Bài tập Xác định tâm, bán kính của mặt cầu và lập phương trình mặt cầu lớp 12 (có lời giải)

Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng: (S): \(\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} + 4y + 4} \right) + \left( {{z^2} - 6z + 9} \right) = 16\)

Hay (S): \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = {4^2}\).

Vậy \((S)\) là mặt cầu có tâm \(I(1; - 2;3)\) và bán kính \(R = 4\).

Ta viết phương trình mặt cầu (S) dưới dạng:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} + 6y + 9 + {z^2} = 25\)

\( \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {(y + 3)^2} + {z^2} = 25.\)

Vậy \((S)\) là mặt cầu có tâm \(I(2; - 3;0)\) và \(R = 5\).

Bán kính của mặt cầu là \(MN = \sqrt {{{(2 + 2)}^2} + {{( - 3 - 1)}^2} + {{( - 4 - 3)}^2}}  = \sqrt {81}  = 9\).

Mặt cầu \((S)\) có \(M( - 2;1;3)\) và bán kính \(R = 9\) có phương trình là:

\({(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 3)^2} = 81\)

a) Phương trình đã cho tương ứng với \(a = 1,b =  - \frac{3}{2},c = 4,d = 100\). Trong trường hợp này, \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + \frac{9}{4} + 16 - 100 < 0\). Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.

b) Phương trình đã cho tương ứng với \(a = 2,b =  - \frac{5}{2},c = 1,d =  - \frac{3}{4}\). Trong trường hợp này, \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 4 + \frac{{25}}{4} + 1 + \frac{3}{4} = 12 > 0\). Do đó phương trình đã cho là phương trình của mặt cầu có tâm \(I\left( {2; - \frac{5}{2};1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {12}  = 2\sqrt 3 \).

c) Phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu vì xuất hiện \( - 2xy\) trong phương trình.

Từ phương trình trên ta có \(a =  - 2;b = \frac{5}{2};{\rm{c}} =  - 3\) và \(d = \frac{{25}}{4}\)

Phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 2;\frac{5}{2}; - 3} \right)\), \(R = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{( - 3)}^2} - \frac{{25}}{4}}  = \sqrt {13} \).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\left( {\frac{1}{2}; - 1;0} \right)\) và \(R = 3\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I( - 2;0;5)\) và bán kính \(R = 2\) có phương trình là: \({(x + 2)^2} + {y^2} + {(z - 5)^2} = 4\).

Ta có \(R = d(I,(P)) = \frac{{|3.0 + 2.3 + 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{7}{{\sqrt {14} }}\)

Mặt cầu \(({\rm{S}})\) có tâm I( \(0;3; - 1)\) và \(R = \frac{7}{{\sqrt {14} }}\) có phương trình là: \({x^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 1)^2} = \frac{{49}}{{14}}\)

Mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 8z - 18 = 0\) có tâm I( \(\left. { - 1;1; - 4} \right)\).

Bán kính \(R = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {{( - 4)}^2} - ( - 18)}  = 6\)

a) Phương trình có \({\rm{a}} = 1;{\rm{b}} = 0;c = \frac{5}{2};{\rm{d}} = 30\).

Có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 0 + {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} - 30 =  - \frac{{91}}{4} < 0\). Nên phương trình này không phải là phương trình mặt cầu.

b) Ta có \(a = 2;b =  - 1;c = 1;d = 0\).

Có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {2^2} + {( - 1)^2} + {1^2} - 0 = 6 > 0\).

Do đó đây là phương trình mặt cầu.

Mặt cầu có tâm \({\rm{I}}(2; - 1;1)\) và \(R = \sqrt 6 \).

c) Đây không phải là phương trình mặt cầu. Vi phương trình mặt cầu phải có dạng:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} +  \ldots \)

d) Đây không phải là mặt cầu vì \({x^2} + {y^2} + {z^2} =  - 5 < 0\) (Vô lý).

a) Mặt cằu \((S)\) có tâm \(1(7; - 3;0)\), bán kính \(R = 8\) có phương trình là \({(x - 7)^2} + {(y + 3)^2} + {z^2} = 64\)

b) Bán kính của mặt cầu là \(MN = \sqrt {{{(1 - 3)}^2} + {{(0 - 1)}^2} + {{(1 + 4)}^2}}  = \sqrt {30} \)

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(M(3;1; - 4)\), bán kính \(R = \sqrt {30} \) có phương trình là: \({(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 4)^2} = 30\).

c) Có \(I(3;5\); 6) là trung điếm của AB , bán kính của mặt cằu là \(IA = \sqrt {{{(4 - 3)}^2} + {{(6 - 5)}^2} + {{(8 - 6)}^2}}  = \sqrt 6 \)

Mặt cằu \((S)\) có tâm \(I(3;5;6)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 \) có phương trình là: \({(x - 3)^2} + {(y - 5)^2} + {(z - 6)^2} = 6\)

a) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a =  - \frac{5}{2};b = \frac{7}{2};c =  - \frac{1}{2};d =  - 1\).

Có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} + 1 = \frac{{79}}{4} > 0\).

Do đó đây là phương trình mặt cằu với tâm \(I\left( { - \frac{5}{2};\frac{7}{2}; - \frac{1}{2}} \right),R = \frac{{\sqrt {79} }}{2}\).

b) Phương trình \({{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2} + {{\rm{z}}^2} + 4{\rm{x}} + 6{\rm{y}} - 2{\rm{z}} + 100 = 0\) có dạng \({{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2} + {{\rm{z}}^2} - 2{\rm{ax}} - 2{\rm{by}} - 2{\rm{cz}} + {\rm{d}} = 0\) với a \( =  - 2;b =  - 3;c = 1\) và \(d = 100\).

Có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 4 + 9 + 1 - 100 =  - 86 < 0\).

Do đó đây không phải là phương trình mặt cầu.

c) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a = \frac{1}{2};b = \frac{1}{2};c = \frac{1}{2};d = \frac{1}{2}\).

Có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} > 0\).

Do đó đây là phương trình mặt cầu với tâm \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) và \(R = \frac{1}{2}\).

Ta có: \({(x - 8)^2} + {(y + 7)^2} + {z^2} = 4 \Leftrightarrow {(x - 8)^2} + {[y - ( - 7)]^2} + {(z - 0)^2} = {2^2}.\)

Vậy mặt cầu đã cho có tâm \(I(8; - 7;0)\) và bán kính \(R = 2\).

Ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 10x + 6z + 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2 \cdot 5 \cdot x + 25 + {y^2} + {z^2} + 2 \cdot 3 \cdot z + 9 = 25 + 9 - 5\)

\( \Leftrightarrow {(x - 5)^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = 29.\)

Vậy mặt cầu đã cho có tâm \(I(5;0; - 3)\) và bán kính \(R = \sqrt {29} \).

Tâm \(I(x;y;z)\) là trung điểm của đoạn thẳng AB nên

\(x = \frac{{6 + 0}}{2} = 3;y = \frac{{ - 8 + 6}}{2} =  - 1;z = \frac{{1 + 3}}{2} = 2.\)Vậy \(I(3; - 1;2)\).

Bán kính của mặt cầu đó bằng: \(IM = \sqrt {{{[1 - ( - 2)]}^2} + {{(2 - 4)}^2} + {{(7 - 5)}^2}}  = \sqrt {17} \).

Phương trình mặt cầu đó là: \({(x - 0)^2} + {[y - ( - 12)]^2} + {(z - 3)^2} = {4^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {(y + 12)^2} + {(z - 3)^2} = 16.{\rm{ }}\)

Bán kính của mặt cầu đó bằng:

\(IA = \sqrt {{{[ - 2 - ( - 3)]}^2} + {{[ - 5 - ( - 7)]}^2} + {{(7 - 8)}^2}}  = \sqrt 6 .\)

Vậy phương trình mặt cầu đó là: \({(x + 3)^2} + {(y + 7)^2} + {(z - 8)^2} = 6\).

a) Tâm \(I(0; - 4; - 5)\), bán kính \(R = 7\).

b) \(LA = 7 = R\) nên \(A\) thuộc mặt cầu.

c) \(IB = \sqrt {17}  < R\) nên \(B\) nằm trong mặt cầu.

d) \(IC = \sqrt {98}  > R\) nên \(C\) nằm ngoài mặt cầu.

e) Ta có: \(\overrightarrow {IC}  = (7;7;0)\), chọn \(\vec u = \frac{1}{7}\overrightarrow {IC}  = (1;1;0)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng IC. Suy ra phương trình tham số của đường thẳng IC là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y =  - 4 + t}\\{z =  - 5.}\end{array}} \right.\)

g ) Toạ độ giao điểm của đường thẳng IC và mặt cầu \((S)\) tương ứng với tham số \(t\) thoả mãn:

\({t^2} + {( - 4 + t + 4)^2} + {( - 5 + 5)^2} = 49 \Leftrightarrow {t^2} = \frac{{49}}{2} \Leftrightarrow t = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}\) hoặc \(t = \frac{{ - 7\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(M\left( {\frac{{7\sqrt 2 }}{2}; - 4 + \frac{{7\sqrt 2 }}{2}; - 5} \right),N\left( {\frac{{ - 7\sqrt 2 }}{2}; - 4 - \frac{{7\sqrt 2 }}{2}; - 5} \right)\).

a) \({(x - 3)^2} + {(y + 4)^2} + {(z - 5)^2} = 81\).

b) \({(x + 4)^2} + {(y - 6)^2} + {(z - 7)^2} = 9\).

c) \({x^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 3)^2} = 9\).

a) Phương trình mặt cầu \((S)\) là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\).

b) Phương trình đường thẳng AB là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = t}\\{z =  - 1 + t}\end{array}} \right.\) ( là tham số).

Toạ độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt cầu \((S)\) tương ứng với tham số \(t\) thoả mãn: \({1^2} + {t^2} + {( - 1 + t)^2} = 4 \Leftrightarrow t = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\) hoăc \(t = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\).

Vậy \(C\left( {1;\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right),D\left( {1;\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)\).

Do \(IA = \sqrt {{{(10 - ( - 2))}^2} + {{(1 - 1)}^2} + {{(2 - 5)}^2}}  = \sqrt {153}  > 3\) nên điểm \(A(10;1;2)\) nằm ngoài mặt cầu đó.

Vì \(IB = \sqrt {{{(0 - ( - 2))}^2} + {{(1 - 1)}^2} + {{(4 - 5)}^2}}  = \sqrt 5  < 3\) nên điểm \(B(0;1;4)\) nằm trong mặt cầu đó.

Do \(IC = \sqrt {{{(0 - ( - 2))}^2} + {{(3 - 1)}^2} + {{(4 - 5)}^2}}  = \sqrt 9  = 3\) nên điểm \(C(0;3;4)\) nằm trên mặt cầu đó.

Mặt cầu tâm I đi qua điểm A nên bán kính của mặt cầu tâm I là:

\({\rm{R}} = {\rm{A}} = \sqrt {{{(0 - 1)}^2} + {{(4 - 2)}^2} + {{(5 - 3)}^2}}  = 3\)

Đường kính của mặt cầu đó bằng \(2R = 6\).

a) Phương trình của mặt cầu tâm \(I(1;2;3)\) bán kính \(R = 10\) là: \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 100\).

b) Bán kính mặt cầu là: \(R = IB = \sqrt {{{(0 - 3)}^2} + {{(2 + 1)}^2} + {{(1 + 5)}^2}}  = \sqrt {54} {\rm{. }}\)

Phương trình của mặt cầu tâm \(I(3; - 1; - 5)\) bán kính \(R = \sqrt {54} \) là: \({(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 5)^2} = 54\).

Ta có \({x^2} + {(y + 5)^2} + {(z + 1)^2} = 2 \Leftrightarrow {(x - 0)^2} + {[y - ( - 5)]^2} + {[z - ( - 1)]^2} = {(\sqrt 2 )^2}\).

Vậy mặt cầu đã cho có tâm \({\rm{I}}(0; - 5; - 1)\) và bán kính \(R = \sqrt 2 \)

a) Phương trình mặt cầu tâm O bán kính R là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {R^2}{\rm{. }}\)

b) Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm của AB .

Tọa độ điểm । là \({x_I} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2;{y_I} = \frac{{2 + 4}}{2} = 3;{z_I} = \frac{{1 + 7}}{2} = 4\). Suy ra ।(2; \(3;4)\).

Bán kính của mặt cầu là \({\rm{R}} = {\rm{IA}} = \sqrt {{{(1 - 2)}^2} + {{(2 - 3)}^2} + {{(1 - 4)}^2}}  = \sqrt {11} \).

Phương trình mặt cầu đường kính AB là: \({(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 4)^2} = 11\)

a) Phương trình \(2{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 2z + 1 = 0\) không phải là phương trình của một mặt cầu vì các hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) khác nhau.

b) Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 8z - 3 = 0\) không phải là phương trình của một mặt cầu vì không có biểu thức \({z^2}\).

\({\rm{ a) Ta có : }}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 10y - 2z + 14 = 0\)

\(\quad  \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2 \cdot 2 \cdot x + 2 \cdot 5 \cdot y - 2 \cdot 1 \cdot z + 14 = 0\)

\(\quad  \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {(y + 5)^2} + {(z - 1)^2} = 16.\)

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm \(I(2; - 5\); 1) bán kính \(R = \sqrt {16}  = 4\).

b) Ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + 20 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2 \cdot 1 \cdot x + 2 \cdot 2 \cdot y - 2 \cdot 3 \cdot z + 20 = 0\)

\( \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} =  - 6 < 0.\)

Vậy phương trình đã cho không là phương trình mặt cầu.

Cách 1:

Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y - 4z - 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2 \cdot 3 \cdot x + 9 + {y^2} - 2 \cdot 1 \cdot y + 1 + {z^2} - 2 \cdot 2 \cdot z + 4 = 9 + 1 + 4 + 11\)

\( \Leftrightarrow {(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 25.\)

Vậy phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu có tâm \(I(3;1;2)\) và bán kính \({\rm{R}} = \sqrt {25}  = 5\).

Cách 2:

Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y - 4z - 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2 \cdot 3 \cdot x - 2 \cdot 1 \cdot y - 2 \cdot 2 \cdot z - 11 = 0\)

Khi đó \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {3^2} + {1^2} + {2^2} - ( - 11) = 25 > 0\).

Vậy phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu có tâm I(3;1; 2) và bán kính \(R = \sqrt {25}  = 5\).

a) Ta có \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 7)^2} = 100 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {[y - ( - 2)]^2} + {(z - 7)^2} = {10^2}\).

Mặt cầu đã cho có tâm I(1; \( - 2;7)\) và bán kính \(R = 10\). cầu đó.

Do \({\rm{IB}} = \sqrt {{{(9 - 1)}^2} + {{(4 - ( - 2))}^2} + {{(7 - 7)}^2}}  = \sqrt {100}  = 10\) nên điếm \({\rm{B}}(9;4;7)\) nầm trên mặt cằu đó.

Do \({\rm{K}} = \sqrt {{{(9 - 1)}^2} + {{(9 - ( - 2))}^2} + {{(10 - 7)}^2}}  = \sqrt {194}  > 10\) nên điếm \(C(9;9;10)\) nẳm ngoài mặt cầu đó.

Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y - 10z + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2 \cdot 2 \cdot x + 4 + {y^2} - 2y + 1 + {z^2} - 2 \cdot 5 \cdot z + 25 = 4 + 1 + 25 - 2\)

\( \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 5)^2} = 28.\)

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm \(1(2;1;5)\) và bán kính \(R = \sqrt {28}  = 2\sqrt 7 \)

a) Phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \({\rm{I}}(3; - 7\); 1) và bán kính \({\rm{R}} = 2\) là:

\({(x - 3)^2} + {(y + 7)^2} + {(z - 1)^2} = 4.{\rm{ }}\)

b) Ta có \({\rm{R}} = {\rm{IM}} = \sqrt {{{(3 - ( - 1))}^2} + {{(1 - 4)}^2} + {{(2 - ( - 5))}^2}}  = \sqrt {74} \).

Phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I( - 1;4; - 5)\) và đi qua điểm \(M(3;1;2)\) là:

\({(x + 1)^2} + {(y - 4)^2} + {(z + 5)^2} = 74.\)

c) Tâm của mặt cầu \(({\rm{S}})\) đường kính CD là trung điểm I của đoạn thẳng CD .

Ta có \({x_I} = \frac{{1 + ( - 3)}}{2} =  - 1;{y_I} = \frac{{( - 3) + 1}}{2} =  - 1;{z_I} = \frac{{( - 1) + 2}}{2} = \frac{1}{2}\). Suy ra \(I\left( { - 1; - 1;\frac{1}{2}} \right)\).

Bán kính \({\rm{R}} = {\rm{IC}} = \sqrt {{{(1 - ( - 1))}^2} + {{( - 3 - ( - 1))}^2} + {{\left( { - 1 - \frac{1}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {41} }}{2}\).

Phương trình mặt cầu \(({\rm{S}})\) có đường kính là đoạn thẳng CD là: \({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{41}}{4}.\)

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 1;2),\overrightarrow {AC}  = (2; - 1; - 1)\).

Xét vectơ \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 1}\\2&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = (3;3;3)\).

Khi đó, \(\vec n = (3;3;3)\) là một vectơ vuông góc với cá hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).

b) + Đường thẳng AB đi qua điếm A và nhận vectơ \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 1;2)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thắng AB là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - t}\\{y = 1 - t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\) (t là tham số).

Phương trình chính tắc của đường thắng AB là \(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}\).

+ Đường thẳng AC đi qua điếm A và nhận vectơ \(\overrightarrow {AC}  = (2; - 1; - 1)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thắng AC là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2t}\\{y = 1 - t{\rm{ (t là  tham s?)}}{\rm{. }}}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\)

Phương trình chính tắc của đường thắng AC là \(\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\).

c) Mặt phẳng \(({\rm{ABC}})\) đi qua điếm A và nhận vectơ \(\overrightarrow {{n^\prime }}  = \frac{1}{3}\vec n = (1;1;1)\) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình tống quát của mặt phẳng \(({\rm{ABC}})\) là:

\(1({\rm{x}} - 0) + 1({\rm{y}} - 1) + 1({\rm{z}} - 3) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0.\)

d) Thay tọa độ điếm \({\rm{D}}(1;1; - 2)\) vào phương trình mặt phẳng \(({\rm{ABC}})\) ta được:

\(1 + 1 + ( - 2) - 4 =  - 4 \ne 0.{\rm{ }}\)

Suy ra điếm D không thuộc mặt phắng (ABC).

Vậy bốn điếm \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}},{\rm{D}}\) không đồng phẳng.

e) Khoảng cách từ điếm D đến mặt phắng \(({\rm{ABC}})\) là:

\(d(D,(ABC)) = \frac{{|1 + 1 + ( - 2) - 4|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

a) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a =  - 4;b = 3;c =  - 1;d =  - 10\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 16 + 9 + 1 + 10 = 36 > 0\).

Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm \(I( - 4;3; - 1)\), bán kính \(R = 6\).

b) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y - 6z + 33 = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a =  - \frac{1}{2};b =  - \frac{1}{2};c = 3;d = 33\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 9 - 33 =  - \frac{{47}}{2} < 0\).

Suy ra phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

a) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4z - 32 = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a = 0;b = 0\); \(c =  - 2;d =  - 32\).

Ta có \(^2 + {b^2} + {c^2} - d = {( - 2)^2} + 32 = 34 > 0\).

Do đó đây là phương trình mặt cầu vớl \(1(0;0; - 2)\) và \(R = \sqrt {34} \)

b) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 2z + 4 = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với a $=$ \( - 1;b =  - 1;c = 1;d = 4\).

Có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {( - 1)^2} + {( - 1)^2} + {1^2} - 4 =  - 1 < 0\).

Do đó đây không phái là phương trình mặt cầu.

a) Ta viết lại phương trình của mặt cầu \((S)\) dưới dạng: \({(x - 1)^2} + {[y - ( - 3)]^2} + {(z - 0)^2} = {(\sqrt 5 )^2}\). Vậy mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1; - 3;0)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 \).

b) Ta có \(O{I^2} = {(0 - 1)^2} + {(0 + 3)^2} + {(0 - 0)^2} = 10 > 5 = {R^2}\). Do đó, gốc toạ độ \(O(0;0;0)\) nằm ngoài mặt cầu \((S)\).

a) Mặt cầu \(({\rm{S}})\) có tâm \(I\left( { - 2;0; - \frac{1}{2}} \right)\) và \(R = \frac{3}{2}\)

b) Có \(IM = \sqrt {{4^2} + {0^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {73} }}{2} > R\)

a) Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\left( {\frac{3}{2};0; - 3} \right)\) và có bán kính \(R = \frac{9}{4}\) nên có phương trình:

\({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {(y - 0)^2} + {(z + 3)^2} = {\left( {\frac{9}{4}} \right)^2}{\rm{ hay }}(S):{\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = \frac{{81}}{{16}}.\)

b) Đoạn thẳng AB có trung điểm là \(J\left( {2;\frac{3}{2};3} \right)\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(J\) và bán kính \(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{{(3 - 1)}^2} + {{(1 - 2)}^2} + {{(5 - 1)}^2}}  = \frac{{\sqrt {21} }}{2}\). Do đó \((S):{(x - 2)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {(z - 3)^2} = \frac{{21}}{4}\).

a) Mặt cầu \(({\rm{S}})\) có tâm là gốc tọa độ, bán kính \(R = 1\) có phương trình là:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\)

b) Đoạn thẳng AB có trung điểm \(J\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)\)

Mặt cầu \(({\rm{S}})\) có: \(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{( - 3 + 1)}^2} + {{( - 1 - 2)}^2}}  = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\)

Mặt cầu (S) có tâm \(J\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)\) và \(R = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\) có phương trình là:

\({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {(y + 2)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{7}{2}\)

Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng: (S): \(\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} + 4y + 4} \right) + \left( {{z^2} - 6z + 9} \right) = 16\)

Hay (S): \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = {4^2}\).

Vậy \((S)\) là mặt cầu có tâm \(I(1; - 2;3)\) và bán kính \(R = 4\).

Ta viết phương trình mặt cầu (S) dưới dạng:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} + 6y + 9 + {z^2} = 25\)

\( \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {(y + 3)^2} + {z^2} = 25.\)

Vậy \((S)\) là mặt cầu có tâm \(I(2; - 3;0)\) và \(R = 5\).

a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm \({\rm{M}}( - 3;1;4)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (2; - 4;1)\) là:

\(2(x + 3) - 4(y - 1) + 1(z - 4) = 0 \Leftrightarrow 2x - 4y + z + 6 = 0.\)

b) Xét vectơ \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&{ - 2}\\4&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 3}\\{ - 3}&4\end{array}} \right|} \right)\), tức là \(\vec n = (5;5; - 5)\).

Khi đó, \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(({\rm{P}})\).

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

\(5(x - 2) + 5(y - ( - 1)) - 5(z - 5) = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 4 = 0.\)

c) Mặt phẳng \(({\rm{Q}}):2{\rm{x}} + {\rm{y}} - {\rm{z}} - 3 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = (2;1; - 1)\).

Vì mặt phẳng \(({\rm{P}})\) song song với mặt phẳng \(({\rm{Q}})\) nên mặt phẳng \(({\rm{P}})\) nhận \(\overrightarrow {{n_Q}}  = (2;1; - 1)\) làm một vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng \(({\rm{P}})\) là:

\(2(x - 4) + 1(y - 0) - 1(z + 7) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - z - 15 = 0.\)

d) Đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 6}}{5}\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = (2;1;5)\).

Vì \(\Delta  \bot ({\rm{P}})\) nên mặt phẳng \(({\rm{P}})\) nhận \(\vec u = (2;1;5)\) làm vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng \(({\rm{P}})\) là: \(2(x + 4) + 1(y - 9) + 5(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 5z - 11 = 0\)

a) Phương trình mặt cằu \((S)\) có tâm \(1(4; - 2;1)\) và bán kính \(R = 9\) là:

\({(x - 4)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 81.{\rm{ }}\)

b) Ta có bán kính của mặt cầu (S) là \(R = IM = \) \(\sqrt {{{(2 - 3)}^2} + {{(4 - 2)}^2} + {{( - 1 - 0)}^2}}  = \sqrt 6 \).

Phương trình mặt cầu \((S)\) là: \({(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 6.\)

c) Tâm của mặt cầu (S) là trung điểm I của đoạn thẳng AB .

Ta có \({x_I} = \frac{{1 + ( - 1)}}{2} = 0;{y_I} = \frac{{2 + 0}}{2} = 1;{z_I} = \frac{{0 + 4}}{2} = 2\). Suy ra \(1(0;1;2)\).

Bán kính của mặt cầu \(({\rm{S}})\) là \({\rm{R}} = {\rm{IA}} = \sqrt {{{(1 - 0)}^2} + {{(2 - 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2}}  = \sqrt 6 \)

Phương trình mặt cầu (S) là: \({x^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 6.{\rm{ }}\)

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_1}( - 1; - 5;5)\) và có \(\overrightarrow {{u_1}}  = (3;4; - 1)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_2}( - 13;5; - 17)\) và có \(\overrightarrow {{u_2}}  = (5; - 2;7)\) là vectơ chỉ phương.

Ta có \(\frac{3}{5} \ne \frac{4}{{ - 2}}\), suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 12;10; - 22),{\rm{ }}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 1}\\{ - 2}&7\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\7&5\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\5&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = (26; - 26; - 26).\)

Do \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}}  \cdot \overrightarrow {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 26 \cdot ( - 12) + ( - 26) \cdot 10 + ( - 26) \cdot ( - 22) = 0\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) đồng phẳng.

Vậy \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\).

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_1}(2; - 1;4)\) và có \(\overrightarrow {{u_1}}  = (2;3; - 7)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_2}( - 10; - 19;45)\) và có \(\overrightarrow {{u_2}}  = ( - 6; - 9;21)\) là vectơ chỉ phương.

Ta có \(\overrightarrow {{u_2}}  =  - 3\overrightarrow {{u_1}} \), suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 12; - 18;41){\rm{ và  }}\frac{{ - 12}}{2} = \frac{{ - 18}}{3} \ne \frac{{41}}{{ - 7}}{\rm{ n\^e n }}\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không cùng phương.

Vậy \({\Delta _1}//{\Delta _2}\).

c) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_1}( - 3;5;2)\) và có \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1;1;3)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_2}( - 13;9; - 13)\) và có \(\overrightarrow {{u_2}}  = (5; - 2;7)\) là vectơ chỉ phương.

Ta có \(\frac{1}{5} \ne \frac{1}{{ - 2}}\), suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 10;4; - 15),{\rm{ }}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\{ - 2}&7\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}3&1\\7&5\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\5&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = (13;8; - 7).\)

Do \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}}  \cdot \overrightarrow {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 13 \cdot ( - 10) + 8 \cdot 4 + ( - 7) \cdot ( - 15) = 7 \ne 0\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không đồng phẳng.

Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.

Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1; - \sqrt 2 ;1)\) và \(\overrightarrow {{u_2}}  = (1;1; - \sqrt 2 )\).

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|1 \cdot 1 + ( - \sqrt 2 ) \cdot 1 + 1 \cdot ( - \sqrt 2 )|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - \sqrt 2 )}^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - \sqrt 2 )}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 2  - 1}}{4}\).

Suy ra $\left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)\approx {63}^{°}$

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\vec u = (2; - 3;4)\), mặt phẳng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (1;1;1)\).

Ta có: \(\sin (\Delta ,(P)) = \frac{{|2 \cdot 1 + ( - 3) \cdot 1 + 4 \cdot 1|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2} + {4^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {29}  \cdot \sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt {87} }}{{29}}\).

Suy ra $(\Delta ,(P\left)\right)\approx {19}^{°}$

Do \(\left( {{{\rm{P}}_1}} \right)\) và \(\left( {{{\rm{P}}_2}} \right)\) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = (2;2; - 1)\), \(\overrightarrow {{n_2}}  = (1; - 2; - 2)\) nên

\(\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{|2 \cdot 1 + 2 \cdot ( - 2) + ( - 1) \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 0.\) Suy ra $\left(\left(P_1\right),\left(P_2\right)\right)={90}^{°}$

\(\overrightarrow {OB}  = (a;0;0),\overrightarrow {DC}  = \left( {{x_C};{y_C} - a;{z_C}} \right)\).

Vi \(OBCD.O{B^\prime }C{D^\prime }\) là hình lập phương nên $O B C D$ là hình vuông, do đó ta có

\(\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {OB}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = a}\\{{y_C} - a = 0}\\{{z_C} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = a}\\{{y_C} = a}\\{{z_C} = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra C(a; a; 0).

Gọi tọa độ điểm \({{\rm{B}}^\prime }\) là \({{\rm{B}}^\prime }\left( {{{\rm{x}}_{\rm{B}}};\quad {{\rm{y}}_{\rm{B}}};\quad {{\rm{z}}_{\rm{B}}}} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {B{B^\prime }}  = \left( {{x_{{B^\prime }}} - a;{y_{{B^\prime }}};{z_{{B^\prime }}}} \right),\overrightarrow {O{O^\prime }}  = (0;0;a)\).

Ta có \(\overrightarrow {B{B^\prime }}  = \overrightarrow {O{O^\prime }}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{B^\prime }}} - a = 0}\\{{y_{{B^\prime }}} = 0}\\{{z_{{B^\prime }}} = a}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{B^\prime }}} = a}\\{{y_{{B^\prime }}} = 0.{\rm{ Suy ra B (a; 0; a)}}{\rm{. }}}\\{{z_{{B^\prime }}} = a}\end{array}} \right.} \right.\)

Gọi tọa độ điểm D'là \({D^\prime }\) (x \(\left. {;{y_D};{z_D}} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {D{D^\prime }}  = \left( {{x_{{D^\prime }}};{y_{{D^\prime }}} - a;{z_{{D^\prime }}}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {D{D^\prime }}  = \overrightarrow {O{O^\prime }}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{D^\prime }}} = 0}\\{{y_{{D^\prime }}} - a = 0}\\{{z_{{D^\prime }}} = a}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{D^\prime }}} = 0}\\{{y_{{D^\prime }}} = a{\rm{. Suy ra D (0; a; a)}}{\rm{. }}}\\{{z_{{D^\prime }}} = a}\end{array}} \right.} \right.\)

a) Ta có \(\overrightarrow {O{B^\prime }}  = (a;0;a),\overrightarrow {O{D^\prime }}  = (0;a;a)\).

Xét vectơ: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {O{B^\prime }} ,\overrightarrow {O{D^\prime }} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{l}}0&a\\a&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}a&a\\a&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}a&0\\0&a\end{array}} \right|} \right) = \left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \right){\rm{. }}\)

Khi đó \(\overrightarrow {{n_1}} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OBD).

Lại có \(\overrightarrow {{O^\prime }C}  = (a;a; - a)\). Ta có \(\overrightarrow {{n_1}}  =  - a\overrightarrow {{O^\prime }C} \), suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{O^\prime }C} \) cùng phương.

Do đó, \(\overrightarrow {{O^\prime }C} \) cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OB’D’).

Vậy đường chéo O’C vuông góc với mặt phẳng (OB’D’).

b) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (OB’D’) đi qua điểm O và nhận \(\overrightarrow {{O^\prime }C} \) làm vectơ pháp tuyến là: \(a(x - 0) + a(y - 0) - a(z - 0) = 0 \Leftrightarrow x + y - z = 0\) (do \(a\) > \(0)\).

Phương trình tham số của đường thẳng O’C đi qua đi qua điểm \({\rm{O'}}(0;0\); a) và nhận \(\overrightarrow {{u_{{O^\prime }C}}}  = \frac{1}{a}\overrightarrow {{O^\prime }C}  = (1;1; - 1)\) làm vectơ chỉ phương là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = t}\\{z = a - t}\end{array}} \right.\) (t là tham số).

Gọi G là giao điểm của đường chéo O’C và mặt phẳng ( OB’D’ ).

Vi \({\rm{G}} \in {{\rm{O}}^\prime }{\rm{C}}\) nên gọi tọa độ điểm G là \({\rm{G}}({\rm{t}};{\rm{t}}\); \({\rm{a}} - {\rm{t}})\).

Mà \({\rm{G}} \in \left( {OB'D'} \right)\) ) nên ta có \({\rm{t}} + {\rm{t}} - ({\rm{a}} - {\rm{t}}) = 0\), suy ra \({\rm{t}} = \frac{a}{3}\). Do đó \(G\left( {\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{{2a}}{3}} \right)\).

Tọa độ trọng tâm G' của tam giác OB'D’ \(\frac{{0 + a + 0}}{3} = \frac{a}{3};\quad \frac{{0 + 0 + a}}{3} = \frac{a}{3};\quad \frac{{0 + a + a}}{3} = \frac{{2a}}{3}\).

Suy ra \({G^\prime }\left( {\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{{2a}}{3}} \right)\). Do đó, \({\rm{G}} \equiv {{\rm{G}}^\prime }\).

Vậy giao điểm của đường chéo O'C và mặt phẳng (OB'D') là trọng tâm của tam giác OB'D'.

c) Gọi tọa độ điểm C' là \({C^\prime }\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {C{C^\prime }}  = \left( {{x_{{C^\prime }}} - a;{y_{{C^\prime }}} - a;{z_{{C^\prime }}}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {C{C^\prime }}  = \overrightarrow {O{O^\prime }}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{C^\prime }}} - a = 0}\\{{y_{{C^\prime }}} - a = 0}\\{{z_{{C^\prime }}} = a}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{C^\prime }}} = a}\\{{y_{{C^\prime }}} = a{\rm{. Suy ra C (a; a; a)}}{\rm{. }}}\\{{z_{{C^\prime }}} = a}\end{array}} \right.} \right.\)

Ta có \(\overrightarrow {{C^\prime }B}  = (0; - a; - a),\overrightarrow {{C^\prime }D}  = ( - a;0; - a)\).

Xét vectơ: \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {{C^\prime }B} ,\overrightarrow {{C^\prime }D} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&{ - a}\\0&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&0\\{ - a}&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - a}\\{ - a}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {{a^2};{a^2}; - {a^2}} \right)\)

Khi đó, \(\overrightarrow {{n_3}}  = \frac{1}{{{a^2}}}\overrightarrow {{n_2}}  = (1;1; - 1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (C'BD).

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (C’BD) là: \((x - a) + (y - a) - (z - a) = 0 \Leftrightarrow x + y - z - a = 0.\)

Khoảng cách từ điểm \({B^\prime }\) đến mặt phẳng (C'BD) là: \({\rm{d}}\left( {{{\rm{B}}^\prime },\left( {{C^\prime }BD} \right)} \right) = \frac{{|a + 0 - a - a|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}({\rm{ do }}a > 0){\rm{. }}\)

d) Ta có \(\overrightarrow {{O^\prime }C}  = (a;a; - a),\overrightarrow {{O^\prime }D}  = (0;a; - a)\).

Xét vectơ \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left[ {\overrightarrow {{O^\prime }C} ,\overrightarrow {{O^\prime }D} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{ - a}\\a&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&a\\{ - a}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&a\\0&a\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;{a^2};{a^2}} \right){\rm{. }}\)

Khi đó, \(\overrightarrow {{n_5}}  = \frac{1}{{{a^2}}}\overrightarrow {{n_4}}  = (0;1;1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (CO’D).

Ta có \(\cos \left( {(CO'D),\left( {{C^\prime }BD} \right)} \right) = \frac{{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + ( - 1) \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0\)

Ta có \(\overrightarrow {MA}  = (x - 1;y;z),\overrightarrow {MB}  = (x - 5;y;z)\).

\({\rm{Có  }}\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MB}  = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 5) + {y^2} + {z^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 6{\rm{x}} + 9 + {{\rm{y}}^2} + {{\rm{z}}^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {({\rm{x}} - 3)^2} + {{\rm{y}}^2} + {{\rm{z}}^2} = 4\)

Do đó M luôn thuộc mặt cầu tâm \({\rm{I}}(3;0;0)\) và \(R = 2\).

a) Ta có phương trình đoạn chắn của mặt phắng \(({\rm{ABC}})\) là:

\(\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow {\rm{x}} + {\rm{y}} + {\rm{z}} - 1 = 0\)

Thay tọa độ điếm D vào phương trình mặt phẳng \(({\rm{ABC}})\) ta được:

\( - 2 + 1 - 1 - 1 =  - 3 \ne 0{\rm{ nên }}D \notin (ABC){\rm{. }}\)

Do đó \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}},{\rm{D}}\) không đồng phẳng.

Suy ra A, B, C, D là bốn đính của một hình chóp.

b) Đường thắng AB nhận \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1;1;0)\) làm vectơ chỉ phương.

Đường thắng CD nhận \(\overrightarrow {CD}  = ( - 2;1; - 2)\) làm vectơ chỉ phương.

\(\cos (AB,CD) = \frac{{|( - 1) \cdot ( - 2) + 1 \cdot 1 + 0 \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\rm{. }}\)

Suy ra $(AB,CD)={45}^{°}$.

c) Có \(\overrightarrow {BC}  = (0; - 1;1),\overrightarrow {CD}  = ( - 2;1; - 2),[\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD} ] = (1; - 2; - 2)\).

Mặt phắng \(({\rm{BCD}})\) đi qua \({\rm{B}}(0;1;0)\) và nhận \(\vec n = [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD} ] = (1; - 2; - 2)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(x - 2(y - 1) - 2z = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 2z + 2 = 0\).

Đường cao của hình chóp \({\rm{A}}.{\rm{BCD}}\) chính là khoáng cách từ A đến mặt phắng ( BCD ).

Ta có \(d(A,(BCD)) = \frac{{|1 + 2|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 1\)

Ta so sánh IA, IB, IC với bán kính \(r\) của \((S)\).

\(IA = \sqrt {{{(0 - 1)}^2} + {{(1 - 2)}^2} + {{(1 - 3)}^2}}  = \sqrt 6  \Rightarrow IA = r\). Nên \(A\) nằm trên mặt cầu \((S)\).

\(IB = \sqrt {{{( - 1 - 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(1 - 3)}^2}}  = 2\sqrt 3  \Rightarrow IB > r\). Nên \(B\) nằm ngoài mặt cầu \((S)\).

\(IC = \sqrt {{{(0 - 1)}^2} + {{(2 - 2)}^2} + {{(2 - 3)}^2}}  = \sqrt 2  \Rightarrow IC < r\). Nên \(C\) nằm trong mặt cầu \((S)\).

a) Ta có \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 16 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - ( - 2))^2} + {(z - 3)^2} = {4^2}\).

Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I(1; - 2;3)\) và bán kính \(r = 4\).

b) Ta có \({(x + 2)^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = 4 \Leftrightarrow {(x - ( - 2))^2} + {(y - 0)^2} + {(z - ( - 3))^2} = {2^2}\).

Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I( - 2;0; - 3)\) và bán kính \(r = 2\).

a) Phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(O(0;0;0)\), bán kính \(r\) là \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {r^2}\).

b) Phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(I(1;2; - 3)\), bán kính \(r = 5\) là:

\({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = {5^2}{\rm{ hay }}{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 25.{\rm{ }}\)

a) Xét phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 6z + 5 = 0\).

Ta thấy các phương trình được cho ở dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\).

Ta có \(A =  - 2;B = 1;C =  - 3;D = 5\). Suy ra \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D = 9 > 0\).

Vậy đây là phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(I(2; - 1;3)\), bán kính \(r = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D}  = 3\).

b) Xét phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4y + 6z + 20 = 0\).

Ta thấy các phương trình được cho ở dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\).

Ta có \(A = 0;B =  - 2;C = 3;D = 20\). Suy ra \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D =  - 7 < 0\).

Vậy đây không phải phương trình mặt cầu.

a) Ta có \(\overrightarrow {BC}  = ( - 1;2; - 7),\overrightarrow {BD}  = (0;4; - 6),[\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ] = (16; - 6; - 4)\)

Mặt phắng \((BCD)\) đi qua \({\rm{B}}(1;0;6)\) và nhận \(\vec n = \frac{1}{2}[\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ] = (8; - 3; - 2)\) có phương trình là \(8({\rm{x}} - 1) - 3{\rm{y}} - \) \(2(z - 6) = 0 \Leftrightarrow 8x - 3y - 2z + 4 = 0\).

Thay tọa độ điếm A vào phương trình mặt phẳng \(({\rm{BCD}})\) ta được: \({\rm{ 8}}{\rm{. }}( - 2) - 3.6 - 2.3 + 4 =  - 36 \ne 0.{\rm{ }}\)

Do đó \({\rm{A}} \notin ({\rm{BCD}}\) ). Suy ra ABCD là một tứ diện.

b) Ta có \(AH = d(A,(BCD)) = \frac{{|8.( - 2) - 3.6 - 2.3 + 4|}}{{\sqrt {{8^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{36}}{{\sqrt {77} }}\).

c) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = (3; - 6;3)\) và \(\overrightarrow {CD}  = (1;2;1),[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ] = ( - 12;0;12)\).

Mặt phắng \(({\rm{a}})\) đi qua \({\rm{A}}( - 2;6;3)\) và nhận \(\vec n =  - \frac{1}{{12}}[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ] = (1;0; - 1)\) có phương trình là \(({\rm{x}} + 2) - ({\rm{z}} - 3) = \) \(0 \Leftrightarrow x - z + 5 = 0\)

Vì điểm \({\rm{H}}(2; - 1; - 2)\) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ \({\rm{O}}(0;0;0)\) xuống mặt phẳng \(({\rm{Q}})\) nên mặt phẳng \(({\rm{Q}})\) nhận \(\overrightarrow {OH}  = (2; - 1; - 2)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1; - 1;0)\)

\(\cos ((P),(Q)) = \frac{{|2 \cdot 1 + ( - 1) \cdot ( - 1) + ( - 2) \cdot 0|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\). Suy ra $\left(\right(P),(Q\left)\right)={45}^{°}$

a) Mặt phẳng đoạn chắn của (O'AC) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{6} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 6x + 2y + 3z - 12 = \) 0 .

b) Đường thằng \({\rm{C}}{{\rm{O}}^\prime }\) đi qua \({\rm{C}}(0;6;0)\) nhận \(\frac{1}{2}\overrightarrow {C{O^\prime }}  = (0; - 3;2)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 6 - 3t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\)

c) Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp có tâm I là trung điểm của \({{\rm{O}}^\prime }{\rm{B}}\) và bán kính \({10^\prime }\).

Có \(\quad B(2;\quad 6;2),\quad {{\rm{O}}^\prime }(0;0;\quad 4)\). Suy ra \(\quad {\rm{I}}(1;2;2)\) và \(I{O^\prime } = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 3)}^2} + {{(4 - 2)}^2}}  = \sqrt {14} \).

Phương trình mặt cầu là: \({(x - 1)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 2)^2} = 14\).

\(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\)

\( \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} + {x^2} + {y^2} + {(z - 3)^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} - 4y + 4 + {z^2} + {x^2} + {y^2} + {z^2} - 6z + 9\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4 + {z^2} - 6z + 9 - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 2.\)

Do đó \(M\) luôn thuộc vào mặt cầu \(S\) với tâm \(I( - 1;2;3)\) và \(R = \sqrt 2 \)

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 1;2),\overrightarrow {AC}  = (0; - 1;1),[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (1;1;1)\).

b) Phương trình tham số của đường thẳng AB là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - {t_1}}\\{y = 1 - {t_1}}\\{z = 1 + 2{t_1}}\end{array}} \right.\) ( \({t_1}\) là tham số).

Phương trình tham số của đường thẳng AC là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 1 - {t_2}}\\{z = 1 + {t_2}}\end{array}} \right.\) ( \({t_2}\) là tham số).

c) Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là: \(x + y + z - 2 = 0\).

d) Ta có: \(1 + 1 - 2 - 2 \ne 0\). Suy ra tọa độ của điểm \(D(1;1; - 2)\) không thoả mãn phương trình \(x + y + z - 2 = 0\). Vậy \(D\) không thuộc mặt phẳng \((ABC)\) hay A, B, C, Dkhông đồng phẳng.

e) Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng \((ABC)\) là: \(\frac{{|1 + 1 - 2 - 2|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

a) \(x - 2y + z - 30 = 0\).

b) \(x + y + z - 1 = 0\).

c) \(5x + 6y - 7z + 19 = 0\).

d) \( - x + 3y + 2z + 1 = 0\).

a) \({(x + 2)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 8)^2} = 10000\).

b) \({(x - 3)^2} + {(y + 4)^2} + {z^2} = 3\).

c) \({x^2} + {y^2} + {(z - 3)^2} = 2\).

a) \({\Delta _1}//{\Delta _2}\).

b) \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau.

c) \({\Delta _1},{\Delta _2}\) chéo nhau.

Hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là: \({\vec u_1} = (4;1; - 6)\) và \({\vec u_2} = (3; - 18; - 1)\). Ta có:

\({\vec u_1} \cdot {\vec u_2} = 4 \cdot 3 + 1 \cdot ( - 18) + ( - 6) \cdot ( - 1) = 0.\) Suy ra \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).

Đường thẳng d đi qua \({\rm{A}}(1; - 2;4)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec u = (1;1; - 2)\)

Co \(\overrightarrow {OA}  = (1; - 2;4),[\overrightarrow {OA} ,\vec u] = (0;6;3)\)

Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) đi qua gốc tọa độ và nhận \(\vec n = \frac{1}{3}[\overrightarrow {OA} ,\vec u] = (0;2;1)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(2{\rm{y}} + {\rm{z}} = 0\).

a) \(d(A,(P)) = \frac{{|1 - 2.( - 1) + 2.2|}}{{\sqrt {1 + {{( - 2)}^2} + {2^2}} }} = \frac{7}{3}\)

b) Mặt phẳng (P): \(x - 2y + 2z - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1; - 2;2)\)

Vi (Q) // (P) nên mặt phẳng \(({\rm{Q}})\) nhận \(\vec n = (1; - 2;2)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng \((Q)\) là: \(x - 1 - 2(y + 1) + 2(z - 2) = 0\) hay \(x - 2y + 2z - 7\) \( = 0\).

c) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = ( - 2;2; - 2)\)

Mặt phằng \(({\rm{P}}):x - 2y + 2z - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1; - 2;2)\) Có \([\overrightarrow {AB} ,\vec n] = (0;2;2)\)

Mặt phẳng \(({\rm{R}})\) đi qua \({\rm{A}}(1; - 1;2)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_R}}  = \frac{1}{2}[\overrightarrow {AB} ,\vec n] = (0;1;1)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(y + 1 + {\rm{z}} - 2 = 0\) hay \({\rm{y}} + {\rm{z}} - 1 = 0\).

a) Đường thẳng d đi qua điểm \({\rm{M}}(0;1\); 0) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1;2;2)\)

Đường thẳng d' đi qua điển \({\rm{N}}( - 1; - 2;3)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = (2;2; - 1)\)

Có \(\overrightarrow {MN}  = ( - 1; - 3;3),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 6;5; - 2) \ne \vec 0\)

Có \(\overrightarrow {MN} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 6 - 15 - 6 =  - 15 \ne 0\)

Suy ra d và d' chéo nhau.

b) Vi \(\Delta //{\rm{d}}\) nên đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1;2;2)\) làm một vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({\rm{A}}(1;0;2)\) và nhận \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1;2;2)\) làm một vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\)

c) Có \(\overrightarrow {AM}  = ( - 1;1; - 2),\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = (6;0; - 3)\)

Mặt phằng \(({\rm{P}})\) đi qua \({\rm{A}}(1;0;2)\) và nhận \(\vec n = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = (2;0; - 1)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(2(x - 1) - (z - 2) = 0\) hay \(2x - z = 0\).

d) Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là: \(y = 0\).

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là nghiệm của hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{2}}\\{y = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - \frac{1}{2}}\\{y = 0}\\{z =  - 1}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy giao điểm cần tìm có tọa độ là \(\left( { - \frac{1}{2};0; - 1} \right)\)

Đường thẳng d đi qua điểm \({\rm{A}}(1; - 1;0)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = (2;1; - 1)\)

Mặt phằng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1; - 2; - 2)\) Có \([\vec u,\vec n] = ( - 4;3; - 5)\)

Mặt phẳng \(({\rm{Q}})\) đi qua điểm \({\rm{A}}(1; - 1;0)\) và nhận \([\vec u,\vec n] = ( - 4;3; - 5)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: \( - 4(x - 1) + 3(y + 1) - 5z = 0\) hay \(4x - \) \(3y + 5z - 7 = 0\).

Đường thẳng d đi qua \({\rm{A}}( - 1;1;0)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1;2; - 1)\)

Đường thẳng d' có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = (1;1;2)\)

\({\rm{ Có  }}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = (5; - 3; - 1)\)

Mặt phẳng (P) đi qua \({\rm{A}}( - 1;1;0)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = (5; - 3; - 1)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(5(x + 1) - 3(y - 1) - z = 0\) hay \(5x - 3y - z + \) \(8 = 0\).

Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = (1; - 1; - 1)\)

Mặt phẳng \(({\rm{Q}})\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = (2;1; - 1)\)

Có \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = (2; - 1;3)\)

Mặt phẳng \(({\rm{R}})\) đi qua \({\rm{A}}( - 1;2;0)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = (2; - 1;3)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là \(2(x + 1) - (y - 2) + 3z = 0\) hay \(2x - y + 3z + \) \(4 = 0\).

a) Đường thẳng d đi qua \({\rm{A}}( - 2\); -3 ; 3) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1;2; - 2)\)

Đường thẳng \({{\rm{d}}^\prime }\) đi qua \({\rm{B}}(1; - 2;0)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = ( - 1;1;2)\)

Có \(\overrightarrow {AB}  = (3;1; - 3),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = (6;0;3)\)

Có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 6.3 + 1.0 + ( - 3).3 = 9 \ne 0\)

Do đó d và d' chéo nhau.

b)

Ta có

\(\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{|1 \cdot ( - 1) + 2 \cdot 1 + ( - 2) \cdot 2|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {54} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\). Suy ra $\left(d,d^{\text{'}}\right)\approx {\mathrm{65,9}}^{°}$

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = (2; - 2;1)\)

Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;1; - 2)\) Có \(\sin (d,(P)) = \frac{{|2 \cdot 1 + ( - 2) \cdot 1 + 1 \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{2}{{3\sqrt 6 }}\) Suy ra $(d,(P\left)\right)\approx {\mathrm{15,8}}^{°}$

Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;1;1)\)

Mặt phẳng \({\rm{Oxy}}:{\rm{z}} = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec k = (0;0;1)\) Có \(\cos ((P),(Oxy)) = \frac{{|1.0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Suy ra $\left(\right(P),(Oxy\left)\right)\approx {\mathrm{54,7}}^{°}$