Đề kiểm tra Phương trình mặt phẳng lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]nhận vectơ đơn vị \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng đi qua điểm \[A\left( {2; - 3;1} \right)\]và song song với mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]cũng nhận vectơ \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến nên có phương trình: \(0.\left( {x - 2} \right) + 0.\left( {y + 3} \right) + 1.\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Rightarrow \)\(z = 1\)

Phương trình của mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

\(3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) + \left( {z - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 2y + z - 12 = 0\).

Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;5; - 1} \right),\overrightarrow {CD}  = \left( { - 1;0;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {10;9;5} \right)\]

Ta có mp \[\left( P \right)\] đi qua \[A\left( {5;1;3} \right)\] và nhận \[\overrightarrow n  = \left( {10;9;5} \right)\]làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình

\[10\left( {x - 5} \right) + 9\left( {y - 1} \right) + 5\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 10x + 9y + 5z - 74 = 0.\]

+ Ta có: \(\overrightarrow {AB} \, = \,\left( {2; - 3; - 1} \right)\); \(\overrightarrow {AC} \, = \,\left( { - 2;0; - 2} \right)\).

$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-3& -1\\ 0& -2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& 2\\ -2& -2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& -3\\ -2& 0\end{array}\right|\right)=\left(6;6;-6\right).$ Suy ra \(\overrightarrow n \left( {1\,;\,1\,;1} \right)\)không là vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\). Nên a) sai

+ Chọn \(\overrightarrow {n\,} \, = \frac{1}{6}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \,\left( {1;\,1;\, - 1} \right)\) là một VTPT của \(\left( P \right)\). Ta có pt \(\left( P \right)\)là:

\(x\, + \,y - 1\, - z\, + 2\, = \,0 \Leftrightarrow x\, + \,y\, - \,z\, + \,1\, = \,0\). Suy ra b) đúng

+ \(\left( P \right)\)cắt trục \[Ox\]tại điểm \[M\left( { - 1;0;0} \right).\]Suy ra c) đúng.

+ Thay tọa độ điểm \[N\left( {1; - 2;0} \right)\]vào phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\]ta có \(1\, - 2 - 0\, + \,1\, = \,0\)nên d) đún

+ Gọi \(A,B,C\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\) lên \(Ox,Oy,Oz\).

Suy ra: \(A\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right),B\left( {0\,;\,2\,;\,0} \right),C\left( {0\,;\,0\,;\,3} \right)\).

+ Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)theo đoạn chắn là \[\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0\].

+ Từ đó ta có a) đúng và b) sai

+ Thay tọa độ điểm \[M\left( {3;0; - 2} \right)\]vào phương trình \[6x + 3y + 2z - 6 = 0\]ta có \[6.3 + 3.0 + 2.( - 2) - 6 = 8 \ne 0\]nên điểm \[M\left( {3;0; - 2} \right)\]không thuộc mặt phẳng \[\left( P \right)\]. Suy ra c) sai.

+ Ta có \[d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 6} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{7}.\] Suy ra d) đúng

+ Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có 1 véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_p}}  = (1;\,1;\,1)\). Véc tơ \(\overrightarrow {AB}  = (1;\,2;\, - 1)\).

+ Gọi \(\overrightarrow n \) là một véc tơ pháp tuyến của \[\left( Q \right)\], do \[\left( Q \right)\]vuông góc với \[\left( P \right)\] nên \(\overrightarrow n \)có giá vuông góc với \(\overrightarrow {{n_p}} \), mặt khác véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) có giá nằm trong mặt phẳng \[\left( Q \right)\] nên \(\overrightarrow n \) cũng vuông góc với \(\overrightarrow {AB} \)

+ Mà \({\overrightarrow n _p}\) và \(\overrightarrow {AB} \) không cùng phương nên ta có thể chọn \(\overrightarrow n \)=\[\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 3;2;1} \right)\] suy ra \(\left( {3\,; - 2\,; - 1} \right)\)cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( Q \right)\]nên a) đúng

+ Mặt khác \[\left( Q \right)\]đi qua \[A\left( {1; - 1;2} \right)\] nên phương trình của mặt phẳng \[\left( Q \right)\] là: \[ - 3\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 1} \right) + 1(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - z - 3 = 0\]. Suy ra b) sai

+ Thay tọa độ điểm \[M\left( {3;1;2} \right)\]vào phương trình \[3x - 2y - z - 3 = 0\]ta có \[3.3 - 2.1 - 2 - 3 = 2 \ne 0\]nên điểm \[M\left( {3;1;2} \right)\]không thuộc mặt phẳng \[\left( Q \right)\]. Suy ra c) đúng.

+ Ta có \[\frac{3}{6} = \frac{{ - 2}}{{ - 4}} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 3}}{{ - 6}}\] nên \[\left( P \right) \equiv \left( Q \right).\] Vậy d) sai

a	b	c	d
Sai	Đúng	Sai	Đúng

 Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với hai mặt phẳng: \[\left( P \right):\;x + y + z + 2 = 0;\;\left( Q \right):\;2x - y + z - 4 = 0\]nên có cặp vectơ chỉ phương: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;1;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2; - 1;1} \right)\).

Do đó mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có vectơ pháp tuyến: \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {2;1; - 3} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(2\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 2} \right) - 3\left( {z + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 3z - 13 = 0\).

Do \(2.2 + 0 - 3.0 - 13 \ne 0 \Rightarrow B \notin \left( \alpha  \right).\)

Dễ thấy, mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( \beta  \right):\;4x + 2y - 6z - 3 = 0\).

Trục \(Ox\)chứa điểm \(O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\) và điểm \(B\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\).

Do mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1\,;\,2\,;\, - 3} \right)\) và chứa trục \(Ox\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) có cặp vectơ         chỉ phương:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  = \left( {1\,;\,2\,;\, - 3} \right)\\\overrightarrow {OB}  = \left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\end{array}\)

Do đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến: \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {0\,;\, - 3\,;\, - 2} \right)\).

Phương trình mặt phẳng là: \(0\left( {x - 0} \right) - 3\left( {y - 0} \right) - 2\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 3y + 2z = 0.\)

Vậy \[2a + 3c - d = 6\].

Do  mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right):\;x - 2y + 2z - 15 = 0\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có dạng \[x - 2y + 2z + d = 0\].

Ta có:

\[\begin{array}{l}{d_{\left( {A;\left( \alpha  \right)} \right)}} = \frac{{\left| {2 - 2.1 + 2.1 + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {2 + d} \right|}}{3} = 5\\ \Rightarrow \left| {2 + d} \right| = 15\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 13\\d =  - 17\end{array} \right..\end{array}\]

Do \[d > 0 \Rightarrow d = 13\]

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \[x - 2y + 2z + 13 = 0\].

Vậy \[a + b - 2d = 1 - 2 - 2.13 =  - 27\].

Do  mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right):\;x - 3y + 4z + 5 = 0\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có dạng \(\;x - 3y + 4z + d = 0\).

Ta có:

\[\begin{array}{l}{d_{\left( {A;\left( \alpha  \right)} \right)}} = {d_{\left( {B;\left( \alpha  \right)} \right)}}\\\frac{{\left| {3 - 3.\left( { - 1} \right) + 4.2 + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {2 - 3.0 + 4.\left( { - 1} \right) + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {14 + d} \right| = \left| {d - 2} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}14 + d = d - 2\\14 + d = 2 - d\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow d =  - 6.\end{array}\]

Phương trình mặt phẳng là: \(\;x - 3y + 4z - 6 = 0\).

Vậy \[b + 2c + 3d =  - 3 + 2.4 + 3\left( { - 6} \right) =  - 13\].

Phương trình  mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có dạng:  \[ax + by + cz + d = 0\].

Do \[C \in \left( \alpha  \right) \Rightarrow 2a + b + d = 0 \Rightarrow d =  - 2a - b\quad \left( 1 \right)\].

Do \[D \in \left( \alpha  \right) \Rightarrow a + 4b + c + d = 0 \Rightarrow c =  - a - 4b - d =  - a - 4b + 2a + b = a - 3b\quad \left( 2 \right)\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}{d_{\left( {A;\left( \alpha  \right)} \right)}} = {d_{\left( {B;\left( \alpha  \right)} \right)}}\\\frac{{\left| {1 + c.2 + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {1 + 2b - 3c + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {b^2} + {c^2}} }} \Leftrightarrow \left| {2c + d + 1} \right| = \left| {2b - 3c + d + 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {2 - 6b - 2 - b + 1} \right| = \left| {2b - 3 + 9b - 2 - b + 1} \right| \Leftrightarrow \left| {1 - 7b} \right| = \left| {10b - 4} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 7b = 10b - 4\\1 - 7b = 4 - 10b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \frac{{17}}{5}\quad (l)\\b = 1{\kern 1pt} \quad (tm)\end{array} \right..\end{array}\]

Với \[b = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c =  - 2\\d =  - 3\end{array} \right.\].

Phương trình mặt phẳng là: \(\;x + y - 2z - 3 = 0\).

 Vậy \[5b + c + d = 5.1 - 2 - 3 = 0\].

Trong hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có

            \(B(3;0;0);\;C(3;3;0);\;S(0;0;3)\).

Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SB}  = \left( { - 3;0;3} \right)\\\overrightarrow {SC}  = \left( { - 3; - 3;3} \right)\end{array} \right.\).

Do đó, mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {9;0;9} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là: \(9\left( {x - 3} \right) + 9\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + z - 3 = 0\).

Vậy \[{b^2} + {c^2} + {d^2} = {0^2} + {1^2} + {\left( { - 3} \right)^2}.\]

Trong hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có

            \(A(0;0;0);\;C(2;2;0);\;D\left( {0;2;0} \right);\;S(0;0;3)\).

Mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SC}  = \left( { - 2; - 2;3} \right)\\\overrightarrow {SD}  = \left( {0; - 2;3} \right)\end{array} \right.\).

Do đó, mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {SC} ;\overrightarrow {SD} } \right] = \left( {0;6;4} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là: \(0\left( {x - 0} \right) + 6\left( {y - 0} \right) + 4\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3y + 2z - 6 = 0\).

Vậy \[{d_{\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{\left| {3.0 + 2.0 - 6} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}\].