Bộ 5 đề thi giữa kì Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 3
21 câu hỏi
Trong các câu sau có bao nhiêu câu là mệnh đề?
(1): Số 3 là một số chẵn.
(2): \(2x + 1 = 3\).
(3): Các em hãy cố gắng làm bài thi cho tốt nhé!
(4): \(1 < 5 \Rightarrow 8 < 6\).
\(1\).
\(4\).
\(2\).
\(3\).
Các mệnh đề là: (1): Số 3 là một số chẵn và (4): \(1 < 5 \Rightarrow 8 < 6\). Chọn C.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề: "∀x∈ℕ,x2>x" là
∃x∈ℕ,x2≤x
∃x∈ℕ,x2<x
∃x∈ℕ,x2≥x
∀x∈ℕ,x2≤x
Mệnh đề: "∀x∈ℕ,x2>x" có mệnh đề phủ định là: "∃x∈ℕ,x2≤x". Chọn A.
Xác định tập hợp X biết \(X = \left\{ {x \in \mathbb{Z}\left| {3{x^2} - 7x + 4 = 0} \right.} \right\}\).
\(X = \left\{ {\frac{4}{3}} \right\}\).
\(X = \left\{ 1 \right\}\).
\(X = \left\{ 0 \right\}\).
\(X = \left\{ {1;\frac{4}{3}} \right\}\).
Ta có: \(3{x^2} - 7x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{4}{3}\end{array} \right.\).
Vì \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = 1\) thỏa mãn \( \Rightarrow X = \left\{ 1 \right\}\). Chọn B.
Cho \(A = \left\{ {0\,;1\,;2\,;3\,;4} \right\},\,\,B = \left\{ {2\,;3\,;4\,;5\,;6} \right\}\). Tập hợp \(\left( {A\backslash B} \right) \cup \left( {B\backslash A} \right)\) bằng
\(\left\{ {1\,;2} \right\}\).
\(\left\{ {0\,;1\,;5\,;6} \right\}\).
\(\left\{ {5\,;6} \right\}\).
\(\left\{ {2\,;3\,;4} \right\}\).
\(A\backslash B = \left\{ {0\,;1\,} \right\}\); \(B\backslash A = \left\{ {5;6} \right\}\).
\( \Rightarrow \left( {A\backslash B} \right) \cup \left( {B\backslash A} \right) = \left\{ {0\,;1\,;5\,;6} \right\}\). Chọn B.
Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x + 2y > 3\). Cặp số nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình đã cho?
\(\left( { - 2\,;1} \right)\).
\(\left( {1\,;2} \right)\).
\(\left( {1\,; - 2} \right)\).
\(\left( {2\,; - 1} \right)\).
Lần lượt thay các cặp số vào bất phương trình đã cho, ta thấy:
- Vì \(\left( { - 2} \right) + 2 \cdot 1 = 0 < 3\) nên cặp số \(\left( { - 2\,;1} \right)\) không phải là một nghiệm của bất phương trình.
- Vì \(1 + 2 \cdot 2 = 5 > 3\) nên cặp số \(\left( {1\,;2} \right)\) là một nghiệm của bất phương trình.
- Vì \(1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right) = - 3 < 3\) nên cặp số \(\left( {1\,; - 2} \right)\) không phải là một nghiệm của bất phương trình.
- Vì \(2 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 0 < 3\) nên cặp số \(\left( {2\,; - 1} \right)\) không phải là một nghiệm của bất phương trình.
Chọn B.
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3x + y \le - 1}\\{4x - 7y > 5}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3{y^2} > 5}\\{ - 3x - 5y \le - 6}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y \le 9}\\{\frac{2}{x} - 3y > 1}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^3} - 5y \ge 8}\\{ - x - 4y \le 20}\end{array}} \right.\).
Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3x + y \le - 1}\\{4x - 7y > 5}\end{array}} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn A.
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{x + y \le - 2}\end{array}} \right.\). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?
\(\left( { - 1; - 4} \right)\).
\(\left( {1;4} \right)\).
\(\left( { - 4;1} \right)\).
\(\left( {1; - 4} \right)\).
Thay \[x = 1,\,\,y = - 4\] vào hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{x + y \le - 2}\end{array}} \right.\), ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \ge 0}\\{ - 3 \le - 2}\end{array}} \right.\) (thỏa).
Khi đó điểm \(\left( {1; - 4} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ đã cho. Chọn D.
Với giá trị nào của góc \[\alpha \] thì \[\cos \alpha > 0\]?
0°<α≤90°
90°<α≤180°
0°≤α<90°
0°≤α≤90°
Với α∈0°;90° thì cosα>0.Chọn C.
Cho tam giác \[ABC\] với \(BC = a\),\(AC = b\), \(AB = c\). Đẳng thức nào sai?
\[{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B\]
\[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\].
\[{c^2} = {b^2} + {a^2} + 2ab\cos C\].
\[{c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ab\cos C\].
Theo định lí côsin trong tam giác \[ABC\], ta có \[{c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ab\cos C\]nên đáp án C sai. Chọn C.
Miền không gạch chéo (không kể bờ \(d\)) trong hình sau là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình dưới đây?
\[x + 2y < 4\].
\[2x + y \ge 4\].
\[x + 2y \ge 4\].
\[x + 2y > 4\].
Gọi phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \(y = ax + b\). Hình vẽ cho thấy đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm có tọa độ \(\left( {4;0} \right),\left( {0;2} \right)\) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4 \cdot a + b = 0\\0 \cdot a + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = 2.\end{array} \right.\)
Phương trình đường thẳng \(d\) là \(y = - \frac{1}{2}x + 2\) hay \(x + 2y = 4\).
Thay tọa độ điểm \(O\left( {0;0} \right)\) vào biểu thức \(x + 2y\) ta thấy \(x + 2y = 0 + 2 \cdot 0 = 0 < 4\) nên miền không gạch chéo (không kể bờ \(d\)) là miền nghiệm của bất phương trình \[x + 2y > 4\]. Chọn D.
Biết \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\). Giá trị đúng của biểu thức \(P = {\sin ^2}\alpha + 3{\cos ^2}\alpha \) là:
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{4}{3}\).
\(\frac{{10}}{9}\).
\(\frac{{11}}{9}\).
Ta có \({\sin ^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\).
Vậy \(P = \frac{8}{9} + 3 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{{11}}{9}\). Chọn D.
Cho tam giác\[ABC\] có \(\widehat C\) nhọn và \[AC = 3;BC = 4;{S_{ABC}} = 3\sqrt 3 \] (tham khảo hình vẽ).
Tính độ dài cạnh\[AB\].
\(15\).
\(\sqrt {15} \).
\[13\].
\[\sqrt {13} \].
Ta có SABC=12AC⋅BC⋅sinC=12⋅3⋅4sinC=33⇒sinC=32⇒C^=60° (Do góc C^ nhọn).
Áp dụng định lý côsin trong tam giác\[ABC\] ta có:
AB2=BC2+AC2−2⋅BC⋅AC⋅cosC=32+42−2⋅3⋅4⋅cos60°=32+42−2⋅3⋅4⋅12=13
Suy ra \(AB = \sqrt {13} \). Chọn D
Một công ty viễn thông tính phí 1 nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng và 2 nghìn đồng mỗi phút gọi ngoại mạng. Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số phút gọi nội mạng, ngoại mạng của Bình trong một tháng. Bình muốn số tiền phải trả cho tổng đài luôn thấp hơn 100 nghìn đồng.
a) Số tiền phải trả cho cuộc gọi nội mạng mỗi tháng là \(x\) (nghìn đồng), số tiền phải trả cho cuộc gọi ngoại mạng mỗi tháng là \(2y\) (nghìn đồng) với điều kiện: \(x \in \mathbb{N},y \in \mathbb{N}\).
b) Bất phương trình bậc nhất gồm hai ẩn số \(x,y\) đã cho là \[x + 2y < 100\].
c) \(x = 50,y = 20\) nghiệm của bất phương trình bậc nhất gồm hai ẩn số \(x,y\) đã cho.
d) Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất gồm hai ẩn số \(x,y\) đã cho là một hình vuông.
a) Đúng. Số tiền phải trả cho cuộc gọi nội mạng mỗi tháng là \(x\) (nghìn đồng), số tiền phải trả cho cuộc gọi ngoại mạng mỗi tháng là \(2y\) (nghìn đồng) với điều kiện: \(x \in \mathbb{N},y \in \mathbb{N}\).
b) Đúng. Ta có bất phương trình: \(x + 2y < 100\,\,\,\left( * \right)\).
c) Đúng. Xét \(x = 50,y = 20\) thay vào \(\left( * \right):50 + 2 \cdot 20 < 100\) (đúng) suy ra \(\left( {50\,;\,20} \right)\) là một nghiệm của \(\left( * \right)\).
d) Sai. Biểu diễn miền nghiệm của \(\left( * \right)\) trên mặt phẳng tọa độ: Vẽ đường thẳng \(x + 2y = 100\).
Ta thấy điểm \(O\left( {0\,;\,0} \right)\) thuộc miền nghiệm của \(\left( * \right)\) do thay tọa độ \(O\) vào \(\left( * \right)\): \(0 < 100\) (đúng).
Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(\left( * \right):x + 2y < 100\) là nửa mặt phẳng (không kể d) có chứa điểm \(O\) (phần không gạch chéo trên hình).
Trong thực tế, vì \(x \in \mathbb{N},y \in \mathbb{N}\) nên ta chỉ xét miền nghiệm bất phương trình ứng với miền tam giác \(OAB\).
Cho sinα=35,90°<α<180°
a) cosα>0.
b) cos2α=1625.
c) tan180°−α=−34.
d) A=tanα−cot180°−αsin90°−α=12548.
a) Sai. Vì 90°<α<180° nên cosα<0.
b) Đúng. Ta có sin2α+cos2α=1⇒cos2α=1−sin2α=1−352=1625.
Do đó cosα=−1625=−45.
c) Sai. Ta có tanα=sinαcosα=−34⇒ tan180°−α=−tanα=34.
d) Đúng. Ta có cotα=1tanα=−43.
Vậy A=tanα−cot180°−αsin90°−α=tanα+cotαcosα=−34+−43−45=12548.
Có bao nhiêu số nguyên \(n\) để \(P\left( n \right):\) “\(2{n^3} + {n^2} + 7n + 1\) chia hết cho \(2n - 1\)” là mệnh đề đúng?
Ta có \(2{n^3} + {n^2} + 7n + 1 = \left( {{n^2} + n + 4} \right)\left( {2n - 1} \right) + 5\).
\(2{n^3} + {n^2} + 7n + 1\) chia hết cho \(2n - 1\) \( \Leftrightarrow \)\(5\) chia hết cho \(2n - 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2n - 1 = 1\\2n - 1 = - 1\\2n - 1 = 5\\2n - 1 = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 1\\n = 0\\n = 3\\n = - 2\end{array} \right.\).
Vậy có 4 giá trị nguyên của \(n\).
Đáp án: \(4\).
Cho hai tập hợp \(X,Y\) thỏa mãn \(X\backslash Y = \left\{ {7;15} \right\}\) và \(X \cap Y = \left( { - 1;2} \right)\). Xác định số phần tử là số nguyên của tập hợp \(X\).
Ta có \(X = \left( {X\backslash Y} \right) \cup \left( {X \cap Y} \right) = \left\{ {7;\,15} \right\} \cup \left( { - 1;2} \right)\).
Khi đó, các số nguyên thuộc tập \(X\) là \(0;1;7;15\).
Vậy số phần tử là số nguyên của \(X\) là 4.
Đáp án: 4.
Cho \(\cot \alpha = 2\). Biết giá trị của biểu thức \(P = \frac{{3\sin \alpha + 4\cos \alpha }}{{\sqrt 2 \sin \alpha - \cos \alpha }} = \frac{{a - b\sqrt 2 }}{2};\,\left( {a;\,b \in \mathbb{Z}} \right),\) tính \(a + 2b.\)
Do \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 2 \Rightarrow \sin \alpha \ne 0\).
Chia cả tử và mẫu của biểu thức P cho sinα, ta có:
P=3+4cosαsinα2−cosαsinα=3+4cotα2−cotα=−22−1122→a=−22; b=11.
Vậy a+2b=−22+2⋅11=0.
Đáp án: 0.
Cho tam giác \(ABC\) có BAC^=60° và cạnh \(BC = \sqrt 3 \). Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Ta có asinA=2R⇒R=a2sinA=BC2sinBAC^=32sin60°=1.
Đáp án: 1.
Lớp \(10C14\) có 45 học sinh chuẩn bị cho hội diễn văn nghệ chào mừng ngày nhà giáo Việt Nam 20/11. Trong danh sách đăng kí tham gia tiết mục nhảy Flashmob và tiết mục hát, có 35 học sinh tham gia tiết mục nhảy Flashmob, 10 học sinh tham gia cả hai tiết mục. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong lớp tham gia tiết mục hát? Biết rằng lớp \(10C14\) có bạn Kiệt, Hạ, Toàn, Thiện bị khuyết tật hòa nhập nên không tham gia tiết mục nào.
Kí hiệu \(A\) là tập hợp học sinh tham gia tiết mục nhảy Flashmob, \(B\) là tập hợp học sinh tham gia tiết mục hát, \(E\) là tập hợp học sinh trong lớp. Ta có thể biểu diễn ba tập hợp đó bằng biểu đồ Ven như hình sau:
Khi đó, \(A \cap B\) là tập hợp học sinh tham gia cả hai tiêt mục. Số phần tử của tập hợp \(A\) là 35 , số phần tử của tập hợp \(A \cap B\) là 10 , số phần tử của tập hợp \(E\) là 45 .
Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai tiết mục là \(45 - 4 = 41\) (học sinh).
Số học sinh tham gia tiết mục hát mà không tham gia tiết mục nhảy Flashmob là \(41 - 35 = 6\) (học sinh).
Số học sinh tham gia tiết mục hát là \(6 + 10 = 16\) (học sinh).
Một người thợ dệt có 6 kg sợi bông và 8 kg sợi gai. Dệt mỗi mét vuông vải loại A hết 1 kg sợi bông và 1 kg sợi gai, dệt mỗi mét vải loại B hết 1 kg sợi bông và 2 kg sợi gai. Lợi nhuận mà mỗi mét vuông loại A mang lại là 0,8 triệu đồng, mỗi mét vuông loại B mang lại là 1 triệu đồng. Tìm phương án sản xuất mang lại hiệu quả lớn nhất.
Gọi \[x\] là số mét vải loại A, \[y\] là số mét vải loại B mà người thợ sản suất.
Theo đề ta suy ra hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 6\\x + 2y \le 8\end{array} \right.\) (1).
Số tiền lợi nhuận là: \[L\left( {x;y} \right) = 0,8x + y\] (triệu đồng).
+ Biểu diễn miền nghiệm của hệ (1) lên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] là miền tứ giác \[OABC\] (kể cả biên) với \[O\left( {0;0} \right),A\left( {0;4} \right),B\left( {4;2} \right),C\left( {6;0} \right).\]
+ Xét \[L\left( {x;y} \right)\] tại các đỉnh của tứ giác \[OABC\], ta có:
\[L\left( {0;0} \right) = 0\] (triệu đồng)
\[L\left( {0;4} \right) = 4\] (triệu đồng)
\[L\left( {4;2} \right) = 5,2\] (triệu đồng)
\[L\left( {6;0} \right) = 4,8\] (triệu đồng).
+ Ta thấy \[L\] đạt giá trị lớn nhất là \[5,2\] (triệu đồng) tại \[x = 4\] và \[y = 2.\]
Vậy người thợ cần sản xuất 4 mét loại A và 2 mét loại B thì thu lại lợi cao nhất.
Ông An vừa được cấp một mảnh đất trồng lúa có dạng hình thang ABCD với AD // BC (xem minh họa hình dưới). Cạnh AB dọc theo đường đi và có độ dài 70 m. Sử dụng giác kế, người ta đo được các góc DAC^=22°, BAC^=54° và ABD^=73°.
Hãy giúp ông An tính gần đúng diện tích mảnh đất (đơn vị mét vuông, kết quả chính xác đến hàng đơn vị).
Ta có BAD^=54°+22°=76°⇒ABC^=180°−76°=104°, ACB^=DAC^=22°.
Áp dụng định lý sin cho tam giác ABC, ta có ACsin104°=ABsin22°⇒AC=70⋅sin104°sin22°.
Suy ra diện tích tam giác ABC là SABC=12AB⋅AC⋅sin54°=702⋅sin104°⋅sin54°2⋅sin22°.
Lại có ADB^=180°−76°−73°=31°.
Áp dụng định lý sin cho tam giác ABD, ta có ADsin73°=ABsin31°⇒AD=70⋅sin73°sin31°.
Suy ra diện tích tam giác ACD là SACD=12AC⋅AD⋅sin22°=702⋅sin104°⋅sin73°2⋅sin31°.
Vậy diện tích mảnh đất là SABCD=SABC+SACD≈9548 (m2).
