Dạng 2: Các bài toán chứng minh có đáp án

a) Từ đẳng thức cần chứng minh, ta sẽ biến đổi vế trái. Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC vuông tại A:

AB2=BH.BC,  AC2=CH.CB 

(đến đây đã xuất hiện HB, HC giống VP (1)).

Từ đó suy ra: AB2AC2=BH.BCCH.CB=HBHC  (đpcm).

b) Dễ thấy tứ giác AEHD là hình chữ nhật nên ta có: DE=AH

Áp dụng hệ thức lượng cho các tam giác vuông ABC, AHB, AHC ta có:

AH2=BH.CH,  HB2=BD.AB,  HC2=CE.CA

⇒AH4=BH2.CH2=BD.AB.CE.CA=BD.CE.AB.AC.

Mặt khác AB.AC=AH.BC nên AH4=BD.CE.AH.BC hay DE3=BD.CE.BC (đpcm).

Lưu ý rằng các hệ thức đã được nêu chỉ sử dụng cho tam giác vuông. Do vậy ở đây ta sẽ áp dụng cho hai tam giác AHB và AHC.

Trong tam giác AHC ta có: CH2=AC2−AH2.(Pitago).

Trong tam giác AHB ta có: BH2=AB2−AH2(Pitago).

Từ đó:

CH2−BH2=AC2−AH2.−AB2−AH2=AC2−AB2.

Từ B kẻ đường thẳng song song với AH cắt tia CA tại M. Do tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao nên H là trung điểm của cạnh BC. Từ đó suy ra A là trung điểm của MC hay AH là đường trung bình của tam giác BMC.

Do vậy BM=2AH.

Lại có do MB∥AHnên MB⊥BC hay tam giác MBC vuông tại B. Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MBC ta có:

1BK2=1BM2+1BC2=14AH2+1BC2 (đpcm).

a) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC ta có:

AB2=BH.CB⇒152=9.CB⇒CB=25⇒9+x=25⇒x=16

AH2=BH.CH=9.x=9.16⇒AH=12.

b) Áp dụng Pitago cho tam giác vuông MNP ta có:

y2=NP2=MN2+NP2=52+122⇒y=13.

Lại có MN.MP=MI.NPnên x.y=5.12⇒x≈4,62  cm.

c) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông CDE ta có:

DE2=EF.EChayy2=8.10⇒y=45.

DC2=CF.CE hay x2=2.10⇒x=25.

d) CF2=CD2−DF2=122−92=63⇒CF=37.

DF2=CF.EF⇒92=37.x⇒x=2777.

y2=DF2+EF2=92+27772≈185,14⇒y≈13,61.

DF2=CF.EF⇒92=37.x⇒x=2777.

a) Theo định lý Pitago: BC2=AB2+AC2, suy ra BC=10  cm.

Lại có: AH.BC=AB.AC nên ta tính được AH=4,8  cm.

HB=AB2BC=6210=3,6  cm.

HC=BC−HB=10−3,6=6,4  cm.

b) Theo tính chất đường phân giác:

BDAB=CDAC=BCAB+AC=106+8=57.

Suy ra BD=307.

Diện tích tam giác ABD là: SΔABD=12AH.BD=12.4,8.307≈10,29  cm2.

a) Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pitago ta có:

BC2=AB2+AC2⇒AC2=BC2−AB2=225

     ⇒AC=15  cm.

Theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

AH.BC=AB.AC⇒AH=AB.ACBC=12  cm.

AC2=CH.CB⇒CH=AC2BC=9  cm.

BH=BC−CH=16  cm.

b) Theo đề bài ta thấy HN vuông góc với AC.

Xét tam giác AHC vuông tại H, đường cao HN ta có:

HN.AC=AH.HC⇒HN=AH.HCAC=7,2  cm.

Xét tam giác ANH vuông tại N ta có:

AH2=AN2+HN2 (định lý Pitago)

⇒AN2=AH2−HN2⇒AN=9,6  cm.

NC=AC−AN⇒NC=5,4  cm.

a) Ta có: AH2=BH.CH=112.63=7056⇒AH=84.

b) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC ta có:

AC2=CH.CB⇒AC=105;  AB2=BH.CB⇒AB=140.

Theo tính chất của đường phân giác và tính chất của dãy tỉ lệ thức bằng nhau ta có:

CDAC=BDAB=CD+BDAC+AB=BCAC+AB=175245=57.

⇒CD=75>CH nên H nằm giữa C và D.

⇒HD=CD−CH=75−63=12.

Áp dụng Pitago cho tam giác AHD vuông tại H:

AD2=AH2+HD2⇒AD=602.

Kẻ BE, CF vuông góc với AC (E,F∈AC).

Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông BOE và tam giác vuông DOF ta có:

BE=OBsin50°;

DF=ODsin50°.

Từ đó suy ra:

  SABCD=SΔABC+SΔACD=12BE.AC+12DF.AC=12AC(BE+DF)

=12AC.(OBsin50°+ODsin50°)

=12AC.sin50°.BD

≈7,66.

Kẻ AH vuông góc với BC tại H.

Đặt AB=x, từ giả thiết ta được AC=12−x   (1). 

Trong tam giác ABH vuông tại H có:

AH=AB.sin60°=x32;  BH=AB.cos60°=x2.

Từ đó suy ra: CH=8−x2.

Áp dụng Pitago cho tam giác ACH ta được:

AC2=AH2+CH2=x322+8−x22   (2).

Từ (1) và (2) ta có phương trình:

x322+8−x22=(12−x)2⇔3x24+64−8x+x24=x2−24x+144⇔16x=80⇔x=5.

Vậy AB=5  cm.

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ADC ta có:

1DE2=1AD2+1DC2⇒DE=4,8  cm.

Lại có AE2=AD2−DE2=62−4,82⇒AE=3,6  cm.

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ADF ta có:

1AE2=1AD2+1AF2⇒1AF2=1AE2−1AD2⇒AF=4,5  cm.

Từ đó BF=AB−AF=8−4,5=3,5  cm.

Vậy DE=4,8  cm,  AE=3,6  cm,  AF=4,5  cm,BF=3,5  cm.

Kẻ đường cao AH của hình thang, H∈CD.

Đặt AH=AB=x.

Do hình thang ABCD cân nên DH=CD−AB2=10−x2.

Áp dụng Pitago cho các tam giác vuông AHD và AHC ta có:

AD2=DH2+AH2=10−x22+x2;

AC2=CH2+AH2=10+x22+x2.

Mặt khác tam giác ADC vuông tại A nên ta có:

AD2+AC2=CD2hay10−x22+x2+10+x22+x2=102⇔52x2=50⇔x=25

Vậy đường cao của hình thang có độ dài 25  cm.

Giả sử AH là cột tháp, HB là bóng của nó trên mặt đất ở lúc mặt trời chiếu góc 50°.

Khi đó ΔAHB vuông tại H và ABH^=50°,  BH=96 m.

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHB ta có:

AH=BH.tan50°≈114,4  m.

a) Áp dụng định lý Pitago cho tam giác BHD ta có:

BD2=DH2+BH2=162+122⇒BD=20.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông BHC ta có:

HC2=BC2−BH2=152−122⇒HC=9.

Tam giác BDC có BD2+BC2=202+152=625;

DC2=(16+9)2=625.

Suy ra BD2+BC2=DC2..

Từ đó theo định lý Pitago đảo, tam giác DBC vuông tại B, hay DB⊥BC.

b) Do hình thang ABCD cân nên AB=DH−CH=7.

Diện tích hình thang là SABCD=12BH.(AB+CD)=1212.(7+25)=192.

c) Tam giác BHC vuông tại H có: tanBCH^=BHCH=129⇒BCH^≈53°.

Từ giả thiết, ta đặt AB20=AC21=k

⇒AB=20k,  AC=21k  (k>0).

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC ta có:

1AB2+1AC2=1AH2⇒1(20k)2+1(21k)2=14202

⇒k=29.

Do đó AB=580  cm,  AC=609  cm.

Áp dụng Pitago cho tam giác ABC ta có: BC2=AB2+AC2=8412⇒BC=841  cm.

Vậy chu vi tam giac ABC là: AB+AC+BC=580+609+841=2030  cm.

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ADB ta có:

1AO2=1AB2+1AD2⇒1AD2=1AO2−1AB2

⇒AD=313.

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ADC ta có:

AD2=AO.AC⇒AC=392.

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ADC ta có:

CD2=AC2−AD2⇒CD=9132.

Diện tích hình thang ABCD là:

SABCD=12AD.(AB+CD)=12.313.213+9132=5074.

a) Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ACB có:

AB2=AC2+CB2=(12a)2+(5a)2

⇒AB=13a.

Trong tam giác ABC có:

sinB=ACAB=12a13a=1213;  cosB=CBAB=5a13a=513.

Từ đó sinB+cosBsinB−cosB=177.

b) Ta có: AC.CB=CK.AB⇒CK=6013a⇒BK=2513a.

Hình thang ABCD cân nên CD=AB−2BK=13a−2.2513a=11913a.

Diện tích hình thang ABCD là:

SABCD=12CK.(AB+CD)=12.6013a.13a+11913a=8640169a2.

a) Ta có: AB2+AC2=242+182=900=BC2.

Do đó theo Pitago đảo thì ∆ABC vuông tại A.

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC ta được:

AB.AC=BC.AH⇒AH=AB.ACBC=725.

Trong tam giác ABC có: sinB=ACBC=1830⇒B≈37°,

C=90°−B≈53°.

b) Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có:

CDCA=BDBA=CD+BDCA+BA=BCCA+BA=3042.

Suy ra CD=907,  BD=1207.

c) Từ cách lấy điểm E, F ta suy ra tứ giác AEDF là hình chữ nhật. Mặt khác, AD là đường phân giác của EAF^ nên tứ giác này là hình vuông.

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC, ta có:

AC2=CH.CB⇒CH=AC2CB=10,8<CD

Từ đó suy ra H nằm giữa C và D.

DH=CD−CH=7235.

Áp dụng Pitago cho tam giác vuông AHD có: AD2=AH2+HD2⇒AD=7227.

Do đó, cạnh của hình vuông AEDF là AD2=727.

Chu vi và diện tích của hình vuông AEDF lần lượt là: C=2887,  S=518449.

a) Kẻ hai đường cao AH, BK.

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông AHD ta có:

DH=AD.cos60°=1,  AH=AD.sin60°=3.

Suy ra BK=3..

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông BKC ta có: CK=BKtan30°=3.

Do đó AB=HK=CD−DH−CK=6−1−3=2.

Vậy AB=2.

b) Diện tích hình thang ABCD là: SABCD=12AH.(AB+CD)=12.3.(2+6)=43. (đvdt).

Áp dụng Pitago cho các tam giác vuông ABE, AHE, BCE ta có:

AB2=AE2+BE2=AH2−HE2+BC2−CE2;

HC2=HE2+CE2,

Suy ra AB2+HC2=AH2+BC2.

Chứng minh tương tự ta được: AC2+HB2=AH2+BC2

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Xét tam giác ADI và tam giác CDF có:

DAI^=DCF^=90°;

AD=DC;

ADI^=CDF^ (cùng phụ với CDI^).

⇒ΔADI=ΔCDF(g.c.g)⇒DI=DF.

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông DEF ta có:

1DC2=1DE2+1DF2.

Suy ra 1DE2+1DI2=1DC2 không đổi.

Kẻ BK⊥CD,  CF⊥CE như hình vẽ.

Xét tam giác BKC và tam giác CDF có:

BKC^=CDF^=90°;

BK=CD(=AD);

KBC^=DCF^ (cùng phụ với BCK^).

⇒ΔBKC=ΔCDF(g.c.g)⇒BC=CF.

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông CEF ta có:1CD2=1CF2+1CE2 hay 1AD2=1BC2+1CE2(đpcm)

Kéo dài AD cắt BC tại E.

Do D^+C^=90° nên DEC^=90°.

Áp dụng Pitago cho các tam giác vuông ở đỉnh E ta được:

AB2+CD2=(EA2+EB2)+(ED2+EC2)=EA2+EB2+EC2+ED2;

AC2+BD2=(EA2+EC2)+(EB2+ED2)=EA2+EB2+EC2+ED2.

Từ đó suy ra AB2+CD2=AC2+BD2.

a) Kẻ đường cao BK.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác ABK ta có:

BK+AK>AB.

Ta có: sinA=BKAB;  cosA=AKAB

Nên sinA+cosA=BK+AKAB>ABAB=1.

b) Xét tam giác ABH vuông tại H có: cotB=BHAH⇒AH.cotB=BH.

Xét tam giác ACH vuông tại H có: cotC=CHAH⇒AH.cotB=CH.

Từ đó, suy ra AH.cotB+AH.cotC=BH+CH=BC (đpcm).

a) Kẻ các đường cao AD, BE, CF.

Áp dụng hệ thức lượng cho các tam giác vuông ABD ta có:

sinB=ADc,  sinA=CFb,  sinC=BEa.

Từ đó,

asinA=abCF=abc2S,  bsinB=bcAD=abc2S,  csinC=caBE=abc2S.

Do vậy asinA=bsinB=csinC.

b) Giả sử sinA=sinB+sinC.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

asinA=bsinB=csinC=b+csinB+sinC=b+csinA

⇒a=b+c. Điều này không xảy ra do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

a) Theo giả thiết AD=DE=EC mà AC=3a nên AD=DE=EC=a.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ADB ta có:

DB2=AD2+AB2=2a2

Lại có DE.DC=a.2a=2a2.

Do vậy DB2=DE.DChay DEDB=DBDC.

b) Xét hai tam giác ΔBDE và ∆CDB ta có:

BDCD=DEDB (theo chứng minh câu a);

BDE^ chung

⇒ΔBDE~ΔCDB(c.g.c).

c) Do ΔBDE~ΔCDB nên DEB^=DBC^⇒AEB^+BCD^=DBC^+BCD^=ADB^=45°.

Vậy AEB^+BCD^=45°.

a) Trong các tam giác vuông ABN và ACL ta có:

cosA=ANAB,  cosA=ALAC.

Do đó ANAB=ALAC.

Xét ∆ANL và ∆ABCcó: BAC^ chung, ANAB=ALAC nên ΔANL~ΔABC(c.g.c).

b) Trong các tam giác vuông ABN, BCL, AMC có:

AN=AB.cosA, BL=BC.cosB, CM=CA.cosC.

Nhân vế với vế của các đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.

Ta có:

AN.BL.CM=AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.

2AM2+BC22=2(AM2+MB2)

=2(AH2+HM2+MB2)=2AH2+2HM2+2MB2

Ta cần chứng minh HB2+HC2=2HM2+2MB2.

Do AB>AC nên HB>HC và H nằm giữa C, M.

HB2+HC2=(MB+HM)2+(MC−HM)2=(MB+HM)2+(MB−HM)2=2(MB2+HM2). (đpcm).