Đề kiểm tra Phương trình mặt cầu lớp 12 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
\(\left( { - 1; - 3;1} \right)\).
\(\left( {1;3; - 1} \right)\).
\(\left( {1; - 3;1} \right)\).
\(\left( { - 1;3; - 1} \right)\).
Từ phương trình, ta thấy mặt cầu có tâm \(I\left( {1;3; - 1} \right)\). Chọn B.
16.
8.
32.
4.
Từ phương trình, ta thấy mặt cầu có bán kính\(R = \sqrt {16} = 4\).Chọn D.
\({(x - 3)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {(z + 7)^2} = 5\).
\({(x - 3)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {(z + 7)^2} = 25\).
\({(x + 3)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {(z - 7)^2} = 25\).
\({(x + 3)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {(z - 7)^2} = 5\).
Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R\) có phương trình là \({(x - a)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\).
Vậy mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 3;1;7} \right)\), bán kính 5 có phương trình là:\({(x + 3)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {(z - 7)^2} = 25\). Chọn C\(A\) nằm trong mặt cầu.
\(A\) nằm trên mặt cầu.
\(A\) nằm ngoài mặt cầu.
\(A\) nằm trong mặt cầu và là tâm mặt cầu
Mặt cầu \({(x - 2)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {(z - 4)^2} = 36\) có tâm \(I\left( {2; - 3;4} \right)\) và bán kính \(R = 6\).
\(\overrightarrow {IA} = \left( {2;0; - 2} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {{2^2} + {0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 < R\).
Vậy điểm \(A\) nằm trong mặt cầu và không phải tâm mặt cầu. Chọn A.
\({(x + 5)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {(z + 3)^2} = 125\).
\({(x - 5)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {(z - 3)^2} = 125\).
\({(x - 5)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {(z - 3)^2} = 25\).
\({(x + 5)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {(z + 3)^2} = 100\).
Mặt cầu tâm \(I\left( {5; - 1;3} \right)\), qua điểm \(M\left( {1;2; - 7} \right)\) thì có bán kính\(R = IM = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} = \sqrt {125} \).
Vậy mặt cầu có phương trình là \({(x - 5)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {(z - 3)^2} = 125\). Chọn B.\({(x + 3)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {(z + 4)^2} = 18\).
\({(x - 4)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {(z - 3)^2} = 36\).
\({(x - 3)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {(z - 4)^2} = \sqrt {18} \).
\({(x - 3)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {(z - 4)^2} = 18\).
Mặt cầu có tâm \(I\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow I\left( {3;1;4} \right)\).
Bán kính \(R = IC = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {18} \).
Vậy phương trình mặt cầu thõa yêu cầu là \({(x - 3)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {(z - 4)^2} = 18\). Chọn D.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} = 0.\)
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 10 = 0.\)
\({x^2} + {y^2} + 2{z^2} + 2x + 4z - 10 = 0.\)
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4z - 1 = 0.\)
Dễ thấy đáp án A, C loại.
Kiểm tra đáp án B, ta thấy \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {1^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + {0^2} - 10 = - 5 < 0 \Rightarrow \]phương trình không phải là phương trình mặt cầu.
Kiểm tra đáp án D, ta thấy \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - 1} \right)^2} + {0^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 1} \right) = 6 > 0 \Rightarrow \)phương trình là phương trình mặt cầu.
\(M\left( {1;1;2} \right).\)
\(N\left( {1;1;1} \right).\)
\(P\left( { - 1;1;0} \right).\)
\(Q\left( {0;0;2} \right).\)
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và bán kính \(R = 2.\)
Ta có \(OM = \sqrt 6 > R;\,\,\,ON = \sqrt 3 < R;\,\,OP = \sqrt 2 < R;\,\,OQ = 2 = R.\)
Vậy điểm \(M\) nằm ngoài mặt cầu đã cho.
\(m = \frac{3}{2}.\)
\(m = \frac{{ - 1}}{2}.\)
\(m = \frac{1}{2}.\)
\(m = \frac{{ - 3}}{2}.\)
Để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + {\left( { - m} \right)^2} - {m^2} - 4m > 0 \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} + 3 > 0,\forall m \in \mathbb{R}.\)
Ta có bán kính mặt cầu là \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{\left( {2m - 1} \right)}^2} + 3} \ge \sqrt 3 .\)
Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.\)
Vậy bán kính mặt cầu nhỏ nhất bằng \(\sqrt 3 \) khi \(m = \frac{1}{2}.\)
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1.\)
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4.\)
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4.\)
Vì mặt cầu tâm \(I\left( {1;1;1} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right) \Rightarrow R = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = 2.\)
Vậy mặt cầu đã cho có phương trình là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4.\)
\({x^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 11.\)
\({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 11.\)
\({x^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 11.\)
\({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 12.\)
Vì tâm \(I\) của mặt cầu thuộc trục \(Oz\) nên giả sử \(I\left( {0;0;c} \right).\)
Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {3; - 1;2 - c} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {{c^2} - 4c + 14} ;\,\,\overrightarrow {IB} = \left( {1;1; - 2 - c} \right) \Rightarrow IB = \sqrt {{c^2} + 4c + 6} .\)
Mà mặt cầu đi qua hai điểm \(A,B \Rightarrow IA = IB \Rightarrow \sqrt {{c^2} - 4c + 14} = \sqrt {{c^2} + 4c + 6} \Rightarrow c = 1.\)
Do đó ta có \(I\left( {0;0;1} \right);\,\,R = IA = \sqrt {11} .\) Vậy \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 11.\)
\(S = 146\pi .\)
\(S = \frac{{73\pi }}{{16}}.\)
\(S = \frac{{73\pi }}{4}.\)
\(S = 73\pi .\)
Ta có \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = 2.\) Gọi \(r\) là bán kính đường tròn giao tuyến; \(R\) là bán kính của mặt cầu \(\left( S \right).\)
Từ giả thiết ta có \(2\pi r = \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow r = \frac{3}{4}.\)
Mà \(R = \sqrt {{d^2}\left( {I;\left( P \right)} \right) + {r^2}} = \frac{{\sqrt {73} }}{4}.\) Vậy diện tích của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(S = 4\pi {R^2} = \frac{{73\pi }}{4}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\)(đơn vị trên mỗi trục là mét), tháp hải đăng Mũi Điện - Phú Yên (là nơi đón ánh bình minh đầu tiên trên đất liền Tổ Quốc), chân tháp được đặt vuông góc với mặt đất (chiều từ chân tháp lên đỉnh tháp cùng hướng với chiều dương của trục \(Oz\)) ở vị trí điểm \(A\left( {12.040.271\,;\,1.418.620\,;\,84} \right)\). Ngọn đèn của hải đăng được đặt trên đỉnh của tháp hải đăng hình trụ cao 26 m so với mặt đất và sử dụng pin năng lượng mặt trời, có thể phát tín hiệu ánh sáng xa khoảng 27 hải lý tương đương 50 km.
Mặt cầu mô tả ranh giới vùng phủ sáng trên biển của hải đăng có tâm \(I\left( {12.040.271\,;\,1.418.620\,;\,110} \right)\) bán kính \(R = 50000\,\left( m \right).\)
Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là \[\]\(\left( S \right)\):\[{\left( {x - 12.040.271} \right)^2} + {\left( {y - 1.418.620} \right)^2} + {\left( {z - 84} \right)^2} = {50.000^2}\] .
Người đi biển ở trên Cù lao Mái nhà tại vị trí \[B\left( {12.026.000\,;\,1.461.000\,;\,0} \right)\]nhìn thấy ánh đèn của ngọn hải đăng.
Điểm cực đông của mũi Điện là điểm \(C\left( {12.040.452\,;\,1.418.462\,;\,0} \right)\). Từ điểm \(C\) một chiếc tàu di chuyển trên mặt biển (mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)) theo hướng của vectơ đơn vị \(\overrightarrow i \) , để vẫn nhìn thấy ánh đèn của hải đăng thì khoảng cách tối đa tàu di chuyển là \(50.000\) mét .
Khoảng cách từ tâm đèn đến mặt biển là \(84 + 26 = 110\,m\).
Mặt cầu mô tả ranh giới vùng phủ sáng trên biển của hải đăng có tâm \(I\left( {12.040.271\,;\,1.418.620\,;\,110} \right)\), bán kính \(R = 50000\,\left( m \right)\).
b) Sai
Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là
\[\]\(\left( S \right)\) \[{\left( {x - 12.040.271} \right)^2} + {\left( {y - 1.418.620} \right)^2} + {\left( {z - 110} \right)^2} = {50.000^2}\] .
c) Đúng
Ta có
\[I{B^2} = {\left( {12.026.000 - 12.040.271} \right)^2} + {\left( {1.461.000 - 1.418.620} \right)^2} + {\left( {0 - 110} \right)^2} = 1999.737.941 < {R^2}\]
Nên điểm \(B\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\). Vậy người đi biển nhìn thấy ánh đèn của ngọn hải đăng.
d) Sai
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(C\)và có vectơ chỉ phương là vectơ \(\overrightarrow i = \left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\) có PTTS là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 12.040.452 + t\\y = 1.418.462\\z = 0\end{array} \right.\).
Tìm điểm \(N\) là giao điểm của \(\Delta \) và mặt cầu \(\left( S \right)\):
\[{\left( {12.040.452 + t - 12.040.271} \right)^2} + {\left( {1.418.462 - 1.418.620} \right)^2} + {\left( {0 - 110} \right)^2} = {50.000^2}\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {181 + t} \right)^2} = 2.499.962.936 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t \approx 49.818,6\\t \approx - 50.180\end{array} \right.\].
Do tàu chuyển động cùng hướng với hướng của vectơ đơn vị \(\overrightarrow i \) nên \(t > 0\)\( \Rightarrow t \approx 49.818,6\)
\( \Rightarrow \)\(N\left( {12.090.270,6\,;\,1.418.620\,;\,0} \right)\) \( \Rightarrow CN \approx 49.818,6\,m\).
Vậy tàu di chuyển tối đa 49.818 m để có thể nhìn thấy đèn của ngọn hải đăng
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\,\left( { - 1\,;\, - 1\,;\,2} \right)\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính bằng 4.
Mặt cầu \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4z - 25 = 0\) có bán kính lớn hơn bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\).
Giao tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + y - z - 1 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) là đường tròn có bán kính bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
a) Sai.
Dạng tổng quát của phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính R là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) nên mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\) có tọa độ tâm là \(I\,\left( {1\,;\,1\,;\, - 2} \right)\).
b) Sai.
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính bằng \(R = 2\).
c) Đúng
Từ phương trình mặt cầu \(\left( C \right)\) ta có : \(a = 1,b = - 2,c = 2,d = - 25\) nên mặt cầu \(\left( C \right)\) có bán kính \({\rm{ }}R' = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + 25} = \sqrt {34} \).
Suy ra \(R' > R\).
d) Sai.
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = 2\). Gọi \(d\) là khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Ta có \(d = d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\).Khi đó ta có: \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {1;3;2} \right)\) bán kính \(R = 25\).
Độ lớn đoạn thẳng \({I_1}{I_2} = \sqrt {26} \).
Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình là: \(\left( P \right):5y + z + 4 = 0\).
Lấy điểm \(A \in \left( C \right)\)thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) khi đó \({S_{\Delta A{I_1}{I_2}}} = \sqrt {209} \)
a) Xét \[\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y - 4z - 11 = 0\], ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2a = - 2\\ - 2b = - 6\\ - 2c = - 4\\d = - 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\\c = 2\\d = - 11\end{array} \right. \Rightarrow \) Mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {1;3;2} \right)\) bán kính \(R = 5\).
Vậy SAI.
b) Ta có \({I_1}\left( {1;3;2} \right)\) và \({I_2}\left( {1; - 2;1} \right)\)\( \Rightarrow {I_1}{I_2} = \sqrt {26} \).
Vậy ĐÚNG.
c) Phương trình mặt phẳng đi chứa đường tròn \(\left( C \right)\) có dạng: \(\left( P \right):5y + z + 4 = 0\) (ta lấy phương trình \[\left( {{S_1}} \right) - \left( {{S_2}} \right)\])
Vậy ĐÚNG.
d) Ta có:
![Cho phương trình (S1):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y - 4z - 11 = 0\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid7-1770306139.png)
Xét hai mặt cầu
\[\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y - 4z - 11 = 0\], \[\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0\] có tâm và bán kính lần lượt là \({I_1}\left( {1;\,3;\,2} \right),{R_1} = 5,{I_2}\left( {1;\, - 2;\,1} \right),{R_2} = 3,{R_1} - {R_2} < {I_1}{I_2} = \sqrt {26} < {R_1} + {R_2}\) nên hai mặt cầu cắt nhau theo giao là đường tròn\(\left( C \right)\).
Ta có \(p = \frac{{3 + 5 + \sqrt {26} }}{2} = \frac{{8 + \sqrt {26} }}{2} \Rightarrow {S_{\Delta A{I_1}{I_2}}} = \sqrt {p\left( {p - {I_1}{I_2}} \right)\left( {p - {I_1}A} \right)\left( {p - {I_2}A} \right)} = \frac{{\sqrt {209} }}{2}\).
Vậy SAI.Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = 25\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại điểm \(A\left( {1;2;8} \right)\) thì \(\left( Q \right)\) có phương trình \(z - 8 = 0\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính \(\sqrt {22} \).
Trên bề mặt của \(\left( S \right)\) có 288 điểm nguyên (điểm có hoành độ, tung độ, cao độ đều là số nguyên).
a) SAI
Các hệ số \(\left\{ \begin{array}{l} - 2a = - 2\\ - 2b = - 4\\ - 2c = - 6\\d = - 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 3\\d = - 11\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = 5\).
b) ĐÚNG
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại điểm \(A\left( {1;2;8} \right)\)
\( \Rightarrow \) \(\left( Q \right)\) có vtpt \(\overrightarrow n = \left( {0;0;5} \right)\) và qua \(A\left( {1;2;8} \right)\)
\( \Rightarrow \) \(\left( Q \right):0.\left( {x - 1} \right) + 0.\left( {y - 2} \right) + 5\left( {z - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( Q \right):z = 8\).
c) ĐÚNG
Do \(d\left[ {I,\left( P \right)} \right] = \frac{{\left| {1 + 2 + 3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 3 < 5 = R\) nên \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn tâm \(H\), bán kính \(HA = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left[ {I,(P)} \right]} = \sqrt {{5^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt {22} \)
d) SAI
Gọi \(\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) là một điểm nguyên nằm trên bề mặt của mặt cầu \(\left( S \right)\).
Ta có \(x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - 2{x_0} - 4{y_0} - 6{z_0} - 11 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} + {\left( {{y_0} - 2} \right)^2} + {\left( {{z_0} - 3} \right)^2} = 25\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = {x_0} - 1\\b = {y_0} - 2\\c = {z_0} - 3\end{array} \right.\) thì \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 25\) (*) và \(a,b,c \in \mathbb{Z}\).
Số bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) bằng với số bộ \(\left( {x;y;z} \right)\).
Do \({a^2},\,{b^2},{c^2}\) vai trò như nhau nên có thể giả sử \({a^2} \le {b^2} \le {c^2}\).
\({a^2} + {b^2} + {c^2} = 25 \Rightarrow 3{a^2} \le 25 \Rightarrow {a^2} \in \left\{ {0;1;4} \right\}\).
Với \({a^2} = 4\),
\(\left( * \right) \Rightarrow \) \({b^2} + {c^2} = 21\) à không có \(b,c\) nguyên.
Với \({a^2} = 1\),
\(\left( * \right) \Rightarrow \) \({b^2} + {c^2} = 24 \Rightarrow \) không tồn tại \(b,c\) nguyên.
Với \({a^2} = 0\),
\(\left( * \right) \Rightarrow \) \({b^2} + {c^2} = 25 = {3^2} + {4^2}\)
Chọn vị trí cho số \(0\)trong bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) có \(3\)cách.
Chọn \(3\) hoặc \( - 3\) và xếp vào một vị trí trong bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) có \(2.2 = 4\)cách.
Vị trí còn lại cho \(4\) hoặc \( - 4\) trong bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) có \(2\)cách.
Vậy có \(3.4.2 = 24\) bộ \(\left( {a;b;c} \right)\).
Vậy có \(24\) bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) hay \(24\) điểm nguyên nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\).
Mặt cầu \(\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y + 4z - 4 = 0\) có tâm \(I\left( {0;1; - 2} \right)\) và bán kính
\(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + 4} = 3.\)
Khi đó thể tích khối cầu \(\left( S \right)\) là \(V = \frac{{4\pi {R^3}}}{3} = 36\pi .\)
Hình chiếu vuông góc của \(A\left( {1;4;3} \right)\) lên trục \(Ox\) là \(H\left( {1;0;0} \right) \Rightarrow d\left( {A,Ox} \right) = AH = 5.\)
Vậy \(R = \sqrt {{d^2}\left( {A,Ox} \right) + {{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{5^2} + {{\left( {\frac{6}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {34} .\)Điểm thuộc \({d_1}\) có hoành độ \(x = 1 \Rightarrow \frac{{1 + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\z = - 1\end{array} \right..\)
Vậy \(\left( S \right)\) tiếp xúc với \({d_1}\) tại điểm \(A\left( {1;2 - 1} \right)\) do đó tâm mặt cầu \(I\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua điểm
\(A\) và vuông góc với \({d_1}\) và \[\left( P \right):2x - y + z + 1 = 0.\]
Mặt khác \[I \in {d_2} \Rightarrow I = {d_2} \cap \left( P \right):\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z + 1 = 0\\\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;1; - 4} \right) \Rightarrow R = IA = \sqrt {11} .\]
Do đó \[\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 11 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = - 4\end{array} \right. \to a + 2b + 3c = - 8.\]Mặt cầu có tâm \(I\)là trung điểm đoạn \(AB\) nên \(I\left( {1;2;1} \right)\).
Bán kính của mặt cầu \(R = \frac{{AB}}{2} = 6\).
Suy ra phương trình mặt cầu là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {6^2}\).
Vậy \(P = a + b + c + R = 10\).
\(I\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mặt phẳng \[\left( {{\rm{O}}xy} \right)\] suy ra \(I\left( {1; - 2;0} \right)\).
Bán kính của mặt cầu \(R = IM = 3\).Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;1;1} \right)\) và bán kính \(R = 3\).
Ta có \(P = {x_0} + 2{y_0} + 2{z_0} \Leftrightarrow {x_0} + 2{y_0} + 2{z_0} - P = 0\) suy ra điểm \(M \in \left( \alpha \right):x + 2y + 2z - P = 0\).
Để tồn tại điểm \(M\)là điểm chung của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) khi và chỉ khi \[d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {6 - P} \right|}}{3} \le 3 \Leftrightarrow \left| {6 - P} \right| \le 9 \Leftrightarrow - 9 \le 6 - P \le 9 \Leftrightarrow - 3 \le P \le 15\].
Vậy GTNN của biểu thức \(P\) là \( - 3\). Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \[d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R\] tức là \(M\) là tiếp điểm của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) hay \(M\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(I\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương trình đường thẳng \(IM:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\).
Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 2t\\x + 2y + 2z + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\x = 1\\y = - 1\\z = - 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1; - 1; - 1} \right)\).
Vậy \({x_0} + {y_0} + {z_0} = - 1.\)
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
