Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng

Do $AB\text{//}CE$ nên $\widehat{BAD}=\widehat{DEC}$. Chứng minh được $\Delta ABD~\Delta ECD(g\cdot g)$ 

Chứng minh được $\widehat{CAD}=\widehat{CED}(=\widehat{BAD})$ nên $\Delta ACE$ cân tại C.

Xét DABD và DBDC:

$\widehat{\text{A}}=\widehat{\text{CBD}}$; $\widehat{\text{ABD}}=\widehat{\text{BDC}}$ (so le trong)

Þ $\Rightarrow △\text{ABD\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\Delta \text{BDC}$ (g – g)

Þ$\frac{\text{AB}}{\text{BD}}\text{=}\frac{\text{BD}}{\text{CD}}\Rightarrow \text{CD = }\frac{{\text{BD}}^{\text{2}}}{\text{AB}}\text{=}\frac{6^2}{4}=9\text{\hspace{0.17em}cm}$

Từ các kết quả trên suy ra đpcm: $\frac{MB}{MC}.\frac{NC}{NA}.\frac{PA}{PB}=\frac{AE}{FC}.\frac{FC}{AE}=1$

Vì $AD,BE,CF$ là đường cao của  $\Delta ABC\Rightarrow AD\perp BC;CF\perp AB;BE\perp AC$

Xét $\Delta CFA$ và $\Delta BEA$ có:  $\left.\begin{array}{l}\widehat{CFA}=\widehat{BEA}=90°\\ \widehat{A}chung\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta CFA~\Delta BEA(g-g)$

$\Rightarrow \frac{CF}{BE}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow AC.BE=CF.AB$ (1)

Xét $\Delta CFB$ và $\Delta ADB$ có:  $\left.\begin{array}{l}\widehat{CFB}=\widehat{ADB}=90°\\ \widehat{\text{B }}chung\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta CFB~\Delta ADB(g-g)$ 

$\Rightarrow \widehat{FCB}=\widehat{DAB}$ và $\frac{CF}{AD}=\frac{CB}{AB}\iff AD.BC=CF.AB$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $AD.BC=BE.AC=CF.AB$

Xét $\Delta AEH$ và $\Delta BDH$ có:  $\left.\begin{array}{l}\widehat{AEH}=\widehat{BDH}=90°\\ \widehat{AHE}=\widehat{BHD}\left(dd\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta AHE\Delta BDH(g-g)\Rightarrow \frac{{\displaystyle AH}}{{\displaystyle BH}}=\frac{{\displaystyle EH}}{{\displaystyle DH}}$ 

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta EHD$  có:  $\left.\begin{array}{l}\frac{AH}{BH}=\frac{EH}{DH}\left(cmt\right)\\ \widehat{AHB}=\widehat{EHD}\left(dd\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta AHB\Delta EDH(c-g-c)$

Tương tự ta có: $\Delta AHC~\Delta FHD;\Delta BHC~\Delta FHE$

Vì $\Delta CFA\Delta BEA\Rightarrow \frac{FA}{EA}=\frac{AC}{AB}$ 

Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ABC$ có:  $\left.\begin{array}{l}\frac{FA}{AE}=\frac{AC}{AB}\left(cmt\right)\\ \widehat{A}\left(chung\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta AEF\Delta ABC(c-g-c)$ 

Chứng minh tương tự ta có $\left.\begin{array}{l}\Delta BDF\Delta BAC\\ \Delta BAC\Delta EDC\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta BDF\Delta EDC$ (t/c..)

Vì  $\Delta BDF\Delta BAC\Rightarrow \widehat{BDF}=\widehat{BAC}\iff \widehat{ADF}=\widehat{ABH}$ (cùng phụ với $\widehat{BDF}=\widehat{BAC}$)

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AFD$có:  $\left.\begin{array}{l}\widehat{ABH}=\widehat{ADF}\\ \widehat{A}\left(chung\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta AHB\Delta AFD(g-g)$

Tương tự ta có:  $\Delta AED~\Delta AHC$

$\left.\begin{array}{l}\Delta AHB\Delta AFD\to \widehat{ABH}=\widehat{FDA}\\ \Delta AHB\Delta EHD\to \widehat{ABH}=\widehat{EDH}\end{array}\right\}\Rightarrow \widehat{FDA}=\widehat{EDH}\Rightarrow DH$ là tia phân giác  $\widehat{FDE}$(3)

Lại có: $\widehat{FEB}=\widehat{FAD}$ (cùng phụ với $\widehat{AEF}=\widehat{FDB}$)

Mà:  $\widehat{HAB}=\widehat{HED}\left(cmt\right)$

$\Rightarrow \widehat{FEB}=\widehat{HED}$ $\Rightarrow EH$ là tia phân giác $\widehat{FED}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra: H là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác FED hay H cách đều 3 cạnh của tam giác FED

Mà $\Delta OAB\Delta OCD\Rightarrow \frac{OA}{OC}=\frac{AB}{CD}$ nên $\frac{OH}{OK}=\frac{AB}{CD}$

Kẻ đường phân giác BD của tam giác ABC.

Xét ∆ABC và ∆ADB có $\widehat{A}$ chung,$\widehat{ACB}=\widehat{AB\text{D}}\left(=\frac{\widehat{ABC}}{2}\right)$  suy ra ∆ABC$\backsim$ ∆ADB (g.g)

 $\Rightarrow \frac{AB}{A\text{D}}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow A\text{D}=\frac{A{B}^2}{AC}=\frac{4^2}{8}=2\text{ (cm)}$

Þ CD = 6 (cm).

∆ABC có BD là đường phân giác nên $\frac{BC}{AB}=\frac{C\text{D}}{A\text{D}}\Rightarrow BC=\frac{AB.C\text{D}}{A\text{D}}=\frac{4.6}{2}=12\text{ (cm)}$.