Dạng 5: Sử dụng lũy thừa chứng minh chia hết

$A=1+3+3^2+\mathrm{...}+3^{11}$ chia hết cho 4

$A=\left(1+3\right)+3^2.\left(1+3\right)+\mathrm{...}+3^{10}.\left(1+3\right)$

$A=4+3^2.4+\mathrm{...}+3^{10}.4$

$A=4.\left(1+3^2+\mathrm{...}+3^{10}\right)⋮4\left(đpcm\right)$

$B={16}^5+2^{15}$ chia hết cho 33

$B={\left(2^4\right)}^5+2^{15}$

$B=2^{20}+2^{15}$

$B=2^{15}.\left(1+2^5\right)$

$B=2^{15}.33\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}⋮33\left(đpcm\right)$

$C=5+5^2+5^3+\mathrm{...}+5^8$ chia hết cho 30

$C=\left(5+5^2\right)+5^2.\left(5+5^2\right)+\mathrm{...}+5^6.\left(5+5^2\right)$

$C=30+5^2.30+\mathrm{...}+5^6.30$

$C=30.\left(1+5^2+\mathrm{...}+5^6\right)⋮30\left(đpcm\right)$

$D=45+99+180$ chia hết cho 9

 Ta có $45⋮9;99⋮9;180⋮9$ nên $D=45+99+180⋮9$

$E=1+3+3^2+3^3+\mathrm{...}+3^{119}$ chia hết cho 13

$E=\left(1+3+3^2\right)+3^3.\left(1+3+3^2\right)+\mathrm{...}+3^{117}.\left(1+3+3^2\right)$

$E=13+3^3.13+\mathrm{...}+3^{117}.13$

$E=13.\left(1+3^3+\mathrm{...}+3^{117}\right)⋮13\left(đpcm\right)$

$F={10}^{28}+8$ chia hết cho 72

Ta thấy:  $72=8.9$

Ta có:

 ${10}^{28}+8⋮9$vì tổng các chữ số bằng 9

 ${10}^{28}+8⋮8$vì có tận cùng là 008

Mà  $\left(8;9\right)=1$nên ${10}^{28}+8⋮8.9=72$ (đpcm)

$G=8^8+2^{20}$ chia hết cho 17

$G={\left(2^3\right)}^8+2^{20}$

$G=2^{24}+2^{20}$

$G=2^{20}.\left(2^4+1\right)$

$G=2^{20}.17⋮17\left(đpcm\right)$

$H=2+2^2+2^3+\mathrm{...}+2^{60}$

Ta có:

 $H=2.\left(1+2\right)+2^3.\left(1+2\right)+\mathrm{...}+2^{59}.(1+2)$

 $H=2.3+2^3.3+\mathrm{...}+2^{59}.3$

$H=3.\left(2+2^3+\mathrm{...}+2^{59}\right)⋮3$

Ta có:

 $H=2.\left(1+2+2^2\right)+2^4.\left(1+2+2^2\right)+\mathrm{...}+2^{28}.\left(1+2+2^2\right)$ 

 $H=2.7+2^4.7+\mathrm{...}+2^{58}.7$
 $H=7.\left(2+2^4+\mathrm{...}+2^{58}\right)⋮7$

Ta có:

 $H=2.\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^5.\left(1+2+2^2+2^3\right)+\mathrm{...}+2^{57}.\left(1+2+2^2+2^3\right)$ 

$H=2.15+2^5.15+\mathrm{...}+2^{57}.15$

 $H=15.\left(2+2^5+\mathrm{...}+2^{57}\right)⋮15$

Vậy H chia hết cho  $3;7;15$.

$I=1+3+3^2+3^3+\mathrm{...}+3^{1991}$ chia hết cho 13 và 41

Ta có:

 $I=\left(1+3+3^2\right)+3^3.\left(1+3+3^2\right)+\mathrm{...}+3^{1989}.\left(1+3+3^2\right)$ 

 $I=13+3^3.13+\mathrm{...}+3^{1989}.13$

 $I=13.\left(1+3^3+\mathrm{...}+3^{1989}\right)⋮13\left(đpcm\right)$ 

Ta có:        

$I=\left(1+3^2+3^4+3^6\right)+\left(3+3^3+3^5+3^7\right)+\mathrm{...}+\left(3^{1984}+3^{1986}+3^{1988}+3^{1990}\right)+\left(3^{1985}+3^{1987}+3^{1989}+3^{1991}\right)$

$I=\left(1+3^2+3^4+3^6\right)+3.\left(1+3^2+3^4+3^6\right)+\mathrm{...}+3^{1984}.\left(1+3^2+3^4+3^6\right)+3^{1985}.\left(1+3^2+3^4+3^6\right)$ 

$I=820.\left(1+3+\mathrm{...}+3^{1984}+3^{1985}\right)$ 

$I=\mathrm{41.20.}\left(1+3+\mathrm{...}+3^{1984}+3^{1985}\right)⋮41$

Vậy I chia hết cho  $13;41$

$J={10}^n+18n-1=\left({10}^n-1\right)+18n$ 

$J=\mathrm{99...9}+18n$ (số  $\mathrm{99...9}$có $n$ chữ số 9) 
$J=9.\left(\mathrm{11...1}+2n\right)$ (số  $\mathrm{11...1}$có $n$ chữ số 1)

 $J=9.L$ 
Xét biểu thức trong ngoặc

 $L=\mathrm{11...1}+2n=\mathrm{11...1}-n+3n$ (số  $\mathrm{11...1}$có $n$ chữ số 1)
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3.

Số  $\mathrm{11...1}$có  chữ số  có tổng các chữ số là  $1+1+\mathrm{...}+1=n$ (vì có n chữ số 1). 
 $\Rightarrow \mathrm{11...1}$ ( chữ số ) và  có cùng số dư trong phép chia cho  

$\Rightarrow \mathrm{11...1}$ (n chữ số 1)$-n⋮3$

$L⋮3$ 

 $\Rightarrow 9.L⋮27$hay  $J={10}^n+18n-1$chia hết cho 27 (đpcm)