Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

Hướng dẫn giải

a)

b) Số trung bình cộng: \(\frac{{17,5 + 32,5 + 37,5.10 + 42,5.17 + 52,5}}{{30}} = 40\).

Trung vị: \({Q_2} = 40 + \frac{{15 - 12}}{{17}}.5 \approx 40,9\). 

Trung vị \({Q_1}\) và \({Q_3}\):

\({Q_1} = 35 + \frac{{7,5 - 2}}{{10}}.5 = 37,75\).

\({Q_3} = 40 + \frac{{22,5 - 12}}{{17}}.5 \approx 43,1\).

Tứ phân vị: \({Q_1} = 37,75\), \({Q_2} = 40,9\), \({Q_3} = 43,1\).

c) Mốt của mẫu số liệu

\({M_0} = 40 + \frac{7}{{7 + 17}}.5 \approx 41,5\).

Hướng dẫn giải

a) Gọi biến cố \(A:\) “Cả 3 đều là nam”.

\[P\left( A \right) = \frac{{C_{12}^3}}{{C_{20}^3}} = \frac{{11}}{{57}}\].

b) Gọi biến cố \(B:\) “Có ít nhất một bạn nữ”

Xét biến cố đối \[\overline B \]”Không có bạn nữ nào” \[ \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = P\left( A \right)\]

\[ \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{{C_{12}^3}}{{C_{20}^3}} = \frac{{46}}{{57}}\].

Hướng dẫn giải

a) Gọi \[A\]là biến cố “chọn được đáp án đúng cho mỗi câu hỏi”.

Ta có \[P\left( A \right) = \frac{1}{4}\]. Khi đó \[P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\].

Suy ra xác suất để học sinh chọn đúng cả bốn câu là \[{\left( {\frac{1}{4}} \right)^4} = 0,00390625\].

b) Xác suất để học sinh chọn không đúng câu nào là \[{\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} = 0,31640625\].

c) Xác suất để học sinh chọn đúng một câu là \[C_4^1.\frac{1}{4}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} = 0,421875\].

d) Xác suất để học sinh chọn đúng ít nhất một câu là \[1 - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} = 0,68359375\].

Hướng dẫn giải

Gọi \(A\) là biến cố “\(4\) học sinh được chọn thuộc không quá \(2\) trong \(3\) lớp”

TH 1: \[4\] học sinh được chọn thuộc một lớp:

Lớp \[10\]: có \(C_5^4 = 5\) cách chọn.

Lớp \[11\]: có \(C_4^4 = 1\) cách chọn.

Trường hợp này có: \(6\) cách chọn.

TH 2: \[4\] học sinh được chọn thuộc hai lớp:

Lớp \[10\] và \[11\]: có \(C_9^4 - (C_5^4 + C_4^4) = 120\).

Lớp \[11\] và \[12\]: có \(C_7^4 - C_4^4 = 34\).

Lớp \[10\] và \[12\]: có \(C_8^4 - C_5^4 = 65\).

Trường hợp này có \[120 + 34 + 65 = 219\] cách chọn.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là \(6 + 219 = 225\).

Xác suất xảy ra biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{225}}{{C_{12}^4}} = \frac{5}{{11}}\).

Hướng dẫn giải

Theo sơ đồ trên, ta có

a) Xác suất cả hai động cơ đều chạy tốt là \(0,48.\)

b) Xác suất cả hai động cơ đều không chạy tốt là \(0,08.\)

c) Xác suất động cơ \[I\] chạy tốt, động cơ \[II\] chạy không tốt là \(0,32.\)

Hướng dẫn giải

a) Hàm số \[y = {\log _3}\left( {2x - {x^2}} \right)\] xác định khi và chỉ khi \(2x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2\).

Vậy tập xác định của hàm số \(D = \left( {0\,;\,2} \right)\).

b) Hàm số \(y = \sqrt {{3^x} - 1}  - {\log _2}{(x - 2)^2}\) xác định\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^x} - 1 \ge 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 2\end{array} \right.\).

Vậy tập xác định của hàm số \(D = \left[ {0\,;\, + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Hướng dẫn giải

a) \(\log \left( {100{a^3}} \right) = \log 100 + \log {a^3} = 2 + 3\log a = 3\).

b) Ta có \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \frac{{{{\left( {n\left( {n + 1} \right)} \right)}^2}}}{4}\).

Mặt khác \(D = 1 + {2^2}{\log _{\sqrt 2 }}2 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{2}}}2 + .... + {2018^2}{\log _{\sqrt[{2018}]{2}}}2\)\( = 1 + {2^2}{\log _{{2^{\frac{1}{2}}}}}2 + {3^2}{\log _{{2^{\frac{1}{3}}}}}2 + .... + {2018^2}{\log _{{2^{\frac{1}{{2018}}}}}}2\)\( = 1 + {2^3}{\log _2}2 + {3^3}{\log _2}2 + .... + {2018^3}{\log _2}2\)\( = 1 + {2^3} + {3^3} + ... + {2018^3}\)\( = {\left[ {\frac{{2018\left( {2018 + 1} \right)}}{2}} \right]^2}\)\( = {1009^2}{.2019^2}\).

Hướng dẫn giải

a) \({3^x} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow {3^x} = {3^{ - 2}} \Leftrightarrow x =  - 2\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - 2.\)

b) \[{2^x}{.15^{x + 1}} = {3^{x + 3}}\]\[ \Leftrightarrow \]\[{2^x}{.5^{x + 1}} = {3^2}\]\[ \Leftrightarrow \]\[{10^x} = \frac{9}{5}\]\[ \Leftrightarrow \]\[x = \log \frac{9}{5} = \log 9 - \log 5\] \[ \Leftrightarrow \]\[x = 2\log 3 - \log 5\].

Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 2\log 3 - \log 5\].

c) \({4^{x - 1}} = {8^{3 - 2x}} \Leftrightarrow \frac{{{2^{2x}}}}{4} = \frac{{512}}{{{2^{6x}}}}\)\( \Leftrightarrow {2^{8x}} = 2048\)\( \Leftrightarrow {2^{8x}} = {2^{11}}\)\( \Leftrightarrow 8x = 11\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{8}\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{11}}{8}.\)

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện \(2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\).

\({\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow 2x - 1 = {3^2} \Leftrightarrow x = 5\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 5\).

b) Điều kiện: \[{x^2} - 5x + 6 > 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[\left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x < 2\end{array} \right.\];

\[\left( {x - 2} \right)\left[ {{{\log }_{0,5}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) + 1} \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\{\log _{0,5}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) + 1 = 0\end{array} \right.\].

+) \[x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\](không thỏa mãn điều kiện).

+) \[{\log _{0,5}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) + 1 = 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[{x^2} - 5x + 6 = 2\]\[ \Leftrightarrow \]\[{x^2} - 5x + 4 = 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\]( thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1;\,4} \right\}\).

c) Điều kiện: \(x > 0\).

Ta có: \[{\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{\frac{1}{3}}}x = 6 \Leftrightarrow {\log _3}x + 2{\log _3}x - {\log _3}x = 6 \Leftrightarrow {\log _3}x = 3 \Leftrightarrow x = 27\](nhận).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 27\).

Hướng dẫn giải

a) \[{5^{x - 1}} \ge {5^{{x^2} - x - 9}}\]\[ \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - x - 9 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 \le 0 \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 4\].

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \[S = \left[ { - 2;4} \right]\].

b) \[{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge \frac{1}{8}\]\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} \Leftrightarrow {x^2} - 2x \le 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 3\].

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \[S = \left[ { - 1;3} \right].\]

c) Ta có: \({3^{x - 1}}{.5^x} \le 75 \Leftrightarrow \frac{1}{3}{.3^x}{.5^x} \le 75 \Leftrightarrow {15^x} \le 225 = {15^2} \Leftrightarrow x \le 2\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty \,;2} \right]\).

Hướng dẫn giải

a) Bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}4\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \le 4\\x - 3 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 7\\x > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < x \le 7\) .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \[S = \left( {3;7} \right]\].

b) Điều kiện của bất phương trình là \(x > \frac{9}{4}\).

Khi đó bất phương trình đã cho thành

\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {4x - 9} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 10} \right)\)\( \Leftrightarrow 4x - 9 < x + 10 \Leftrightarrow x < \frac{{19}}{3}\). (Do \(a = \frac{1}{2} < 1\)).

So điều kiện ta được \(\frac{9}{4} < x < \frac{{19}}{3}\).

c) Ta có \({\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\{\log _2}\left( {x + 1} \right) - {\log _2}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\{\log _2}\left( {x + 1} \right) + {\log _2}\left( {x - 2} \right) < {\log _2}2 + {\log _2}\left( {5 - x} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\{\log _2}\left[ {\left( {x + 1} \right).\left( {x - 2} \right)} \right] < {\log _2}\left( {10 - 2x} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\\left( {x + 1} \right).\left( {x - 2} \right) < 10 - 2x\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\{x^2} + x - 12 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\ - 4 < x < 3\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,2 < x < 3\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {2\,;\,\,3} \right)\).

Hướng dẫn giải

a) \(y' = {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1} \right)^\prime } = 3{x^2} - 6x + 2\).

b) \(y' = \frac{{{{\left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2{x^2} - 5x + 2} }} = \frac{{4x - 5}}{{2\sqrt {2{x^2} - 5x + 2} }}\).

c) \(y' = {\left( {3\sin x - 2\cos x + \tan x - 4} \right)^\prime } = 3\cos x + 2\sin x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

d) \(y' = {e^x}{\sin ^2}x + 2{e^x}\sin x\cos x = \)\({e^x}{\sin ^2}x + {e^x}\sin 2x\).

Hướng dẫn giải

Ta có \(f'\left( x \right) = 2x - 3,\,f''\left( x \right) = 2\)

Do đó

\(4f'\left( x \right) - \left( {2x - 5} \right)f''\left( x \right) - x + 1 = 2\sqrt {25 - {x^2}}  \Leftrightarrow 4\left( {2x - 3} \right) - 2\left( {2x - 5} \right) - x + 1 = 2\sqrt {25 - {x^2}} \)

\( \Leftrightarrow 3x - 1 = 2\sqrt {25 - {x^2}}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{3}\\{\left( {3x - 1} \right)^2} = 4\left( {25 - {x^2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{3}\\13{x^2} - 6x - 99 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{3}\\\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - \frac{{33}}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\).

Kết luận: \(x = 3\)là nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn giải

Có \(y' = 2x + 2\).

a) Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) thuộc \(\left( C \right)\) là \(k = y'\left( 1 \right) = 4\).

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0} = 0\) thuộc \(\left( C \right)\) là \(y = y'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) + y\left( 0 \right) \Leftrightarrow y = 2x - 4\).

c) Với \[{y_0} =  - 1 \Rightarrow y = x_0^2 + 2{x_0} - 4 =  - 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 1}\\{{x_0} =  - 3}\end{array}} \right.\].

Vậy có hai tiếp điểm thuộc \(\left( C \right)\) có tung độ \({y_0} =  - 1\) là \(\left( {1; - 1} \right)\) và \(\left( { - 3; - 1} \right)\).

Nên ta có:

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(\left( {1; - 1} \right)\)là \(y = y'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + y\left( 1 \right) \Leftrightarrow y = 4x - 5\).

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(\left( { - 3; - 1} \right)\)là \(y = y'\left( { - 3} \right)\left( {x + 3} \right) + y\left( { - 3} \right) \Leftrightarrow y =  - 4x - 13\).

d) Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\)với hệ số góc \(k =  - 4\)

\( \Rightarrow y'\left( a \right) =  - 4 \Leftrightarrow 2a + 2 =  - 4 \Leftrightarrow a =  - 3 \Rightarrow b =  - 1\).

Suy ra phương trình tiếp tuyến với hệ số góc \(k =  - 4\)là \(y =  - 4\left( {x + 3} \right) - 1 \Leftrightarrow y =  - 4x - 13\).

e) Vì tiếp tuyến đó song song với đưởng thẳng \(y = 1 - 3x\)nên tiếp tuyến có hệ số góc \(k =  - 3\)

Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\)với hệ số góc \(k =  - 4\)

\( \Rightarrow y'\left( a \right) =  - 3 \Leftrightarrow 2a + 2 =  - 3 \Leftrightarrow a =  - \frac{5}{2} \Rightarrow b =  - \frac{{11}}{4}\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến với hệ số góc \(k =  - 3\)là \(y =  - 3\left( {x + \frac{5}{2}} \right) - \frac{{11}}{4} \Leftrightarrow y =  - 3x - \frac{{41}}{4}\).

Hướng dẫn giải

a) Chọn trục \(Oy\)theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng từ dưới mặt đất lên trời, gốc O ở mặt đất và M là vị trí viên đạn bắt đầu được bắn lên (thời điểm \(t = 0\)). Khi đó chuyển động của viên đạn là chuyển động biến đổi với vận tốc ban đầu \[{v_0} = 196\,{\rm{m/s}}\] với gia tốc \[g =  - 9,8{\rm{ m}}/{{\rm{s}}^2}\](gia tốc nhận giá trị âm vì vectơ gia tốc ngược chiều với chiều dương của trục). Sau khi bắn được t (s), viên đạn đi được quãng đường \(s\left( t \right) = 1 + 196t - 4,9{t^2}\).

Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 196 - 9,8t\)

Khi đó \(v\left( {{t_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 196 - 9,8{t_0} = 0 \Leftrightarrow {t_0} = 20\,\left( {\rm{s}} \right)\)

Vậy sau khi bắn lên 20 giây thì vận tốc viên đạn bằng 0.

Khi đó viên đạn cách mặt đất \(h = s\left( {20} \right) = 1961\,\left( {\rm{m}} \right)\).

b) Viên đạn rơi xuống đất \(s\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 4,9{t^2} + 196t + 1 = 0 \Leftrightarrow t \approx 40\,\left( {\rm{s}} \right)\) .

Hướng dẫn giải

a) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(CD \bot AD\).

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AM\\BD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAM} \right)\).

c) Hình chiếu của \(A\) lên \(\left( {SAM} \right)\) là \(A\)

Hình chiếu của \(D\) lên \(\left( {SAM} \right)\) là \(M\) (do \(BD \bot \left( {SAM} \right)\) tại \(M\))

\( \Rightarrow \) Hình chiếu của \(AD\) lên \(\left( {SAM} \right)\) là \(AM\)

\( \Rightarrow \left( {AD,\left( {SAM} \right)} \right) = \left( {AD,AM} \right) = \widehat {MAD}\).

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A,AM\) là đường cao, ta có:\(AM = \frac{{AB.AD}}{{BD}} = \frac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}a\).

Xét \(\Delta AMD\)vuông tại \(M\), ta có \(\cos \widehat {MAD} = \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \widehat {MAD} \approx 18,43^\circ \).

d) \(O = AC \cap BD\)

\(CA \cap \left( {SBD} \right) = O\) \( \Rightarrow \frac{{d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{CO}}{{AO}} = 1\)

\( \Rightarrow d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)\)

Vẽ \(AH \bot SM\) tại \(H\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SM\\AH \bot BD\left( {BD \bot \left( {SAM} \right)} \right)\\{\rm{Trong }}\left( {SBD} \right):{\rm{ }}SM \cap BD = M\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right)\) tại \(H\)  \( \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AH\).

Xét \(\Delta SAM\)vuông tại \(A,AH\) là đường cao, ta có: \(AH = \frac{{SA.AM}}{{SM}} = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{6}{7}a\).

Vậy \(d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AH = \frac{6}{7}a\).

Hướng dẫn giải

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {3{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 2 \).

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a.a\sqrt 2  = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)

Ta có \(B'H \bot \left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {AB',\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {B'AH} = 60^\circ \).

Xét tam giác ABC vuông tại A có: \(AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{a.a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Xét tam giác \(AHB'\) vuông tại H có: \(B'H = AH.\tan \widehat {B'AH} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\tan 60^\circ  = a\sqrt 2 \).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.B'H = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2  = {a^3}\).