Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT chuyên Hùng Vương (Phú Thọ) năm 2023-2024 (có đáp án)
39 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào có miền nghiệm như hình vẽ dưới đây (phần không tô đậm, kể cả đường thẳng)?
\(3x + 2y < 300\).
\(3x + 2y \ge 300\).
\(3x + 2y > 300\).
\(3x + 2y \le 300\).
Chọn D
· Điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình là điểm có toạ độ thoả mãn bất phương trình đã cho.
Chú ý: Bất phương trình có dấu bằng thì miền nghiệm lấy cả biên (bờ).
· Lấy điểm \(O\left( {0;0} \right)\) thay vào các bất phương trình, ta thấy thoả mãn đáp án D.
Mẹo nhỏ: Miền nghiệm có phần đường thẳng vẽ nét liền là bất phương trình có dấu bằng. Miền nghiệm có phần đường thẳng vẽ nét đứt là bất phương trình không có dấu bằng.
Cho mệnh đề chứa biến với \(x\)là số nguyên. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
\(P\left( 6 \right)\).
\(P\left( 2 \right)\).
\(P\left( 5 \right)\).
\(P\left( 3 \right)\).
Chọn D
\(x + 2y \ge 3.\)
\(xy + x > 0.\)
\(x + y = 3.\)
\({x^2} + 2y < 1.\)
Chọn A
Bất phương trình bật nhất hai ẩn \(x,y\) có dạng tổng quát là
\(ax + by > c\); \(ax + by \ge c\); \(ax + by < c\); \(ax + by \le c\), trong đó \(a,b,c \in \mathbb{R}\), \(a,b\) không đồng thời bằng \(0\).
\(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\(R = a\).
\(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
\(R = \frac{a}{2}\).
Áp dụng định lý sin trong tam giác:\[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\]
Ta có \[\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{a}{{2\sin 120^\circ }} = \frac{a}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\].
\[X = 0\].
\[X = \emptyset \].
\[X = \left\{ \emptyset \right\}\].
\[X = \left\{ 0 \right\}\].
Chọn B
Số phần tử của tập hợp \[X = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {{x^2} + x + 1 = 0} \right.} \right\}\] là số nghiệm của phương trình \[{x^2} + x + 1 = 0\].
Phương trình \[{x^2} + x + 1 = 0\] vô nghiệm nên \[X = \emptyset \]. (Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
\(\sqrt 6 \).
Chọn D
Áp dụng định lý sin trong tam giác:\[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\]
|
|
Ta có \[\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow c = \frac{{b.\sin C}}{{\sin B}} = \frac{{2.\sin 60^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = \sqrt 6 \].
Trong các câu sau đây câu nào không phải là mệnh đề?
\(2 + 3 = 6\).
Việt Trì là một thành phố của tỉnh Phú Thọ.
Hôm nay bạn có vui không?
2 là số nguyên tố.
Chọn C
Mệnh đề là một phát biểu có nội dung đúng hoặc sai.
Mệnh đề không vừa đúng, vừa sai.
Chú ý: Những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu cầu khiến đều không phải là mệnh đề.
\(N\left( {2023;1} \right).\)
\(P\left( {2023; - 1} \right).\)
\(M\left( {2023;0} \right).\)
\(O\left( {0;0} \right).\)
Chọn A
Để kiểm tra điểm thuộc miền nghiệm, ta thay lần lượt toạ độ \(\left( {x;y} \right)\) của các điểm vào bất phương trình.
Ta thấy \(N\left( {2023;1} \right)\) thoả mãn.
\(\left\{ {5;7} \right\}.\)
\(\left\{ {1;2;3;4;5;7} \right\}.\)
\(\left\{ {1;3} \right\}.\)
\(A = \left\{ {1;2;4} \right\}\).
Chọn A
\(A\backslash B\) là một tập hợp gồm những phần tử chỉ thuộc tập hợp \(A\) mà không thuộc tập hợp \(B\).
Ta có \(A\backslash B = \left\{ {5,7} \right\}\).
\(X = \left\{ {1;\frac{3}{2}} \right\}.\)
\(X = \left\{ 1 \right\}.\)
\(X = \left\{ 0 \right\}.\)
\(X = \left\{ {1;\frac{1}{2}} \right\}.\)
Chọn A
Các phân tử của tập hợp \(X\) là nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 3x + 1 = 0\).
Ta có \(2{x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow X = \left\{ {1;\frac{3}{2}} \right\}.\)
\( - 2023\) là một số lẻ.
\(2023\) không là một số lẻ.
\(2023\) không là một số chẵn.
\( - 2023\) không là một số chẵn.
Chọn C
Chú ý: Để phủ định một mệnh đề \(P\), ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ của mệnh đề \(P\).
\(X \supset a.\)
\(\left\{ a \right\} \subset X.\)
\(\emptyset \in X.\)
\(a \subset X.\)
Chọn B
\(\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha \).
\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha .\)
\(\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha \).
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \sin \alpha \).
Chọn B
Chú ý: Cos đối – sin bù – phụ chéo – tan hơn kém pi.
\(\cos 150^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\tan 150^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)
\(\sin 150^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\cot 150^\circ = \sqrt 3 .\)
Chọn B
\(\mathbb{N} \supset 2023.\)
\(2023 \subset \mathbb{N}.\)
\(2023 < \mathbb{N}.\)
\(2023 \in \mathbb{N}.\)
Chọn D
Chú ý: Số tự nhiên thuộc tập hợp số tự nhiên.
\(A = \left\{ {1;2;4} \right\}\).
\(\left\{ {5;7} \right\}.\)
\(\left\{ {1;2;3;4;5;7} \right\}.\)
\(\left\{ {1;3} \right\}.\)
Chọn D
Giao của hai tập hợp \(A\) và \(B\) là một tập hợp gồm các phân tử thuộc cả hai tập hợp.
Ta có \(A \cap B = \left\{ {1;3} \right\}\).
\[\frac{a}{{\tan A}} = \frac{b}{{\tan B}}\,.\]
\[\frac{a}{{\cot A}} = \frac{b}{{\cot B}}\,.\]
\[\frac{a}{{\cos {\rm{A}}}}\, = \frac{b}{{\cos B}}.\]
\[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}\,.\]
Chọn D
Định lý sin trong tam giác:\[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\].
Cho tam giác \[ABC\], mệnh đề nào sau đây đúng?
\[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\].
\[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos B\].
\[{a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\].
\[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos C\].
Chọn A
Định lý côsin trong tam giác:\[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\].
\(\sqrt {61} \).
\(\sqrt {{\rm{97}}} \).
\(7\).
\(49\).
Chọn C
Áp dụng Định lý cosin trong tam giác \(ABC\):
\[{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B = {8^2} + {3^2} - 2.8.3.\cos 60^\circ = 57\].
\( \Rightarrow {\rm{b = }}\sqrt {49} = 7\).
\(\left[ { - 3;10} \right].\)
\(\left[ { - 3;10} \right).\)
\(\left( { - 3;10} \right).\)
\(\left\{ { - 3;10} \right\}.\)
Chọn C
P đúng, Q đúng.
P sai, Q đúng.
P sai, Q sai.
P đúng, Q sai.
Chọn D
Chú ý: Mệnh đề \[P \Rightarrow Q\] chỉ sai khi \[P\] đúng và \[Q\] sai. Do đo chỉ cần xét tính đúng sai của mệnh đề \[P \Rightarrow Q\] khi đúng. Khi đó, nếu \[Q\] đúng thì \[P \Rightarrow Q\] đúng, nếu \[Q\] sai thì \[P \Rightarrow Q\] sai.
\((0;6].\)
\(\left( { - \infty ;6} \right].\)
\(\left( { - \infty ;6} \right).\)
\(\left( {6; + \infty } \right).\)
Chọn B
Mệnh đề “Tồn tại ít nhất một số thực có bình phương bằng chính nó” được viết dưới dạng ký hiệu là
.
.
.
.
Chọn C
Một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có miền nghiệm được biểu diễn như hình vẽ (phần không bị gạch, kể cả bờ).
\(\left( {0;3} \right).\)
\(\left( {3;3} \right).\)
\(\left( {0;0} \right).\)
\(\left( {3; - 1} \right)\).
Chọn B
Biểu diễn các điểm lên hệ trục toạ độ để xác định điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Chọn A
\[4.\]
\[16.\]
\[6.\]
\[1.\]
Chọn A
\(\cos \alpha > 0.\)
\(\sin \alpha < 0.\)
\(\cot \alpha > 0.\)
\(\tan \alpha < 0.\)
Chọn D
Với \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \) , \(\alpha \) là góc tù thì \(\sin \alpha > 0,\cos \alpha < 0\) nên \(\tan \alpha < 0.\)
Đâu là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y \ge 3\\x + y < 2\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\x + y = 1\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\x - 2y \ge 0\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} < 1\\x + y > 0\end{array} \right..\)
Chọn A
\(\left( { - 2;0} \right].\)
\(\mathbb{R}.\)
\(\left( { - 2; + \infty } \right).\)
\(\emptyset .\)
Chọn B
Ta có \(A \cup B = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left( { - 2; + \infty } \right) = \left( { - \infty ; + \infty } \right) = \mathbb{R}\)
\(\left( { - \infty ;2023} \right].\)
\(\left[ {2023; + \infty } \right).\)
\(\left( { - \infty ;2022} \right].\)
\(\left( {2023; + \infty } \right).\)
Chọn A
\({C_\mathbb{R}}A = \mathbb{R}\backslash A = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left( {2023; + \infty } \right) = \left( { - \infty ;2023} \right]\).
\(\frac{1}{8}\).
\( - \frac{1}{4}\).
\[\frac{3}{4}.\]
\[--\frac{1}{8}.\]
Chọn A
Áp dụng Hệ quả định lý cosin trong tam giác \(ABC\):
\[\cos A = \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{{2.AC.AB}} = \frac{{{5^2} + {4^2} - {6^2}}}{{2.5.4}} = \frac{1}{8}\].
\[18.\]
\[60.\]
\[42.\]
\[51.\]
Chọn C
Số học sinh thích cả hai môn là: \[9\] học sinh.
Số học sinh thích chơi bóng đá là: \[21 - 9 = 12\] học sinh.
Số học sinh thích chơi cầu lông là: \[18 - 9 = 9\] học sinh.
Số học sinh của lớp là: \[12 + 9 + 9 + 12 = 42\] học sinh.
\(13\).
\( - 13\).
\(\frac{{15}}{{13}}\).
\( - \frac{{15}}{{13}}\).
Chọn A
Ta có \(A = \frac{{3\sin \alpha + 4\cos \alpha }}{{2\sin \alpha - 5\cos \alpha }} = \frac{{3\tan \alpha + 4}}{{2\tan \alpha - 5}} = \frac{{3.3 + 4}}{{2.3 - 5}} = 13\).
Từ vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của một ngọn núi. Biết rằng độ cao AB là 70m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc\(30^\circ \), phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc \(15^\circ 30'\). Hỏi ngọn núi đó cao bao nhiêu mét so với mặt đất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Từ vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của một ngọn núi. Biết rằng độ cao AB là 70m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc\(30^\circ \), phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc \(15^\circ 30'\). Hỏi ngọn núi đó cao bao nhiêu mét so với mặt đất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
\[134,5\]m.
\[135\] m.
\[134,7\]m.
Kết quả khác.
Chọn B
Từ hình vẽ ta có \[\widehat {ABC} = 90^\circ + 15^\circ 30' = 105^\circ 30'\].
Xét tam giác \[ABC\] có \[\widehat {CAB} = 60^\circ \], \[\widehat {ABC} = 105^\circ 30'\] ta có
\[\widehat {CAB} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \] (Định lý tổng ba góc trong tam giác)
Áp dụng định lý sin trong tam giác \[ABC\], ta có \[\frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}\]
\[ \Rightarrow AC = \frac{{AB\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{70.\sin 105^\circ 30'}}{{\sin 14^\circ 30'}} \approx 269,4\](m).
Tam giác \[ACH\] vuông tại \[H\] nên ta có \[CH = AC.\sin \widehat {CAH} \approx 269,4.\sin 30^\circ \approx 134,7\] (m).
Vậy ngọn núi cao khoảng \[135\] (m) so với mặt đất.
\(m \le - 1\) hoặc \(m \ge 3.\)
\(m < - 1\) hoặc \(m \ge 3.\)
\(m \le - 1\) hoặc \(m > 3.\)
\(m < - 1\) hoặc \(m > 3.\)
Chọn B
· \(A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow m + 2 < 1 \Leftrightarrow m < - 1\).
· \(A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow 3 \le m \Leftrightarrow m \ge 3\).
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Phát biểu mệnh đề sau theo hai cách sử dụng “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ”: ‘‘Nếu số tự nhiên \(n\) có chữ số tận cùng là \(5\) thì \(n\) chia hết cho \(5.\)’’
* Số tự nhiên \(n\) có chữ số tận cùng bằng 5 là điều kiện đủ để \(n\) chia hết cho \(5.\)
* Số tự nhiên \(n\) chia hết cho 5 là điều kiện cần để \(n\) có chữ số tận cùng bằng 5.
Xác định miền nghiệm của bất phương trình \[x - 2y + 4 \ge 0\] trên mặt phẳng tọa độ.
![Xác định miền nghiệm của bất phương trình \[x - 2y + 4 \ge 0\] trên mặt phẳng tọa độ. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/11-1765075960.png)
Trong mặt phẳng toạ độ \[Oxy,\] vẽ đường thẳng \((d):x - 2y + 4 = 0\). Xét điểm \(O(0;0),\) ta thấy \[\left( {0;0} \right)\] là nghiệm của bất phương trình đã cho, do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ \[d\] và chứa điểm \[O\left( {0;0} \right)\] (miền không được tô đậm trên hình vẽ).
a) Cho góc \(x\) thỏa mãn \(0^\circ \le x \le 180^\circ .\)
Rút gọn biểu thức \(P = \sin \left( {90^\circ - x} \right){\rm{cos}}\,x + \sin \left( {180^\circ - x} \right)\sin \,x.\)
b) Hai tàu du lịch xuất phát từ hai thành phố cảng \(A\) và \(B\) cách nhau \(200\,(km)\) đến đảo \(C\) như hình minh họa.
Biết \(\widehat {CAB} = 30^\circ ;\,\,\widehat {CBA} = 45^\circ .\) Tàu 1 ở thành phố \(A\) khởi hành lúc 8h và chuyển động đều với vận tốc \(80\,(km/h)\). Tàu 2 ở thành phố \(B\) muốn đến đảo \(C\) cùng lúc với tàu 1 thì phải khởi hành lúc mấy giờ biết tàu 2 chuyển động đều cùng vận tốc \(80\,(km/h)\)(kết quả làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy thập phân).
Lời giải
a) Ta có \(P = \sin \left( {90^\circ - x} \right){\rm{cos}}\,x + \sin \left( {180^\circ - x} \right)\sin \,x\)
\( = \cos x.\cos x + \sin x.\sin x\)\( = {\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1\).
b) Ta có \(\widehat {BAC} = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ \)(Theo định lý tổng ba góc trong tam giác).
Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC, ta có
\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Leftrightarrow \frac{{200}}{{\sin 105^\circ }} = \frac{{BC}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 45^\circ }}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC \simeq 146,41\\BC \simeq 103,53\end{array} \right.\)
* Thời gian tàu \(1\) đi từ A đến C là: \(1,83\)(h) = \(1\)h \(50\) phút.
* Thời điểm tàu \(1\) đến C là: \(9\)h \(50\) phút.
* Thời gian tàu \(2\) đi từ B đến C là \(1,29\)(h) = \(1\)h \(17\) phút.
* Thời điểm xuất phát của tàu \(2\)là: \(8\)h \(33\) phút.a
Cho 2 tập hợp \(A = \left[ {m - 1;2m + 3} \right)\) và \(B = \left[ { - 2;7} \right]\) với \(m \in \mathbb{R}.\) Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để \(A \subset {C_\mathbb{R}}B\) .
Ta có \(A \subset {C_\mathbb{R}}B \Leftrightarrow A \cap B = \emptyset \)
TH1. \(A = \emptyset \Leftrightarrow m - 1 \ge 2m + 3 \Leftrightarrow m \le - 4\).
TH2. \(A \ne \emptyset \)
\(A \cap B = \emptyset \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 < 2m + 3 \le - 2\\7 < m - 1 < 2m + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > - 4\\m \le \frac{{ - 5}}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m > 8\\m > - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4 < m \le \frac{{ - 5}}{2}\\m > 8\end{array} \right.\).
Hợp nghiệm ta được \(\left[ \begin{array}{l}m > 8\\m \le \frac{{ - 5}}{2}\end{array} \right.\).
