Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Hàm số mũ và hàm số lôgarit
40 câu hỏi
Biết rằng \[\sqrt x .\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt x }} = {x^n}\] với \[x > 0\]. Tìm n.
\[n = 2\].
\[n = \frac{2}{3}\].
\[n = \frac{4}{3}\].
\[n = 3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\sqrt x .\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt x }} = {x^{\frac{1}{2}}}.\sqrt[3]{{{x^2}.{x^{\frac{1}{2}}}}} = {x^{\frac{1}{2}}}.\sqrt[3]{{{x^{\frac{5}{2}}}}} = {x^{\frac{1}{2}}}.{x^{\frac{5}{6}}} = {x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{6}}} = {x^{\frac{4}{3}}}\].
Cho biểu thức \(P = \frac{{{a^{2 + \sqrt 3 }}.{{\left( {{a^{1 - \sqrt 3 }}} \right)}^{1 + \sqrt 3 }}}}{{{a^{1 + \sqrt 3 }}}}\), với \(a > 0\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(P = {a^{\sqrt 3 }}\).
\(P = \frac{1}{a}\).
\(P = a\).
\(P = \frac{1}{{{a^{\sqrt 3 }}}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(P = \frac{{{a^{2 + \sqrt 3 }}.{{\left( {{a^{1 - \sqrt 3 }}} \right)}^{1 + \sqrt 3 }}}}{{{a^{1 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{a^{2 + \sqrt 3 }}.{a^{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}}}{{{a^{1 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{a^{2 + \sqrt 3 }}.{a^{ - 2}}}}{{{a^{1 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{a^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{1 + \sqrt 3 }}}} = \frac{1}{a}\).
Cho \({2^x} = 5\). Giá trị của biểu thức \(T = {4^{x + 1}} + {2^{2 - x}}\) bằng:
\(\frac{{504}}{5}\).
\(\frac{{104}}{5}\).
\(\frac{{104}}{{25}}\).
\(\frac{{504}}{{25}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: .\(T = {4^{x + 1}} + {2^{2 - x}} = {4^x}.4 + \frac{{{2^2}}}{{{2^x}}} = {\left( {{2^x}} \right)^2}.4 + \frac{4}{{{2^x}}} = {4.5^2} + \frac{4}{5} = \frac{{504}}{5}\).
Một khu rừng có trữ lượng gỗ \({4.10^5}\)mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây trong rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 10 năm khu rừng đó có số mét khối gỗ gần nhất với số nào?
\({5,9.10^5}\).
\({5,92.10^5}\).
\({5,93.10^5}\).
\({5,94.10^5}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số lượng gỗ sau 10 năm là : \[{4.10^5}.{(1 + 0,04)^{10}} = 592097,714\].
Chị Phương Anh vay trả góp ngân hàng MSB số tiền \[500\] triệu đồng với lãi suất \[10,8\] %/năm, mỗi tháng trả \[15\] triệu đồng. Sau ít nhất bao nhiêu tháng thì chị Phương Anh trả hết nợ?
\[39\] tháng.
\[41\] tháng.
\[40\] tháng.
\[42\] tháng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Lãi suất \[10,8\]%/năm nên lãi suất hàng tháng là 0,9%/tháng.
Sau tháng thứ nhất số tiền còn lại là \({T_1} = 500\left( {1 + 0,9\% } \right) - 15\).
Sau tháng thứ hai số tiền còn lại là
\({T_2} = {T_1}\left( {1 + 0,9\% } \right) - 15 = 500{\left( {1 + 0,9\% } \right)^2} - 15\left( {1 + 0,9\% } \right) - 15\).
Sau tháng thứ \(n\) số tiền còn lại là \({T_n} = {T_{n - 1}}\left( {1 + 0,9\% } \right) - 15\).
\(\begin{array}{l} = 500{\left( {1 + 0,9\% } \right)^n} - 15{\left( {1 + 0,9\% } \right)^{n - 1}} - 15{\left( {1 + 0,9\% } \right)^{n - 2}} - ...15\left( {1 + 0,9\% } \right) - 15\\ = 500{\left( {1 + 0,9\% } \right)^n} - 15\frac{{1 - {{\left( {1 + 0,9\% } \right)}^n}}}{{1 - \left( {1 + 0,9\% } \right)}}\end{array}\)
Để \({T_n} = 0 \Rightarrow {\left( {1 + 0,9\% } \right)^n} = \frac{{10}}{7} \Leftrightarrow n \approx 39,81\).
Cho \(a > 0;a \ne 1\). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
\({\log _a}{x^n} = n{\log _a}x\).
\({\log _a}x\) có nghĩa \(\forall x \in \mathbb{R}\).
\({\log _a}a = 0\).
\({\log _a}\left( {x.y} \right) = {\log _a}x.{\log _a}y;\forall x > 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\({\log _a}x\) có nghĩa \(\forall x > 0\) \( \Rightarrow \) câu B sai
\({\log _a}a = 1\) \( \Rightarrow \) câu C sai.
\({\log _a}\left( {x.y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y;\forall x,y > 0\) \( \Rightarrow \) câu D sai.
Cho \(a\) là số thực dương bất kì. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\(\log {a^3} = \frac{1}{3}\log a\).
\(\log \left( {3a} \right) = 3\log a\)
\(\log \left( {3a} \right) = \frac{1}{3}\log a\).
\(\log {a^3} = 3\log a\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(\log {a^3} = 3\log a \Rightarrow \)A sai, D đúng.
\(\log (3a) = \log 3 + \log a \Rightarrow \)B,C sai.
Cho \(a,b > 0\), \(a \ne 1\) thỏa \({\log _a}b = 3\). Tính \(P = {\log _{{a^2}}}{b^3}\).
\(P = 18\).
\(P = 2\).
\(P = \frac{9}{2}\).
\(P = \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì \(a,b > 0\) nên ta có: \(P = \frac{3}{2}{\log _a}b = \frac{3}{2}.3 = \frac{9}{2}\).
Nếu \(\log 4 = a\) thì \(\log 4000\) bằng
\(3 + a\).
\(4 + b\).
\(3 + 2{\rm{a}}\).
\(4 + 2{\rm{a}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(\log 4000 = \log \left( {{{4.10}^3}} \right) = \log 4 + \log {10^3} = \log 4 + 3 = a + 3\).
Đặt \(a = {\log _3}15;b = {\log _3}10.\) Hãy biểu diễn \({\log _{\sqrt 3 }}50\) theo a và b.
\({\log _{\sqrt 3 }}50 = \left( {a + b - 1} \right)\).
\({\log _{\sqrt 3 }}50 = 3\left( {a + b - 1} \right)\).
\({\log _{\sqrt 3 }}50 = 2\left( {a + b - 1} \right)\).
\({\log _{\sqrt 3 }}50 = 4\left( {a + b - 1} \right)\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \({\log _{\sqrt 3 }}50 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}50 = 2{\log _3}50 = 2{\log _3}\left( {10.5} \right)\)
\( = 2\left( {{{\log }_3}10 + {{\log }_3}5} \right)\)
\( = 2\left( {{{\log }_3}10 + {{\log }_3}15 - {{\log }_3}3} \right)\)
\( = 2\left( {a + b - 1} \right)\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Nếu \[a > 1\] thì \[{a^x} > {a^y}\] khi và chỉ khi \[x > y\].
Nếu \[a > 1\] thì \[{a^x} \le {a^y}\] khi và chỉ khi\[x \le y\].
Nếu \[0 < a < 1\] thì \[{a^x} > {a^y}\] khi và chỉ khi \[x > y\].
Nếu \[0 < a \ne 1\] thì \[{a^x} = {a^y}\] khi và chỉ khi \[x = y\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(\left\{ \begin{array}{l}{a^x} > {a^y}\\0 < a < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x < y\).
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
\[y = \frac{1}{{{5^x}}}\].
\[y = {\left( {\frac{\pi }{4}} \right)^x}\].
\[y = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}^x}}}\].
\[y = {\left( {\frac{{\rm{e}}}{3}} \right)^x}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a > 1\).
Mà \(\frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }} > 1\) nên \[y = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}^x}}}\] đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Cho hai hàm số \[y = {a^x},y = {b^x}\] với \[a,b\] là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là \[({C_1})\] và \[({C_2})\] như hình bên.
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\[0 < a < b < 1\].
\[0 < b < 1 < a\].
\[0 < a < 1 < b\].
\[0 < b < a < 1\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta thấy (C1) là hàm đồng biến nên \(a > 1.\)
Và (C2) là hàm nghịch biến nên \(0 < b < 1\).
Tìm tập xác định \[{\rm{D}}\] của hàm số \[y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\].
\[{\rm{D}} = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\].
\[{\rm{D}} = \left[ { - 1;3} \right]\].
\[{\rm{D}} = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\].
\[{\rm{D}} = \left( { - 1;3} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số xác định \[ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\x < - 1\end{array} \right..\]
Vậy tập xác định của hàm số là \[{\rm{D}} = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\].
Hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Đường thẳng \(y = 3\) cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ \({x_1},\) \({x_2}.\) Biết rằng \({x_2} = 2{x_1},\) giá trị của \(\frac{a}{b}\) bằng
\(\frac{1}{3}.\)
\(\sqrt 3 .\)
\(\sqrt[3]{2}.\)
\(2.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Từ đồ thị, suy ra:
\({x_1}\) là nghiệm của phương trình \({\log _b}x = 3\) nên \({\log _b}{x_1} = 3 \Leftrightarrow {x_1} = {b^3}.\)
\({x_2}\) là nghiệm của phương trình \({\log _a}x = 3\) nên \({\log _a}{x_2} = 3 \Leftrightarrow {x_2} = {a^3}.\)
Do \({x_2} = 2{x_1} \Rightarrow {a^3} = 2.{b^3} \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{b}} \right)^3} = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \sqrt[3]{2}.\)
Tổng các nghiệm thực của phương trình \({3^{{x^2} - 3x + 8}} = {9^{2x - 1}}\) bằng
\( - 7\).
\(5\).
\(6\).
\(7\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\({3^{{x^2} - 3x + 8}} = {9^{2x - 1}}\)\[ \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 3x + 8}} = {3^{2\left( {2x - 1} \right)}}\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 8 = 4x - 2\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0\]\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\).
Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là 7.
Nghiệm của phương trình \({\log _7}\left( {x + 1} \right) = 1 - {\log _7}\left( {x - 5} \right)\) là
\(x = 6\).
\(x = - 2\).
\(x = - 2\,,\,\,\,x = 6\).
\(x = 12\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\x - 5 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\x > 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 5\).
\(\begin{array}{l}{\log _7}\left( {x + 1} \right) = 1 - {\log _7}\left( {x - 5} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left( {x + 1} \right) + {\log _7}\left( {x - 5} \right) = 1\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)} \right] = 1\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 7\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = - 2\end{array} \right.\end{array}\)
So với điều kiện, phương trình đã cho có \(1\) nghiệm \(x = 6\).
Biết tập nghiệm của bất phương trình \({2.9^x} - {5.6^x} + {3.4^x} < 0\) là \(\left( {a;b} \right)\), với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tìm \(a + 3b.\)
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\(\begin{array}{l}{2.9^x} - {5.6^x} + {3.4^x} < 0\\ \Leftrightarrow 2.{\left( {\frac{9}{4}} \right)^x} - 5.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} + 3 < 0\\ \Leftrightarrow 1 < {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} < \frac{3}{2} \Leftrightarrow 0 < x < 1\end{array}\).
Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left( {0;1} \right)\) suy ra \(a = 0;\;b = 1 \Rightarrow a + 3b = 3\).
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(4\log _4^2\frac{x}{2} - {\log _2}x + 1 \le 0\) là
\(3\).
Vô số.
\(2\).
\(1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có
\[\begin{array}{l}4\log _4^2\frac{x}{2} - {\log _2}x + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow 4.\frac{1}{2}\log _2^2\frac{x}{2} - {\log _2}x + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{{\log }_2}x - 1} \right)^2} - {\log _2}x + 1 \le 0\end{array}\].
Đặt \(t = {\log _2}x\), ta được: \[2{\left( {t - 1} \right)^2} - t + 1 \le 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - 5t + 3 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le t \le \frac{3}{2}\].
Suy ra \[1 \le {\log _2}x \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 \le x \le {2^{\frac{3}{2}}}\].
Vậy bất phương trình có 1 nghiệm nguyên \(x = 2\).
Gọi \(E\) là tập hợp tất cả các số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi số \(y\) có không quá \(4031\) số nguyên \(x\) thỏa mãn \[\log _2^2x - 3y{\log _2}x + 2{y^2} < 0\]. Tập \(E\) có bao nhiêu phần tử?
\(6\).
\(5\).
\(8\).
\(4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Điều kiện \(x > 0\).
Đặt \(t = {\log _2}x\), bất phương trình trở thành \({t^2} - 3yt + 2{y^2} < 0\,\,\left( * \right)\).
\(\Delta = {\left( {3y} \right)^2} - 4.2{y^2} = {y^2} > 0,\,\forall y\)nguyên dương, tam thức có hai nghiệm \(t = y \vee t = 2y\).
Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow y < t < 2y\) hay \(y < {\log _2}x < 2y \Leftrightarrow {2^y} < x < {2^{2y}}\).
Vì \(x,y \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên
Số phần tử của tập \(A\) là \(\left( {{2^{2y}} - 1} \right) - \left( {{2^y} + 1} \right) + 1 = {2^{2y}} - {2^y} - 1\).
Giả thiết bài toán có không quá \(4031\) số nguyên \(x\) nên ta có: \({2^{2y}} - {2^y} - 1 \le 4031\).
\( \Leftrightarrow {2^{2y}} - {2^y} - 4032 \le 0\,\,\, \Leftrightarrow - 63 \le {2^y} \le 64\,\,\, \Leftrightarrow y \le 6\).
Vì \(y \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên \(y \in E = \left\{ {1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6} \right\}\). Số phần tử của tập hợp \(E\) là 6.
Cho hàm số \(y = {\log _3}\left( {5x - 3} \right)\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(M\left( {2;7} \right)\).
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) là 2.
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Điều kiện: \(5x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{5}\).
Do đó tập xác định của hàm số là \(D = \left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).
b) Vì \(a = 3 > 1\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).
c) Thay \(x = 2\) vào hàm số ta có \(y = {\log _3}7\).
Do đó đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {2;{{\log }_3}7} \right)\).
d) Vì \(x \in \left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) hàm số đồng biến nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{4}{5}} \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{4}{5} - 3} \right) = 0\);
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{{12}}{5}} \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{{12}}{5} - 3} \right) = 2\).
Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) là \(0 + 2 = 2\).
Cho các hàm số \(y = {\log _a}x;y = {\log _b}x;y = {\log _c}x\) với \(a,b,c\) là ba số thực dương khác 1.
Đồ thị các hàm số trên đều đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\).
Hàm số \(y = {\log _c}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Từ đồ thị ta có \(0 < c < 1 < a < b\).
Đường thẳng \(y = 3\) cắt hai đồ thị \(y = {\log _a}x;y = {\log _b}x\) tại các điểm có hoành độ lần lượt là \({x_1};{x_2}\) sao cho \({x_2} = 2{x_1}\). Khi đó \(\frac{a}{b} = \sqrt[3]{2}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có đồ thị các hàm số trên đều đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\).
b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số \(y = {\log _c}x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
c) Vì hàm số \(y = {\log _c}x\)nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(0 < c < 1\).
Hàm số \(y = {\log _a}x;{\log _b}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(a > 1;b > 1\).
Với \(x > 1\) thì \({\log _b}x < {\log _a}x\)\( \Leftrightarrow {\log _a}x > \frac{1}{{{{\log }_x}b}}\)\( \Leftrightarrow {\log _a}x.{\log _x}b > 1\)\( \Leftrightarrow {\log _a}b > 1\)\( \Leftrightarrow b > a\).
Do đó \(0 < c < 1 < a < b\).
d) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}{x_1} = 3\\{\log _b}{x_2} = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {a^3}\\{x_2} = {b^3}\end{array} \right.\).
Mà \({x_2} = 2{x_1}\) nên \({b^3} = 2{a^3}\)\( \Leftrightarrow \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\).
Cho biểu thức \(f\left( x \right) = {\log _3}\left( {5x - 3} \right)\).
Điều kiện xác định của biểu thức \(f\left( x \right)\) là \(x > 0\).
\(f\left( {\frac{9}{5}} \right) - f\left( 1 \right) = 1\).
Nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 1\) là \(x = \frac{4}{5}\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) \le 2\) có đúng 2 số nguyên.
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Điều kiện: \(5x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{5}\).
b) Ta có \(f\left( {\frac{9}{5}} \right) - f\left( 1 \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{9}{5} - 3} \right) - {\log _3}\left( {5.1 - 3} \right) = {\log _3}6 - {\log _3}2 = {\log _3}3 = 1\).
c) Có \(f\left( x \right) = 1\) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {5x - 3} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow 5x - 3 = 3\)\( \Leftrightarrow x = \frac{6}{5}\) (thỏa mãn điều kiện câu a).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{6}{5}\).
d) Có \(f\left( x \right) \le 2\) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {5x - 3} \right) \le 2\)\( \Leftrightarrow 5x - 3 \le 9\)\( \Leftrightarrow x \le \frac{{12}}{5}\).
Kết hợp với điều kiện \(x > \frac{3}{5}\), ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {\frac{3}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\).
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {1;2} \right\}\). Vậy tập nghiệm của bất phương trình có đúng 2 số nguyên.
Cho phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + m} \right) = 0\).
Với \(m = 0\) điều kiện xác định của phương trình là \(\left[ \begin{array}{l}x > 5\\x < 0\end{array} \right.\).
Với \(m = 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Với \(m = 7\) thì tổng các nghiệm của phương trình bằng 6.
Với \(m < 3\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải
a) S, b) S, c) Đ, d) S
a) Với \(m = 0\) thì phương trình có dạng \({\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x} \right) = 0\).
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\{x^2} - 5x > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 5\).
b) \({\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 5x} \right)\)\( \Leftrightarrow x - 1 = {x^2} - 5x\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 3 + 2\sqrt 2 \) hoặc \(x = 3 - 2\sqrt 2 \).
Kết hợp với điều kiện ở câu a, ta có nghiệm của phương trình là \(x = 3 + 2\sqrt 2 \).
c) Với \(m = 7\) thì phương trình có dạng \({\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right) = 0\).
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\{x^2} - 5x + 7 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x > 1\).
\({\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right)\)\( \Leftrightarrow x - 1 = {x^2} - 5x + 7\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = 4\).
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {2;4} \right\}\).
Do đó tổng các nghiệm của phương trình là \(2 + 4 = 6\).
d) \({\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + m} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\{\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + m} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x - 1 = {x^2} - 5x + m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\m = - {x^2} + 6x - 1\end{array} \right.\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 1\) với \(x > 1\).
Ta có \(f'\left( x \right) = - 2x + 6;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3\).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(4 < m < 8\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {25^x} - {5^{1 + x}} - 6\).
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\).
Biến đổi hàm số \(f\left( x \right)\) ta được \(f\left( x \right) = \left( {{5^x} + 1} \right)\left( {{5^x} + 6} \right)\).
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trục hoành bằng 1.
Bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 0\) có nghiệm là \(\left[ {{{\log }_5}a + {{\log }_5}b; + \infty } \right)\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\) và \(a < b\). Khi đó \({e^{\ln a + 2\ln b}} = 8\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\).
b) Ta có \(f\left( x \right) = {25^x} - {5^{1 + x}} - 6\)\( = {5^{2x}} - {5.5^x} - 6\)\( = \left( {{5^x} + 1} \right)\left( {{5^x} - 6} \right)\).
c) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trục hoành là nghiệm của phương trình
\(f\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{5^x} + 1} \right)\left( {{5^x} - 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {5^x} - 6 = 0\)\( \Leftrightarrow {5^x} = 6\)\( \Leftrightarrow x = {\log _5}6\).
Vậy phương trình có 1 nghiệm.
Do đó số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trục hoành bằng 1.
d) Ta có \(f\left( x \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{5^x} + 1} \right)\left( {{5^x} - 6} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow {5^x} \ge 6\)\( \Leftrightarrow x \ge {\log _5}6\)\( \Leftrightarrow x \ge {\log _5}2 + {\log _5}3\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(S = \left[ {{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3; + \infty } \right)\).
Suy ra \(a = 2;b = 3\). Do đó \({e^{\ln a + 2\ln b}} = {e^{\ln 2 + 2\ln 3}}{e^{\ln 18}} = 18\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {4 - x} + {\log _8}{\left( {4 + x} \right)^3} - {\log _4}{\left( {x + 1} \right)^2} - 2\).
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \left( { - 4;4} \right)\).
Thu gọn hàm số \(f\left( x \right)\) ta được \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {4 - x} \right) + {\log _3}\left( {4 + x} \right) - {\log _2}\left| {x + 1} \right| - 2\).
\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left| {x + 1} \right| = 16 - {x^2}\).
Tổng các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) bằng 4.
Hướng dẫn giải
a) S, b) S, c) S, d) S
a) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ne 0\\4 - x > 0\\4 + x > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\ - 4 < x < 4\end{array} \right.\).
b) \(f\left( x \right) = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {4 - x} + {\log _8}{\left( {4 + x} \right)^3} - {\log _4}{\left( {x + 1} \right)^2} - 2\)
\(f\left( x \right) = \frac{1}{2}.2{\log _2}\left( {4 - x} \right) + \frac{1}{3}.3{\log _2}\left( {4 + x} \right) - \frac{1}{2}.2{\log _2}\left| {x + 1} \right| - 2\)
\[f\left( x \right) = {\log _2}\left( {4 - x} \right) + {\log _2}\left( {4 + x} \right) - {\log _2}\left| {x + 1} \right| - 2\].
c) d) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\ - 4 < x < 4\end{array} \right.\)
\[f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4 - x} \right) + {\log _2}\left( {4 + x} \right) - {\log _2}\left| {x + 1} \right| - 2 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {16 - {x^2}} \right) = {\log _2}4\left| {x + 1} \right|\]
\[ \Leftrightarrow 16 - {x^2} = 4\left| {x + 1} \right|\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}16 - {x^2} = 4\left( {x + 1} \right)\\16 - {x^2} = - 4\left( {x + 1} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 4x - 12 = 0\\{x^2} - 4x - 20 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 6\\x = 2 + 2\sqrt 6 \\x = 2 - 2\sqrt 6 \end{array} \right.\].
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là \(x = 2;x = 2 - 2\sqrt 6 \).
Vậy tổng các nghiệm là \(4 - 2\sqrt 6 \).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}x\).
Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Giá trị tại \(x = 3\) của hàm số bằng \( - 2\).
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{1}{3};9} \right]\) là \( - 2\).
Cho hai số dương \(a,b\) thỏa mãn \({a^2} = 81b\). Khi đó giá trị của biểu thức \(2f\left( {\frac{1}{a}} \right) + f\left( b \right) = \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Vì \(a = \frac{1}{{\sqrt 3 }} < 1\) nên hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}x\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) Thay \(x = 3\) vào hàm số ta được \(y = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}3\)\( = - 2{\log _3}3 = - 2\).
c) Vì hàm số nghịch biến với \(x \in \left[ {\frac{1}{3};9} \right]\) nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{3};9} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}\frac{1}{3} = 2\);
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{3};9} \right]} f\left( x \right) = f\left( 9 \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}9 = - 4\).
Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{1}{3};9} \right]\) là \( - 2\).
d) Ta có \(f\left( {\frac{1}{a}} \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}\frac{1}{a} = 2{\log _3}a\); \(f\left( b \right) = - 2\log b\).
Do đó \(2f\left( {\frac{1}{a}} \right) + f\left( b \right) = 4{\log _3}a - 2{\log _3}b\)\( = {\log _3}\frac{{{a^4}}}{{{b^2}}} = {\log _3}\frac{{{{81}^2}{b^2}}}{{{b^2}}} = {\log _3}{81^2} = 8\).
Cho đồ thị hai hàm số \(y = {a^x};y = {b^x}\left( {0 < a,b \ne 1} \right)\) như hình bên dưới.
Hàm số \(y = {a^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\), hàm số \(y = {b^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Phương trình \({a^x} = {b^x}\) luôn có duy nhất một nghiệm \(x = 1\).
Hai hàm số \(y = {a^x},y = {b^x}\) có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(0 < b < 1 < a\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) S, c) S, d) Đ
a) Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), hàm số \(y = {b^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình \({a^x} = {b^x}\) luôn có duy nhất một nghiệm \(x = 0\).
c) Hai hàm số \(y = {a^x},y = {b^x}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
d) Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên \(a > 1\); hàm số \(y = {b^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên \(0 < b < 1\).
Do đó \(0 < b < 1 < a\).
Khối lượng vi khuẩn của một mẻ nuôi cấy sau t giờ kể từ thời điểm ban đầu được cho bởi công thức \(M\left( t \right) = {50.1,06^t}\)(g).
Khối lượng vi khuẩn ban đầu là 53 g.
Khối lượng vi khuẩn tăng dần theo thời gian.
Khối lượng vi khuẩn sau 6 giờ là hơn 70 g.
Khối lượng vi khuẩn sau 24 giờ gấp 5 lần số lượng vi khuẩn ban đầu.
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Khối lượng vi khuẩn ban đầu là \(M\left( 0 \right) = {50.1,06^0} = 50\)(g).
b) Vì \(1,06 > 1\) nên hàm số \(M\left( t \right) = {50.1,06^t}\) đồng biến.
Do đó khối lượng vi khuẩn tăng dần theo thời gian.
c) Khối lượng vi khuẩn sau 6 giờ là \(M\left( 6 \right) = {50.1,06^6} \approx 70,9\)(g).
d) Khối lượng vi khuẩn sau 24 giờ là \(M\left( {24} \right) = {50.1,06^{24}} \approx 202,4\) (g).
Có \(202,4:50 \approx 4,05\).
Khối lượng vi khuẩn sau 24 giờ gấp khoảng 4,05 lần số lượng vi khuẩn ban đầu.
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = 9 - {3^x}\) và \(g\left( x \right) = {\log _3}\left( {x + 8} \right)\).
Tập xác định của hàm số \(y = g\left( x \right)\) là \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 0\) là \(\left( { - \infty ;2} \right)\).
Phương trình \(f\left( x \right) = - 6\) có nghiệm dương.
Tập nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) \le 2\) là \(\left( { - 8; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) S, c) Đ, d) S
a) Điều kiện: \(x + 8 > 0 \Leftrightarrow x > - 8\).
Tập xác định của hàm số \(y = g\left( x \right)\) là \(D = \left( { - 8; + \infty } \right)\).
b) \(f\left( x \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow 9 - {3^x} \ge 0\)\( \Leftrightarrow {3^x} \le 9 \Leftrightarrow x \le 2\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;2} \right]\).
c) \(f\left( x \right) = - 6\)\( \Leftrightarrow 9 - {3^x} = - 6\)\( \Leftrightarrow {3^x} = 15 \Leftrightarrow x = {\log _3}15 > 0\).
d) \(g\left( x \right) \le 2\)\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 8} \right) \le 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 8 > 0\\x + 8 \le 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 8\\x \le 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow - 8 < x \le 1\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - 8;1} \right]\).
Cho hai số dương \(a,b\) và \(a \ne 1\) thỏa mãn \({\log _a}b = 5\). Tính giá trị của \(P = {\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[5]{b}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 3
\(P = {\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[5]{b}} \right) = {\log _a}{a^2} + {\log _a}\sqrt[5]{b}\)\( = 2 + \frac{1}{5}{\log _a}b\)\( = 2 + \frac{1}{5}.5 = 3\).
Biết \({4^x} + {4^{ - x}} = 23\), tính giá trị biểu thức \(P = {2^x} + {2^{ - x}}\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 5
Ta có \(P = {2^x} + {2^{ - x}} > 0\).
Ta có \({P^2} = {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = {4^x} + {4^{ - x}} + {2.2^x}{.2^{ - x}} = 23 + 2 = 25\).
Do đó \(P = 5\).
Giả sử số tiền gốc là \(A\), lãi suất là r% kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay năm) thì tổng số tiền nhận được cả gốc và lãi sau \(n\) kì hạn gửi là \(A{\left( {1 + r} \right)^n}\). Bà Hạnh gửi 100 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm. Số tiền lãi bà hạnh thu được sau 10 năm có dạng 1a5,8b2 triệu đồng, với a; b là các số tự nhiên. Tính giá trị \(T = ab + 1\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 10
Áp dụng công thức tính lãi kép, sau 10 năm số tiền cả gốc và lãi bà Hạnh thu về là:
\(A{\left( {1 + r} \right)^n} = 100{\left( {1 + 0,08} \right)^{10}} \approx 215,892\) triệu đồng.
Suy ra số tiền lãi bà Hạnh thu về sau 10 năm là 215,892 – 100 = 115,892 triệu đồng.
Do đó \(a = 1;b = 9\) \( \Rightarrow ab + 1 = 10\).
Nếu một người gửi số tiền \(A\) với lãi suất kép \(r\% \) mỗi kì thì sau \(n\) kì, số tiền \(T\) người ấy thu được cả vốn lẫn lãi được cho bởi công thức \({T_n} = A{\left( {1 + r} \right)^n}\). Một người gửi 150 triệu đồng vào một ngân hàng theo thể thức lãi suất kép với lãi suất cố định là 8,4%/năm. Nếu theo kì hạn là 1 năm thì sau ít nhất bao nhiêu năm, người đó thu được cả vốn và tiền lãi hơn 200 triệu đồng?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 4
Ta có \(A = 150\) (triệu đồng), \(r = 8,4\% \).
Vốn và tiền lãi hơn 200 triệu đồng nghĩa là \({T_n} > 200\) (triệu đồng).
Ta có \(150{\left( {1 + 8,4\% } \right)^n} > 200\)\( \Leftrightarrow {1,084^n} > \frac{4}{3}\)\( \Leftrightarrow n > {\log _{1,084}}\frac{4}{3} \approx 3,6\).
Vậy thực tế thì sau ít nhất 4 năm người đó thu được cả vốn và tiền lãi hơn 200 triệu đồng.
Cho số thực \(a\) thỏa mãn \(0 < a \ne 1\). Tính giá trị của biểu thức \(M = {\log _a}\left( {\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[{15}]{{{a^7}}}}}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 3
\(M = {\log _a}\left( {\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[{15}]{{{a^7}}}}}} \right)\)\( = {\log _a}\left( {\frac{{{a^2}.{a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{4}{5}}}}}{{{a^{\frac{7}{{15}}}}}}} \right)\)\( = {\log _a}\left( {\frac{{{a^{\frac{{52}}{{15}}}}}}{{{a^{\frac{7}{{15}}}}}}} \right)\)\( = {\log _a}{a^3} = 3\).
Độ pH của một dung dịch được tính theo công thức \(pH = - \log x\), trong đó \(x\) là nồng độ ion \({H^ + }\) của dung dịch đó tính bằng mol/L. Biết rằng độ pH của dung dịch A lớn hơn độ pH của dung dịch B là 0,7. Dung dịch B có nồng độ ion \({H^ + }\) gấp bao nhiêu lần nồng độ ion \({H^ + }\) của dung dịch A? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 5
Ta có \(p{H_A} = - \log {x_A};p{H_B} = - \log {x_B}\).
Vì \(p{H_A} - p{H_B} = 0,7\) nên \( - \log {x_A} + \log {x_B} = 0,7\)\( \Leftrightarrow \log \frac{{{x_B}}}{{{x_A}}} = 0,7\)\( \Leftrightarrow \frac{{{x_B}}}{{{x_A}}} = {10^{0,7}} \approx 5\).
Vậy dung dịch B có nồng độ ion \({H^ + }\) gấp 5 lần nồng độ ion \({H^ + }\) của dung dịch A.
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn điều kiện \(\left( {{7^x} - 49} \right)\left( {\log _3^2x - 7{{\log }_3}x + 6} \right) < 0\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 726
Điều kiện: \(x > 0\)
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{7^x} - 49 > 0\\\log _3^2x - 7{\log _3}x + 6 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{7^x} > {7^2}\\1 < {\log _3}x < 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\3 < x < 729\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < x < 729\).
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{7^x} - 49 < 0\\\log _3^2x - 7{\log _3}x + 6 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{7^x} < {7^2}\\\left[ \begin{array}{l}{\log _3}x < 1\\{\log _3}x > 6\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\\left[ \begin{array}{l}x < 3\\x > 729\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x < 2\).
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {0;2} \right) \cup \left( {3;729} \right)\).
Vậy có tất cả 726 số nguyên thỏa mãn.
Tính tổng các giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ {0;5} \right]\) để bất phương trình \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) \le m\) có nghiệm \(x \ge 1\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 14
Điều kiện \({5^x} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 0\).
Ta có \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) \le m \Leftrightarrow {5^x} - 1 \le {2^m}\).
Ta có \({5^x} - 1 \ge 4\) với mọi \(x \ge 1\).
Để bất phương trình có nghiệm \(x \ge 1\) thì \({2^m} \ge 4 \Leftrightarrow m \ge 2\).
Vì \(m \in \left[ {0;5} \right]\) nên \(m = \left\{ {2;3;4;5} \right\}\).
Do đó tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) bằng 14.
Biết \(x\) và \(y\) là hai số thực thỏa mãn \({\log _4}x = {\log _9}x = {\log _6}\left( {x - 2y} \right)\). Giá trị của \(\frac{x}{y}\) bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 4
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\\x > 2y\end{array} \right.\). Đặt \({\log _4}x = {\log _9}y = {\log _6}\left( {x - 2y} \right) = t\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {4^t}\\y = {9^t}\\x - 2y = {6^t}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {4^t} - {2.9^t} = {6^t}\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{9}} \right)^t} - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} = 2\).
Từ đó \(\frac{x}{y} = {\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^t}} \right]^2} = {2^2} = 4\).
Dân số của một quốc gia trong 2 năm tăng từ 30 triệu người lên 30 048 288 người. Hỏi hằng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần trăm (kết quả làm tròn hai chữ số thập phân)?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,08
Gọi \(A\) là dân số của một quốc gia ban đầu (triệu người) và \(r\) là tỉ lệ tăng dân số hằng năm của quốc gia đó.
Dân số của quốc gia đó sau năm thứ nhất là: \({A_1} = A + A.r = A\left( {1 + r} \right)\).
Dân số của quốc gia đó sau năm thứ hai là:
\({A_2} = {A_1} + {A_1}.r = {A_1}\left( {1 + r} \right) = A{\left( {1 + r} \right)^2} = 30000000{\left( {1 + r} \right)^2} = 30048288\)
\( \Rightarrow {\left( {1 + r} \right)^2} = 1,0016096 \Rightarrow 1 + r \approx 1,0008 \Rightarrow r \approx 0,08\% \).
