Bài tập Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu trong không gian lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + (y – 2)2 + (z + 1)2 = 6. Đường kính của mặt cầu (S) bằng
3;
\(\sqrt 6 \);
\(2\sqrt 6 \);
12.
Đáp án đúng là: C
Đường kính của (S) bằng \(2R = 2\sqrt 6 \).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 2)2 + (y + 1)2 + (z – 3)2 = 4. Tâm của (S) có tọa độ là
(−2; 1; −3);
(−4; 2; −6);
(4; −2; 6);
(2; −1; 3).
Đáp án đúng là: D
Mặt cầu (S) có tâm I(2; −1; 3).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 16. Tâm của (S) có tọa độ là
(−1; −2; −3);
(1; 2; 3);
(−1; 2; −3);
(1; −2; 3).
Đáp án đúng là: D
Mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + (y – 2)2 + z2 = 9. Bán kính của (S) bằng
6;
18;
3;
9.
Đáp án đúng là: C
Bán kính của (S) là R = 3.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + (z – 2)2 = 16. Bán kính của (S) bằng
4;
32;
16;
8.
Đáp án đúng là: A
Bán kính của (S) là R = 4.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x + 3)2 + (y + 1)2 + (z – 1)2 = 2. Tâm của (S) có tọa độ là
(3; −1; 1);
(−3; −1; 1);
(−3; 1; −1);
(3; 1; −1).
Đáp án đúng là: B
Tâm của (S) có tọa độ là (−3; −1; 1).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 2z – 7 = 0. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng
3;
\(\sqrt {15} \);
\(\sqrt 7 \);
9.
Đáp án đúng là: A
Mặt cầu có tâm I(−1; 0; 1) và bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {1^2} + 7} = 3\) .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 8x + 2y + 1 = 0. Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S).
I(−4; 1; 0), R = 2;
I(−4; 1; 0), R = 4;
I(4; −1; 0), R = 2;
I(4; −1; 0), R = 4.
Đáp án đúng là: D
x2 + y2 + z2 – 8x + 2y + 1 = 0 (x – 4)2 + (y + 1)2 + z2 = 16.
Vậy mặt cầu (S) có tâm I(4; −1; 0) và bán kính R = 4.
Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0. Tính bán kính R của mặt cầu (S).
3;
\(\sqrt 3 \);
\(3\sqrt 3 \);
9.
Đáp án đúng là: A
x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 9.
Vậy bán kính của mặt cầu (S) là R = 3.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 4y – 2z – 3 = 0. Tọa độ tâm I của mặt cầu (S) là:
(−1; 2; 1);
(2; −4; −2);
(1; −2; −1);
(−2; 4; 2).
Đáp án đúng là: A
Phương trình x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 có tâm I(a; b; c) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
Ta có a = −1; b = 2; c = 1. Do đó I(−1; 2; 1).
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): (x + 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 9 có bán kính bằng:
3.
81.
9.
6.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Bán kính của mặt cầu (S) là R =\(\sqrt 9 \) = 3.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 4)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 25. Tâm của (S) có tọa độ là:
(4; -2; 1).
(-4; 2; -1).
(5; 5; 5).
(4; 2; 1).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Mặt cầu (S): (x – 4)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 25 có tâm I(4; -2; 1).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 4x + 8y – 2z – 4 = 0. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng:
5.
\(\sqrt {21} \).
25.
\(\sqrt 5 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
x2 + y2 + z2 - 4x + 8y – 2z – 4 = 0 <=> x2 + y2 + z2 - 2×2×x -2×(-4)×y - 2×1×z – 4 = 0.
Þ a = 2, b = -4, c = 1, d = -4.
=> Tâm mặt cầu I(2; -4; 1), bán kính R = \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2} + 4} = 5\)
Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x - 2y + 4z = 0. Tính bán kính R của mặt cầu (S).
R =\(\sqrt 3 \).
R = 3.
R = 9.
R =\(3\sqrt 3 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
(S): x2 + y2 + z2 + 4x - 2y + 4z = 0 <=> x2 + y2 + z2 - 2×(-2)×x - 2×1×y - 2×(-2)×z = 0.
=> a = -2, b = 1, c = -2, d = 0.
=> Tâm mặt cầu I(-2; 1; -2), bán kính
R = \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - 0} = 3\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 4)2 = 20.
I(-1; 2; -4), R =\(2\sqrt 5 \).
I(1; -2; 4), R = 20.
I(1; -2; 4), R = \(2\sqrt 5 \).
I(-1; 2; -4), R =\(5\sqrt 2 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 có tâm I(a; b; c) và bán kính R, nên mặt cầu (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 4)2 = 20 có tâm và bán kính là I(1; -2; 4), R = \(\sqrt {20} \) = \(2\sqrt 5 \).
Điểm B(0; 0; 0) thuộc mặt cầu (S).
Tâm mặt cầu là I(2; -1; 3)
Điểm A(2; -1; 5) nằm trong mặt cầu.
Bán kính mặt cầu (S) bằng \(\sqrt {10} \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
Ta có: (S): x2 + y2 + z2 – 4x + 2y – 6z + 6 = 0
<=> x2 + y2 + z2 – 2∙2∙x - 2×(-1)×y – 2×3×z + 6 = 0.
Do đó mặt cầu có tâm I(2; -1; 3), bán kính R = \(\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2} - 6} = \sqrt 8 \).
a) Sai. Ta có: IB = \(\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {14} \ne R\) nên điểm B không thuộc mặt cầu.
b) Đúng. Tâm mặt cầu là I(2; -1; 3).
c) Đúng. Ta có: IA = \(\sqrt {{0^2} + {0^2} + {2^2}} = 2 < \sqrt 8 \) nên điểm A nằm trong mặt cầu.
d) Sai. Bán kính mặt cầu bằng \(\sqrt 8 \).
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x + 1)2 + (y – 4)2 + (z + 2)2 = 25.
Đường kính mặt cầu bằng 8.
Điểm M(-1; 4; 3) thuộc mặt cầu.
Tâm mặt cầu là I(-1; -4; -2).
Bán kính mặt cầu bằng 5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Đường kính l = 2R = \(2\sqrt {25} = 10\).
b) Đúng. Ta có: IM = \(\sqrt {0 + 0 + {5^2}} = 5 = R\) nên điểm M thuộc mặt cầu.
c) Sai. Tâm mặt cầu là I(-1; 4; -2).
d) Đúng. Bán kính mặt cầu bằng \(\sqrt {25} = 5\).
Điểm P(0; 0; 0) nằm ngoài mặt cầu.
Khoảng cách từ tâm đến điểm A(3; 1; 2) bằng bán kính R.
Bán kính mặt cầu bằng 4.
Tâm mặt cầu là I(3; 1; 2).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
(S): x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z – 2 = 0 có tâm I(3;1;-2), R = \(\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 2} \right)} = 4\).
a) Sai. Ta có: IP = \(\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {14} < 4\) nên P nằm trong mặt cầu.
b) Đúng. Ta có: IA = \(\sqrt {0 + 0 + {4^2}} = 4 = R\).
c) Đúng. Bán kính mặt cầu bằng 4.
d) Sai. Tâm mặt cầu là I(3; 1; -2).
Tâm mặt cầu là I(3; 2; -1).
Bán kính mặt cầu bằng \(\sqrt {16} \).
Mặt cầu có đường kính bằng 6.
Tung độ tâm mặt cầu bằng 2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
(S): x2 + y2 + z2 + 6x – 4y + 2z – 2 = 0, có tâm I(-3;2;-1), bán kính R = \(\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 2} \right)} = \sqrt {16} = 4\).
a) Sai. Tâm mặt cầu là I(-3; 2; -1).
b) Đúng. Bán kính mặt cầu bằng 4.
c) Sai. Đường kính l = 2R = 2∙4 = 8.
d) Đúng. Tâm độ tâm mặt cầu là yI = 2.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 4)2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 26.
Tâm mặt cầu là I(4; 1; 2).
Bán kính mặt cầu bằng \(\sqrt {26} \).
Cao độ của tâm mặt cầu bằng 1.
Bán kính mặt cầu bằng một nửa đường kính mặt cầu.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Tâm mặt cầu là I(4; -1; 2).
b) Đúng. Bán kính mặt cầu R = \(\sqrt {26} \).
c) Sai. Cao độ của tâm mặt cầu là zI = 2.
d) Đúng. Bán kính mặt cầu bằng một nửa đường kính mặt cầu D = 2R => R = \(\frac{D}{2}\).
Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu (S) có phương trình dạng x2 + y2 + z2 – 4x + 2y – 2az + 10a = 0. Có bao nhiêu giá trị của a để (S) có chu vi đường tròn lớn bằng 8p.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2.
Ta có: x2 + y2 + z2 – 4x + 2y – 2az + 10a = 0 <=> x2 + y2 + z2 -2×2×x -2×(-1)×y - 2×a×z + 10a = 0, suy ra bán kính của (S) là \(\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {a^2} - 10a} \) = \(\sqrt {{a^2} - 10a + 5} \).
Đường tròn lớn có chu vi bằng 8p nên bán kính của (S) là \(\frac{{8\pi }}{{2\pi }}\) = 4.
Do đó: \(\sqrt {{a^2} - 10a + 5} \) = 4 Û a2 – 10a + 5 = 42 Û a2 – 10a – 11 = 0 <=> \(\left[ \begin{array}{l}a = - 1\\a = 11\end{array} \right.\).
Vậy có 2 giá trị của a để (S) có chu vi đường tròn lớn là 8p.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), C(0; 0; 3), B(0; 2; 0). Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA2 = MB2 + MC2 là mặt cầu có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1,41
Giả sử M(x;y;z).
Ta có: MA2 = (x – 1)2 + y2 + z2;
MB2 = x2 + (y – 2)2 + z2;
MC2 = x2 + y2 + (z – 3)2.
MA2 = MB2 + MC2 <=> (x – 1)2 + y2 + z2 = x2 + (y – 2)2 + z2 + x2 + y2 + (z – 3)2
<=> -2x + 1 = (y – 2)2 + x2 + (z – 3)2 <=> (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 2.
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn MA2 = MB2 + MC2 là mặt cầu có bán kính là R = \(\sqrt 2 \) 1,41.
Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x + 6y – 2 = 0. Biết tâm I(a; -b; c). Tính S = a + b + c + R. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2,87.
Mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x + 6y – 2 = 0 Û x2 + y2 + z2 – 2×2×x - 2×(-3)×y – 2 = 0 có tâm I (2; -3; 0), R =\(\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2} + 2} = \sqrt {15} \).
Do đó S = a + b + c + R = 2 – 3 + 0 + \(\sqrt {15} \)=-1 + \(\sqrt {15} \)» 2,87.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 1)2 = 25 và điểm M(3;5;1). Tìm khoảng cách từ tâm I đến điểm M.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 5.
Từ phương trình mặt cầu, có tâm I(-1; 2; 1).
Khoảng cách từ tâm I đến điểm M là: IM =\(\sqrt {{4^2} + {3^2} + {0^2}} \)= 5.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: (x – 3)2 + (y + 5)2 + (z – 4)2 = 25. Biết tâm I(a; -b; c). Tính P = a + b + 2c.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 20.
Từ phương trình, mặt cầu (S) có tâm I(3;-5;4).
Do đó, a = 3, b = 5, c = 4 => P = a + b + 2c = 3 + 5 + 3×4 = 20.
