lớp 11 đó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 50,6
Bảng thống kê cân nặng của học sinh theo giá trị đại diện:
Cân nặng (kg) | 43 | 48 | 53 | 58 | 63 |
Số học sinh | 10 | 7 | 16 | 4 | 2 |
Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11 đó là:
\(\bar x = \frac{{43 \cdot 10 + 48 \cdot 7 + 53 \cdot 16 + 58 \cdot 4 + 63 \cdot 2}}{{39}} \approx 50,6{\rm{(kg)}}.\)
Một công ty bất động sản Đất Vàng thực hiện cuộc khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào để tiến hành dự án xây nhà ở Thăng Long group sắp tới. Kết quả khảo sát 500 khách hàng được ghi lại ở bảng sau:
Mức giá (triệu đồng/m2) | \([10;14)\) | \([14;18)\) | \([18;22)\) | \([22;26)\) | \([26;30)\) |
Số khách hàng | 75 | 105 | 179 | 96 | 45 |
Công ty bất động sản Đất Vàng nên xây nhà ở mức giá bao nhiêu triệu đồng/m2 để nhiều người có nhu cầu xây nhà ?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 19,9
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là \([18;22)\)
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({M_o} = 18 + \frac{{179 - 105}}{{(179 - 105) + (179 - 96)}} \cdot 4 \approx 19,9\).
Dựa vào kết quả trên ta có thể dự đoán rằng nếu công ty bất động sản Đất Vàng xây nhà ở mức giá 19,9 triệu đồng \({\rm{/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) thì sẽ có nhiều người mua nhất.
Kết quả thu thập điểm số môn Toán của 25 học sinh khi tham gia kì thi học sinh giỏi toán 11 (thang điểm 20) cho ta bảng tần số ghép nhóm sau:
Nhóm | \([0;4)\) | \([4;8)\) | \([8;12)\) | \([12;16)\) | \([16;20)\) |
Số học \(\sinh \) | 1 | 7 | 12 | 3 | 2 |
Tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 9,5
Cỡ mẫu của mẫu số liệu là \(n = 25\).
Ta có \(\frac{n}{2} = \frac{{25}}{2} = 12,5\). Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn 12,5 là nhóm \(\left[ {8;12} \right)\).
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \({M_e} = 8 + \frac{{\frac{{25}}{2} - 8}}{{12}}(12 - 8) = 9,5.\)
Tổng hợp tiền lương tháng của một số nhân viên văn phòng được ghi lại như sau (đơn vị: triệu đồng)
Lương tháng (triệu đồng) | \([6;8)\) | \([8;10)\) | \([10;12)\) | \([12;14)\) |
Số nhân viên | 3 | 6 | 8 | 7 |
Hãy ước lượng tứ phân vị thứ nhất của số liệu ở bảng tần số ghép nhóm trên?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 9
Cỡ mẫu của mẫu số liệu trên là \(n = 24\).
Ta có \(\frac{n}{4} = \frac{{24}}{4} = 6\). Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn 6 là \(\left[ {8;10} \right)\).
Ta có \({Q_1} = 8 + \frac{{\frac{{24}}{4} - 3}}{6}(10 - 8) = 9\).
An và Bình không quen biết nhau và học ở hai nơi khác nhau. Xác suất để An và Bình đạt điểm giỏi về môn Toán trong kì thi cuối năm tương ứng là 0,92 và 0,88 . Tính xác suất để cả An và Bình đều đạt điểm giỏi (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,8
Gọi \(A\) là biến cố: "An đạt điểm giỏi về môn Toán".
Gọi \(B\) là biến cố: "Bình đạt điểm giỏi về môn Toán".
Dễ thấy \(A,B\) là hai biến cố độc lập, khi đó \(AB\) là biến cố: "Cả An và Bình đều đạt điểm giỏi môn Toán".
Ta có: \(P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,92 \cdot 0,88 = 0,8096 \approx 0,8\).
Hai xạ thủ cùng bắn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ thứ nhất bằng \(\frac{1}{2}\), xác suất bắn trúng bia của xạ thủ thứ hai bằng \(\frac{1}{3}\). Tính xác suất cả hai xạ thủ đều bắn không trúng bia (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,33
Gọi \(A\) là biến cố: "Xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia" và \(B\) là biến cố: "Xạ thủ thứ hai bắn trúng bia". Khi đó \(A,B,\bar A,\bar B\) là các biến cố độc lập đôi một với nhau.
Ta có: \(P(\bar A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2},P(\bar B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).
Xác suất của biến cố \(\bar A\bar B\) là: \(P(\bar A\bar B) = P(\bar A) \cdot P(\bar B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \approx 0,33\).
Một bình đựng 7 viên bi trắng và 5 viên bi đen. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 bi, sau khi lấy lần thứ nhất ta để lại viên bi vào bình rồi mới lấy tiếp lần thứ hai. Tính xác suất để lấy được bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,24
Gọi \(A\) là biến cố lần thứ nhất lấy được bi màu trắng.
Gọi \(B\) là biến cố lần thứ hai lấy được bi màu đen.
\( \Rightarrow AB\) là biến cố lần thứ nhất lấy được bi màu trắng và lần thứ hai lấy được bi màu đen.
Vì sau khi lấy viên bi thứ nhất xong, ta để lại viên bi vào bình, nên không làm ảnh hưởng xác suất lấy viên bi lần thứ hai. Ta thấy 2 biến cố \(A\) và \(B\) độc lập với nhau.
Xác suất để lần thứ nhất lấy được bi màu trắng là: \(P(A) = \frac{7}{{12}}\).
Xác suất để lần thứ hai lấy được bi màu đen là \(P(B) = \frac{5}{{12}}\).
Áp dụng quy tắc nhân xác suất, xác suất để lấy được bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen là:
\(P(AB) = P(A) \cdot P(B) = \frac{7}{{12}} \cdot \frac{5}{{12}} = \frac{{35}}{{144}} \approx 0,24.\)
Một khu phố có 50 hộ gia đình trong đó có 18 hộ nuôi chó, 16 hộ nuôi mèo và 7 hộ nuôi cả chó và mèo. Chọn ngẫu nhiên một hộ trong khu phố trên, tính xác suất để hộ đó nuôi chó hoặc nuôi mèo (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,54
Gọi các biến cố \(A\) : "Chọn được hộ nuôi chó", và \(B\) : "Chọn được hộ nuôi mèo".
Ta có: \(P(A) = \frac{{18}}{{50}} = \frac{9}{{25}},P(B) = \frac{{16}}{{50}} = \frac{8}{{25}},P(AB) = \frac{7}{{50}}\).
Xác suất để chọn được hộ nuôi chó hoặc nuôi mèo là:
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{9}{{25}} + \frac{8}{{25}} - \frac{7}{{50}} = \frac{{27}}{{50}} = 0,54.{\rm{ }}\)
Một hộp có chứa một số quả cầu gồm bốn màu xanh, vàng, đỏ, trắng (các quả cầu cùng màu thì khác nhau về bán kính). Lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp, biết xác suất để lấy được một quả cầu màu xanh bằng \(\frac{1}{4}\), xác suất để lấy được một quả cầu màu vàng bằng \(\frac{1}{3}\). Tính xác suất để lấy được một quả cầu xanh hoặc một quả cầu vàng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,58
Gọi biến cố \(A\) : "Lấy được một quả cầu màu xanh" và \(B\) : "Lấy được một quả cầu màu vàng”.
Ta có \(A,B\) là hai biến cố xung khắc.
Xác suất để lấy được một quả cầu màu xanh hoặc một quả cầu màu vàng là:
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{7}{{12}} \approx 0,58.\)
