Bài tập Viết phương trình mặt cầu có đường kính cho trước lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt cầu có đường kính AB với A(2; 1; 0) và B(0; 1; 2) là
(x – 1)2 + (y − 1)2 + (z – 1)2 = 4;
(x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 2;
(x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 4;
(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 2.
Đáp án đúng là: D
Ta có tọa độ tâm I(1; 1; 1) và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt 2 \).
Do đó phương trình mặt cầu cần lập là: (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; 7), B(−3; 8; −1). Mặt cầu đường kính AB có phương trình là
(x + 1)2 + (y − 3)2 + (z – 3)2 = \(\sqrt {45} \);
(x − 1)2 + (y + 3)2 + (z + 3)2 = 45;
(x − 1)2 + (y − 3)2 + (z + 3)2 = \(\sqrt {45} \);
(x + 1)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = 45.
Đáp án đúng là: D
Gọi I là trung điểm AB ta có I(−1; 3; 3) là tâm mặt cầu.
Bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {45} \).
Phương trình mặt cầu cần tìm là (x + 1)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = 45.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 1; 1) và B(1; −1; 3). Phương trình mặt cầu có đường kính AB là
(x − 1)2 + y2 + (z – 2)2 = 8;
(x − 1)2 + y2 + (z − 2)2 = 2;
(x + 1)2 + y2 + (z + 2)2 = 2;
(x + 1)2 + y2 + (z + 2)2 = 8.
Đáp án đúng là: B
Gọi I là tâm của mặt cầu đường kính AB. Khi đó I(1; 0; 2).
Bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 \).
Vậy phương trình mặt cầu là (x − 1)2 + y2 + (z − 2)2 = 2.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 4; 1), B(−2; 2; −3). Phương trình mặt cầu đường kính AB là
x2 + (y − 3)2 + (z – 1)2 = 36;
x2 + (y + 3)2 + (z − 1)2 = 9;
x2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 9;
x2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 36.
Đáp án đúng là: C
Tâm của mặt cầu là trung điểm I của AB I(0; 3; −1).
Bán kính \(R = IA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} = 3\).
Mặt cầu đã cho có tâm I, đường kính AB có phương trình x2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 9.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −1; −3), B(0; 3; −1). Phương trình của mặt cầu đường kính AB là:
(x + 1)2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 6;
(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = 24;
(x + 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 24;
(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = 6.
Đáp án đúng là: D
Tâm I(1; 1; −2) là trung điểm của AB, bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt {4 + 16 + 4} = \frac{1}{2}\sqrt {24} \)
Phương trình mặt cầu cần lập là (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = 6.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(7; −2; 2) và B(1; 2; 4). Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đường kính AB?
(x − 4)2 + y2 + (z – 3)2 = 14;
(x − 4)2 + y2 + (z − 3)2 = \(2\sqrt {14} \);
(x − 7)2 + (y + 2)2 + (z − 2)2 = 14;
(x − 4)2 + y2 + (z − 3)2 = 56.
Đáp án đúng là: A
Mặt cầu nhận AB làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm I(4; 0; 3) của AB làm tâm và có bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {56} }}{2}\).
Phương trình mặt cầu cần tìm là (x − 4)2 + y2 + (z − 3)2 = 14.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(3; −2; 5), N(−1; 6; −3). Mặt cầu đường kính MN có phương trình là:
(x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 6;
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 6;
(x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 36;
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 36.
Đáp án đúng là: D
Tâm I của mặt cầu là trung điểm của MN I(1; 2; 1).
Bán kính mặt cầu \(R = \frac{{MN}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {6 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 5} \right)}^2}} }}{2} = 6\).
Vậy phương trình mặt cầu là (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 36.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(6; 2; −5), N(−4; 0; 7). Viết phương trình mặt cầu đường kính MN.
(x + 5)2 + (y + 1)2 + (z − 6)2 = 62;
(x − 5)2 + (y − 1)2 + (z + 6)2 = 62;
(x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 62;
(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 62.
Đáp án đúng là: D
Mặt cầu có tâm là trung điểm của MN \( \Rightarrow I\left( {1;1;1} \right)\).
Bán kính mặt cầu R = IM = \(\sqrt {62} \).
Phương trình mặt cầu là (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 62.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−2; 1; 0), B(2; −1; 2). Phương trình của mặt cầu có đường kính AB là
x2 + y2 + (z − 1)2 = 24;
x2 + y2 + (z − 1)2 = \(\sqrt 6 \);
x2 + y2 + (z − 1)2 = 6;
x2 + y2 + (z − 1)2 = \(\sqrt {24} \).
Đáp án đúng là: C
Mặt cầu đường kính AB có tâm I(0; 0; 1) là trung điểm của AB và mặt cầu có bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }}{2} = \sqrt 6 \).
Vậy phương trình mặt cầu là x2 + y2 + (z − 1)2 = 6.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0; 3; −1). Mặt cầu (S) có đường kính AB có phương trình là
x2 + (y − 2)2 + z2 = 3;
(x − 1)2 + (y − 2)2 + z2 = 3;
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 9;
(x − 1)2 + (y − 2)2 + z2 = 9.
Đáp án đúng là: B
Tâm I là trung điểm AB I(1; 2; 0) và bán kính \(R = IA = \sqrt 3 \).
Phương trình mặt cầu: (x − 1)2 + (y − 2)2 + z2 = 3.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(5; 2; 1), B(1; -4; 3). Mặt cầu đường kính AB có phương trình là:
(x - 3)2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 =\(\sqrt {14} \).
(x + 3)2 + (y - 1)2 + (z + 2)2 = 14.
(x - 3)2 + (y – 1)2 + (z - 2)2 =\(\sqrt {14} \).
(x - 3)2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 14.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Gọi I là trung điểm AB, ta có: I(3; -1; 2) là tâm mặt cầu.
Bán kính R2 = IA2 = (5 – 3)2 + (2 + 1)2 + (1 – 2)2 = 14
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là (x - 3)2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 14.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3; -1; 4) và B(1; -5; 2). Phương trình mặt cầu có đường kính AB là:
(x – 2)2 + (y - 3)2 + (z – 3)2 = 6.
(x – 2)2 + (y + 3)2 + (z – 3)2 = 6.
(x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 14.
(x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 56.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Gọi I là tâm của mặt cầu đường kính AB
Khi đó I(2; -3; 3).
Bán kính của mặt cầu: R2 = IA2 = (3 – 2)2 + (-1 + 3)2 + (4 – 3)2 = 6.
Vậy phương tình mặt cầu là: (x – 2)2 + (y + 3)2 + (z – 3)2 = 6.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-5; 7; -4); B(-1; 11; -8). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:
(x + 3)2 + (y – 9)2 + (z + 6)2 =\(\sqrt {12} \).
(x - 3)2 + (y + 9)2 + (z - 6)2 =\(\sqrt {12} \).
(x + 3)2 + (y – 9)2 + (z + 6)2 = 12.
(x - 5)2 + (y – 7)2 + (z + 4)2 = 12.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Gọi I là trung điểm của AB => I(-3; 9; -6).
Bán kính R2 = IA2 = (-2)2 + (-2)2 + 22 = 12.
Phương trình cần tìm là: (x + 3)2 + (y – 9)2 + (z + 6)2 = 12.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3), B(5; 4; -1). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:
(x – 3)2 + (y - 3)2 + (z – 1)2 = 9.
(x – 3)2 + (y - 3)2 + (z – 1)2 = 6.
(x + 3)2 + (y + 3)2 + (z + 1)2 = 9.
(x – 3)2 + (y - 3)2 + (z – 1)2 = 36.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Gọi I là trung điểm AB => I(3; 3; 1).
Bán kính R = \(\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {16 + 4 + 16} = 3\).
Vậy phương trình cần tìm là: (x – 3)2 + (y - 3)2 + (z – 1)2 = 9.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3;2;1) và B(1;4;-1). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:
(x – 1)2 + (y + 3)2 + z2 = 24.
(x + 1)2 + (y - 3)2 + z2 = 24.
(x – 1)2 + (y + 3)2 + z2 = 6.
(x + 1)2 + (y - 3)2 + z2 = 6.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Trung điểm I của AB có tọa độ I(-1;3;0).
Bán kính R = IA = \(\sqrt {{{\left( { - 3 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}} = \sqrt 6 \).
Vậy phương trình cần tìm là: (x + 1)2 + (y - 3)2 + z2 = 6.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; -5), B(-3; 0; 1).
Trung điểm của AB là I(-1;1;2).
Phương trình mặt cầu, nhận AB làm đường kính là (x + 1)2 + (y – 1)2 + (z + 2)2 = 14.
Phương trình mặt của tâm A đi qua điểm B là x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 10z – 14 = 0.
Mặt cầu (S) có tâm thuộc Ox và đi qua 2 điểm A, B có bán kính bằng \(5\sqrt 5 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Sai. Ta có trung điểm I của AB có tọa độ là I(-1;1;-2).
b) Đúng. Mặt cầu nhận AB là đường kính nên nhận I là tâm mặt cầu.
Bán kính R = IA = \(\sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 5} \right)}^2}} = \sqrt {14} \)
Phương trình mặt cầu là: (x + 1)2 + (y – 1)2 + (z + 2)2 = 14.
c) Sai. Phương trình mặt cầu có tâm là A, đi qua B nên có bán kính
R = AB =\(\sqrt {{{\left( {1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 1} \right)}^2}} = 2\sqrt {14} \).
Do đó phương trình mặt cầu là x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 10z – 26 = 0.
d) Sai. Phương trình mặt cầu (S) có dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.
Gọi J là tâm mặt cầu S, vì J Ox => J(a;0;0) Þ b = c = 0.
Do đó phương trình mặt cầu có dạng x2 + y2 + z2 – 2ax + d = 0.
Vì A(1;2;-5) thuộc mặt cầu (S) nên ta thay vào được: -2a + d =-30.
Vì B(-3;0;1) thuộc mặt cầu (S) nên ta thay vào được: 6a + d =-10.
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 2a + d = - 30\\6a + d = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{5}{2}\\d = - 25\end{array} \right.\).
\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} - \left( { - 25} \right)} = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}\).
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 2), B(3; 2; -3). Mặt cầu (S) có tâm I thuộc Ox và đi qua hai điểm A, B.
Phương trình mặt cầu tâm A, bán kính R = 2 là (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 4.
Phương trình mặt cầu tâm A, đi qua B là (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 30.
Phương trình mặt cầu đường kính AB là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{15}}{4}\).
Mặt cầu (S) có bán kính bằng 4.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Phương trình mặt cầu tâm A, bán kính R = 2 là
(x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 4.
b) Đúng. Ta có: R2 = AB2 = (3 – 1)2 + (2 – 1)2 + (-3 – 2)2 = 30.
Phương trình mặt cầu tâm A, đi qua B là (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 30.
c) Sai. Tâm của mặt cầu là trung điểm M của AB =>\(M\left( {2;\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\).
Ta có: R2 = MA2 =\({\left( {1 - 2} \right)^2} + {\left( {1 - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {2 + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{15}}{2}\).
Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{15}}{2}\).
d) Sai. Vì I Ox => I(a;0;0).
Do (S) đi qua hai điểm A, B nên IA = IB
<=>\(\sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + 5} = \sqrt {{{\left( {3 - a} \right)}^2} + 13} \Leftrightarrow 4a = 16 \Leftrightarrow a = 4\).
Do đó, (S) có tâm I(4;0;0), bán kính R = IA =\(\sqrt {14} \).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(0; -1; 1) và N(4; 1; 5).
Mặt cầu đường kính MN có tâm là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Nếu I là trung điểm của MN thì I(2; 0; 6).
Bán kính của mặt cầu đường kính MN bằng 3.
Phương trình mặt cầu đường kính MN là: (x – 2)2 + y2 + (z – 3)2 = 9.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Mặt cầu đường kính MN có tâm là trung điểm của đoạn thẳng MN.
b) Sai. I là trung điểm của MN thì I(2; 0; 3).
c) Đúng. Ta có: R =\(\frac{1}{2}MN = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {5 - 1} \right)}^2}} = 3\).
Vậy bán kính của mặt cầu đường kính MN bằng 3.
d) Đúng. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;3), R = 3 là: (x – 2)2 + y2 + (z – 3)2 = 9.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 3; -1) và B(0; 2; 0).
Mặt cầu tâm A và đi qua B có phương trình là (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 6.
Mặt cầu đường kính AB có phương trình là x2 + y2 + z2 – 2x – 5y + z – 6 = 0.
Tập hợp tất cả điểm M trong không gian thỏa \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 4\) là một mặt cầu có tâm \(I\left( {1;\frac{5}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\).
Tập hợp tất cả điểm M thỏa \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = m\) là một mặt cầu <=>\(m > - \frac{{15}}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Ta có: R = AB =\(\sqrt 6 \).
Mặt cầu cần tìm có phương trình (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 6.
b) Sai. Tâm mặt cầu là trung điểm M của AB Þ\(M\left( {1;\frac{5}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\).
Bán kính R =\(\frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)
Phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - \frac{5}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{2}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 5y + z + 6 = 0\)
c) Đúng. Gọi M(x; y; z).
Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \left( {2 - x;\,\,3 - y;\,\, - 1 - z} \right)\)
\(\overrightarrow {MB} = \left( { - x;\,\,2 - y;\,\, - z} \right)\)
\(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 4 \Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( { - x} \right) + \left( {3 - y} \right)\left( {2 - y} \right) + \left( { - 1 - z} \right)\left( { - z} \right) = 4\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 5y + z + 2 = 0\) (1)
Phương trình (1) là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {1;\frac{5}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\).
d) Sai. Gọi M(x; y; z).
Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \left( {2 - x;\,\,3 - y;\,\, - 1 - z} \right)\)
\(\overrightarrow {MB} = \left( { - x;\,\,2 - y;\,\, - z} \right)\)
\(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = m \Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( { - x} \right) + \left( {3 - y} \right)\left( {2 - y} \right) + \left( { - 1 - z} \right)\left( { - z} \right) = m\)
<=> x2 + y2 + z2 – 2x – 5y + z + 6 – m = 0 (1)
(1) là phương trình mặt cầu Û\({1^2} + {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} - 6 + m > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{3}{2}\).
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; -2) và đi qua điểm A(3; 1; -4).
Bán kính của mặt cầu là độ dài đoạn IA.
Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 2; - 1;2} \right)\).
Phương trình của mặt cầu (S) là 2x2 + 2y2 + 2z2 – 4x + 8z – 8 = 0.
Đoạn thẳng AB là đường kính của mặt cầu (S) khi và chỉ khi B(-1; -1; 0).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Bán kính của mặt cầu là độ dài đoạn IA.
b) Sai. Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {IA} = \left( {3 - 1;1 - 0; - 4 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {2;1; - 2} \right)\).
c) Đúng. Bán kính của mặt cầu là \(R = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3\).
Suy ra phương trình mặt cầu là: x2 + y2 + z2 – 2x + 4z – 4 = 0
<=> 2x2 + 2y2 + 2z2 – 4x + 8z – 8 = 0.
d) Đúng. Ta có AB là đường kính của mặt cầu, do đó I là trung điểm của AB. Khi đó:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2{x_I} - {x_A} = - 1\\{y_B} = 2{y_I} - {y_A} = - 1\\{z_B} = 2{z_I} - {z_A} = 0\end{array} \right.\). Do đó, B(-1; -1; 0).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {\frac{1}{2}; - 1;1} \right),B\left( {2;0;\frac{3}{2}} \right)\). Phương trình của mặt cầu (S) có đường kính AB có dạng x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0. Biết giá trị của biểu thức P = a + b + c + d là phân số \(\frac{m}{n}\) tối giản, (m, n ℤ). Tính m + n.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 11.
Tâm mặt cầu là trung điểm I của AB => \(I\left( {\frac{5}{4}; - \frac{1}{2};\frac{5}{4}} \right)\).
Ta có: R =\(\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {2 - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {0 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2} - 1} \right)}^2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {\frac{7}{2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{4}\) .
d = a2 + b2 + c2 – R2 =\({\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} - {\left( {\frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)^2} = \frac{5}{2}\).
Do đó, phương trình cần tìm là: x2 + y2 + z2 – 2×\(\frac{5}{4}\)x – 2×\( - \frac{1}{2}\)y – 2×\(\frac{5}{4}\)z + \(\frac{5}{2}\)= 0.
=> a =\(\frac{5}{4}\), b =\( - \frac{1}{2}\), c =\(\frac{5}{4}\); d =\(\frac{5}{2}\) => P = a + b + c + d =\(\frac{5}{4} + \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \frac{5}{4} + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}\).
Vậy m = 9, n = 2 => m + n = 9 + 2 = 11.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có đường kính AB với A(-1; 2; -1) và B(1; 1; -2) có phương trình (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = k. Tính a + b + c + k.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1,5.
Tâm mặt cầu là trung điểm I của AB =>\(I\left( {0;\frac{3}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).
Ta có: \(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
Phương trình (S) là: \({\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + \)\({\left( {z - \left( { - \frac{3}{2}} \right)} \right)^2}\) = \(\frac{3}{2}\).
Do đó, a = 0, b = \(\frac{3}{2}\), c = \( - \frac{3}{2}\), k = \(\frac{3}{2}\) => a + b + c + k = \(0 + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = 1,5\).
Cho đường thẳng d là trục Ox. Điểm A(0; 6; 8). Gọi H là điểm thuộc trục Ox sao cho độ dài đoạn thẳng AH ngắn nhất. Mặt cầu (S) nhận đoạn AH làm đường kính có phương trình dạng (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = k. Tính giá trị của T = \(\sqrt k - c\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1.
AH ngắn nhất khi H là hình chiếu của A lên Ox => H(0;0;0).
Tâm I là trung điểm AH => I(0; 3; 4).
Bán kính R = \(\frac{{AH}}{2} = \frac{{\sqrt {{0^2} + {6^2} + {8^2}} }}{2} = 5\).
Phương trình: x2 + (y – 3)2 + (z – 4)2 = 25 => c = 4, k = 25 => T = \(\sqrt k - c\)= \(\sqrt {25} - 4 = 5 - 4 = 1\).
Cho điểm A(1; 2; 3). Gọi A' là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (Oxy). Mặt cầu (S) nhận đoạn thẳng AA' làm đường kính có phương trình dạng (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = k. Tính giá trị của T = a + b + c + k.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 12.
A' là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (Oxy) => A'(1; 2; -3).
Tâm I là trung điểm AA' => I(1; 2; 0).
Bán kính R = IA = 3.
Phương trình là: (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 9.
Do đó, a = 1, b = 2, c = 0, k = 9 Þ T = a + b + c + k = 1 + 2 + 0 + 9 = 12.
Mặt cầu (S) có tâm I nằm trên trục Oy, đi qua điểm A(1;2;1) và nhận đoạn thẳng AB làm đường kính. Biết điểm B nằm trên mặt phẳng (Oxz). Phương trình mặt cầu có dạng (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = k. Tính giá trị T = b×k.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3.
Vì I Oy => I(0; y; 0).
Vì I là trung điểm AB nên yI = \(\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\). Do B (Oxz) => yB = 0 suy ra yI = \(\frac{{2 + 0}}{2} = 1\). Do đó I(0;1;0).
Bán kính R2 = IA2 = (1 – 0)2 + (2 – 1)2 + (1 – 0)2 = 3
Phương trình là x2 + (y – 1)2 + z2 = 3.
=> b = 1, k = 3 =>T = b×k = 1×3 = 3.
Bạn có thích hoạt động này không?
