Chủ đề 15: Hình cầu, diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu
11 câu hỏi
Ngày 4-6-1983, anh em nhà Montgolfier (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu dùng khinh khí nóng. Coi khinh khí cầu này là hình cầu có đường kính 11m. Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu:
S=4πR2≈4.3,14.5,52≈380 (m2)
Cần phải có ít nhất bao nhiêu lít nước để thay nước ở liễn nuôi cá cảnh (hình vẽ)? Liễn được xem như một phần mặt cầu (đường kính của mặt cầu là 22cm). Lượng nước đổ vào liễn chiến 23 thể tích hình cầu.
Thể tích hình cầu được tính theo công thức:
V=43πR3 hay V=13πd3 (d là đường kính).
22cm=2,2dm.
Lượng nước ít nhất cần phải có là:
23.π6.(2,2)3≈3,71(dm3)=3,71 lít.
Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy là r, chiều cao 2r (đơn vị: cm). Người ta khoét rỗng hai nữa hình cầu như hình vẽ.
Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại (diện tích cả ngoài lẫn trong).
Diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại gồm diện tích xung quanh của hình trụ (có bán kính đáy là r và chiều cao 2r) và diện tích hai nửa mặt cầu bán kính r.
Diện tích cần tìm là: S=2πr.2r+4πr2=8πr2.
Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (hình vẽ). Hãy tính thể tích của bồn chứa theo các kích thước cho trên hình vẽ.
Thể tích của bồn chứa bằng tổng thể tích của một hình trụ (có bán kính đáy 0,9 m và chiều cao 3,62m) và thể tích của một hình cầu bán kính 0,9m.
Thể tích của bồn chứa là:
V=π.(0,9)2.3,62+43π.(0,9)2≈12,26 (m3)
Một chi tiết máy gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu với các kích thước đã cho trên hình vẽ (đơn vị: cm).
a) Tìm một hệ thức giữa x và h khi AA' có độ dài không đổi và bằng 2a.
a) Ta có: h+2x=AA'. Do đó h+2x=2a.
b) Với điều kiện ở câu a), hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết máy theo x và a.
b) Diện tích bề mặt chi tiết máy là:
S=2πxh+4πx2=2πx(h+2x)=4πax
Thể tích của chi tiết máy là:
V=πx2h+43πx3=2πx2(a−x)+43πx3=2πax3−23πx3
Với hai quả dưa hấu (xem như là hai hình cầu) một to và một nhỏ, tỉ số các đường kính của chúng là 5:4, nhưng giá của quả to gấp rưỡi giá cua quả nhỏ. Bạn chọn mua quả nào thì lợi hơn? (Xem “chất lượng” của chúng là như nhau).
Mua quả to lợi hơn vì tỉ số giữa thể tích của nó với thể tích của quả nhỏ là 543=12564 (gần gấp đôi).
Trong khi đó giá của nó chỉ gấp rưỡi!
(Dễ thấy 12564>32=9664).
Cho tam giác ABC cạnh a, đường cao AH. Ta quay nửa đường tròn nội tiếp và nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác đều này một vòng quanh AH. Tính:
a) Tỉ số diện tích hai mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình nón.
Gọi R và r lần lượt là các bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường
tròn nội tiếp tam giác đều.
Dễ thấy R=2r.
Vì BC=a nên HC=a2.
Và AH=a32;OA=a33.
a) Tỉ số diện tích hai mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình nón là:
S1S2=4πr24πR2=r2(2r)2=14.
b) Tỉ số thể tích của hai hình cầu nói trên.
b) Tỉ số thể tích hai hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình nón là:
V1V2=43πr343πR3=r3(2r)3=18.
c) Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi hình nón và hình cầu ngoại tiếp hình nón.
c) Thể tích hình cầu ngoại tiếp là:
V2=43πR3=43π.a333=43πa327 (đvdt).
Thể tích hình nón là: V3=13π.a22.a32=3πa324 (đvdt).
Thể tích phần không gian giới hạn bởi hình nón và hình cầu ngoại tiếp là:
V=V2−V3=43πa327−3πa324=233πa3216≈0,58a3 (đvdt).
Một hình cầu có diện tích bề mặt là 100π (m2). Tính thể tích của hình cầu đó.
Theo đề bài ta có: 4πR2=100π⇒R=5 (m).
Thể tích của hình cầu đó là: V=43π.52=500π3 (m3)
