Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 2

Hướng dẫn giải

a) \(\frac{x}{3} = \frac{{2,5}}{{1,5}}\) suy ra \(1,5x = 2,5.3\), do đó \(x = \frac{{2,5.3}}{{1,5}} = 5\).

Vậy \(x = 5\).

b) \(\frac{x}{{15}} = \frac{y}{7}\) và \(y - x = 16\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{{15}} = \frac{y}{7} = \frac{{y - x}}{{7 - 15}} = \frac{{16}}{{ - 8}} = - 2\).

Suy ra \(x = 15.\left( { - 2} \right) = - 30\) và \(y = 7.\left( { - 2} \right) = - 14\).

Vậy \(x = - 30\) và \(y = - 14\).

c) \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}\) và \(x - 2y + 3z = 38.\)

Ta có \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}\) hay \(\frac{x}{2} = \frac{{2y}}{6} = \frac{{3z}}{{15}}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{2} = \frac{{2y}}{6} = \frac{{3z}}{{15}} = \frac{{x - 2y + 3z}}{{2 + 6 + 15}} = \frac{{38}}{{23}}\).

Suy ra \(x = \frac{{76}}{{23}};y = \frac{{119}}{{23}};z = \frac{{190}}{{23}}\).

Hướng dẫn giải

2.1. Gọi thời gian để hoàn thành công việc của \(40\) công nhân là \(t\) giờ \(\left( {t > 0} \right)\).

Vì khối lượng công việc là không dổi nên số công nhân và thời gian để hoàn thành công việc đó là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có: \(30.8 = 40t\) suy ra \(t = \frac{{30.8}}{{40}} = 6\).

Vậy thời gian để hoàn thành công việc của 40 công nhân là 6 giờ.

2.2. Gọi số viên kẹo tương ứng của An, Bình, Cầm lần lượt là \(a;b;c\) (viên kẹo) \(\left( {a;b;c \in \mathbb{N}} \right)\).

Vì số kẹo của An, Bình, Cầm tương ứng tỉ lệ với \(2;3;4\) nên ta có: \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}.\)

Mặt khác, Cầm nhiều hơn An \(8\) viên kẹo nên ta có \(c - a = 8\) (viên)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = \frac{{c - a}}{{4 - 2}} = \frac{8}{2} = 4\).

Do đó, \(\frac{a}{2} = 4\), suy ra \(a = 2.4 = 8\).

\(\frac{b}{3} = 4\), suy ra \(b = 3.4 = 12\).

\(\frac{c}{4} = 4\), suy ra \(c = 4.4 = 16\).

Vậy số kẹo của An, Bình, Cầm lần lượt là \(8;12\) và \(16\) viên.

Hướng dẫn giải

3.1. a) Ta có: \(P\left( x \right) = 7{x^3} + 3{x^4} - {x^2} - 4{x^4} + 5{x^2} - 6{x^3} - 2{x^4} + 2017 - {x^3}\)

\(P\left( x \right) = \left( {3{x^4} - 4{x^4} - 2{x^4}} \right) + \left( {7{x^3} - {x^3} - 6{x^3}} \right) + \left( { - {x^2} + 5{x^2}} \right) + 2017\)

\(P\left( x \right) = - 3{x^4} + 4{x^2} + 2017\).

b) Hệ số cao nhất của đa thức là \( - 3\), hệ số tự do là \(2017\) và bậc của đa thức là \(4.\)

c) Ta có: \(P\left( { - 1} \right) = - 3.{\left( { - 1} \right)^4} + 4.{\left( { - 1} \right)^2} + 2017 = - 3 + 4 + 2017 = 2018\).

\(P\left( 1 \right) = - {3.1^4} + {4.1^2} + 2017 = - 3 + 4 + 2017 = 2018\);

\(P\left( 0 \right) = - {3.0^4} + {4.0^2} + 2017 = 2017\).

d) Ta có: \(Q\left( x \right) - 3{x^4} + 2{x^2} + 17 = P\left( x \right)\) nên \(Q\left( x \right) = P\left( x \right) + 3{x^4} - 2{x^2} - 17\)

Suy ra \(Q\left( x \right) = - 3{x^4} + 4{x^2} + 2017 + 3{x^4} - 2{x^2} - 17\)

Do đó, \(Q\left( x \right) = 2{x^2} + 2000\).

3.2. Ta có: \(Q\left( x \right) = {x^{14}} - 10{x^{13}} + 10{x^{12}} - 10{x^{11}} + ... + 10{x^2} - 10x + 10\)

Nhận thấy \(10 = 9 + 1 = x + 1.\)

Do đó, \(Q\left( x \right) = {x^{14}} - \left( {x + 1} \right){x^{13}} + \left( {x + 1} \right){x^{12}} - \left( {x + 1} \right){x^{11}} + ... + \left( {x + 1} \right){x^2} - \left( {x + 1} \right)x + \left( {x + 1} \right)\)

\(Q\left( x \right) = {x^{14}} - {x^{14}} - {x^{13}} + {x^{13}} + {x^{12}} - {x^{12}} - {x^{11}} + ... + {x^3} + {x^2} - {x^2} - x + x + 1\)

\(Q\left( x \right) = 1\).

Vậy \(Q\left( x \right) = 1\).

Hướng dẫn giải

4.1. Ta có \(E\) là hình chiếu của \(B\) lên cạnh \(CD\), suy ra \(BE \bot CD\) tại \(E\) hay \(CE \bot BE\) tại \(E\).

Do đó, độ dài \(CE\) là khoảng cách từ \(C\) đến đường thẳng \(BE\) (1).

Hình vuông \(ABED\) có diện tích là \(7.7 = 49{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích hình thang \(ABCD\) là \(49.2 = 98{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Ta có công thức tính diện tích hình thang \(ABCD\) là \(S = \frac{{\left( {AB + CD} \right).BE}}{2}\).

Mà \(AB = BE = 7{\rm{ cm; }}S = 98{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).

Suy ra, độ dài đáy lớn của hình thang \(ABCD\) là \(CD = \frac{{98.2}}{7} = 21{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Do \(E \in CD\) nên \(CD = CE + DE\).

Suy ra \(CE = CD - DE = 21 - 7 = 14{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra khoảng cách từ \(C\) đến đường thẳng \(BE\) là \(14{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

4.2. Giả sử tam giác \(ABC\) có \(AB = 6{\rm{ cm, }}AC = 2{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có \(AB - AC < BC < AB + AC\). Suy ra \(4 < BC < 8\).

Mà \(BC\) có độ dài là một số chẵn.

Do đó, \(BC = 6{\rm{ cm}}\).

Hướng dẫn giải

Vì \(AD\) cắt \(BF\) tại \(N\) nên \(FN = BN = \frac{1}{2}BF\) (1).

Chứng minh tương tự, ta được: \(AM = MC = \frac{1}{2}AC\) (2)

Vì \(OA\) là đường tủng tuyến của tam giác \(ABC\) nên \(O\) là trung điểm của \(BC\) hay \(OB = OC\).

Xét \(\Delta OFB\) và \(\Delta OAC\) có:

\(OF = OA\) (gt)

\(\widehat {FOB} = \widehat {AOC}\) (hai góc đối đỉnh)

\(OB = OC\) (cmt)

Do đó, \(\Delta OFB = \Delta OAC\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {OFB} = \widehat {OAC}\) (hai góc tương ứng) và \(BF = AC\) (hai cạnh tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AM = FN\).

Xét \(\Delta AOM\) và \(\Delta FON\) có:

\(AM = FN\) (cmt)

\(\widehat {OFN} = \widehat {OAM}\) (cmt)

\(OF = OA\) (gt)

Do đó, \(\Delta AOM = \Delta FON\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AOM} = \widehat {FON}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AOM} + \widehat {FOM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {FON} + \widehat {FOM} = 180^\circ \).

Do đó, \(M,O,N\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Từ tỉ lệ thức \(\frac{a}{c} = \frac{c}{b}\) suy ra \({c^2} = ab\) (1)

Đặt \(\frac{a}{c} = \frac{c}{b} = k\) suy ra \(a = ck;c = bk\). Do đó, \(\frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{{{{\left( {ck} \right)}^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {{\left( {bk} \right)}^2}}} = \frac{{{c^2}\left( {{k^2} + 1} \right)}}{{{b^2}\left( {{k^2} + 1} \right)}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{ab}}{{{b^2}}} = \frac{a}{b}.\)

Suy ra \(\frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} = \frac{b}{a}\), suy ra \(\frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} - 1 = \frac{b}{a} - 1\) hay \(\frac{{{b^2} + {c^2} - {c^2} - {a^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} = \frac{{b - a}}{a}\).

Do đó, \(\frac{{{b^2} - {a^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} = \frac{{b - a}}{a}\) (đpcm).