Nhóm tổng S thành tổng của các bội số của \( - 6\) bằng cách:

\(S = \left( {2 + {2^2}} \right) + \left( {{2^3} + {2^4}} \right) + \left( {{2^5} + {2^6}} \right) + \left( {{2^7} + {2^8}} \right)\)

   \( = 6 + {2^2}.6 + {2^4}.6 + {2^6}.6\)

Mỗi số hạng của tổng S đều chia hết cho \( - 6\), nên S chia hết cho \( - 6\).

\[a = - {10^8} + {2^3} = - {10^8} + 1 + 7 = \underbrace { - 99...9}_{{\rm{go\`a m}}\,\,{\rm{8}}\,\,{\rm{ch\"o \~o }}\,\,{\rm{so\'a }}\,{\rm{9}}} + 7\].

Số hạng đầu của \(a\) chia hết cho 9, còn 7 không chia hết cho 9 nên \(a\) không chia hết cho 9. Do đó \(a\) cũng không chia hết cho \( - 9\).

Ta có: \(6a + 11b = 6.\left( {a + 7b} \right) - 31b.\)             (*)

Do đó \(31b \vdots 31,\) và \(6a + 11b \vdots 31,\) từ (*) suy ra \(6\left( {a + 7b} \right) \vdots 31,\)

Mà 6 và 31 nguyên tố cùng nhau, nên suy ra \(a + 7b \vdots 31.\)

Ngược lại, nếu \(a + 7b \vdots 31\), mà \(31b \vdots 31,\) từ (*) suy ra \(6a + 7b \vdots 31.\)

Vậy điều ngược lại cũng đúng.

Ta có thể phát biểu bài toán lại như sau:

“Cho \[a,{\rm{ }}b\]là các số nguyên. Chứng minh rằng \(6a + 11b\) chia hết cho 31 khi và chỉ khi \(a + 7b\) chia hết cho 31”.

Nhận thấy \(3x + 4 = 3\left( {x - 3} \right) + 5.\)

Do \(3\left( {x - 3} \right) \vdots \left( {x - 3} \right),\) nên \(\left( {3x + 4} \right) \vdots \left( {x - 3} \right)\) khi và chỉ khi \(5 \vdots \left( {x - 3} \right).\)

Suy ra \(x - 3 \in {\rm{\"O (5)}}\) hay \(x - 3 \in \left\{ { - 5; - 1;\,\,1;\,\,5} \right\}.\) Vậy \(x \in \left\{ { - 2;\,\,2;\,\,4;\,\,8} \right\}.\)

Nhận thấy \({x^2} + 7 = x\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right) + 8.\)

Do \(x\left( {x + 1} \right) \vdots \left( {x + 1} \right),\) nên \({x^2} + 7 \vdots \left( {x + 1} \right)\) khi và chỉ khi \(8 \vdots \left( {x + 1} \right).\)

Suy ra \(x + 1 \in \left\{ { - 8; - 4; - 2; - 1;\,\,1;\,\,2;\,\,4;\,\,8} \right\}.\)

Vậy \(x \in \left\{ { - 9;\,\, - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,1;\,\,3;\,\,7} \right\}.\)

\[S = 3 + {3^2} + {3^3} + {3^4} + {3^5} + {3^6} + {3^7} + {3^8} + {3^9}\]

     = \[(3 + {3^2} + {3^3}) + ({3^4} + {3^5} + {3^6}) + ({3^7} + {3^8} + {3^9})\]

    = 39 + 3³.39 + 3⁶.39 = 39.(1 + 3³ + 3⁶)\[ \vdots \,\,39\]

Suy ra \[{\rm{S}}\,\, \vdots \,\,39\] nên \[{\rm{S}} \vdots \,\,( - 39)\]

Nhận thấy: \[a = {111.10^{17}} + {111.10^{14}} + {111.10^{11}} + {111.10^8} + {111.10^5} + {111.10^2} + 11\]

                      =\[111.({10^{17}} + {10^{14}} + {10^{11}} + {10^8} + {10^5} + {10^2}) + 11\]

Suy ra \(a\) là tổng của hai số hạng trong đó có 1 số chia hết cho 111, 1 số không chia hết cho 111 nên \(a\) không chia hết cho 111.

Vậy \(a\) không chia hết cho 111.