Bài tập Viết phương trình mặt cầu có tâm và đi qua 1 điểm lớp12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm I(1; −4; 3) và đi qua điểm A(5; −3; 2).
(x – 1)2 + (y − 4)2 + (z – 3)2 = 18;
(x – 1)2 + (y − 4)2 + (z – 3)2 = 16;
(x − 1)2 + (y + 4)2 + (z − 3)2 = 16;
(x − 1)2 + (y + 4)2 + (z − 3)2 = 18.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(R = IA = 3\sqrt 2 \).
Phương trình mặt cầu cần tìm là (x – 1)2 + (y + 4)2 + (z – 3)2 = 18.
Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu (S) có tâm A(2; 1; 0) đi qua điểm B(0; 1; 2).
(x + 2)2 + (y + 1)2 + z2 = 8;
(x – 2)2 + (y − 1)2 + z2 = 8;
(x − 2)2 + (y − 1)2 + z2 = 64;
(x + 2)2 + (y + 1)2 + z2 = 64.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(R = AB = 2\sqrt 2 \).
Phương trình mặt cầu cần lập là (x – 2)2 + (y − 1)2 + z2 = 8.
Trong không gian Oxyz cho điểm I(2; 3; 4) và A(1; 2; 3). Phương trình mặt cầu tâm I và đi qua A có phương trình là
(x + 2)2 + (y + 3)2 + (z + 4)2 = 3;
(x + 2)2 + (y + 3)2 + (z + 4)2 = 9;
(x − 2)2 + (y − 3)2 + (z – 4)2 = 45;
(x − 2)2 + (y − 3)2 + (z – 4)2 = 3.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(R = IA = \sqrt 3 \).
Phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; 4) và R = IA = \(\sqrt 3 \) là
(x − 2)2 + (y − 3)2 + (z – 4)2 = 3.
Trong không gian Oxyz cho điểm I(1; 2; −3) và A(1; 0; 4). Phương trình mặt cầu tâm I và đi qua A có phương trình là
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = \(\sqrt {53} \);
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = 53;
(x + 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 53;
(x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 53.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(R = IA = \sqrt {53} \).
Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là: (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = 53.
Mặt cầu (S) tâm I(4; −1; 2) và đi qua A(1; −2; −4) có phương trình là:
(x − 1)2 + (y + 2)2 + (z + 4)2 = 46;
(x − 4)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = \(\sqrt {46} \);
(x − 4)2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = \(\sqrt {46} \);
(x − 4)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 46.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(R = IA = \sqrt {46} \).
Mặt cầu (S) tâm I(4; −1; 2) và đi qua A(1; −2; −4) có phương trình là
(x − 4)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 46.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm I(2; 4; −1) và A(0; 2; 3). Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A là
(x − 2)2 + (y − 4)2 + (z + 1)2 = \(2\sqrt 6 \);
(x + 2)2 + (y + 4)2 + (z − 1)2 = 24;
(x + 2)2 + (y + 4)2 + (z – 1)2 = \(2\sqrt 6 \);
(x − 2)2 + (y − 4)2 + (z + 1)2 = 24.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(R = IA = \sqrt {24} \).
Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x − 2)2 + (y − 4)2 + (z + 1)2 = 24.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(1; −1; 2). Tìm phương trình mặt cầu (S) biết mặt cầu đi qua điểm A(3; 1; 3).
(x − 3)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 9;
(x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 3;
x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0;
x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z + 3 = 0.
Đáp án đúng là: C
Ta có R = IA = 3.
Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 9
x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; −2) và đi qua điểm A(1; 2; 3). Phương trình của mặt cầu là
x2 + y2 + z2 + 4x − 2y + 4z – 18 = 0;
x2 + y2 + z2 – 2x − 4y – 6z – 13 = 0;
x2 + y2 + z2 – 4x − 2y + 4z – 18 = 0;
x2 + y2 + z2 + 2x + 4y + 6z − 13 = 0.
Đáp án đúng là: C
Ta có R = IA = \(\sqrt {27} \).
Phương trình mặt cầu là: (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z + 2)2 = 27
x2 + y2 + z2 – 4x − 2y + 4z – 18 = 0.
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2; −1; 3) và đi qua điểm A(3; −4; 4).
(x + 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 11;
(x − 2)2 + (y + 1)2 + (z − 3)2 = 11;
(x + 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = \(\sqrt {11} \);
(x − 2)2 + (y + 1)2 + (z − 3)2 = \(\sqrt {11} \).
Đáp án đúng là: B
Ta có R = IA = \(\sqrt {11} \).
Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x − 2)2 + (y + 1)2 + (z − 3)2 = 11.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm I(1; −2; 3) và M(0; 1; 5). Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua M là
(x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 14;
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = 14;
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = \(\sqrt {14} \);
(x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = \(\sqrt {14} \).
Đáp án đúng là: A
Ta có R = IM = \(\sqrt {14} \).
Vậy phương trình mặt cầu là (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 14.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(0; 0; -3) và đi qua điểm M(4; 0; 0). Phương trình của (S) là:
x2 + y2 + (z + 3)2 = 25.
x2 + y2 + (z + 3)2 = 5.
x2 + y2 + (z - 3)2 = 25.
x2 + y2 + (z - 3)2 = 5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(0;0;-3) và bán kính R là: x2 + y2 + (z + 3)2 = R2.
Ta có: M (S) => 42 + 02 + (0 + 3)2 = R2 <=> R2 = 25.
Vậy phương trình cần tìm là: x2 + y2 + (z + 3)2 = 25.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm I(1; 1; 1) và A(1; 2; 3). Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là:
(x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 5.
(x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 29.
(x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 5.
(x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 25.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có: R = IA =\(\sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} \)=\(\sqrt 5 \).
Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là: (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 5.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có bán kính R = 3 và đi qua điểm A(3; 0; 0). Biết tâm I của mặt cầu nằm trên trục Ox và có hoành độ dương. Phương trình mặt cầu (S) là:
x2 + y2 + z2 = 9.
(x – 6)2 + y2 + z2 = 9.
(x – 3)2 + y2 + z2 = 9.
(x + 3)2 + y2 + z2 = 9.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Tâm I của mặt cầu nằm trên trục Ox nên I(x0;0;0) với x0 > 0.
Ta có: IA = R <=> \(\sqrt {{{\left( {3 - {x_0}} \right)}^2} + {0^2} + {0^2}} = 3 \Leftrightarrow \left| {3 - {x_0}} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 6\\{x_0} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 6\) (vì x0 > 0). Do đó, tâm I(6; 0; 0).
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (x – 6)2 + y2 + z2 = 9.
Mặt cầu (S) tâm I(3;-3;1) và đi qua điểm A(5; -2; 1) có phương trình:
(x – 3)2 + (y + 3)2 + (z – 1)2 = 5.
(x – 5)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 5.
(x – 3)2 + (y + 3)2 + (z – 1)2 =\(\sqrt 5 \).
(x – 5)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 =\(\sqrt 5 \) .
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: IA = R <=> \(\sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 5 \). Do đó R = \(\sqrt 5 \).
Vậy phương trình mặt cầu (S) là (x – 3)2 + (y + 3)2 + (z – 1)2 = 5.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I(2; 1; -3) đi qua điểm B(2; 1; 0) có phương trình khai triển là:
x2 + y2 + z2 + 4x + 2y - 6z + 5 = 0.
x2 + y2 + z2 – 2x –y + 3z + 5 = 0.
x2 + y2 + z2 – 4x – 2y + 6z + 14 = 0.
x2 + y2 + z2 – 4x – 2y + 6z + 5 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: IB = R <=> \(\sqrt {{0^2} + {0^2} + {3^2}} = 3\).
d = a2 + b2 + c2 – R2 = 22 + 12 + (-3)2 – 32 = 5.
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x2 + y2 + z2 – 4x – 2y + 6z + 5 = 0.
Cho hai điểm A(0; 2; 0) và B(2; -4; 0).
Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ là (1;-1;0).
AB = 40.
Mặt cầu (S) có tâm A và đi qua điểm B có bán kính R = \(\sqrt {10} \).
Phương trình mặt cầu (S) có tâm A và đi qua B là: (x – 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 10.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Ta có: \(I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_B} + {z_C}}}{2}} \right) = \left( {\frac{{0 + 2}}{2};\frac{{2 + \left( { - 4} \right)}}{2};\frac{{0 + 0}}{2}} \right) = \left( {1; - 1;0} \right)\)
b) Sai. Ta có: \(AB = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {0^2}} = \sqrt {40} = 2\sqrt {10} \).
c) Sai. Ta có: AB = R = \(2\sqrt {10} \).
d) Sai. Phương trình mặt cầu (S) có tâm A(0; 2; 0) và R = \(2\sqrt {10} \) là: x2 + (y – 2)2 + z2 = 40.
Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) đi qua điểm A(3; -4; 0) và có bán kính R = 13. Biết tâm I của mặt cầu nằm trên trục Oz.
Tọa độ tâm I có dạng (0; z0; 0).
Cao độ của tâm I thỏa mãn phương trình: 32 + (-4)2 + \(z_0^2\)= 132.
Có hai mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán với các tâm I1(0; 0; 12) và I2(0; 0; -12).
Phương trình khai triển của một mặt cầu thỏa mãn là x2 + y2 + z2 – 24z – 25 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Vì I Oz nên I(0; 0; z0).
b) Đúng. Ta có: R2 = IA2 <=> 132 = 9 + 16 + \(z_0^2\) <=> 25 + \(z_0^2\) = 169.
c) Đúng. Ta có: \(z_0^2\) = 144 => z0 = ±12. Vậy I1(0; 0; 12) và I2(0; 0; -12).
d) Đúng. Với I(0; 0; 12), phương trình mặt cầu là x2 + y2 + (z – 12)2 = 169
<=> x2 + y2 + z2 – 24z + 144 = 169 <=> x2 + y2 + z2 – 24z – 25 = 0.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) đi qua D(1; 0; 1), bán kính R = \(\sqrt 2 \). Biết tâm I nằm trên mặt phẳng (Oyz) và có tung độ bằng cao độ.
Tâm I có tọa độ dạng (0; b; b).
Phương trình tìm b là (1 – 0)2 + (0 – b)2 + (1+ b)2 = 2.
Có 2 tâm I thỏa mãn yêu cầu là I1(0; 0; 0) và I2(0; 1; 1).
Phương trình của mặt cầu ứng với tâm I2 là: x2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 2
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Do I => (Oyz) nên x = 0 và y = z. Do đó I(0; b; b).
b) Sai. Ta có: R2 = ID2 => (0 – 1)2 + (b – 0)2 + (b – 1)2 = 2.
c) Đúng. Ta có: 1 + b2 + b2 – 2b + 1 = 2 <=> 2b2 – 2b = 0 <=> b = 0, b = 1.
Do đó I1(0; 0; 0) và I2(0; 1; 1).
d) Đúng. Với tâm I2(0; 1; 1) và R = \(\sqrt 2 \), ta có phương trình
x2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 2.
Cho điểm E(1; 2; 3) và mặt cầu (S) có bán kính R = \(\sqrt {14} \). Biết tâm I của mặt cầu thuộc trục Oy.
Tâm I có tọa độ (0; y0;0 ).
Hoành độ và tung độ của tâm I đều bằng 0.
Phương trình xác định tung độ là 12 + (y0 – 2)2 + 32 = 14.
Mặt cầu duy nhất có phương trình: x2 + (y – 2)2 + z2 = 14.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Vì I => Oy nên I(0; y0; 0).
b) Sai. Vì I => Oy nên xI = zI = 0. Do đó hoành độ vào cao độ của tâm I đều bằng 0.
c) Đúng. Ta có: R2 = IE2 => (0 – 1)2 + (y0 – 2)2 + (0 – 3)2 = 14 <=> 1 + (y0 – 2)2 + 9 = 14
d) Sai. Từ c, ta có: (y0 – 2)2 = 4 => \(\left[ \begin{array}{l}{y_0} - 2 = 2\\{y_0} - 2 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_0} = 4\\{y_0} = 0\end{array} \right.\)
Với I(0; 0; 0), phương trình là x2 + y2 + z2 = 14
Với I(0; 4; 0), phương trình là: x2 + (y – 4)2 + z2 = 14.
Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có bán kính R = 5, đi qua gốc tọa độ O và có tâm I nằm trên mặt phẳng (Oxz) sao cho hoành độ bằng 4.
Tung độ của tâm I bằng 0.
Cao độ của tâm I thỏa mãn 42 + \(z_0^2\)= 25.
Hai tâm thỏa mãn là I1(4; 0; 3) và I2(4; 0; -3).
Phương trình khai triển của một mặt cầu là x2 + y2 + z2 - 8x + 6z =0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Vì I (Oxz) => y = 0. Do đó tung độ của tâm I bằng 0.
b) Đúng. Ta có: I(4; 0; z0)
R2 = IO2 => (4 – 0)2 + 02 + (z0 – 0)2 = 52.
c) Đúng. Từ b, ta có: 16 + \(z_0^2\) = 25 => \(z_0^2\) = 9 => z0 = ±3.
d) Sai. Với tâm I(4;0;3), R = 5, ta được phương trình: x2 + y2 + z2 – 8x – 6z = 0.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;1). Mặt cầu (S) đi qua A, có bán kính R =\(\sqrt 6 \) và tâm I là điểm đối xứng của A qua trục Oz. Tính giá trị của T = a + 2b + 4c – k, biết phương trình mặt cầu có dạng (x + a)2 + (y + b)2 + (z – c)2 = k.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3.
Tâm I là điểm đối xứng của A qua trục Oz. Do đó, I(-1;-2;1).
Phương trình mặt cầu (S) là: (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 6.
=> a = 1, b = 2, c = 1, k = 6 => T = a + 2b + 4c – k = 1 + 2×2 + 4×1 – 6 = 3.
Mặt cầu (S) có phương trình khai triển x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz = 0. Biết mặt cầu đi qua điểm A(4; 4; 2) và có tâm I thuộc đường thẳng x = y = z. Tìm giá trị T = a + b + c.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 5,4.
Từ phương trình x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz = 0.
Suy ra I(a; b; c) và R2 = a2 + b2 + c2.
Vì I thuộc đường thẳng x = y = z nên a = b = c = t. Khi đó I(t; t; t).
Mặt cầu đi qua A(4; 4; 2) nên R2 = IA2 <=> t2 + t2 + t2 = (4 – t)2 + (4 – t)2 + (2 – t)2
<=> 3t2 = 3t2 – 20t + 36 <=>-20t + 36 = 0 <=> t =\(\frac{9}{5}\).
Vậy T = a + b + c = 3t = 3×\(\frac{9}{5} = \frac{{27}}{5} = 5,4\).
Mặt cầu (S) đi qua M(2; 4; 2), tâm I nằm trên trục Oy và R =\(\sqrt {12} \). Phương trình có dạng (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = k. Tính giá trị T =\(\frac{k}{b}\), biết (b > 5).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2.
Tâm I nằm trên truc Oy => I(0; b; 0).
Mặt cầu (S) đi qua M nên IM2 = R2 Û 22 + (4 – b)2 + 22 = 12
<=> (4 – b)2 = 4 =>\(\left[ \begin{array}{l}4 - b = 2\\4 - b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 2\\b = 6\end{array} \right.\) => b = 6 (vì b > 5).
Do đó, b = 6, k = 12 => T =\(\frac{k}{b} = \frac{{12}}{6} = 2\).
Mặt cầu (S) đi qua điểm M(1; 2; 1), tâm I là hình chiếu của M lên trục Oy. Phương trình có dạng (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = k. Tính giá trị T =\(\frac{{a - 2b}}{k}\)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: -2.
I là hình chiếu của M lên trục Oy Þ I(0; 2; 0).
Ta có: R2 = IM2 = (1 – 0)2 + (2 – 2)2 + (1 – 0)2 = 2.
=> a = 0, b = 2, k = 2 => T =\(\frac{{a - 2b}}{k} = \frac{{0 - 2 \cdot 2}}{2} = - 2\).
Mặt cầu (S) đi qua A(1;2;1) và có tâm I là hình chiếu vuông góc của điểm A lên trục Oz. Phương trình mặt cầu có dạng (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = k. Tính giá trị T = a + b + c - k.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: -4.
Tâm I là hình chiếu vuông góc của điểm A lên trục Oz => I(0;0;1).
Ta có: R2 = IA2 = 12 + 22 + 02 = 5.
=> a = 0, b = 0, c = 1, k = 5 => T = a + b + c - k = 0 + 0 + 1 – 5 =-4
Bạn có thích hoạt động này không?
