Chủ đề 17: Đề kiểm tra có đáp án

Đổi 2 giờ 15 phút = $\frac{9}{4}$ giờ.

Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h), vận tốc của ô tô là y (km/h) (Điều kiện x > 0, y > 0)

Xe máy đi trong 4 giờ được 4x (km), xe ô tô đi trong $\frac{9}{4}$ giờ được $\frac{9}{4}$y (km).

Ta có phương trình $4x + \frac{9}{4}y = 210$    (1)

Thời gian từ khi khởi hành đến lúc gặp nhau là

            4x : y = $\frac{4x}{y}$ (h) hay  $\frac{9}{4}y : x = \frac{9y}{4x}$ (h).

Ta có phương trình: $\frac{4x}{y} = \frac{9y}{4x}$    (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

 Có 12 đội, mỗi đội thi đấu đúng 4 trận nên tìm được hai đội chưa thi đấu với nhau, gọi hai đội đó là A và B.

Mỗi đội A,B thi đấu đúng 4 trận, do vậy trong 10 đội còn lại có ít nhất 2 đội chưa thi đấu với cả A và B. Gọi một trong hai đội đó là C. A,B,C là ba đội bóng đôi một chưa thi đấu với nhau.

Chẳng hạn: Chúng ta chia 12 đội thành hai nhóm, mỗi nhóm 6 đội, các đội trong mỗi nhóm đôi một đã thi đấu với nhau. Như vậy 12 đội bóng này, mỗi đội đã thi đấu đúng 5 lần.

Xét ba đội bóng tuỳ ý, luôn có 2 đội bóng ở cùng một nhóm. Như vậy ba đội bóng bất kì, có ít nhất hai đội đã thi đấu với nhau.

Gọi x (dãy) là số ghế lúc đầu được chia từ số chỗ ngồi trong phòng họp.

Điều kiện: $x \in N*$ và x > 3.

Số chỗ ngồi ở mỗi dãy lúc đầu: $\frac{360}{x}$ (chỗ).

Do thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi va bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng không thay đổi nên ta có phương trình:

Gọi vận tốc xe máy lúc đi từ  A đến B là x (km/h).

Vận tốc xe máy đi từ B đến A là: x + 9 (km/h).

Thời gian xe máy đi từ B đến A là: 90 : x = $\frac{90}{x}$ (h).

Tổng thời gian xe máy đi từ A đến B, từ B về A (không kể thời gian nghỉ) là: 5 giờ - 30 phút  = $\frac{9}{2}$ (giờ).

Ta có phương trình:

 Vậy $x_1 = \frac{31 + 41}{2} = 36$ (nhận), $x_2 = \frac{31 - 41}{2} = -5$ (loại).

Vậy vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B là 36 km/h.

                                                                 10 giờ  45 phút = $\frac{43}{4}$ (giờ)

Gọi thời gian để vòi A,B chảy riêng vào đầy bể lần lượt là x (giờ), y (giờ), thời gian để vòi C tháo cạn hồ nước đầy là z (giờ). (Điều kiện x,y,z > 0).

Trong 1 giờ vòi A chảy vào được $\frac{1}{x}$ (hồ), vòi B chảy vào được $\frac{1}{y}$(hồ), vòi C tháo ra $\frac{1}{z}$ (hồ).

Đúng 6 giờ, A và B mở, đến 7 giờ C mở, đến 9 giờ thì đóng B,C , đến 10 giờ 45 phút thì hồ đầy. Ta có:

Nếu đóng B ngay từ đầu đến 13 (h) hồ đầy nên

                                       (2)   

Lưu lượng vòi B là trung bình cộng của lưu lượng vòi A và vòi C nên:

                                                                                 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

Vậy một mình vòi C tháo cạn hồ nước đầy trong 12 giờ.

Gọi x (km/h) là vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B (x > 0).

Thời gian của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là $\frac{36}{x}$.

Vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là  x + 3.

Thời gian của người đi xe đạp khi đi từ B đến A là  $\frac{36}{x + 3}$.

Theo giả thiết ta có phương trình: $\frac{36}{x} - \frac{36}{x + 3} = \frac{36}{60}$.

Giải phương trình ta được hai nghiệm $\left\{\begin{array}{ll}x = 12& \\ x = -15& \left(loai\right)\end{array}\right.$ 

Vậy vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là 12 (km/h).

Không mất tính tổng quát, giả sử mọi thí sinh đều không giải được bài toán A.

- Nếu mọi thí sinh đều không giải được bài toán B thì từ giả thiết ta có mọi thí sinh đều giải được bài toán C.

- Nếu mọi thí sinh đều giải được bài toán B và bài toán C thì ta có mọi thí sinh đều giải được bài toán B, bài toán C.

- Nếu có một thí sinh chỉ giải được một bài toán, giả sử giải được bài toán B. Xét học sinh này với tất cả các học sinh còn lại. Theo giả thiết, có mọi thí sinh đều giải được bài toán B.

Vậy nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được.

Theo giả thiết ta có mọi thí sinh đều giải được ít nhất một bài toán. Nếu có một thí sinh chỉ giải đúng một bài toán, xét học sinh này với tất cả các học sinh còn lại, ta có mọi thí sinh đều giải được bài toán đó. Ta chỉ còn xét trường hợp mà mọi thí sinh giải được ít nhất hai bài toán.

Gọi số thí sinh giải được A,B mà không giải được C là x, số thí sinh giải được B,C mà không giải được A là y, số thí sinh giải được A,C mà không giải được B là z, số thí sinh giải được cả A,B,C là t.

Ta có: x + y + z + t = 60       (1)

Cách 1

Giả sử có điều trái với kết luận của bài toán.

Ta có: x + z + t < 40; x + y + t < 40; y + z + t < 40.

Do đó: x + z + t + x + y + t + y + z + t  < 40 + 40 + 40 

            2(x + y + z + t) + t < 120 

Kết hợp (1) có t <0. Điều này vô lí! Điều giả sử trên là sai.

Vậy có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được.

Cách 2

Ta có số học sinh không giải được A là y, không giải được B là z, không giải được C là x.

Nếu x > 20, y > 20, z > 20 thì x + y + z > 60. Mâu thuẫn (1).

Do đó trong ba số x, y, z phải có một số không vượt quá 20.

Như vậy có một bài toán mà có nhiều nhất 20 thí sinh không giải được. Do đó bài toán này có ít nhất 40 thí sinh giải được.

Vậy có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được.

Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h).

Vận tốc của xe máy là y (km/h) (Điều kiện: x > y > 0, x > 10).

Ta có phương trình: x - y = 10      (1)

Sau 2 giờ ô tô đi được quãng đường là 2x (km).

Sau 2 giờ xe máy đi được quãng đường là 2y (km) thì chúng gặp nhau, ta có phương trình: 2x + 2y = 180 hay x + y = 90  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

.Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h và vận tốc của xe máy là: 40 km/h.

Gọi chiều rộng của mảnh vườn là x (m) (điều kiện x > 0)

Chiều dài của mảnh vườn là: 360 : x = $\frac{360}{x}$ (m)

Chiều rộng mảnh vườn sau khi tăng 2m là:  x + 2(m)

Chiều dài mảnh vườn sau khi giảm 6m là: $\frac{360}{x} - 6$ (m)

Diện tích mảnh vườn nếu tăng chiều rộng 2m và giảm chiều dài đi 6m là: $(x + 2)(\frac{360}{x} - 6) \left(m^2\right)$.

Theo giả thiết ta có phương trình:

Vậy $x_1 = \frac{-1 + 11}{1} = 10$ (nhận), $x_2 = \frac{-1 - 11}{1} =-12$ (loại).

Chiều rộng của mảnh vườn là 10m

Chiều dài của mảnh vườn là $\frac{360}{10} = 36$ (m)

Chu vi của mảnh vườn là: (10 + 36).2 = 92 (m).

Gọi C là vị trí xe máy bị hỏng.

Quãng đường AC dài là: 120.$\frac{3}{4}$ = 90 (km).

Quãng đường CB dài là: 120 - 90 = 30 (km).

Gọi vận tốc xe máy đi trên quãng đường AC là: x (km/h) (Điều kiện x > 10)

Vận tốc xe máy đi trên quãng đường CB là x -10 (km).

Thời gian xe máy đi trên quãng đường AC là: 90 : x = $\frac{90}{x}$

Đổi 10 phút = $\frac{1}{6}$ (h)

Thời gian xe máy đi từ A đến B (kể cả thời gian sửa xe) là:

11 giờ 40 phút - 7giờ = $\frac{14}{3}$ (h)

Theo giả thiết, ta có phương trình:

                      $x_1 = \frac{55 + 35}{3} = 30$  (nhận), $x_2 = \frac{55 - 35}{3} = \frac{20}{3}$ (loại).

Vận tốc xe máy đi trên quãng đường AC là 30 (km/h).

Thời gian xe máy đi từ A đến C là $\frac{90}{30}$ (h).

Vậy số học sinh giỏi học kì II là: 300 - 60 = 240 (học sinh).

Ta có 529 học sinh có điểm bài thi 5 điểm đến 10 điểm. Theo nguyên lí Dirichlet ta có 89 học sinh có điểm bài thi như nhau (từ 5 điểm đến 10 điểm).

Gọi R (dm) là bán kính của đáy thùng.

Thùng hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao h = 2R nên
 diện tích xung quanh của nó là:

Nên $4{\mathrm{\pi R}}^2 = 8\mathrm{\pi }\iff {\mathrm{R}}^2 = 2\Rightarrow \sqrt{\mathrm{R}} = 2 \left(\mathrm{dm}\right)$ (dm).

Xô có đáy hình nón cụt có hai đáy lần lượt là:

            $R_1 = R =\sqrt{2}$ (dm) và $R_2 = \frac{1}{2}R = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (dm).

Từ đó ta có chiều cao của xô là: h = 2R = 2$\sqrt{2}$ (dm).

Nên

Vậy khi xô chứa đầy hóa chất thì dung tích của nó là 10,4 (lít).

Gọi số xe ban đầu của mỗi xe có là x (xe) (Điều kiện $x \in N*$).

Số xe lúc sau có là x + 3 (xe).

Lúc đầu mỗi xe dự định chở là: 36 : 6 = $\frac{36}{6}$ (tấn).

Lúc sau mỗi xe chở là: 36 : (x + 3) = $\frac{36}{x + 3}$ (tấn).

Theo giả thiết ta có phương trình: $\frac{36}{x} - \frac{36}{x + 3} = 1$.

Phương trình tương đương với

Vậy $x_1= \frac{-3 + 21}{2} = 9$ (nhận); $x_1= \frac{-3 - 21}{2} = -12$ (loại).

Tổng chi phí vốn cố định và vốn sản xuất ra x chiếc xe lăn (đơn vị triệu đồng): y = 500 + 2.5x.

Hàm số biểu diễn số tiền thu được khi bán ra x chiếc xe lăn là: y = 3x.

Gọi vận tốc của tàu đánh cá là x (km/h). (Điều kiện x > 0).

Vận tốc của tàu du lịch là x +  12 (km/h).

Giả sử tàu đánh cá đến điểm A, tàu du lịch đến điểm B. Theo giả thiết, khoảng cách AB là 60km.

Tàu đánh cá đã đi: 8 - 6 = 2 (giờ).

Khoảng cách XA dài 2x (km).

Tàu du lịch đã đi: 8 - 7 = 1 (giờ).

Khoảng cách XB dài là: (x + 12).1 = x + 12 (km).

Theo giả thiết, ta có tam giác XAB vuông tại X.

Do đó $X{A}^2 + X{B}^2 = AB$ (định lí Pythagore).

Ta có phương trình:

Xét biệt thức $△\text{'} = 144 + 17280 = 17424$, $\sqrt{△\text{'}} = 132$.

Vậy vận tốc của tàu đánh cá là 24 (km/h).

Vận tốc của tàu du lịch là: 24 + 12 = 36(km/h).

Gọi thời gian đội thứ nhất làm riêng xong công việc là x (giờ) (Điều kiện x > 0).

Thời gian đội thứ hai làm riêng xong công việc là x + 6 (giờ).

Trong 1 giờ:

Đội thứ nhất làm riêng được: 1 : x = $\frac{1}{x}$ (công việc)

Đội thứ hai làm riêng được: 1 : (x + 6) = $\frac{1}{x + 6}$ (công việc)

Hai đội làm chung được: 1 : 4 = $\frac{1}{4}$ (công việc).

Ta có phương trình:

Vậy $x_1= 1 + 5 = 6$ (nhận); $x_2 = 1- 5 = -4$ (loại).

Thời gian đội thứ nhất làm riêng xong công việc là 6 giờ.

Thời gian đội thứ hai làm riêng xong công việc là: 6 + 6 = 12 (giờ).

Gọi vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là x (km/giờ) (Điều kiện x > 2).

Tàu tuần tra xuôi dòng với vận tốc x + 2 (km/giờ) và ngược dòng với vận tốc x - 2 (km/giờ).

Thời gian tàu tuần tra chạy xuôi dòng là:

Thời gian tàu tuần tra chạy ngược dòng là:

Theo giả thiết, ta có phương trình:

Ta có $x_1 = \frac{6 + 16}{1} = 22$ (nhận), $x_2 = \frac{6 - 16}{1} = -10$ (loại).

Vậy vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là 22 km/giờ.

Gọi chiều rộng mảnh vườn là x (m) (Điều kiện x > 0)

Chiều dài mảnh vườn là $\frac{168}{x}$ (m).

Nếu giảm chiều dài đi 1m thì cạnh đó còn là $\frac{168}{x} - 1$ (m), tăng chiều rộng thêm 1m thì cạnh đó là x + 1 (m), mảnh vườn trở thành hình vuông nên ta có phương trình: $\frac{168}{x} - 1 = x + 1$.

Do đó ta có:

Vậy $x_1 = \frac{-1 + 13}{1} = 12$ (nhận), $x_2 = \frac{-1 - 13}{1} = -14$ (loại).

Gọi quãng đường AB dài là x (km), thời gian từ lúc xe tải xuất phát đến lúc xe khách xuất phát là y (giờ) (Điều kiện x,y > 0).

Đổi 16 phút $\frac{4}{15}$ giờ.

Thời gian xe tải đi từ A đến B là $\frac{x}{40}$ (h), thời gian xe khách đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h là $\frac{x}{50}$ (h), ta có phương trình:

$\frac{x}{40} = y + \frac{x}{50}$   (1)

Thời gian thực tế xe khách đi $\frac{1}{2}.\frac{x}{5} + \frac{1}{2}.\frac{x}{60}$ (h), ta có phương trình:

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:

Đỉnh cổng là đỉnh của parabol y = ax² (a <  0), đỉnh cổng là O(0,0).

Gọi hai chân cổng là A,B. AB cắt Oy tại H.

Ta có:

(A, B, H nằm dưới trục hoành).

$△$HOA vuông tại H.

Suy ra OH² + AH²  = OA²  (định lí Pythagore)

                        $O{H}^2 = {\left(2\sqrt{5}\right)}^2 - 2^2 = 16 \Rightarrow OH = 4$.

Do đó H(0; -4). Nên A(-2; 4), B(2; -4).

                        A $\in \left(P\right)$ nên $-4 = a{(-2)}^2 \iff a = -1$.

Gọi giao điểm của đường thẳng đi qua điểm cao nhất của xe tải, song song với trục hoành với (P) là C, D, CD cắt Oy tại M.

Phương trình đường thẳng CD là y = 1,5.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và CD.

            $-x^2 = 1,5 \iff x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Do đó CD = $\sqrt{6}$. Mà $\sqrt{6}$ > 2,4.

Tại độ cao 2,5m thì chiều rộng của cổng là $\sqrt{6}$ lớn hơn 2,4m là chiều rộng của xe tải. Như vậy xe tải có thể qua cổng được.

Gọi số ngày An giải toán trước khi bệnh là x (ngày) (Điều kiện x $\in N*$, x < 31) và số ngày An nghỉ giải toán là y (ngày) (Điều kiện y $\in$N)

Thời gian từ ngày 1/3 đến ngày 30/4 là 31 + 30 = 61 (ngày).

Do vậy số bài toán An dự định giải là 3.61 = 183 (bài toán).

Theo giả thiết, ta có phương trình:

            3x + 16 + 4.(61 - x - y - 7) = 183 $\iff$-x - 4y + 232 = 183

            $\iff 4y = 49 -x \iff y = \frac{49 - x}{4}$

Mà x < 31. Do đó y > $\frac{49 - x}{4}$ = 4,5. Khi đó x = 49 - 4y = 29.

Vậy bạn An phải nghỉ giải toán ít nhất 5 ngày.

Xét đợt thi thứ nhất. Theo giả thiết có đúng 1 học sinh được trao giải trong hai đợt thi bất kì, vì vậy trong 7 đợt thi còn lại, trong ba học sinh được trao giải đợt thi thứ nhất có một học sinh được trao giải ít nhất 3 lần (vì 7 : 3 = 2 (dư ))

Vậy có một học sinh được trao giải ít nhất bốn lần.

Từ a) giả sử A là học sinh được trao giải ở bốn đợt thi. Xét một đợt thi bất kì trong bốn đợt thi còn lại. Vì có đúng một học sinh được trao giải trong hai đợt thi bất kì. Do vậy đợt thi này, bốn đợt thi mỗi đợt thi có một học sinh trao giải. Như vậy học sinh đó phải là A (nếu không là A thì đợt này có đến bốn học sinh được trao giải). Vì xét đợt thi bất kì nên A được trao giải trong bốn đợt thi còn lại.

A được trao giải ở tất cả 8 đợt thi.

Vậy có đúng một học sinh được trao giải ở tất cả 8 đợt thi.

Gọi số dãy ghế lúc đầu là x (dãy ghế) (Điều kiện x $\in N*$, x > 2)

Mỗi dãy ghế được xếp số chỗ ngồi là $\frac{80}{x}$ (chỗ ngồi).

Nếu bớt đi 2 dãy ghế thì còn x - 2 (dãy ghế) mỗi dãy ghế được xếp chỗ ngồi là $\frac{80}{x - 2}$ (chỗ ngồi).

Theo giả thiết, ta có phương trình $\frac{80}{x - 2} - \frac{80}{x } = 2$.

Ta có

                v

Vậy $x_1= \frac{1 + 9}{1} = 10$ (nhận), $x_2= \frac{1- 9}{1} = -8$ (loại).

Vậy số dãy ghế lúc đầu là 10 dãy.