Đề kiểm tra Phương trình mặt cầu lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Từ phương trình, ta thấy mặt cầu có tâm \(I\left( {1;3; - 1} \right)\). Chọn B.           

Từ phương trình, ta thấy mặt cầu có bán kính\(R = \sqrt {16}  = 4\).Chọn D.

Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R\) có phương trình là \({(x - a)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\).

Vậy mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 3;1;7} \right)\), bán kính 5 có phương trình là:\({(x + 3)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {(z - 7)^2} = 25\). Chọn C

Mặt cầu \({(x - 2)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {(z - 4)^2} = 36\) có tâm \(I\left( {2; - 3;4} \right)\) và bán kính \(R = 6\).

\(\overrightarrow {IA}  = \left( {2;0; - 2} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {{2^2} + {0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 2  < R\).

Vậy điểm \(A\) nằm trong mặt cầu và không phải tâm mặt cầu. Chọn A.

Mặt cầu tâm \(I\left( {5; - 1;3} \right)\), qua điểm \(M\left( {1;2; - 7} \right)\) thì có bán kính\(R = IM = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}}  = \sqrt {125} \).

Vậy mặt cầu có phương trình là \({(x - 5)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {(z - 3)^2} = 125\). Chọn B.

Mặt cầu có tâm \(I\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow I\left( {3;1;4} \right)\).

Bán kính \(R = IC = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {18} \).

Vậy phương trình mặt cầu thõa yêu cầu là \({(x - 3)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {(z - 4)^2} = 18\). Chọn D.

Dễ thấy đáp án A, C loại.

Kiểm tra đáp án B, ta thấy \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {1^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + {0^2} - 10 =  - 5 < 0 \Rightarrow \]phương trình không phải là phương trình mặt cầu.

Kiểm tra đáp án D, ta thấy \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - 1} \right)^2} + {0^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 1} \right) = 6 > 0 \Rightarrow \)phương trình là phương trình mặt cầu.

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và bán kính \(R = 2.\)

Ta có \(OM = \sqrt 6  > R;\,\,\,ON = \sqrt 3  < R;\,\,OP = \sqrt 2  < R;\,\,OQ = 2 = R.\)

Vậy điểm \(M\) nằm ngoài mặt cầu đã cho.

Để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + {\left( { - m} \right)^2} - {m^2} - 4m > 0 \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} + 3 > 0,\forall m \in \mathbb{R}.\)

Ta có bán kính mặt cầu là \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = \sqrt {{{\left( {2m - 1} \right)}^2} + 3}  \ge \sqrt 3 .\)

Dấu  xảy ra \( \Leftrightarrow 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.\)

Vậy bán kính mặt cầu nhỏ nhất bằng \(\sqrt 3 \) khi \(m = \frac{1}{2}.\)

Vì mặt cầu tâm \(I\left( {1;1;1} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right) \Rightarrow R = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = 2.\)

Vậy mặt cầu đã cho có phương trình là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4.\)

Vì tâm \(I\) của mặt cầu thuộc trục \(Oz\) nên giả sử \(I\left( {0;0;c} \right).\)

Ta có \(\overrightarrow {IA}  = \left( {3; - 1;2 - c} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {{c^2} - 4c + 14} ;\,\,\overrightarrow {IB}  = \left( {1;1; - 2 - c} \right) \Rightarrow IB = \sqrt {{c^2} + 4c + 6} .\)

Mà mặt cầu đi qua hai điểm \(A,B \Rightarrow IA = IB \Rightarrow \sqrt {{c^2} - 4c + 14}  = \sqrt {{c^2} + 4c + 6}  \Rightarrow c = 1.\)

Do đó ta có \(I\left( {0;0;1} \right);\,\,R = IA = \sqrt {11} .\) Vậy \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 11.\)

Ta có \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = 2.\) Gọi \(r\) là bán kính đường tròn giao tuyến; \(R\) là bán kính của mặt cầu \(\left( S \right).\)

Từ giả thiết ta có \(2\pi r = \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow r = \frac{3}{4}.\)

Mà \(R = \sqrt {{d^2}\left( {I;\left( P \right)} \right) + {r^2}}  = \frac{{\sqrt {73} }}{4}.\) Vậy diện tích của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(S = 4\pi {R^2} = \frac{{73\pi }}{4}.\)

a)     Đúng

   Khoảng cách từ tâm đèn đến mặt biển là \(84 + 26 = 110\,m\).

Mặt cầu mô tả ranh giới vùng phủ sáng trên biển của hải đăng có tâm  \(I\left( {12.040.271\,;\,1.418.620\,;\,110} \right)\),  bán kính  \(R = 50000\,\left( m \right)\).

 b) Sai

Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là

\[\]\(\left( S \right)\)  \[{\left( {x - 12.040.271} \right)^2} + {\left( {y - 1.418.620} \right)^2} + {\left( {z - 110} \right)^2} = {50.000^2}\] .

c) Đúng

Ta có

\[I{B^2} = {\left( {12.026.000 - 12.040.271} \right)^2} + {\left( {1.461.000 - 1.418.620} \right)^2} + {\left( {0 - 110} \right)^2} = 1999.737.941 < {R^2}\]

Nên điểm \(B\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\). Vậy người đi biển nhìn thấy ánh đèn của ngọn hải đăng.

d) Sai

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(C\)và có vectơ chỉ phương là vectơ \(\overrightarrow i  = \left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\) có PTTS là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 12.040.452 + t\\y = 1.418.462\\z = 0\end{array} \right.\).

Tìm điểm \(N\) là giao điểm của \(\Delta \) và mặt cầu \(\left( S \right)\):

\[{\left( {12.040.452 + t - 12.040.271} \right)^2} + {\left( {1.418.462 - 1.418.620} \right)^2} + {\left( {0 - 110} \right)^2} = {50.000^2}\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {181 + t} \right)^2} = 2.499.962.936 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t \approx 49.818,6\\t \approx  - 50.180\end{array} \right.\].

Do tàu chuyển động cùng hướng với hướng của vectơ đơn vị \(\overrightarrow i \) nên \(t > 0\)\( \Rightarrow t \approx 49.818,6\)

\( \Rightarrow \)\(N\left( {12.090.270,6\,;\,1.418.620\,;\,0} \right)\) \( \Rightarrow CN \approx 49.818,6\,m\).

Vậy tàu di chuyển tối đa 49.818 m để có thể nhìn thấy đèn của ngọn hải đăng

a) Sai.

Dạng tổng quát của phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính R là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) nên mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\) có tọa độ tâm là \(I\,\left( {1\,;\,1\,;\, - 2} \right)\).

b) Sai.

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính bằng \(R = 2\).

c) Đúng

Từ phương trình mặt cầu \(\left( C \right)\) ta có : \(a = 1,b =  - 2,c = 2,d =  - 25\) nên mặt cầu \(\left( C \right)\) có bán kính \({\rm{ }}R' = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + 25}  = \sqrt {34} \).

Suy ra \(R' > R\).

d) Sai.

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = 2\). Gọi \(d\) là khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Ta có \(d = d\left( {I,\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\).
Khi đó ta có: \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}}  = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

a) Xét \[\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y - 4z - 11 = 0\], ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2a =  - 2\\ - 2b =  - 6\\ - 2c =  - 4\\d =  - 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\\c = 2\\d =  - 11\end{array} \right. \Rightarrow \) Mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {1;3;2} \right)\) bán kính \(R = 5\).

Vậy SAI.

b) Ta có \({I_1}\left( {1;3;2} \right)\) và \({I_2}\left( {1; - 2;1} \right)\)\( \Rightarrow {I_1}{I_2} = \sqrt {26} \).

Vậy ĐÚNG.

c) Phương trình mặt phẳng đi chứa đường tròn \(\left( C \right)\) có dạng: \(\left( P \right):5y + z + 4 = 0\) (ta lấy phương trình \[\left( {{S_1}} \right) - \left( {{S_2}} \right)\])

Vậy ĐÚNG.

d) Ta có:

Xét hai mặt cầu

\[\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y - 4z - 11 = 0\], \[\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0\] có tâm và bán kính lần lượt là \({I_1}\left( {1;\,3;\,2} \right),{R_1} = 5,{I_2}\left( {1;\, - 2;\,1} \right),{R_2} = 3,{R_1} - {R_2} < {I_1}{I_2} = \sqrt {26}  < {R_1} + {R_2}\) nên hai mặt cầu cắt nhau theo giao là đường tròn\(\left( C \right)\).

Ta có \(p = \frac{{3 + 5 + \sqrt {26} }}{2} = \frac{{8 + \sqrt {26} }}{2} \Rightarrow {S_{\Delta A{I_1}{I_2}}} = \sqrt {p\left( {p - {I_1}{I_2}} \right)\left( {p - {I_1}A} \right)\left( {p - {I_2}A} \right)}  = \frac{{\sqrt {209} }}{2}\).

Vậy SAI.

a) SAI

Các hệ số \(\left\{ \begin{array}{l} - 2a =  - 2\\ - 2b =  - 4\\ - 2c =  - 6\\d =  - 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 3\\d =  - 11\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = 5\).

b) ĐÚNG

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại điểm \(A\left( {1;2;8} \right)\)

\( \Rightarrow \) \(\left( Q \right)\) có vtpt \(\overrightarrow n  = \left( {0;0;5} \right)\) và qua \(A\left( {1;2;8} \right)\)

\( \Rightarrow \) \(\left( Q \right):0.\left( {x - 1} \right) + 0.\left( {y - 2} \right) + 5\left( {z - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( Q \right):z = 8\).

c) ĐÚNG

Do \(d\left[ {I,\left( P \right)} \right] = \frac{{\left| {1 + 2 + 3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 3  < 5 = R\) nên \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn tâm \(H\), bán kính \(HA = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left[ {I,(P)} \right]}  = \sqrt {{5^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}  = \sqrt {22} \)

d) SAI

Gọi \(\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) là một điểm nguyên nằm trên bề mặt của mặt cầu \(\left( S \right)\).

Ta có  \(x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - 2{x_0} - 4{y_0} - 6{z_0} - 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} + {\left( {{y_0} - 2} \right)^2} + {\left( {{z_0} - 3} \right)^2} = 25\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = {x_0} - 1\\b = {y_0} - 2\\c = {z_0} - 3\end{array} \right.\) thì  \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 25\) (*)  và \(a,b,c \in \mathbb{Z}\).

Số bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) bằng với số bộ \(\left( {x;y;z} \right)\).

Do \({a^2},\,{b^2},{c^2}\) vai trò như nhau nên có thể giả sử \({a^2} \le {b^2} \le {c^2}\).

\({a^2} + {b^2} + {c^2} = 25 \Rightarrow 3{a^2} \le 25 \Rightarrow {a^2} \in \left\{ {0;1;4} \right\}\).

Với \({a^2} = 4\),

\(\left( * \right) \Rightarrow \) \({b^2} + {c^2} = 21\) à không có \(b,c\) nguyên.

 Với \({a^2} = 1\),

\(\left( * \right) \Rightarrow \) \({b^2} + {c^2} = 24 \Rightarrow \) không tồn tại \(b,c\) nguyên.

Với \({a^2} = 0\),

 \(\left( * \right) \Rightarrow \) \({b^2} + {c^2} = 25 = {3^2} + {4^2}\)

Chọn vị trí cho số \(0\)trong bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) có \(3\)cách.

Chọn \(3\) hoặc \( - 3\) và xếp vào một vị trí trong bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) có \(2.2 = 4\)cách.

Vị trí còn lại cho \(4\) hoặc \( - 4\) trong bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) có \(2\)cách.

Vậy có \(3.4.2 = 24\) bộ \(\left( {a;b;c} \right)\).

Vậy có \(24\) bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) hay \(24\) điểm nguyên nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y + 4z - 4 = 0\) có tâm \(I\left( {0;1; - 2} \right)\) và bán kính

\(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + 4}  = 3.\)

Khi đó thể tích khối cầu \(\left( S \right)\) là \(V = \frac{{4\pi {R^3}}}{3} = 36\pi .\)

Hình chiếu vuông góc của \(A\left( {1;4;3} \right)\) lên trục \(Ox\) là \(H\left( {1;0;0} \right) \Rightarrow d\left( {A,Ox} \right) = AH = 5.\)

Vậy \(R = \sqrt {{d^2}\left( {A,Ox} \right) + {{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{5^2} + {{\left( {\frac{6}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {34} .\)

Điểm thuộc \({d_1}\) có hoành độ \(x = 1 \Rightarrow \frac{{1 + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\z =  - 1\end{array} \right..\)

Vậy \(\left( S \right)\) tiếp xúc với \({d_1}\) tại điểm \(A\left( {1;2 - 1} \right)\) do đó tâm mặt cầu \(I\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua điểm

\(A\) và vuông góc với \({d_1}\) và \[\left( P \right):2x - y + z + 1 = 0.\]

Mặt khác \[I \in {d_2} \Rightarrow I = {d_2} \cap \left( P \right):\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z + 1 = 0\\\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;1; - 4} \right) \Rightarrow R = IA = \sqrt {11} .\]

Do đó \[\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 11 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c =  - 4\end{array} \right. \to a + 2b + 3c =  - 8.\]

Mặt cầu có tâm \(I\)là trung điểm đoạn \(AB\) nên \(I\left( {1;2;1} \right)\).

Bán kính của mặt cầu \(R = \frac{{AB}}{2} = 6\).

Suy ra phương trình mặt cầu là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {6^2}\).

Vậy \(P = a + b + c + R = 10\).

\(I\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mặt phẳng \[\left( {{\rm{O}}xy} \right)\] suy ra \(I\left( {1; - 2;0} \right)\).

 Bán kính của mặt cầu \(R = IM = 3\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;1;1} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

Ta có \(P = {x_0} + 2{y_0} + 2{z_0} \Leftrightarrow {x_0} + 2{y_0} + 2{z_0} - P = 0\) suy ra điểm \(M \in \left( \alpha  \right):x + 2y + 2z - P = 0\).

Để tồn tại điểm \(M\)là điểm chung của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) khi và chỉ khi \[d\left( {I,\left( \alpha  \right)} \right) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {6 - P} \right|}}{3} \le 3 \Leftrightarrow \left| {6 - P} \right| \le 9 \Leftrightarrow  - 9 \le 6 - P \le 9 \Leftrightarrow  - 3 \le P \le 15\].

Vậy GTNN của biểu thức \(P\) là \( - 3\). Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \[d\left( {I,\left( \alpha  \right)} \right) = R\] tức là \(M\) là tiếp điểm của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) hay \(M\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(I\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Phương trình đường thẳng \(IM:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\).

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 2t\\x + 2y + 2z + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\x = 1\\y =  - 1\\z =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1; - 1; - 1} \right)\).

Vậy \({x_0} + {y_0} + {z_0} =  - 1.\)