Bài tập Viết phương trình mặt cầu có tâm và bán kính cho trước lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu tâm I(1; −2; 3), bán kính R = 3.
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 3;
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 9;
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = 3;
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = 9.
Đáp án đúng là: B
Phương trình mặt cầu tâm I(1; −2; 3), bán kính R = 3 là:
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 9.
Trong hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu I(2; 1; −2) bán kính R = 2 là
(x – 2)2 + (y − 1)2 + (z – 2)2 = 22;
x2 + y2 + z2 – 4x – 2y + 4z + 5 = 0;
x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 4z + 5 = 0;
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = 2.
Đáp án đúng là: B
Phương trình mặt cầu I(2; 1; −2) bán kính R = 2 là
(x – 2)2 + (y – 1)2 + (z + 2)2 = 22 x2 + y2 + z2 – 4x – 2y + 4z + 5 = 0.
Trongkhông gianOxyz, mặt cầu có tâm I(−1; 2; 0) đường kính bằng 10 có phương trình là
(x – 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 100;
(x + 1)2 + (y − 2)2 + z2 = 100;
(x + 1)2 + (y − 2)2 + z2 = 25;
(x − 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 25.
Đáp án đúng là: C
Đường kính bằng 10 nên bán kính R = 5.
Phương trình mặt cầu tâm I(−1; 2; 0), bán kính R = 5 là (x + 1)2 + (y − 2)2 + z2 = 25.
Trongkhông gianOxyz, mặt cầu có tâm I(2; 3; −6) và bán kính bằng 4 có phương trình là
(x – 2)2 + (y − 3)2 + (z + 6)2 = 16;
(x + 2)2 + (y + 3)2 + (z – 6)2 = 16;
(x + 2)2 + (y + 3)2 + (z – 6)2 = 4;
(x − 2)2 + (y − 3)2 + (z + 6)2 = 4.
Đáp án đúng là: A
Mặt cầu có tâm I(2; 3; −6) và bán kính bằng 4 có phương trình là
(x – 2)2 + (y − 3)2 + (z + 6)2 = 16.
Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I(1; 0; −2), bán kính R = 4.
(x + 1)2 + y2 + (z − 2)2 = 4;
(x − 1)2 + y2 + (z + 2)2 = 4;
(x − 1)2 + y2 + (z + 2)2 = 16;
(x + 1)2 + y2 + (z − 2)2 = 16.
Đáp án đúng là: C
Phương trình mặt cầu tâm I(1; 0; −2), bán kính R = 4 là
(x − 1)2 + y2 + (z + 2)2 = 16.
Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 1.
(x − 1)2 + (y – 2)2 + (z − 3)2 = 1;
(x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 1;
(x − 1)2 + (y – 2)2 + (z − 3)2 = 1;
(x − 1)2 – (y – 2)2 + (z − 3)2 = 1.
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 1 là
(x − 1)2 + (y – 2)2 + (z − 3)2 = 1.
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I(1; −2; 3), bán kính R = 2 là
x2 + 3y2 + 3z2 = 4;
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = 4;
(x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 4;
(x − 1)2 – (y + 2)2 + (z − 3)2 = 4.
Đáp án đúng là: C
Phương trình mặt cầu tâm I(1; −2; 3), bán kính R = 2 là
(x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 4.
Phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 3 là
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z – 3)2 = 9;
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 3;
(x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 9;
x2 + y2 + z2 + 2x + 4y + 6z + 5 = 0.
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 3 là
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z – 3)2 = 9 x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z + 5 = 0.
Phương trình mặt cầu tâm I(0; 0; −3) và bán kính R = 5 là
x2 + y2 + (z + 3)2 = 25;
x2 + y2 + (z + 3)2 = 5;
x2 + y2 + (z − 3)2 = 25;
x2 + y2 + (z − 3)2 = 5.
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt cầu tâm I(0; 0; −3) và bán kính R = 5 là x2 + y2 + (z + 3)2 = 25.
Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I(−1; 0; 3), bán kính R = \(\sqrt 5 \).
(x + 1)2 + y2 + (z − 3)2 = \(\sqrt 5 \);
(x − 1)2 + y2 + (z − 3)2 = 5;
(x − 1)2 + y2 + (z + 3)2 = 5;
(x + 1)2 + y2 + (z − 3)2 = 5.
Đáp án đúng là: D
Phương trình mặt cầu tâm I(−1; 0; 3), bán kính R = \(\sqrt 5 \) là (x + 1)2 + y2 + (z − 3)2 = 5.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu có tâm I(2; 3; -3) và có bán kính R = 3 là:
(x + 2)2 + (y + 3)2 + (z – 3)2 = 9.
(x + 2)2 + (y + 3)2 + (z – 3)2 = 3.
(x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 3)2 = 3.
(x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 3)2 = 9.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Phương trình mặt cầu có tâm I(2; 3; -3) và có bán kính R = 3 là:
(x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 3)2 = 9.
Mặt cầu (S) có tâm I(-3; 1; 7), bán kính là 5 có phương trình là:
(x – 3)2 + (y + 1)2 + (z + 7)2 = 5.
(x – 3)2 + (y + 1)2 + (z + 7)2 = 25.
(x + 3)2 + (y - 1)2 + (z - 7)2 = 25.
(x + 3)2 + (y - 1)2 + (z - 7)2 = 5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Mặt cầu (S) có tâm I(-3; 1; 7), bán kính là 5 có phương trình là:
(x + 3)2 + (y - 1)2 + (z - 7)2 = 25.
Trong hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu tâm là gốc tọa độ O, bán kính bằng 5 là:
x2 + y2 + z2 = 25.
x2 + y2 + z2 = 5.
x2 + y2 + z2 - 5x = 0.
x2 + y2 + z2 - 10x = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng: (x – 0)2 + (y – 0)2 + (z – 0)2 = 52 hay x2 + y2 + z2 = 25.
Trong hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I(1; 0; -3), bán kính bằng R = \(\sqrt {10} \) có phương trình là:
(x – 1)2 + y2 + (z + 3)2 =\(\sqrt {10} \).
(x - 1)2 + y2 + (z + 3)2 = 10.
(x + 1)2 + y2 + (z - 3)2 = 10.
(x – 1)2 + y2 + (z + 3)2 = 40.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Mặt cầu tâm I(1; 0; -3), bán kính bằng R = \(\sqrt {10} \) có phương trình là:
(x - 1)2 + y2 + (z + 3)2 = 10.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2; -1; 3); bán kính R = 3. Phương trình mặt cầu (S) ở dạng tổng quát là:
x2 + y2 + z2 – 4x + 2y – 6z + 5 = 0.
x2 + y2 + z2 + 4x - 2y + 6z + 5 = 0.
x2 + y2 + z2 – 4x + 2y – 6z + 14 = 0.
x2 + y2 + z2 – 2x + y – 3z + 5 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt cầu (S) có dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
=> x2 + y2 + z2 - 2×2×x - 2×(-1)×y -2×3×z + d = 0
Áp dụng công thức:
\({R^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d \Leftrightarrow d = {a^2} + {b^2} + {c^2} - {R^2} = {2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {3^2} - {3^2} = 5\).
Do đó, d = 5.
Vậy phương trình mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2×2×x - 2×(-1)×y -2×3×z + 5 = 0.
Mặt cầu (S) có tâm I(3; -2; 1) và bán kính R = 5.
Phương trình chính tắc của mặt cầu là (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 25.
Khi khai triển hằng đẳng thức, hệ số của x là -6, hệ số của y là 4 và hệ số của z là -2.
Số hạng tự do d trong phương trình dạng đầy đủ x2 + y2 + z2 – 6x + 4y – 2z + d = 0 là d = 14.
Phương trình đầy đủ của mặt cầu là: x2 + y2 + z2 – 6x + 4y – 2z - 11 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Phương trình chính tắc mặt cầu có dạng (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 => (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 25.
b) Đúng. Hệ số của x, y, z lần lượt là: -2a, -2b, -2c. Thay số ta được: -2×3 = -6, -2×(-2) = 4, -2×1 = 2.
c) Sai. Áp dụng công thức: \({R^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d\).
\( \Leftrightarrow d = {a^2} + {b^2} + {c^2} - {R^2} = {3^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + {1^2} - {5^2} = - 11\).
Vậy d = -11.
d) Đúng. Phương trình đầy đủ của mặt cầu là: x2 + y2 + z2 – 6x + 4y – 2z - 11 = 0.
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(-1; 0; 4) và bán kính R = \(\sqrt 7 \).
Phương trình chính tắc của mặt cầu là (x - 1)2 + y2 + (z – 4)2 = 7.
Phương trình khai triển đầy đủ không có số hạng chứa biến y.
Số hạng tự do trong phương trình tổng quát là d =-10.
Điểm \(M\left( { - 1;0;4 + \sqrt 7 } \right)\) có khoảng cách đến tâm I đúng bằng bán kính R.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Phương trình chính tắc của mặt cầu (S): (x + 1)2 + y2 + (z – 4)2 = 7.
b) Đúng. Vì tung độ tâm b = 0 nên hệ số của y bằng 0.
c) Sai. Áp dụng công thức d = a2 + b2 + c2 – R2 = (-1)2 + 02 + 42 - \({\left( {\sqrt 7 } \right)^2}\)= 10. Vậy Vậy số hạng tự do trong phương trình tổng quát là d = 10.
d) Đúng. Ta có: IM = \(\sqrt {{{\left( { - 1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {4 + \sqrt 7 - 4} \right)}^2}} = \sqrt 7 = R\).
Vậy điểm \(M\left( { - 1;0;4 + \sqrt 7 } \right)\) có khoảng cách đến tâm I đúng bằng bán kính R.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0; 0) và bán kính R = 3.
Phương trình chính tắc của mặt cầu là: x2 + y2 + z2 = 3.
Phương trình dạng đầy đủ của mặt cầu là: x2 + y2 + z2 – 9 = 0.
Phương trình dạng đầy đủ, các hệ số a, b, c đều bằng 0.
Nếu tăng bán kính gấp đôi thì số hạng tự d trong phương trình đầy đủ sẽ là -36.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Phương trình chính tắc của mặt cầu là: x2 + y2 + z2 = 9.
b) Đúng. Phương trình dạng đầy đủ của mặt cầu là: x2 + y2 + z2 – 9 = 0.
c) Đúng. Vì tâm là gốc tọa độ nên a = b = c = 0.
d) Đúng. Nếu R = 6 thì d = 02 + 02 + 02 – 62 = -36.
Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 2; -2) và bán kính R = \(\sqrt {12} \).
Phương trình chính tắc là (x + 2)2 + (y + 2)2 + (z - 2)2 = 12.
Số dạng tự do d được tính theo công thức d = a2 + b2 + c2 – R2.
Số hạng tự d của mặt cầu bằng 0.
Phương trình đẩy đủ của mặt cầu là x2 + y2 + z2 – 4x – 4y + 4z - 12 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Phương trình chính tắc là (x - 2)2 + (y – 2)2 + (z + 2)2 = 12.
b) Đúng. Số dạng tự do d được tính theo công thức d = a2 + b2 + c2 – R2.
c) Đúng. Áp dụng công thức d = 22 + 22 + (-2)2 - 12 = 0. Vậy d = 0.
d) Sai. Với d = 0, phương trình đẩy đủ của mặt cầu là x2 + y2 + z2 – 4x – 4y + 4z = 0.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(-1; 4; 2) và bán kính R = 2.
Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là (x - 1)2 + (y – 4)2 + (z – 2)2 = 4.
Khi khai triển hằng đẳng thức, hệ số của z trong phương trình là -4.
Giá trị d = 17.
Phương trình x2 + y2 + z2 + 2x – 8y – 4z + 17 = 0 là phương trình dạng đẩy đủ của mặt cầu (S).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là (x + 1)2 + (y – 4)2 + (z – 2)2 = 4.
b) Đúng. Hệ số z được tính bằng -2c = -2×2 = -4.
c) Đúng. Ta có: d = (-1)2 + 42 + 22 - 22 = 17.
d) Đúng. Phương trình x2 + y2 + z2 + 2x – 8y – 4z + 17 = 0 là phương trình dạng đẩy đủ của mặt cầu (S).
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 4) và bán kính R = 3. Biết phương trình chính tắc của mặt cầu (S) có dạng (x – a)2 + (y + b) + (z – c)2 = 9. Tính giá trị của T = a + b + c.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 7.
Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 4)2 = 9.
Do đó, a = 1; b = 2; c = 4 => T = a + b + c = 1 + 2 + 4 = 7.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2; -1; 5) và bán kính R = 4. Biết phương trình chính tắc của mặt cầu (S) có dạng (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = k. Tính giá trị biểu thức T = a + b + c + k.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 22.
Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là (x – 2)2 + (y - (-1))2 + (z – 5)2 = 16.
Do đó a = 2; b =-1; c = 5; k = 16 => T = a + b + c + k = 2 + (-1) + 5 + 16 = 22.
Cho mặt cầu (S) có tâm I(-2;4;0) và bán kính R =\(\sqrt 6 \). Biết phương trình tổng quát có dạng x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0. Tính giá trị K = 2a – 3b + c + 4d
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 40.
Phương trình tổng quát của mặt cầu (S) là: x2 + y2 + z2 – 2×(-2)×x – 2×4×y + d = 0.
Do đó a =-2; b = 4; c = 0, d = a2 + b2 + c2 – R2 = (-2)2 + 42 + 02 – 6 = 14.
=> K = 2a – 3b + c + 4d = 2×(-2) - 3×4 + 0 + 4×14 = 40.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2; -5; -3) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy). Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) có dạng (x – a)2 + (y + b)2 + (z + c)2 = k. Tính giá trị của biểu thức M =\(\frac{{a + c + d}}{k}\) (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1,11.
Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) nên bán kính R chính bằng khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (Oxy).
R = d(I,(Oxy)) = |zI| = 3.
Phương trình mặt cầu (S) có dạng (x – 2)2 + (y + 5)2 + (z + 3)2 = 9.
Do đó, a = 2, b = 5, c = 3, k = 9 Þ M =\(\frac{{a + b + c}}{k} = \frac{{2 + 5 + 3}}{9} \approx 1,11.\)
Cho A(1;2;5). Mặt cầu (S) có tâm là hình chiếu của A trên (Oxy) và bán kính R = 3. Biết phương trình mặt cầu (S) có dạng (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2= k. Tính M = 3c – 2a + b – k.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: -9.
Hình chiếu của A(1;2;5) lên (Oxy) là I(1;2;0). Vậy tâm I(1;2;0).
Phương trình mặt cầu (S) là: (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 9.
Do đó, a = 1, b = 2, c = 0, k = 9 Þ M = 3c – 2a + b – k = 3×0 - 2×1 + 2 – 9 =-9.
Bạn có thích hoạt động này không?
