Bài tập tự luyện
19 câu hỏi
Cho tam giác ABC, vẽ đường tròn tâm O đi qua A và tiếp xúc với BC tại B. Kẻ dây BD song song với AC. Gọi I là giao điểm của CD với đường tròn.
Chứng minh IAB^=ICA^=IBC^.
Ta có: IAB^=IBC^=IDB^ (cùng chắn cung IB⏜).
Mặt khác BD//AC nên IDB^=ICA^ (so le trong).
Do đó IAB^=ICA^=IBC^.
Cho hai đường tròn O và O' cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn O' cắt O tại C và tiếp tuyến tại A của đường tròn O cắt O' tại D.
Chứng minh AB2=BD.BC.
Trong đường tròn O có ACB^=BAD^ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn BA⏜).
Tương tự trong đường tròn O' ta cũng có BDA^=BAC^.
Xét ΔCAB và ΔADB có ACB^=BAD^ và BDA^=BAC^ nên ΔCAB~ΔADBg.g⇒CBAB=ABDB⇒AB2=DB.BC.
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và dây AC căng cung AC có số đo bằng 60 độ.
a) So sánh các góc của tam giác ABC.
a) Tam giác ABC có: ACB^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
ABC^=30°vì =12sđAC⏜, CAB^=90°−ABC^=60°.
Vậy ABC^<CAB^<ACB^.
b) Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC và BC. Hai dây AN và BM cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tia CI là tia phân giác của góc ACB.
b) Vì M,N là điểm chính giữa của cung AC và BC nên các tia AN,BM là các tia phân giác của các góc A và B. Mà AN và BM cắt nhau tại I nên CI là đường phân giác thứ ba của tam giác ABC hay CI là tia phân giác của góc ACB.
Cho tam giác ABC cân tại A( góc A < 90 độ). Vẽ đường tròn đường kính AB cắt BC tại D, cắt AC tại E. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DBE cân.
a) ADB^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒AD⊥BC⇒D là trung điểm BC (do ΔABC cân).
Tam giác EBC vuông tại E có ED là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên DE=DB=DC.
Vậy tam giác DBE cân.
b) CBE^=12BAC^.
b) Ta có EBC^=DAE^ (cùng chắn cung DE⏜)
Mà DAE^=12BAC^⇒CBE^=12BAC^.
Cho tam giác ABCAB<AC nội tiếp trong đường tròn (O). Vẽ đường kính MN⊥BC (điểm M thuộc cung BC không chứa A). Chứng minh rằng các tia AM, AN lần lượt là các tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC.
Vì MN⊥BC nên M là điểm chính giữa của cung BC⏜
⇒BM⏜=CM⏜⇒A1^=A2^ . Do đó AM là tia phân giác của góc BAC.
Ta có: A2^+A3^=MAN^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). (1)
A1^+A2^+A3^+A4^=180°⇔2A2^+A3^+A4^=180°
⇔90°+A2^+A4^=180°⇔A2^+A4^=90°.(2)
Từ (1) và (2) suy ra A3^=A4^⇒AN là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC.
Cho đường tròn O và hai dây MA,MB vuông góc với nhau. Gọi I,K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB. Gọi P là giao điểm của AK và BI.
a) Chứng minh rằng ba điểm A,O,B thẳng hàng.
a) Gọi E=OI∩AM;F=OK∩MB.
Vì I,K lần lượt là điểm chính giữa của cung AM⏜,BM⏜ nên IO⊥AM, OK⊥MB. Suy ra MEOF là hình chữ nhật.
Ta có: AOB^=AOI^+IOK^+BOK^=2IOK^=180°
⇒A,O,B thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB.
b) Dễ thấy AK và BI lần lượt là tia phân giác của góc MAB^,MBA^.
Mà P là giao điểm của AK và BI nên P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB.
c) Giả sử MA=12cm, MB=16cm, tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác MAB
c) Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông MAB ta được AB=20cm.
Ta có: SMAB=SPAB+SPAM+SPBM=12AB.r+12AM.r+12BM.r=12AB+AM+BM.r.
Mà SAMB=12AM.BM⇒r=AM.BMAB+AM+BM=12.1620+12+16=4 cm.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF.
a) Tứ giác BFCH là hình gì?
a) Ta có ABF^=ACF^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Suy ra BF⊥AB, CF⊥AC
⇒CE//BF (cùng vuông góc với AB).
BD//CF (cùng vuông góc với AC).
Do đó BFCH là hình bình hành.
b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng ba điểm H,M,F thẳng hàng.
b) Do BFCH là hình bình hành nên hai đường chéo BC,HF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của HF.
Vậy H,M,F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng OM=12AH.
c) Vì M là trung điểm của BC nên OM⊥BC (quan hệ đường kính và dây cung) (1)
Lại có H là trực tâm của ΔABC nên AH⊥BC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra OM//AH. Mặt khác, M là trung điểm của BC nên OM là đường trung bình của tam giác AHF. Do đó OM=12AH.
Cho đường tròn (O) đường kính AB, M là điểm chính giữa của một nửa đường tròn. C là điểm bất kì trên nửa đường tròn kia, CM cắt AB tại D. Vẽ dây AE vuông góc với CM tại F.
a) Chứng minh rằng tứ giác ACEM là hình thang cân.
a) Ta có ACM^=12sđAM⏜=45° (vì M là điểm chính giữa của AB⏜).
Do đó ΔACF là tam giác vuông cân.
Tương tự, ta cũng có ΔMEF là tam giác vuông cân.
⇒CAF^=AEM^=45°⇒AC//ME (hai góc ở vị trí so le trong).
Suy ra ACEM là hình thang.
Dễ thấy AME^=CEM^ nên ACEM là hình thang cân.
b) Vẽ CH vuông góc với AB. Chứng minh rằng tia CM là tia phân giác của góc HCO.
b) Tam giác COM cân tại O (vì OC=OM).
⇒MCO^=CMO^ (1)
Vì M là điểm chính giữa của AB⏜ nên OM⊥AB. Mà CH⊥ABgt.
Suy ra OM//CH⇒HCM^=CMO^ (hai góc so le trong) (2)
Từ (1) và (2) suy ra HCM^=MCO^⇒CM là tia phân giác của góc HCO^.
c) Chứng minh rằng CD≤12AE.
c) Ta có ΔHCD~ΔOMGg.g⇒CDDM=CHOM.
Vì M là điểm chính giữa của một nửa đường tròn, C là điểm bất kì trên nửa đường tròn kia nên CH≤OM⇒CDDM=CHOM≤1
⇒CD≤DM⇔2CD≤CM⇔2CD≤AE (do ACEM là hình thang cân).
Vậy CD≤12AE.
Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm N. Các đường thẳng CN và DN lần lượt cắt đường thẳng AB tại F và E. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N cắt đường thẳng AB tại I. Chứng minh rằng:
a) Các tam giác INE và INF là tam giác cân.
a) Ta có: N1^+N2^=CND^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
N2^+N3^=ONI^=90° (tính chất tiếp tuyến).
⇒N3^=N1^ (cùng phụ với N2^) (1)
Tam giác OCN cân tại O nên C1^=N1^ (2)
Mà E1^=12sđAD⏜+sđBN⏜
=12sđBD⏜+sđBN⏜=12sđDN⏜=C1^ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra E1^=N3^⇒ΔEIN cân tại I .
Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta cũng có: N4^=N2^=ODN^=F^⇒ΔIFN cân tại .
b) AI=AE+AF2.
b) Vì ΔEIN và ΔFIN là các tam giác cân nên IE=IN=IF.
Ta có AE+AF=2AE+EI+IF=2AE+2EI=2AI⇒AI=AE+AF2.
Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), ta vẽ hai cát tuyến ABC và ADE (B nằm giữa A và C; D nằm giữa A và E). Cho biết A ^=50°, sđBD⏜=40°. Chứng minh CD⊥BE.
Hướng dẫn: A ^=12sđCE⏜−sđBD⏜⇒sđCE⏜=140°.
Gọi H=CD∩BE⇒CHE^=12sđCE⏜+sđBD⏜=90°.
