Đề kiểm tra Phương trình mặt cầu lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Từ phương trình của mặt cầu \(\left( S \right)\), suy ra \(a =  - \frac{1}{2}\); \(b = 1\); \(c =  - 2\); \(d =  - 3\).

Khu vực phủ sóng của thiết bị là một vùng không gian có dạng hình cầu có tâm là \(I\left( { - 1;2;4} \right)\), bán kính \(R = 4\).

Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\). Khi đó ta có:

\({\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = 36 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2a - 12b - 6c + 10 = 0\)          (1)

\({\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b - 8} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = 49 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 8a - 16b - 2c + 32 = 0\)           (2)

\({\left( {a - 9} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 144 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 18a - 12b - 14c + 22 = 0\)       (3)

\({\left( {a + 15} \right)^2} + {\left( {b - 18} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 576 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 30a - 36b - 14c + 22 = 0\)            (4)

a) Đúng.

Mặt cầu \(\left( S \right):\)\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\).

b) Sai.

Thay \(x = y = z = 0\) vào phương trình của \(\left( S \right)\), được: \({\left( {0 - 1} \right)^2} + {\left( {0 + 2} \right)^2} + {0^2} = 9\), vô lí.

Vậy \(\left( S \right)\) không đi qua gốc tọa độ \(O\).

c) Sai.

Vì \(IM = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2}}  = 4 > R = 3\) nên \(M\) nằm ngoài \(\left( S \right)\).

d) Đúng.

Gọi \(A\left( {0;0;a} \right)\) là giao điểm của \(\left( S \right)\) với trục \(Oz\).

Vì \(A \in \left( S \right)\) nên \({\left( {0 - 1} \right)^2} + {\left( {0 + 2} \right)^2} + {a^2} = 9 \Leftrightarrow {a^2} = 4\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 2\\a = 2\end{array} \right.\).

a) Đúng.

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là \(I\left( { - 1;\, - 2;\, - 3} \right)\).

b) Sai.

Ta có: \(IM = \sqrt {{{\left( { - 1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 3} \right)}^2}}  = \sqrt 2 \).

c) Đúng.

Ta có \(IM = \sqrt 2 \) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R = \sqrt {14} \)\( \Rightarrow IM < R\).

Vậy điểm \(M\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).

d) Sai.

Do điểm \(M\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) luôn cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn.

Gọi \(H\) là tâm của đường tròn giao tuyến \( \Rightarrow IH \bot \left( P \right)\), do đó bán kính đường tròn giao tuyến là \(r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}}  = \sqrt {14 - I{H^2}} \). Suy ra bán kính \(r\) nhỏ nhất khi \(IH\) lớn nhất.

Ta có: \(IH \le IM \Leftrightarrow IH \le \sqrt 2 \, \Rightarrow \max IH = \sqrt 2 \) khi \(M\) trùng \(H\), khi đó \(IM \bot \left( P \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IM}  = \left( {0;\, - 1;\,1} \right)\).

a) Ta có trung điểm \(I\) của \(AB\) có tọa độ là:

\({x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{1 + \left( { - 3} \right)}}{2} =  - 1;\,{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{2 + 0}}{2} = 1;\,{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{\left( { - 5} \right) + 1}}{2} =  - 2\)

Vậy \(I\left( { - 1;1; - 2} \right)\). Do đó mệnh đề a) sai.

b) Mặt cầu nhận \(AB\) là đường kính nên nhận \(I\) là tâm mặt cầu.

Bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 5} \right)}^2}}  = \sqrt {14} \)

Phương trình mặt cầu là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 14\)

Vậy mệnh đề b) đúng.

c) Phương trình mặt cầu có tâm là \(A,\) đi qua \(B\) nên có bán kính \(R = AB = \sqrt {{{\left( {1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 1} \right)}^2}}  = 2\sqrt {14} \)

Do đó phương trình mặt cầu là:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = {\left( {2\sqrt {14} } \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 10z - 26 = 0\)

Vậy mệnh đề c) sai.

d) Phương trình mặt cầu \(S\) có dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)

Gọi \(J\) là tâm mặt cầu \(S\), vì \(J \in Ox \Rightarrow J\left( {a;0;0} \right) \Rightarrow b = 0,c = 0\)

Do đó phương trình mặt cầu có dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax + d = 0\).

Vì \(A\left( {1;2; - 5} \right)\) thuộc mặt cầu \(S\) nên ta thay vào được: \( - 2a + d =  - 30\).

Vì \(B\left( { - 3;0;1} \right)\) thuộc mặt cầu \(S\) nên ta thay vào được: \(6a + d =  - 10\).

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 2a + d =  - 30\\6a + d =  - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow a = \frac{5}{2},d =  - 25\).

a) Sai.

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 4;4} \right)\) suy ra \(AB = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {4^2}}  = 6\).

b) Đúng.

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) suy ra \(I\left( {3;1; - 2} \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {3;1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

Phương trình mặt cầu .

c) Sai.

Ta có \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3 - 2.1 + 2.\left( { - 2} \right) - 15} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 6 > R\)

Suy ra mặt cầu \(\left( S \right)\) không tiếp xúc mặt phẳng \(\left( P \right)\).

d) Đúng.

Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = 3\).

Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( {0; - 2;3} \right)\), \(AM = \sqrt {13}  > R\) suy ra không sử dụng được dịch vụ ở trạm thu phát sóng vị trí \(A\).

Ta có \(\overrightarrow {BM}  = \left( { - 2;2; - 1} \right)\), \(BM = 3 = R\) suy ra sử dụng được dịch vụ ở trạm thu phát sóng vị trí \(B\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;1} \right)\) và bán kính \(R = IA = \sqrt 6 \) là:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 2z = 0\).

Suy ra \(a = 1;b = 2;c = 1;d = 0\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {\frac{5}{4};\frac{{ - 1}}{2};\frac{5}{4}} \right)\) là trung điểm \(AB\) và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {14} }}{4}\)

Suy ra \[\left( S \right):{\left( {x - \frac{5}{4}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{5}{4}} \right)^2} = \frac{7}{8} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{5}{2}x + y - \frac{5}{2}z + \frac{5}{2} = 0\]

Khi đó ta có \(a = \frac{5}{4};b = \frac{{ - 1}}{2};c = \frac{5}{4};d = \frac{5}{2} \Rightarrow P = \frac{9}{2}\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = d\left( {I;P} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 - 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 1\) là:

\(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 13 = 0\).

Gọi \[D\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \left( {x + 2;y;z} \right);\,\,\overrightarrow {BD}  = \left( {x;y + 2;z} \right);\,\,\overrightarrow {CD}  = \left( {x;y;z + 2} \right)\].

Vì \(DA,DB,DC\) đôi một vuông góc nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD}  = 0\\\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {CD}  = 0\\\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {CD}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + 2} \right) + y\left( {y + 2} \right) + {z^2} = 0\\x\left( {x + 2} \right) + {y^2} + z\left( {z + 2} \right) = 0\\{x^2} + y\left( {y + 2} \right) + z\left( {z + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z =  - \frac{4}{3}\).

\(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) nên:

\[\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\\IA = ID\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {c^2}\\{\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {b^2} + {\left( {c + 2} \right)^2}\\{\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {b + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {c + \frac{4}{3}} \right)^2}\end{array} \right.\].

Gọi \[H\left( {2t;3t - 1; - t + 4} \right) \in \left( d \right)\] là điểm tiếp xúc của mặt cầu và đường thẳng \[\left( d \right)\]

Khi đó \[\overrightarrow {IH}  = \,\left( {2t - 1;\,3t - 2;\, - t + 6} \right)\]

Do mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng \[\left( d \right):\,\,\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\] có VTCP \[\overrightarrow u \,\left( {2;3; - 1} \right)\]

Nên \[\overrightarrow {IH} .\overrightarrow u  = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2t - 1} \right) + 3\left( {3t - 2} \right) - ( - t + 6) = 0 \Leftrightarrow t = 1\]

Hay \[\overrightarrow {IH}  = \left( {1;1;5} \right) \Rightarrow IH = \sqrt {27} \]

Vậy phương trình mặt cầu là \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 27\].

Giả sử mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 6y + 2m = 0\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 2;3;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {13 - 2m} \) với \(m < \frac{{13}}{2}\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {4;3;3} \right)\) và có một vtcp là \(\overrightarrow u  = \left( {2;1;2} \right)\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng

\(d = d\left( {I;\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = 3\).

Vì đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho \(AB = 8\) nên ta có \({d^2} + \frac{{A{B^2}}}{4} = {R^2} \Leftrightarrow {3^2} + 16 = 13 - 2m \Leftrightarrow m =  - 6\). ( thỏa điều kiện).