Chủ đề 14: Hình nón, hình nón cụt, diện tích xung quanh và thể tích của hình nòn, hình nón cụt
12 câu hỏi
Cái mũ của chú hề với các kích thước cho theo hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ (không kể riềm, mép, phần thừa).
Cái mũ gồm hai bộ phận:
- Bộ phận hình nón có:
r=35−2.102=7,5 cm.
Và l=30cm.
- Bộ phận hình vành khăn có:
R=17,5cm và r=7,5cm.
Tổng diện tích vải cần có để làm mũ là:
S=π.7,5.30+π[(17,5)2−(7,5)2]=475π (cm2)≈1491,5 (cm2)
Hình vẽ cho ta hình ảnh của một cái đồng hồ cát kích thước kèm theo (OA=OB).
Hãy so sánh tổng các thể tích của hai hình nón và thể tích của hình trụ.
Tổng thể tích của hai hình nón là:
V1=2.13πR2.h2=πR2h3
Thể tích của hình trụ là: V2=πR2h.
Suy ra: V1=13V2.
Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón. Các kích thước cho trên hình vẽ. Hãy tính:
a) Thể tích của dụng cụ này;
Dụng cụ này gồm hai bộ phận:
- Bộ phận hình trụ có:
Bán kính đáy R=70cm có chiều cao h=70cm.
- Bộ phận hình nón có: R=70cm,h=90cm và có đường sinh: l=702+902=10130cm.
Thể tích của dụng cụ này là:
V=π.702.70+13π.702.90=490000π(cm2)=0,49(m2)
b) Diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính nắp dây).
Diện tích mặt ngoài của dụng cụ này là:
S=2π.70.70+π.70.10130≈55833(cm2)≈5,58(m2)
(Cối xay gió của Don Quixote từ tác phẩm của Cervantes)
Phần trên của cối xay gió có dựng một hình nón. Chiều cao của hình nón là 42cm và thể tích của nó là 17600cm3.
Em hãy giúp chàng Don Quixote tính bán kính đáy của hình nón (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Ta có: V=13πR2h=17600;13.πR2.42=17600;
R2≈400,36 hay R=20,01.
Một cái xô bằng inoc có dạng hình nón cụt đựng hoá chất, có các kích thước cho như hình vẽ.
a) Hãy tính diện tích xung quanh của xô.
a) Diện tích xung quanh của xô là:
Sxq=π(R+r).l=π(21+9).36=1080π (cm2).
≈3391,2 (cm2)
b) Khi xô chứa đầy hoá chất thì dung dịch của nó là bao nhiêu?
b) Để tính được dung tích của xô ta cần biết thêm chiều cao OO' của xô
Ta có: SO=SA2−OA2=632−212=422 (cm).
SO'=SB2−O'B2=272−92=182 (cm).
Vậy: OO'=422−182=242(cm)≈34(cm)
Vậy thể tích của xô là: V=13πh(R2+r2+Rr);
V=13π.34.(212+92+21.9)≈25302(cm3)≈25,3(l)
Từ một hình nón, người thợ điện có thể tiện ra một hình trụ sao nhưng “hẹp” hoặc một hình trụ rộng nhưng “thấp”.
Trong trường hợp nào thì thợ tiện loại bỏ ít vật liệu hơn?
Đặt BE=x thì ta có MEAD=BEBD hay rR=xh⇒r=Rxh
Thể tích hình trụ là: V=π.R2x2h2(h−x).
Ta có: 2Vh2πR2=x2(2h−2x).
Vì h,π,R là các hằng số nên V sẽ lớn nhất khi và chỉ khi x2(2h−2x) lớn nhất. Vì x+x+(2h−2x)=2h (là hằng số) nên tích của nó x2(2h−2x) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x=2h−2x hay x=23h.
Một chiếc xô hình nón cụt làm bằng tôn để đựng nước. Các bán kính đáy là 14cm và 9cm, chiều cao là 23cm.
a) Tính dung tích của xô.
a) Thể tích của xô là:
V=13πh(R2+r2+Rr)=13π.23(142+92+14.9)
≈9702(cm3)≈9,7(dm3).
Vậy dung tích của xô đó là 9,7 lít.
b) Tính diện tích tôn để làm xô (không kể diện tích các chỗ ghép).
b) Muốn tính diện tích tôn để làm xô ta tính diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy nhỏ.
Trước hết, tính đường sinh AD bằng cách áp dụng định lí Pythagore đối với tam giác vuông ADH, trong đó DH=23cm;AH=R−r=5cm.
Diện tích xung quanh của xô là:
Sxq=π(R+r)l=π(14+9).23,5=540,5π (cm2).
Sd=πr2=π.92=81π (cm2)
Diện tích tôn để làm xô là:
S=Sxq+Sd=540,5π+81π=612,5(cm2)≈1952 (cm2)
Từ một khúc gỗ hình trụ cao 15cm người ta tiện thành một hình nón có thể tích lớn nhất. Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là 640π cm3.
a) Tính thể tích khúc gỗ hình trụ.
a) Ta có: Vtru=πR2h;Vnon=13πR2h.
Vậy thể tích gỗ tiện bỏ đi bằng 23 thể tích hình trụ.
Suy ra thể tích hình trụ là:
640π.32=960π (cm3)
b) Tính diện tích xung quanh hình nón.
b) Ta có: πR2h=960π;π.R2.15=960π⇒R=8 (cm).
Áp dụng định lí Pythagore đối với tam giác OO'B ta được
OB=OO'2+OB2=152+82=17(cm)
Do đó diện tích xung quanh của hình nón là:
Sxq=πRl=π.8.17=136 (cm2)
