Dạng 2: Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn có đáp án

a) Giả sử tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là trung điểm của BC.

Suy ra OA=12BC=OB=OC (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông).

Do đó, điểm O cách đều ba đỉnh A,B,C hay O chính là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

b) Giả sử đường tròn O đường kính BC ngoại tiếp tam giác.

Ta có: OA=OB=OC (vì cùng là bán kính) ⇒OA=OB=OC=12BC.

Mà OA là đường trung tuyến ứng với cạnh BC nên ∆ABC vuông tại A.

Nhận xét

Nếu các tam giác vuông có chung cạnh huyền thì các đỉnh góc vuông của các tam giác vuông đó cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh huyền chung đó.

Ta có: MN//ECMN=12EC (vì MN là đường trung bình của ∆DEC).

Ta có: PQ//ECPQ=12EC (vì MN là đường trung bình của ∆BEC).

Suy ra: MN//PQMN=PQ⇒MNPQ là hình bình hành.                   (1)

Mặt khác QM//BD (do MQ là đường trung bình của ∆BDE) và

⇒QMN^=BAC^=90° (góc có cạnh tương ứng song song).   (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình chữ nhật. Các tam giác vuông QMN và QPN có chung cạnh huyền QN nên bốn điểm M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn đường kính QN.

Gọi O=AC∩BD. Vì ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC và BD⊥AC tại O.

⇒BD là đường trung trực của đoạn AC.

Mà EF là đường trung trực của AB (theo giả thiết) và EF∩BD=E. Suy ra E là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

Chứng minh tương tự, ta cũng có F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆ABD.

Xét ∆ADO và ∆CHO có: ADO^=CHO^=90° (giả thiết).

                                    AOD^ chung.

                                    OA=OC (bán kính đường tròn O).

⇒ΔADO=ΔCHO (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒OH=OD (hai cạnh tương ứng).

⇒OHOA=ODOC⇒DH//AC (định lí Ta-lét đảo) ⇒ACDH là hình thang.      (1)

Mà OAC^=OCA^ (do ∆AOC cân tại O).                                          (2)

Từ (1) và (2) suy ra ACDH là hình thang cân.