Bài tập Viết phương trình mặt phẳng lớp 12 (có lời giải)
21 câu hỏi
a) Mặt phẳng \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (3; - 5;7)\). \((Q)\) có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n^\prime } = (1;1;0)\).
b) Thay toạ độ điểm \(A\) vào phương trình của \((P)\), ta được:\(3.1 - 5.3 + 7.1 + 5 = 0.{\rm{ }}\)Vậy \(A\) thuộc \((P)\).
Thay toạ độ điểm \(B\) vào phương trình \((P)\), ta được:\(3.1 - 5.2 + 7.3 + 5 = 19 \ne 0.\)Vậy \(B\) không thuộc \((P)\).
Vì \((P)\) đi qua điểm \(M(1;2;3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (1;2;1)\) nên phương trình của \((P)\) là
\(1(x - 1) + 2(y - 2) + 1(z - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + z - 8 = 0.\)
\((P)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec a = (1;2;1),\vec b = (2;1;3)\), suy ra \((P)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = [\vec a,\vec b] = (2.3 - 1.1;1.2 - 1.3;1.1 - 2.2) = (5; - 1; - 3)\).
Phương trình của \((P)\) là: \(5(x - 4) - 1(y - 0) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 5x - y - 3z - 17 = 0.\)
\((P)\) đi qua ba điểm \(A(1;1;1),B(1;2;2),C(4;1;0)\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = (0;1;1),\overrightarrow {AC} = (3;0; - 1)\), suy ra \((P)\) có vectơ pháp tuyến là: \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 1;3; - 3){\rm{. }}\)
Phương trình của \((P)\) là \( - 1(x - 1) + 3(y - 1) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 3z - 1 = 0.\)
\((P)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = ( - a;b;0)\), \(\overrightarrow {AC} = ( - a;0;c)\), do đó \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (bc;ac\); \(ab)\). Suy ra \((P)\) có phương trình:
\(bc(x - a) + ac(y - 0) + ab(z - 0) = 0\)\({\rm{ hay }}bcx + acy + abz - abc = 0.{\rm{ }}\)
a) Mặt phẳng \((\alpha )\) nhận \(\vec n = (1;2; - 1)\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Do \(\vec m = 2\vec n\) mà \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\) nên \(\vec m\) cũng là vecơ pháp tuyến của \((\alpha )\).
c) Ta cần kiểm tra xem trong hai điểm \(A(1;3;2),B(1;1;4)\), điểm nào có toạ độ thoả mãn phương trình mặt phẳng \((\alpha )\).
Do \(1 + 2 \cdot 3 - 2 + 1 \ne 0\) và \(1 + 2 \cdot 1 - 4 + 1 = 0\) nên trong hai điểm A, B chỉ có toạ độ điểm \(B\) thoả mãn phương trình mặt phẳng \((\alpha )\). Vậy điểm \(B\) thuộc mặt phẳng \((\alpha )\), điểm \(A\) không thuộc mặt phẳng \((\alpha )\).
a) Một vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\) là \(\vec n = (2;3; - 1)\).
b) Thay lần lượt toạ độ của các điểm \(A\) và \(B\) vào vế trái của phương trình ( \(\alpha \) ), ta có:
- \(2.1 + 3.3 - 2 + 2 = 11 \ne 0\), nên toạ độ điểm \(A\) không thoả mãn phương trình của \((\alpha )\). Vậy \(A\) không thuộc \((\alpha )\).
\( \cdot 2.4 + 3.( - 1) - 7 + 2 = 0\), nên toạ độ điểm \(B\) thoả mãn phương trình của \((\alpha )\). Vậy \(B\) thuộc \((\alpha )\).
a) \(2x + y - z - 4 = 0\);
b) \(2x - 7y + 4z = 0\);
c) \(4x + 2y + z - 4 = 0\).
Phương trình mặt phẳng \((P)\) là: \(3 \cdot (x - 1) + 2 \cdot (y - 2) + 1 \cdot (z - 7) = 0 \Leftrightarrow {\rm{ }}3x + 2y + z - 14 = 0.\)
Câu 5 Cho hai điểm \(M(2;1;0)\), \(N(0;3;0)\). Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 21 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Xét vectơ \(\vec n = [\vec u,\vec v] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\3&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\{ - 1}&3\end{array}} \right|} \right)\), tức là \(\vec n = (5; - 3;7)\). Khi đó, \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\).
Vậy mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình là: \(5 \cdot (x + 3) + ( - 3) \cdot (y - 1) + 7 \cdot (z - 0) = 0 \Leftrightarrow 5x - 3y + 7z + 18 = 0.\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (0;1; - 1),\overrightarrow {AC} = ( - 1;1;0)\).
Xét vectơ \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right)\), tức là \(\vec n = (1;1;1)\).
Khi đó, \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\).
Vậy mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình là: \(1 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (y - 0) + 1 \cdot (z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 3 = 0.\)
a) Phương trình mặt phẳng \((P)\) là: \(4 \cdot (x + 2) + ( - 1) \cdot (y - 3) + 5 \cdot (z - 0) = 0 \Leftrightarrow 4x - y + 5z + 11 = 0\).
b) Phương trình mặt phẳng \((P)\) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 3x + 2y + 6z - 6 = 0.\)
a) Mặt phẳng \((ABC)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = ( - 4;5; - 1),\overrightarrow {AC} = (0; - 1;1)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (4;4;4)\).
Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là: \(4(x - 4) + 4(y - 0) + 4(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 6 = 0.\)
Mặt phẳng \((ABD)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = ( - 4;5; - 1),\overrightarrow {AD} = ( - 1; - 1;3)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ] = (14;13;9)\).
Phương trình mặt phẳng \((ABD)\)là: \(14(x - 4) + 13(y - 0) + 9(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 14x + 13y + 9z - 74 = 0.\)
b) Phương trình mặt phẳng \((P)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AD} = ( - 1; - 1;3)\), \(\overrightarrow {BC} = (4; - 6;2)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = [\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} ] = (16;14;10)\).
Phương trình mặt phẳng \((P)\) là: \(16(x - 0) + 14(y - 5) + 10(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 8x + 7y + 5z - 40 = 0.\)
a) Phương trình của mặt phẳng \((P)\) là: \(3 \cdot (x - 2) - 4 \cdot (y - 1) + 5 \cdot (z + 4) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 5z + 18 = 0.{\rm{ }}\)
b) Ta có:\([\vec a,\vec b] = ( - 7;3;6)\) là một vectơ pháp tuyến của \((P)\). Phương trình của \((P)\) là: \(( - 7) \cdot (x - 5) + 3 \cdot (y + 2) + 6 \cdot (z - 1) = 0 \Leftrightarrow - 7x + 3y + 6z + 35 = 0\).
c) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (2; - 8; - 3),\overrightarrow {AC} = (1; - 7; - 8)\).
Khi đó, \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (43;13; - 6)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\). Vậy mặt phẳng \((P)\) có phương trình là: \({\rm{ 43}}{\rm{. }}(x - 0) + 13 \cdot (y - 3) - 6 \cdot (z - 7) = 0 \Leftrightarrow 43x + 13y - 6z + 3 = 0.{\rm{ }}\)
Phương trình mặt phẳng đó là: \(\frac{x}{5} + \frac{y}{7} + \frac{z}{9} = 1 \Leftrightarrow 63x + 45y + 35z - 315 = 0\).
Ta có: \(\overrightarrow {BC} = ( - 1; - 1;2)\) là một vectơ pháp tuyến của \((P)\). Vậy phương trình \((P)\) là:
\(( - 1) \cdot (x - 3) - 1 \cdot (y + 4) + 2 \cdot (z - 2) = 0 \Leftrightarrow - x - y + 2z - 5 = 0\)
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ \(ABC.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) với \(A(1;2;3),B(4;3;5)\), \(C(2;3;2),{A^\prime }(1;1;1)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }C} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)\) nhận \(\overrightarrow {AB} = (3;1;2),\overrightarrow {AC} = (1;1; - 1)\) làm cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là: \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 3;5;2){\rm{. }}\)
Mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }C} \right)\) đi qua \({A^\prime }(1;1;1)\) và nhận \(\vec n = ( - 3;5;2)\) làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
\( - 3(x - 1) + 5(y - 1) + 2(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x - 5y - 2z + 4 = 0.\)
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} = (1;1;2),\overrightarrow {AC} = (1;0;5)\) không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Mặt phẳng (A B C) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = (1;1;2),\overrightarrow {AC} = (1;0;5)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (5; - 3; - 1)\).
Mặt phẳng \((ABC)\) đi qua \(A(2;1; - 1)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (5; - 3; - 1)\) nên có phương trình:
\(5(x - 2) - 3(y - 1) - 1(z + 1) = 0 \Leftrightarrow 5x - 3y - z - 8 = 0.\)
Gọi mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng \(({\rm{P}})\).
Vì mặt phẳng \(({\rm{P}})\) vuông góc với trục Ox nên nhận \(\vec i = (1;0;0)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) đi qua điểm \({\rm{M}}(1;2; - 1)\) và nhận \(\vec i = (1;0;0)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(x - 1 = 0\).
a) Ta có \(\overrightarrow {AD} = (1;0; - 2),\overrightarrow {A{A^\prime }} = ( - 1;2; - 1),\overrightarrow {AB} = ( - 1;3;1)\)
Vi ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = 1}\\{{y_C} - 2 = 0}\\{{z_C} - 4 = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = 1}\\{{y_C} = 2}\\{{z_C} = 2}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy C(1; 2; 2).
Vi ABB'A' là hình binh hành nên \(\overrightarrow {A{A^\prime }} = \overrightarrow {B{B^\prime }} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{B^\prime }}} = - 1}\\{{y_{{B^\prime }}} - 2 = 2}\\{{z_{{C^\prime }}} - 4 = - 1}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{B^\prime }}} = - 1}\\{{y_{{B^\prime }}} = 4}\\{{z_{{C^\prime }}} = 3}\end{array}} \right.\). Vậy \({B^\prime }( - 1;4;3)\).
Vi ADD'A' là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {{A^\prime }{D^\prime }} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{D^\prime }}} = 1}\\{{y_{{D^\prime }}} - 1 = 0}\\{{z_{{D^\prime }}} - 2 = - 2}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{D^\prime }}} = 1}\\{{y_{{D^\prime }}} = 1}\\{{z_{{D^\prime }}} = 0}\end{array}} \right.\). Vậy \({D^\prime }(1;1;0)\).
b) Ta có: \(\overrightarrow {C{B^\prime }} = ( - 2;2;1),\overrightarrow {C{D^\prime }} = (0; - 1; - 2)\)
Vi mặt phẳng (CB' \(\left. {{D^\prime }} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {C{B^\prime }} ,\overrightarrow {C{D^\prime }} \) nên có một vectơ pháp tuyến là:
\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {C{B^\prime }} ,\overrightarrow {C{D^\prime }} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\{ - 1}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\{ - 2}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&2\\0&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = ( - 3; - 4;2){\rm{. }}\)
Mặt phẳng (CB'D') đi qua điểm \({\rm{C}}(1;2;2)\) và nhận \(\vec n = ( - 3; - 4;2)\) là một vectơ pháp tuyến có phương trình là: \( - 3(x - 1) - 4(y - 2) + 2(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 2z - 7 = 0.{\rm{ }}\)
a) Thời điểm \({\rm{t}} = 0\), vật ở vị trí \({{\rm{M}}_1}(1;1;1)\).
Thời điểm \(t = \frac{\pi }{2}\), vật ở vị trí \({{\rm{M}}_2}( - 1;1;0)\).
Thời điểm \({\rm{t}} = \pi \), vật ở vị trí \({{\rm{M}}_3}( - 1; - 1; - 1)\).
b) Có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 2;0; - 1)\) và \(\overrightarrow {{M_1}{M_3}} = ( - 2; - 2; - 2)\) không cùng phương nên ba điểm \({{\rm{M}}_1},{{\rm{M}}_2},{{\rm{M}}_3}\) không thẳng hàng.
Mặt phẳng \(\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)\) có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 2;0; - 1)\) và \(\overrightarrow {{M_1}{M_3}} = ( - 2; - 2; - 2)\) là cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến: \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = ( - 2; - 2;4)\)
Mặt phẳng \(\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)\) đi qua \({{\rm{M}}_1}(1;1;1)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = ( - 2; - 2;4)\) có phương trình là: \( - 2(x - 1) - 2(y - 1) + 4(z - 1) = 0\) hay \(2x + \) \(2{\rm{y}} - 4{\rm{z}} = 0\).
c) Ta có 2(cost \( - \sin t) + 2\) (cost + sint \() - 4\) cost \( = 0\) nên vị trí \(M(\cos t - \sin t\); cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng \(\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)\).
Do đó vị trí \(M\) (cost - sint; cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng \(2x + 2y - 4z = \) 0.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
