Đề thi

Dạng 2: Quan hệ giữa các góc trong hình học:

AdminToánLớp 9122 lượt thi

1 câu hỏi

Hiển thị đáp án

1.Tự luận

• 1 điểm

Cho

△

ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA. Chứng minh

\hat{O A H} = \hat{A C B} - \hat{A B C}

Xem đáp án

Cách giải 1: (Hình 1)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA. (ảnh 1)

Kẻ OI $⊥$ AC cắt AH ở M
Ta có: $\hat{O M H} = \hat{A C B}$ (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
$\hat{A O M} = \hat{A B C}$ (cùng bằng $\frac{1}{2}$ sđ $\hat{A C}$ )
Trong $△$ OAM thì: $\hat{O M H} = \hat{A O M} + \hat{O A H}$ (Góc ngoài tam giác)
Hay $\hat{A C B} = \hat{A B C} + \hat{O A H}$
Vậy: $\hat{O A H} = \hat{A C B} - \hat{A B C}$ (Đpcm)

Cách giải 2: (Hình 2)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA. (ảnh 2)

Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại A cắt BC ở D .
Ta có: $\hat{A B C} = \hat{C A D}$ (1) (Cùng chắn )
$\hat{O A H} = \hat{A D C}$ (2) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được: $\hat{A B C} + \hat{O A H} = \hat{C A D} + \hat{A D C}$
Mà $\hat{C A D} + \hat{A D C} = \hat{A C B}$ (góc ngoài tam giác)

$\Rightarrow \hat{A B C} + \hat{O A H} = \hat{A C B}$

Vậy: $\hat{O A H} = \hat{A C B} - \hat{A B C}$ (Đpcm)

Cách giải 3: (Hình 3)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA. (ảnh 3)

Kẻ đường kính AOD
Kẻ DK $⊥$ BC
Ta có DK // AH $\Rightarrow \hat{O A H} = \hat{O D K}$ (1) (so le trong)
$\hat{A B C} = \hat{A D C}$ (2) (góc nội tiếp cùng chắn $\hat{A C}$ )
Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được $\hat{O A H} + \hat{A B C} = \hat{O D K} + \hat{A D C} = \hat{K D C}$
Mà: $\hat{K D C} = \hat{A C B}$ (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
$\Rightarrow \hat{O A H} + \hat{A B C} = \hat{A C B}$ . Vậy $\hat{O A H} = \hat{A C B} - \hat{A B C}$ (Đpcm)

Cách giải 4: (Hình 4)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA. (ảnh 4)

Kẻ đường kính AOD
Kẻ CK $⊥$ AD
Ta có: $\hat{O A H} = \hat{K C B}$ (1) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)

$\hat{A B C} = \hat{A D C}$ (2) (góc nội tiếp cùng chắn $\hat{A C}$ )
Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được: $\hat{O A H} + \hat{A B C} = \hat{K C B} + \hat{A D C}$
Mà: $\hat{A D C} = \hat{K C A}$ (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)

$\Rightarrow \hat{O A H} + \hat{A B C} = \hat{K C B} + \hat{K C A} = \hat{A C B}$
Vậy: $\hat{O A H} = \hat{A C B} - \hat{A B C}$ (Đpcm)

Cách giải 5: (Hình 5)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA. (ảnh 5)

Kẻ đường kính AOD
Gọi M là giao điểm của AH và DC
Ta có: $\hat{A M C} = \hat{A C B}$ (1) (góc có cạnh các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
$\hat{A D M} = \hat{A B C}$ (2) (góc nội tiếp cùng chắn $\hat{A C}$ )
Trừ từng vế của (1) và (2) Ta được: $\hat{A M C} - \hat{A D M} = \hat{A C B} - \hat{A B C}$
Mà: $\hat{O A H} = \hat{A C B} - \hat{A B C}$ (góc ngoài tam giác)
Vậy $\hat{O A H} = \hat{A C B} - \hat{A B C}$ (Đpcm)

Cách giải 6: (Hình 6)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA. (ảnh 6)

Kẻ OI $⊥$ BC và OK $⊥$ AB
Ta có: $\hat{O A H} = \hat{O_{2}}$ (1) (so le trong)

$\hat{A B C} = \hat{O_{1}}$ (2) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được $\hat{O A H} + \hat{A B C} = \hat{O_{1}} + \hat{O_{2}}$
Mà $\hat{O_{1}} + \hat{O_{2}} = \hat{A C B}$ (Cùng bằng $\frac{1}{2}$ sđ $\hat{A B}$ )

$\Rightarrow \hat{O A H} + \hat{A B C} = \hat{A C B}$

Vậy $\hat{O A H} = \hat{A C B} - \hat{A B C}$ (Đpcm)

Cách giải 7: (Hình 7)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA. (ảnh 7)

Tại A kẻ tiếp tuyến Ax và đường thẳng Ay // BC
Ta có: $\hat{O A H} = \hat{x A y}$ (1) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
$\hat{A B C} = \hat{B A y}$ (2) (so le trong)
Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được: $\hat{O A H} + \hat{A B C} = \hat{x A y} + \hat{B A y} = \hat{x A B}$
Mà: $\hat{x A B} = \hat{A C B}$ (góc nội tiếp cùng chắn $\hat{AB}$ )

$\Rightarrow \hat{O A H} + \hat{A B C} = \hat{A C B}$
Vậy $\hat{O A H} = \hat{A C B} - \hat{A B C}$ (Đpcm)

Bạn có thích hoạt động này không?

Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.

Khám phá các nguồn tài nguyên miễn phí, phù hợp với tiêu chuẩn trong vài giây

Đại số Hình học

Gợi ý cho bạn

Xem tất cả

Ý tưởng của bạn, bài học của bạn

Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.

Dạng 2: Quan hệ giữa các góc trong hình học:

1 câu hỏi

Gợi ý cho bạn

Ý tưởng của bạn, bài học của bạn

Học liệu phổ biến Lớp 9

Bài tập vừa sức, đúng lớp

Học liệu phổ biến Toán

Thêm cảm hứng cho môn học