Bài tập Phương trình mặt cầu lớp 12 (có lời giải)
17 câu hỏi
Đáp án: \(\left( {1\,;\, - 2\,;\,3} \right)\)
Mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm là \(I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\).
Suy ra, mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\) có tâm là \(I\left( {1\,;\, - 2\,;\,3} \right)\).
Đáp án: \(m < 1\) hoặc \(m > 2\).
Điều kiện để phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + 4my + 19m - 6 = 0\] là phương trình mặt cầu là: \[{\left( {m + 2} \right)^2} + 4{m^2} - 19m + 6 > 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 15m + 10 > 0\]\( \Leftrightarrow m < 1\) hoặc \(m > 2\).
Đáp án: \(\frac{{\sqrt {14} }}{2}\)
Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\).
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).
Vì \(O\), \(A\), \(B\), \(C\) thuộc \(\left( S \right)\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}d = 0\\1 + 2a + d = 0\\4 - 4c + d = 0\\9 + 6b + d = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = - \frac{3}{2}\\c = 1\\d = 0\end{array} \right.\).
Vậy bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)\( = \sqrt {\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1} \)\( = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\).
Đáp án: \(P = 9\)
Vì mặt cầu tâm \(I\) tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên \(d\left( {I,\,\left( {Oyz} \right)} \right) = d\left( {I,\,\left( {Ozx} \right)} \right) = d\left( {I,\,\left( {Oxy} \right)} \right)\) \( \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = c\\a = b = - c\\a = - b = c\\a = - b = - c\end{array} \right.\)
Nhận thấy chỉ có trường hợp \(a = - b = c\) thì phương trình \(AI = d\left( {I,\,\left( {Oxy} \right)} \right)\) có nghiệm, các trường hợp còn lại vô nghiệm.
Thật vậy:
Với \(a = - b = c\) thì \(I\left( {a;\, - a;\,a} \right)\)
\(AI = d\left( {I,\,\left( {Oyx} \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {a - 4} \right)^2} = {a^2}\) \( \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 9 = 0\) \( \Leftrightarrow a = 3\)
Khi đó \(P = a - b + c = 9\).
Đáp án: \(m = \sqrt 3 \)
Mặt cầu \(\left( S \right)\): \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = {m^2} + 1\) có tâm \(I\left( {3\,;\,0\,;\,2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{m^2} + 1} \).
\(\left( S \right)\) tiếp xúc với \(\left( {Oxy} \right)\)\( \Leftrightarrow d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = R\)
\( \Leftrightarrow 2 = \sqrt {{m^2} + 1} \)\( \Leftrightarrow {m^2} = 3\)\( \Leftrightarrow m = \sqrt 3 \) (do \(m\) dương).
Đáp án: \[2\sqrt {26} \]
Gọi tâm mặt cầu là: \[I\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}0} \right)\].
\[\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2} + {1^2}} \\\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {3^2}} \end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {y - 2} \right)^2} + {4^2} = {\left( {y + 3} \right)^2} + {1^2}\\{x^2} - 2x + 1 + 16 = {x^2} - 4x + 4 + 9\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10y = 10\\2x = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow l = 2R = 2\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = 2\sqrt {26} \].
Đáp án: \(5\sqrt 2 \)
Gọi \(I\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\). Vì \(\left( S \right)\) tiếp xúc với các trục \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) tại các điểm \[A\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)\], \[B\left( {0\,;\,b\,;\,0} \right)\], \(C\left( {0\,;\,0\,;\,c} \right)\) nên ta có \(IA \bot Ox\), \(IB \bot Oy\), \(IC \bot Oz\) hay \(A\), \(B\), \(C\) tương ứng là hình chiếu của \(I\) trên \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\)\[ \Rightarrow I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\].
\( \Rightarrow \) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\].
Vì \(\left( S \right)\) đi qua \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} = {c^2} = d{\rm{ }}\left( 1 \right)\\5 - 2b - 4c + d = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\).
Vì \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {0\,;\,1} \right\}\] nên \(0 < d \ne 1\). Mặt khác, từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {2d} \).
· TH1: Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow b = c = \sqrt d \). Thay vào \(\left( * \right)\): \(5 - 6\sqrt d + d = 0 \Leftrightarrow d = 25\) (nhận).
\( \Rightarrow R = \sqrt {2.25} = 5\sqrt 2 \).
· TH2: Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow b = c = - \sqrt d \). Thay vào \(\left( * \right)\): \(5 + 6\sqrt d + d = 0\) (vô nghiệm).
· TH3: Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow b = \sqrt d \), \(c = - \sqrt d \). Thay vào \(\left( * \right)\): \(5 + 2\sqrt d + d = 0\) (vô nghiệm).
· TH4: Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow b = - \sqrt d \), \(c = \sqrt d \). Thay vào \(\left( * \right)\): \(5 - 2\sqrt d + d = 0\) (vô nghiệm).
Vậy mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R = 5\sqrt 2 \).
Đáp án: \(R = \sqrt 2 \)
Giả sử \(M\left( {x;y;z} \right)\).
Ta có: \(M{A^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\); \(M{B^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2}\); \(M{C^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}\). \(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} + {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow - 2x + 1 = {\left( {y - 2} \right)^2} + {x^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2\).
Vậy tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\) là mặt cầu có bán kính là \(R = \sqrt 2 \).
Đáp án: \(a = \left\{ { - 1;11} \right\}\)
Đường tròn lớn có chu vi bằng \(8\pi \) nên bán kính của \(\left( S \right)\) là \(\frac{{8\pi }}{{2\pi }} = 4\).
Từ phương trình của \(\left( S \right)\) suy ra bán kính của \(\left( S \right)\) là \(\sqrt {2{}^2 + {1^2} + {a^2} - 10a} \).
Do đó: \(\sqrt {2{}^2 + {1^2} + {a^2} - 10a} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 1\\a = 11\end{array} \right.\).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 17 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Đáp án: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{{71}}{3}\)
Gọi hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(MN\) là \(K\).
Dễ thấy \(AN = NK = \frac{1}{3}AM\), mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = 5\)
Có \(AM.AN = A{I^2} - {R^2} = 4 \Rightarrow A{N^2} = \frac{4}{3} \Rightarrow KN = AN = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow IK = \sqrt {I{N^2} - K{N^2}} = \frac{{\sqrt {213} }}{3}\).
Nhận thấy mặt cầu đồng tâm với mặt cầu \(\left( S \right)\) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón \(\left( H \right)\) chính là mặt cầu tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) có bán kính \(IK = \frac{{\sqrt {213} }}{3}\).
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{{71}}{3}\).Đáp án: \(r = \frac{{\sqrt {11} }}{2}\)
Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có
\(\overrightarrow {AM} = \left( {x;y + 1;z - 2} \right)\), \(\overrightarrow {BM} = \left( {x - 2;y + 3;z} \right)\), \(\overrightarrow {CM} = \left( {x + 2;y - 1;z - 1} \right)\), \(\overrightarrow {DM} = \left( {x;y + 1;z - 3} \right)\).
Từ giả thiết: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 1\\\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = 1\end{array} \right.\)
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 1} \right)\left( {y + 3} \right) + z\left( {z - 2} \right) = 1\\x\left( {x + 2} \right) + \left( {y + 1} \right)\left( {y - 1} \right) + \left( {z - 1} \right)\left( {z - 3} \right) = 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z + 2 = 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4z + 1 = 0\end{array} \right.\]
Suy ra quỹ tích điểm \(M\) là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm \({I_1}\left( {1; - 2;1} \right)\), \({R_1} = 2\) và mặt cầu tâm \({I_2}\left( { - 1;0;2} \right)\), \({R_2} = 2\).
Ta có: \({I_1}{I_2} = \sqrt 5 \). Dễ thấy: \(r = \sqrt {R_1^2 - {{\left( {\frac{{{I_1}{I_2}}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {4 - \frac{5}{4}} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}\).
Gọi 3 điểm ở trên mặt nước lần lượt là \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}}\) và ba điểm tương ứng ở đáy bể là \({A^\prime },{B^\prime },{C^\prime }\) sao cho \(A{A^\prime } = 4\;{\rm{m}},{B^\prime } = 4,4\;{\rm{m}},{C^\prime } = 4,8\;{\rm{m}}\).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, O là trung điểm của AC .
Ta có A(0; \(1;0),B(\sqrt 3 ;0;0),{\rm{C}}(0; - 1;0),{{\rm{A}}^\prime }(0;1;4),{B^\prime }(\sqrt 3 ;0;4,4),{{\rm{C}}^\prime }(0; - 1\); 4,8 .
Ta có \(\overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} = (\sqrt 3 ; - 1;0,4),\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = (0; - 2;0,8)\)
Có \(\left[ {\overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} ,\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{0,4}\\{ - 2}&{0,8}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{0,4}&{\sqrt 3 }\\{0,8}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 3 }&{ - 1}\\0&{ - 2}\end{array}} \right|} \right)\)\( = (0; - 0,8\sqrt 3 ; - 2\sqrt 3 )\)
Mặt phẳng đáy bể là mặt phẳng ( \(\left. {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (0; - 0,8\sqrt 3 ; - 2\sqrt 3 )\)
Mặt phẳng nằm ngang (mặt nước) chính là mặt phẳng \({\rm{Oxy}}:{\rm{z}} = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec k = (0;0;1)\)
Do đó \(\cos \left( {\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right),(Oxy)} \right) = \frac{{|0.0 - 0,8\sqrt 3 .0 - 2\sqrt 3 .1|}}{{\sqrt {{0^2} + {{( - 0,8\sqrt 3 )}^2} + {{( - 2\sqrt 3 )}^2}} \cdot \sqrt 1 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\frac{{2\sqrt {87} }}{5}}} = \frac{{5\sqrt {29} }}{{29}}\)
Suy raNé́u đứng trước biển và nhìn ra xa, người ta sẽ thấy một đường giao giữa mặt biển và bầu trời, đó là đường chân trời đối với người quan sát (H.5.45a). Về mặt Vật lí, đường chân trời là đường giới hạn phần Trái Đất mà người quan sát có thể nhìn thấy được (phần còn lại bị chính Trái Đất che khuất). Ta có thể hình dung rằng, nếu người quan sát ở tại đỉnh của một chiếc nón và Trái Đát được "thả" vào trong chiếc nón đó, thì đường chân trời trong trường hợp này là đường chạm giữa Trái Đất và chiếc nón (H.5.45b). Trong mô hình toán học, đường chân trời đối với người quan sát tại vị trí \(B\) là tập hợp những điểm \(A\) nằm trên bề mặt Trái Đất sao cho , với O là tâm Trái Đất (H.5.45c). Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt Trái Đất \((S)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) và người quan sát ở vị trí \(B(1,1; - 1)\).
Gọi \(A\) là một vị trí bất kì trên đường chân trời đối với người quan sát ở vị trí \(B\). Tính khoảng cách AB.
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(O(0;0;0)\) và \({\rm{R}} = 1\).
Ta có \(A \in (S)\) nên \(OA = 1\).
\({\rm{ Có }}OB = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} = \sqrt 3 \)
Xét tam giác BOA vuông tại \(O\) có: \(AB = \sqrt {O{B^2} - O{A^2}} = \sqrt {3 - 1} = \sqrt 2 \)
Vậy khoảng cách AB là \(\sqrt 2 \).
Phần mềm điều khiền máy in 3 D cho biết đầu in phun của máy đang đặt tại điểm \(M(3;4;24)\) (đơn vị: cm ). Tính khoàng cách từ đầu in đến khay đặt vật in có phương trình \(z - 4 = 0\).
Gọi \((\alpha ):z - 4 = 0\). Ta có \(d(M,(\alpha )) = \frac{{|244|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 20\).
Trong không gian hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) một trạm phát sóng điện thoại của nhà mạng Vinaphone được đặt ở vị trí \(I\left( {1; - 2; - 3} \right)\) và được thiết kế bán kính phủ sóng là \(5000m\).
a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng trong không gian.
b) Nhà bạn Minh Hiền và bạn Trúc Linh có vị trí tọa độ lần lượt là \(M\left( {1;2;0} \right)\) và \(N\left( { - 3;1;0} \right)\). Hỏi Minh Hiền và Trúc Linh dùng điện thoại tại nhà thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không?
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng trong không gian là:
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\)
b)
· Ta có: \(IM = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {0 + 3} \right)}^2}} = 5\)
Vì \(IM = R = 5\) nên điểm \(M\left( {1;2;0} \right)\) nằm trên mặt cầu . Vậy bạn Minh Hiền có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
· Ta có: \(IN = \sqrt {{{\left( { - 3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {34} > 5\)
Vì \(IN > R\) nên điểm \(N\left( { - 3;1;0} \right)\) nằm ngoài mặt cầu . Vậy bạn Trúc Linh không thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
Trong không gian hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) một trạm phát sóng rađa của Nga được đặt trên bán đảo Crimea ở vị trí \(I\left( { - 2;1; - 1} \right)\) và được thiết kế phát hiện máy bay của địch ở khoảng cách tối đa \(500km\).
a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của rađa trong không gian.
b) Hai chiếc máy bay do thám của Mỹ và Anh đang bay ở vị trí có tọa độ lần lượt là \(M\left( { - 200;100; - 250} \right)\) và \(N\left( {350; - 100;300} \right)\). Hỏi rađa của Nga có thể phát hiện ra hai chiếc máy bay do thám của Mỹ và Anh không?
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của rađa trong không gian là:
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 250000\)
b)
· Ta có: \(IM = \sqrt {{{\left( { - 200 + 2} \right)}^2} + {{\left( {100 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 250 + 1} \right)}^2}} \approx 335,6 < 500\)
Vì \(IM < R\) nên điểm \(M\) nằm trong mặt cầu . Vậy chiếc máy bay do thám của Mỹ có thể bị phát hiện bởi trạm rađa này.
· Ta có: \(IN = \sqrt {{{\left( {350 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 100 - 1} \right)}^2} + {{\left( {300 + 1} \right)}^2}} \approx 474 < 500\)
Vì \(IN < R\) nên điểm \(N\) nằm trong mặt cầu . Vậy chiếc máy bay do thám của Anh có thể bị phát hiện bởi trạm rađa này.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
