Đề kiểm tra Phương trình mặt cầu lớp 12 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\). Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu .
\(I\left( {1; - 3;2} \right),\,\,\,R = 4\).
\(I\left( {1; - 3;2} \right),\,\,\,R = 2\).
\(I\left( { - 1;3; - 2} \right),\,\,\,R = 2\).
\(I\left( { - 1;3; - 2} \right),\,\,\,R = 4\).
Chọn C
Mặt cầu có tâm \(I\left( { - 1;3; - 2} \right)\) và bán kính \(R = 2\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2y - 4z - 5 = 0\). Tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \((S)\) lần lượt là
\(I\left( {0;\, - 2;\,4} \right),\,\,R = 5\).
\(I\left( {0;\, - 1;\,2} \right),\,\,R = \sqrt {10} \).
\(I\left( {0;\,2;\, - 4} \right),\,\,R = 5\).
\(I\left( {0;\,1;\, - 2} \right),\,\,R = \sqrt {10} \).
Chọn B
Ta xác định các hệ số tương ứng như sau : \(a = 0;b = \frac{2}{{ - 2}} = - 1;c = \frac{{ - 4}}{{ - 2}} = 2;\,d = - 5\).
Tọa độ tâm \(I\left( {0;\, - 1;\,2} \right)\).
Bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {10} \).
Vậy tâm \(I\left( {0;\, - 1;\,2} \right)\) và \(R = \sqrt {10} \).
Trong không gian với hệ trục toạ độ \[Oxyz\], phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {2;3; - 3} \right)\) và có bán kính \[R = 3\] là
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 3\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9\).
Chọn D
Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {2;3; - 3} \right)\) và có bán kính \[R = 3\] là
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9\).
Trong hệ trục tọa độ \[Oxyz\], phương trình mặt cầu tâm là gốc tọa độ \[O\], bán kính bằng \[5\] là:
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 25\].
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 5\].
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 5x = 0\].
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 10x = 0\].
Chọn A
Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng: \[{\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 0} \right)^2} + {\left( {z - 0} \right)^2} = {5^2}\]
Hay \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 25\].
Trong hệ trục tọa độ \[Oxyz\], mặt cầu tâm \[I\left( {1;\;0;\; - 3} \right)\], bán kính bằng \[R = \sqrt {10} \] có phương trình là:
\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \sqrt {10} \].
\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 10\].
\[{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 10\].
\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 40\].
Chọn B
Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng: \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 0} \right)^2} + {\left( {z - \left( { - 3} \right)} \right)^2} = {5^2}\].
Hay \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {5^2}\].
Trong hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm là \[K\left( {4;\; - 2;\;1} \right)\] và đi qua điểm \[B\left( {3;\; - 4;\; - 1} \right)\]. Phương trình của mặt cầu \[\left( S \right)\] là:
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 4y - 2z - 21 = 0\].
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 4y + 2z + 12 = 0\].
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - z + 21 = 0\].
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 4y - 2z + 12 = 0\].
Chọn D
Bán kính mặt cầu thỏa mãn \[{R^2} = K{B^2} = {\left( {3 - 4} \right)^2} + {\left( { - 4 + 2} \right)^2} + {\left( { - 1 - 1} \right)^2} = 9\]
Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng: \[{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\].
Hay \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 4y - 2z + 12 = 0\].
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\), \(B\left( {3;4;5} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 11\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \sqrt {11} \).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 11\).
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 11\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow I\left( {2;1;4} \right)\), bán kính \(R = IA = \sqrt {11} \).
Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 11\).
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1\,;\, - 2\,;\,2} \right)\) và \(B\left( {0\,;\,2\,;\, - 2} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là
\({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{\sqrt {33} }}{2}\).
\({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{33}}{4}\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{33}}{4}\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow \) \(I\left( {\frac{1}{2}\,;\,0\,;\,0} \right)\) là tâm của mặt cầu.
Bán kính của mặt cầu là \(R = IA = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} = \frac{{\sqrt {33} }}{2}\).
Vậy phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{33}}{4}\).
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 2;2;1} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(x = 0\) là
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\).
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\).
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 5\).
Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên bán kính \(R = d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 2\).
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + x - 2y + 4z - 3 = 0\). Tìm tâm và bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\).
\(I\left( { - \frac{1}{2};1; - 2} \right)\); \(R = \frac{{\sqrt {33} }}{2}\).
\(I\left( { - \frac{1}{2};1; - 2} \right)\); \(R = \frac{3}{2}\).
\(I\left( {\frac{1}{2}; - 1;2} \right)\); \(R = \frac{{\sqrt {33} }}{2}\).
\(I\left( {\frac{1}{2}; - 1;2} \right)\); \(R = \frac{3}{2}\).
Từ phương trình của mặt cầu \(\left( S \right)\), suy ra \(a = - \frac{1}{2}\); \(b = 1\); \(c = - 2\); \(d = - 3\).
Nên \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \frac{{33}}{4} \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {33} }}{2}\).
Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên các trục là km), một thiết bị phát sóng đặt ở vị trí \(I\left( { - 1;2;4} \right)\) và được thiết kế bán kính phủ sóng là \(4000\,{\rm{m}}\). Máy thu sóng của thiết bị đó ở vị trí nào sau đây thì thu được sóng?
\(M\left( {1; - 2;3} \right)\).
\(N\left( {1;4;5} \right)\).
\(P\left( {3;1; - 1} \right)\).
\(Q\left( { - 1;3; - 1} \right)\).
Khu vực phủ sóng của thiết bị là một vùng không gian có dạng hình cầu có tâm là \(I\left( { - 1;2;4} \right)\), bán kính \(R = 4\).
Ta có: \(IM = \sqrt {21} > R\); \(IP = \sqrt {42} > R\); \(IQ = \sqrt {26} > R\) nên 3 vị trí \(M,P,Q\) không thu được sóng từ thiết bị; còn \(IN = 3 < R\) nên ở vị trí \(N\) sẽ thu được sóng.
Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật trong không gian. Cách thức hoạt động của GPS như sau: Trong cùng một thời điểm, vị trí \(M\) của một vật sẽ được xác định bằng 4 vệ tinh cho trước, các vệ tinh này có gắn máy thu tín hiệu, bằng cách so sánh thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận tín hiệu phản hồi thì sẽ xác định được khoảng cách từ các vệ tinh đến vị trí \(M\). Như vậy, vị trí \(M\) là giao điểm của 4 mặt cầu có tâm là 4 vệ tinh đã cho. Giả sử trong không gian \(Oxyz\), 4 vệ tinh có tọa độ là\(A\left( { - 1;6;3} \right)\), \(B\left( {4;8;1} \right)\), \(C\left( {9;6;7} \right)\), \(D\left( { - 15;18;7} \right)\). Tìm vị trí \(M\) của vật biết khoảng cách từ \(M\) đến các vệ tinh lần lượt là \(MA = 6\), \(MB = 7\), \(MC = 12\), \(MD = 24\).
\(M\left( {1; - 2; - 1} \right)\).
\(M\left( { - 1;2; - 1} \right)\).
\(M\left( {1;2; - 1} \right)\).
\(M\left( {1; - 2;1} \right)\).
Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\). Khi đó ta có:
\({\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = 36 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2a - 12b - 6c + 10 = 0\) (1)
\({\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b - 8} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = 49 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 8a - 16b - 2c + 32 = 0\) (2)
\({\left( {a - 9} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 144 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 18a - 12b - 14c + 22 = 0\) (3)
\({\left( {a + 15} \right)^2} + {\left( {b - 18} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 576 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 30a - 36b - 14c + 22 = 0\) (4)
Giải hệ gồm 4 phương trình trên ta được \(a = 1;b = 2;c = - 1\). Nên \(M\left( {1;2; - 1} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 9\). Cho biết tính đúng, sai của các khẳng định sau.
\(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1\,;\, - 2\,;\,0} \right)\) và bán kính \(R = 3\).
\(\left( S \right)\) đi qua gốc tọa độ \(O\).
Điểm \(M\left( {1; - 2;4} \right)\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
\(\left( S \right)\) cắt trục \(Oz\) tại các điểm có tọa độ \(\left( {0\,;\,0\,;\,2} \right)\) và \(\left( {0\,;\,0\,;\, - 2} \right)\).
a) Đúng.
Mặt cầu \(\left( S \right):\)\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\).
b) Sai.
Thay \(x = y = z = 0\) vào phương trình của \(\left( S \right)\), được: \({\left( {0 - 1} \right)^2} + {\left( {0 + 2} \right)^2} + {0^2} = 9\), vô lí.
Vậy \(\left( S \right)\) không đi qua gốc tọa độ \(O\).
c) Sai.
Vì \(IM = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2}} = 4 > R = 3\) nên \(M\) nằm ngoài \(\left( S \right)\).
d) Đúng.
Gọi \(A\left( {0;0;a} \right)\) là giao điểm của \(\left( S \right)\) với trục \(Oz\).
Vì \(A \in \left( S \right)\) nên \({\left( {0 - 1} \right)^2} + {\left( {0 + 2} \right)^2} + {a^2} = 9 \Leftrightarrow {a^2} = 4\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 2\\a = 2\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( S \right)\) cắt trục \(Oz\) tại các điểm có tọa độ \(\left( {0\,;\,0\,;\,2} \right)\) và \(\left( {0\,;\,0\,;\, - 2} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 14\) và điểm \(M\left( { - 1;\, - 3;\, - 2} \right)\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là \(I\left( { - 1;\, - 2;\, - 3} \right)\).
Khoảng cách từ tâm \(I\) đến điểm \(M\) là \(IM = 2\).
Điểm \(M\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(y - z + 5 = 0\).
a) Đúng.
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là \(I\left( { - 1;\, - 2;\, - 3} \right)\).
b) Sai.
Ta có: \(IM = \sqrt {{{\left( { - 1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 3} \right)}^2}} = \sqrt 2 \).
c) Đúng.
Ta có \(IM = \sqrt 2 \) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R = \sqrt {14} \)\( \Rightarrow IM < R\).
Vậy điểm \(M\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
d) Sai.
Do điểm \(M\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) luôn cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn.
Gọi \(H\) là tâm của đường tròn giao tuyến \( \Rightarrow IH \bot \left( P \right)\), do đó bán kính đường tròn giao tuyến là \(r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {14 - I{H^2}} \). Suy ra bán kính \(r\) nhỏ nhất khi \(IH\) lớn nhất.
Ta có: \(IH \le IM \Leftrightarrow IH \le \sqrt 2 \, \Rightarrow \max IH = \sqrt 2 \) khi \(M\) trùng \(H\), khi đó \(IM \bot \left( P \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IM} = \left( {0;\, - 1;\,1} \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(0.\left( {x + 1} \right) - \left( {y + 3} \right) + \left( {z + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow y - z + 1 = 0\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2 - 5} \right),\,B\left( { - 3;0;1} \right)\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
Trung điểm của \(AB\) là \(I\left( { - 1;1;2} \right)\).
Phương trình mặt cầu, nhận \(AB\) làm đường kính là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 14\).
Phương trình mặt cầu tâm \(A\) và đi qua điểm \(B\) là \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 10z - 14 = 0\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm thuộc \(Ox\) và đi qua 2 điểm \(A,B\) có bán kính bằng \(5\sqrt 5 \).
a) Ta có trung điểm \(I\) của \(AB\) có tọa độ là:
\({x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{1 + \left( { - 3} \right)}}{2} = - 1;\,{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{2 + 0}}{2} = 1;\,{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{\left( { - 5} \right) + 1}}{2} = - 2\)
Vậy \(I\left( { - 1;1; - 2} \right)\). Do đó mệnh đề a) sai.
b) Mặt cầu nhận \(AB\) là đường kính nên nhận \(I\) là tâm mặt cầu.
Bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 5} \right)}^2}} = \sqrt {14} \)
Phương trình mặt cầu là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 14\)
Vậy mệnh đề b) đúng.
c) Phương trình mặt cầu có tâm là \(A,\) đi qua \(B\) nên có bán kính \(R = AB = \sqrt {{{\left( {1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 1} \right)}^2}} = 2\sqrt {14} \)
Do đó phương trình mặt cầu là:
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = {\left( {2\sqrt {14} } \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 10z - 26 = 0\)
Vậy mệnh đề c) sai.
d) Phương trình mặt cầu \(S\) có dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)
Gọi \(J\) là tâm mặt cầu \(S\), vì \(J \in Ox \Rightarrow J\left( {a;0;0} \right) \Rightarrow b = 0,c = 0\)
Do đó phương trình mặt cầu có dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax + d = 0\).
Vì \(A\left( {1;2; - 5} \right)\) thuộc mặt cầu \(S\) nên ta thay vào được: \( - 2a + d = - 30\).
Vì \(B\left( { - 3;0;1} \right)\) thuộc mặt cầu \(S\) nên ta thay vào được: \(6a + d = - 10\).
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 2a + d = - 30\\6a + d = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow a = \frac{5}{2},d = - 25\).
\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} - \left( { - 25} \right)} = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}\). Vậy mệnh đề d) sai.
Trong không gian với hệ toạ độ \[Oxyz\], cho điểm \(A\left( {2;3; - 4} \right)\) và \(B\left( {4; - 1;0} \right)\) Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\) bằng \(36\).
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB\) có dạng: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 15 = 0\).
Giả sử đặt hai trạm thu phát sóng tại hai điểm \(A\) và \(B\), với bán kính phủ sóng của mỗi trạm bằng bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) thì người sử dụng điện thoại tại điểm \(M\left( {2;1; - 1} \right)\) sử dụng được dịch vụ của trạm phát thu phát sóng.
a) Sai.
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 4;4} \right)\) suy ra \(AB = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {4^2}} = 6\).
b) Đúng.
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) suy ra \(I\left( {3;1; - 2} \right)\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {3;1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = 3\).
Phương trình mặt cầu .
c) Sai.
Ta có \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3 - 2.1 + 2.\left( { - 2} \right) - 15} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 6 > R\)
Suy ra mặt cầu \(\left( S \right)\) không tiếp xúc mặt phẳng \(\left( P \right)\).
d) Đúng.
Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = 3\).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {0; - 2;3} \right)\), \(AM = \sqrt {13} > R\) suy ra không sử dụng được dịch vụ ở trạm thu phát sóng vị trí \(A\).
Ta có \(\overrightarrow {BM} = \left( { - 2;2; - 1} \right)\), \(BM = 3 = R\) suy ra sử dụng được dịch vụ ở trạm thu phát sóng vị trí \(B\).
Vậy người sử dụng có thể sử dụng được dịch vụ.
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình của mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( { - 1;1;2} \right)\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\). Tính giá trị của biểu thức \(P = a + 2b + 3c - d\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;1} \right)\) và bán kính \(R = IA = \sqrt 6 \) là:
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 2z = 0\).
Suy ra \(a = 1;b = 2;c = 1;d = 0\).
Vậy \(P = 8\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {\frac{1}{2}; - 1;1} \right),B\left( {2;0;\frac{3}{2}} \right)\). Phương trình của mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(AB\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\). Biết giá trị của biểu thức \(P = a + b + c + d\) là phân số \(\frac{m}{n}\) tối giản, \(m,n \in {\mathbb{Z}^ + }\). Tính \(m + n.\)
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {\frac{5}{4};\frac{{ - 1}}{2};\frac{5}{4}} \right)\) là trung điểm \(AB\) và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {14} }}{4}\)
Suy ra \[\left( S \right):{\left( {x - \frac{5}{4}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{5}{4}} \right)^2} = \frac{7}{8} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{5}{2}x + y - \frac{5}{2}z + \frac{5}{2} = 0\]
Khi đó ta có \(a = \frac{5}{4};b = \frac{{ - 1}}{2};c = \frac{5}{4};d = \frac{5}{2} \Rightarrow P = \frac{9}{2}\).
Vậy \(m = 9,n = 2 \Rightarrow m + n = 11.\)
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình của mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng\(\left( P \right):x + 2y - 2z + 4 = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\). Tính giá trị của biểu thức \(P = a - 2b + c - d.\)
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = d\left( {I;P} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 - 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 1\) là:
\(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 13 = 0\).
Suy ra \(a = 1;b = 2;c = 3;d = 13 \Rightarrow P = - 13.\)
Trong không gian \(Oxyz\) cho \(A\left( { - 2\,;0\,;0} \right)\); \(B\left( {0\,; - 2\,;0} \right)\); \(C\left( {0\,;0\,; - 2} \right)\). \(D\) là điểm khác \(O\) sao cho \(DA\), \(DB\), \(DC\) đôi một vuông góc. \(I\left( {a\,;b\,;c} \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tứ diện \(ABCD\). Tính \(S = a + b + c\).
Gọi \[D\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \left( {x + 2;y;z} \right);\,\,\overrightarrow {BD} = \left( {x;y + 2;z} \right);\,\,\overrightarrow {CD} = \left( {x;y;z + 2} \right)\].
Vì \(DA,DB,DC\) đôi một vuông góc nên:
\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD} = 0\\\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {CD} = 0\\\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {CD} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + 2} \right) + y\left( {y + 2} \right) + {z^2} = 0\\x\left( {x + 2} \right) + {y^2} + z\left( {z + 2} \right) = 0\\{x^2} + y\left( {y + 2} \right) + z\left( {z + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = - \frac{4}{3}\).
\(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) nên:
\[\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\\IA = ID\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {c^2}\\{\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {b^2} + {\left( {c + 2} \right)^2}\\{\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {b + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {c + \frac{4}{3}} \right)^2}\end{array} \right.\].
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a = c\\4a + 4 = 8a + \frac{{16}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \frac{{ - 1}}{3}\]. Vậy \(a + b + c = - 1\).
Trong không gian \[{\rm{Ox}}yz\], mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là \[I\left( {1;1; - 2} \right)\] và tiếp xúc với đường thẳng \[\left( d \right):\,\,\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\] . Tính bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\). ( Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm )
Gọi \[H\left( {2t;3t - 1; - t + 4} \right) \in \left( d \right)\] là điểm tiếp xúc của mặt cầu và đường thẳng \[\left( d \right)\]
Khi đó \[\overrightarrow {IH} = \,\left( {2t - 1;\,3t - 2;\, - t + 6} \right)\]
Do mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng \[\left( d \right):\,\,\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\] có VTCP \[\overrightarrow u \,\left( {2;3; - 1} \right)\]
Nên \[\overrightarrow {IH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2t - 1} \right) + 3\left( {3t - 2} \right) - ( - t + 6) = 0 \Leftrightarrow t = 1\]
Hay \[\overrightarrow {IH} = \left( {1;1;5} \right) \Rightarrow IH = \sqrt {27} \]
Vậy phương trình mặt cầu là \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 27\].
Suy ra bán kính mặt cầu là \[R = \sqrt {27} = 3\sqrt 3 \approx 5,2\].
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( { - 2;3;0} \right)\) và đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 3}}{2}\). Biết đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho \(AB = 8\). Tính bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\).
Giả sử mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 6y + 2m = 0\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 2;3;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {13 - 2m} \) với \(m < \frac{{13}}{2}\).
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {4;3;3} \right)\) và có một vtcp là \(\overrightarrow u = \left( {2;1;2} \right)\).
Khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng
\(d = d\left( {I;\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = 3\).
Vì đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho \(AB = 8\) nên ta có \({d^2} + \frac{{A{B^2}}}{4} = {R^2} \Leftrightarrow {3^2} + 16 = 13 - 2m \Leftrightarrow m = - 6\). ( thỏa điều kiện).
Suy ra bán kính mặt cầu là \(R = \sqrt {13 - 2.\left( { - 6} \right)} = 5\).
