Gọi \(x,\,\,y,\,\,z\) (cây) lần lượt là số cây xanh mà ba lớp 7A, 7B, 7C trồng và chăm sóc \(\left( {x,\,\,y,\,\,z \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Vì số cây xanh tỉ lệ thuận với số học sinh nên \(\frac{x}{{36}} = \frac{y}{{38}} = \frac{z}{{40}}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{x}{{36}} = \frac{y}{{38}} = \frac{z}{{40}} = \frac{{x + y + z}}{{36 + 38 + 40}} = \frac{{57}}{{114}} = \frac{1}{2}\).

Suy ra \[x = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18;\,\,y = 38 \cdot \frac{1}{2} = 19;\,\,z = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20\] (TMĐK).

Vậy số cây xanh mà ba lớp 7A, 7B, 7C trồng và chăm sóc lần lượt là 18 cây, 19 cây, 20 cây.

a) Vì \(\Delta HIK\) cân tại \(H\) (theo giả thiết), nên hai góc ở đáy bằng nhau: \(\widehat {I\,} = \widehat {K\,}\).

Theo đề bài ta có \(\widehat {I\,} = 65^\circ \).

Vậy \(\widehat {K\,} = 65^\circ \).

b) Vì \(HA \bot IK\) tại \(A\) nên \(\widehat {HAI} = \widehat {HAK} = 90^\circ \).

Xét hai tam giác vuông \(\Delta HAI\) và \(\Delta HAK\) có:

\(HI = HK\) (vì \(\Delta HIK\) cân tại \(H\)); cạnh \(HA\) chung

Do đó \(\Delta HAI = \Delta HAK\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

c) Từ kết quả câu b: \(\Delta HAI = \Delta HAK\) suy ra \(IA = AK\) (hai cạnh tương ứng).

Xét \(\Delta HAK\) vuông tại \(A\), cạnh \(HK\) là cạnh huyền.

Trong tam giác vuông, cạnh huyền luôn là cạnh dài nhất, do đó \(AK < HK\).

Vì \(IA = AK\) nên suy ra \(IA < HK\).

d) Vì đường thẳng \(AB\,{\rm{//}}\,HK\) nên ta có \(\widehat {BAH} = \widehat {AHK}\) (hai góc so le trong). (1)

Ta có \(\Delta HAI = \Delta HAK\) (câu b) suy ra \(\widehat {IHA} = \widehat {KHA}\) (hai góc tương ứng) hay \(\widehat {BHA} = \widehat {AHK}\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {BHA}\) nên \(\Delta BAH\) cân tại \(B\).

Vậy \(BA = BH\) (tính chất tam giác cân).