Năm bội của 2 là : \[2{\rm{ }}.{\rm{ }}1{\rm{ }} = 2;{\rm{ }}2{\rm{ }}.{\rm{ }}\left( { - 1} \right){\rm{ }} = {\rm{ - }}2;{\rm{ }}2{\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = 4;{\rm{ }}2.{\rm{ }}\left( { - 2} \right){\rm{ }} = {\rm{ - }}4;{\rm{ }}2{\rm{ }}.{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}6.\]

Năm bội của -2 là :\[ - 2{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ - }}4{\rm{ }};{\rm{ }}4{\rm{ }};{\rm{ - }}6\].

Tổng quát: Các bội của 2 và -2 có dạng là \[{\rm{2}}{\rm{.q}}\]với \[{\rm{q}} \in \]\(\mathbb{Z}\): \[0{\rm{ }};{\rm{ - }}2{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ - }}4{\rm{ }};{\rm{ }}4{\rm{ }};{\rm{ - }}6{\rm{ }};{\rm{ }}6{\rm{ }};{\rm{ - }}8{\rm{ }};\;{\rm{ }}8{\rm{ }};{\rm{ }} \ldots \]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{B}}\left( 7 \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {0;{\rm{ }} \pm 7;{\rm{ }} \pm 14;{\rm{ }} \pm 21;{\rm{ }} \pm 28;{\rm{ }} \ldots } \right\}}\\{{\rm{B}}\left( { - 7} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {0;{\rm{ }} \pm 7;{\rm{ }} \pm 14;{\rm{ }} \pm 21;{\rm{ }} \pm 28;{\rm{ }} \ldots } \right\}}\end{array}\]

Các ước của -2 là : \[{\rm{ - 1 , 1 , - 2 , 2}}{\rm{.}}\]

Cấc ước của 4 là : \[{\rm{ - 1 , 1 , - 2 , 2 , - 4 , 4}}{\rm{.}}\]

Các ước của 13 là : \[{\rm{ - 1 , 1 , - 13 , 13}}\]

Các uớc của 15 là : \[{\rm{ - 1 , 1 , - 3 , 3 , - 5 , 5 , - 15 , 15}}{\rm{.}}\]

Các ước của 1 là : \[{\rm{ - 1 , 1}}{\rm{.}}\]

Kí hiệu \[{\rm{U(a)}}\]  là tập hợp các ước của số nguyên \({\rm{a}}\), ta có:

\[U\left( { - 3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ { - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};--3{\rm{ }};{\rm{ }}3} \right\}\]hoặc viết gọn là: \[U\left( { - {\rm{ }}3} \right) = \left\{ { \pm 1;{\rm{ }} \pm 3} \right\}\];\[U\,\left( 6 \right) = \left\{ { \pm 1;{\rm{ }} \pm 2;{\rm{ }} \pm 3;{\rm{ }} \pm 6} \right\}\] ;  \[U\left( {11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ { \pm 1;{\rm{ }} \pm 11} \right\}\];     \[U\left( {{\rm{ - 1}}} \right){\rm{ = }}\left\{ {{\rm{ \pm 1}}} \right\}\]

Phân tích 36 ra thừa số  nguyên tố: \[36 = {2^2}{.3^2}\;\] \(\)

Để tìm tất cả các ước của 36 không bị sót, bị trùng, ta có thể làm như sau:

Các ước của 12 là: \[ \pm 1;{\rm{ }} \pm 2;{\rm{ }} \pm 3;{\rm{ }} \pm 4;{\rm{ }} \pm 6;{\rm{ }} \pm 12\]

Các ước của 12 mà lớn hơn – 4 là \[{\rm{ - 3; - 2; - 1; 1; 2; 3; 4; 6; 12}}\].

Ta có: \[U\left( {{\rm{28}}} \right){\rm{ = }}\left\{ {{\rm{ \pm 1; \pm 2;\; \pm 4 ;  \pm 7; \pm 14; \pm 28}}} \right\}\].

Vì \[n - 1 \in U\left( {28} \right)\], ta có bảng sau:

Vì \[n\] là số tự nhiên nên \[{\rm{n}} \in \left\{ {0;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}5;{\rm{ }}8;{\rm{ }}15;{\rm{ }}29} \right\}\]

Các bội của -13 là \[0;{\rm{ }}13;{\rm{ - }}13;{\rm{ }}26,{\rm{ - }}26;{\rm{ }}39;{\rm{ - }}39;{\rm{ }}52;{\rm{ - }}52 \ldots .\]

Các bội của -13 lớn hơn -40 nhưng nhỏ hơn 40 \[{\rm{x}} \in \left\{ {{\rm{ - 39;}}\,{\rm{ - 26;}}\,{\rm{ - 13;}}\,{\rm{0;}}\,\,{\rm{13;}}\,{\rm{26;}}\,{\rm{39}}} \right\}\]

\[{\rm{x}} \in {\rm{B(75)}}\] \[{\rm{(x}} \in \mathbb{N})\]\( \Rightarrow \) \[{\rm{x}} \in \left\{ {{\rm{0;75; 150; 300; 600; \ldots }}} \right\}\]

\[{\rm{x}} \in U{\rm{(600)}}\] \[{\rm{(x}} \in \mathbb{N})\]

\[\; \Rightarrow {\rm{x}} \in \left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6;{\rm{ }}8;{\rm{ }}10;12{\rm{ }};20;{\rm{ }}24;{\rm{ }}25;{\rm{ }}30;{\rm{ }}50;{\rm{ }}60;{\rm{ }}75;{\rm{ }}100;1{\rm{ }}20;{\rm{ }}150;{\rm{ }}200;{\rm{ }}300;{\rm{ }}600} \right\}\]Đáp án: \[{\rm{x}} \in \left\{ {{\rm{75; 150; 300; 600}}} \right\}\]

Đáp án: Ta có: \[\overline {{\rm{aaa}}} {\rm{ = 100a + 10a + a = 111}}{\rm{. A = 3}}{\rm{. 37}}{\rm{.a}}\]nên \(\overline {{\rm{aaa}}} \) là bội của 37

Ta có \[{\rm{n}} \vdots 6\] nên \[{\rm{n}} \vdots 2\]

Số \({\rm{n}} = \overline {{\rm{a53b}}} \) chia hết cho cả 2 và 5 nên \[{\rm{b = 0}}\]\( \Rightarrow \) \({\rm{n}} = \overline {{\rm{a530}}} \)

Ta có \[{\rm{n}} \vdots 6\] nên \[{\rm{n}} \vdots 3 \Rightarrow \left( {{\rm{a }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}0} \right) \vdots 3\] hay\[\left( {{\rm{a }} + {\rm{ }}8} \right) \vdots 3\], do đó \[{\rm{a}} \in \left\{ {{\rm{ 1; 4; 7}}} \right\}\]

Vậy \[{\rm{n}} \in \left\{ {{\rm{ 1530; 4530; 7530}}} \right\}\]cả 3 số này vừa là bội của 5, vừa là bội của 6

Các bội số của \[5;{\rm{ }}--5\] đều có dạng \[5.k\] (\(k \in \mathbb{Z}\)).

Chẳng hạn chọn năm bội số của \[5;{\rm{ }}--5\] là: \[--15,{\rm{ }}--10,{\rm{ }}--5,{\rm{ }}0,{\rm{ }}5\] ( ứng với \(k\) lần lượt bằng \(\, - 3;\, - 2;\, - 1;\) \(0;\,\,\,1;\,\,2\)).

Các bội số của –12 có dạng 12.k (\(k \in \mathbb{Z}\)). Cần tìm \(k\) sao cho:\[--100{\rm{ }} < {\rm{ }}12k{\rm{ }} < {\rm{ }}24\].

Tức là: \[--9{\rm{ }} < {\rm{ }}k{\rm{ }} < {\rm{ }}2\], chọn \(k \in \left\{ { - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}.\)

Vậy các bội của \[--12\] nằm trong khoảng từ \[--100\] đến 24 là

\( - 96, - 84, - 72, - 60, - 48, - 36, - 24, - 12,0,12.\)

Các ước tự nhiên của 3 là 1, 3. Do đó các ước của \[--3\] là \( - 3, - 1,\,\,1,\,\,3.\)

Các ước tự nhiên của 25 là \[1,{\rm{ }}5,{\rm{ }}25\]. Do đó các ước của 25 là \( - 25, - 5, - 1,\,\,1,\,\,5,\,\,25.\)

Các ước tự nhiên của 12 là \[1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}6,{\rm{ }}12\]. Do đó các ước của 12 là \( - 12, - 6, - 4, - 3, - 2, - 1,\,\,0,\,\,1,\,\,2,\,\,3,\,\,4,\,\,6,\,\,12.\)

\[5{\rm{ }}.{\rm{ }}n\] chia hết cho \[--2\], nên \(n\) là bội của 2 ( vì 5 không chia hết cho 2).

Vậy \[n{\rm{ }} = {\rm{ }}2k\] (\(k\) là số nguyên tùy ý).

8 chia hết cho \(n\), nên \(n\) là ước của 8.

Vậy \(n \in \left\{ { - 8; - 4; - 2; - 1;\,\,1;\,\,2;\,\,4;\,\,8} \right\}.\)

9 chia hết cho \[n{\rm{ }} + {\rm{ }}1\], nên \[n{\rm{ }} + {\rm{ }}1\]là ước của 9.

Suy ra \(n + 1 \in \left\{ { - 9; - 3; - 1;\,\,1;\,\,3;\,\,9} \right\}.\)

       Với \(n + 1 = - 9\) suy ra \(n = - 9 - 1\) hay \(n = - 10\)

       Với \(n + 1 =  - 3\) suy ra \(n = - 3 - 1\) hay \(n = - 4\)

       Với \(n + 1 = - 1\) suy ra \(n = - 1 - 1\) hay \(n = - 2\)

       Với \(n + 1 = 1\) suy ra \(n = 1 - 1\) hay \(n = 0\)

       Với \(n + 1 = 3\) suy ra \(n = 3 - 1\) hay \(n = 2\)

       Với \(n + 1 = 9\) suy ra \(n = 9 - 1\) hay \(n = - 8\)

Vậy \(n \in \left\{ { - 10; - 4; - 2;\,\,0;\,\,2;\,\,8} \right\}.\)

\[n{\rm{ }}--{\rm{ }}18\] chia hết cho 17, nên \[n{\rm{ }}--{\rm{ }}18\] là bội của 17. Do đó \[n{\rm{ }}--{\rm{ }}18{\rm{ }} = {\rm{ }}17k\] (\(k \in \mathbb{Z}\)).

Vậy \[n{\rm{ }} = {\rm{ }}18{\rm{ }} + {\rm{ }}17k\](\(k \in \mathbb{Z}\)).

Chẳng hạn là: –18; –9; 0; 9

120; 144; 168; 192

\[U\left( {--17} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {--17;{\rm{ }}--1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}17} \right\}\]

\[U\left( {49} \right) = \left\{ {--49;{\rm{ }}--7;{\rm{ }}--1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}7;{\rm{ }}49} \right\}\]

\[U\left( {100} \right) = \left\{ {--100;--50;--25;--20;--10;--5;--4;--2;--1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}4;{\rm{ }}5;{\rm{ }}10;{\rm{ }}20;{\rm{ }}25;{\rm{ }}50;{\rm{ }}100} \right\}\]

\[{\rm{UCLN}}\left( {12;{\rm{ }}16} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}4\] suy ra \[{\rm{UC}}\left( {--12;{\rm{ }}16} \right) = \left\{ {--4;--2;--1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}4} \right\}\]

\[{\rm{UCLN}}\left( {15;{\rm{ }}18;{\rm{ }}20} \right) = 1\] suy ra \[{\rm{UC}}\left( {15;--18;--20} \right) = \left\{ {--1;{\rm{ }}1} \right\}\]

\[7n\,\, \vdots \,\,3\] mà (7; 3) = 1 nên \[n\,\, \vdots \,\,3\] do đó \[n = 3k\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

\[ - 22\,\, \vdots \,\,n\] nên \[n \in {\rm{\{ }} - 22;\,\, - 11;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,1;\,\,2;\,\,11;\,\,22\} \]

\[ - 16\,\, \vdots \,\,(n - 1)\] nên \[(n - 1) \in {\rm{\{ }} - 16;\,\, - 8;\,\, - 4;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,1;\,\,2;\,\,4;\,\,8;\,\,16\} \]

 Vậy \[n \in {\rm{\{ }} - 15;\,\, - 7;\,\, - 3;\,\, - 1;\,\,0;\,\,2;\,\,3;\,\,5;\,\,9;\,\,17\} \]

\[(n + 19)\,\, \vdots \,\,18\] nên \[(n + 1)\,\, \vdots \,\,18\] suy ra \[n = 18k - 1\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

\[{\rm{BCNN}}\left( {15;{\rm{ }}20;{\rm{ }}30} \right) = 60\]

Suy ra \[{\rm{BC}}\left( {15;--20;--30} \right) = {\rm{B}}\left( {60} \right) = 60k\;\]\[(k \in \mathbb{Z})\]

C = \[{\rm{\{ }}ab|a \in {\mathop{\rm A}\nolimits} ;\,\,b \in {\mathop{\rm B}\nolimits} {\rm{\} }}\] = \[{\rm{\{ }} - 2;\,\, - 4;\,\, - 6;\,\, - 8;\,\, - 10;\,\, - 12;\,\, - 16;\,\, - 18;\,\, - 20;\,\, - 24;\,\, - 30\} \]

( Chú ý: Các phần tử trong tập hợp phải khác nhau đôi một)

Trong các tích trên có 3 tích chia hết cho 5 ứng với \[a = {\rm{ }}5\] và \[b \in {\mathop{\rm B}\nolimits} \]