Bài tập Phương trình mặt phẳng lớp 12 (có lời giải)

m=2

Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;2;1)\Rightarrow AB=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=3\left(1\right)$.

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P): d(a;(P))=$\frac{\left|2.1+2+m.3-1\right|}{\sqrt{2^2+1^2+m^2}}=\frac{\left|3m+3\right|}{\sqrt{5+m^2}}\left(2\right)$.

Để AB= d(A,(P))$\Rightarrow$3=$\frac{\left|3m+3\right|}{\sqrt{5+m^2}}\iff 9(5+m^2)=9{(m+1)}^2\iff m=2$.

  M(0;0;3)

Khoảng cách từ M đến (P) nhỏ nhất khi M thuộc (P). Nên M là giao điểm của trục Oy với mặt phẳng (P). Thay x = 0, z = 0 vào phương trình (P) ta được y = - 4.

Vậy M(0;4;0).

M(0;0;3)

Vì  $\in$Oz $\Rightarrow$M(0;0;m). Ta có: $MA=\sqrt{2^2+3^2+{(4-m)}^2}$;d(M,(P))=$\frac{\left|m-17\right|}{\sqrt{14}}$ .

M cách đều điểm A(2;3;4)  và mặt phẳng (P): 2x+3y+z-17=0  khi và chỉ khi

$\sqrt{2^2+3^2+{(4-m)}^2}=\frac{\left|m-17\right|}{\sqrt{14}}\iff 13{(m-3)}^2=0\iff m=3$. Vậy M(0;0;3).

a) Hãy kiểm tính song song hoặc vuông góc giữa các bức tường (P),(Q),(R)  của tòa nhà.

(P): x+2y-2z+1=0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_P=(1;2;-2)$

(Q):2x +y+2z-3=0  có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_Q=(2;1;2)$

(R: 2x+4y-4z-19=0 . có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_R=(2;4;-4)$

Ta có ${\overrightarrow{n}}_R=(2;4;-4)$ =2(1;2-2) $\Rightarrow$${\overrightarrow{n}}_R$ =2${\overrightarrow{n}}_P$nên hai bức tường (P) và (Q) song song nhau

nên bức tường (Q) vuông góc với hai bức tường (P) và (R) ,

b) Tính khoảng giữa hai bức tường (P) và (R)  của tòa nhà.

Chọn điểm  M(-1;0;0) $\in P$

Do hai bức tường (P) và (R) song song nhau nên:

$d\left(\right(P),(R\left)\right)=d(M,(R\left)\right)=\frac{\left|2.(-1)+4.0-4.0-19\right|}{\sqrt{4+16+16}}=\frac{21}{6}=3,5m$

d(B,(P))=6

Ta có: $$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AM}\Rightarrow BM=2.AM\Rightarrow \frac{d(B,(P\left)\right)}{d(A,(P\left)\right)}=\frac{BM}{AM}=2 \\ \Rightarrow d(B,(P\left)\right)=2.d(A,(P\left)\right)=2.\frac{\left|3.2+4.4-12.(-1)+5\right|}{\sqrt{3^2+4^2+{(-12)}^2}}=2.3=6 \end{gathered}$$

d(B,(P))=6

Ta có: $$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AM}\Rightarrow BM=2.AM\Rightarrow \frac{d(B,(P\left)\right)}{d(A,(P\left)\right)}=\frac{BM}{AM}=2 \\ \Rightarrow d(B,(P\left)\right)=2.d(A,(P\left)\right)=2.\frac{\left|3.2+4.4-12.(-1)+5\right|}{\sqrt{3^2+4^2+{(-12)}^2}}=2.3=6 \end{gathered}$$

m=4

(P): 2x+my+2mz-9-0  có VTPT $\overrightarrow{a}$ = (2;m;2m)

(Q): 6x -y-z-10=0  có VTPT $\overrightarrow{b}$=(6;-1;-1)

(P)$\perp$(Q)$\iff$$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$=0$\iff$2.6+m(-1)+2m.(-1)=0$\iff$m=4

$m=\frac{3}{2},n=-10$

(P): 5x+my+z-5=0  có VTPT $\overrightarrow{a}=(5;m;1)$

(Q): nx-3y-2z+7 =0  có VTPT $\overrightarrow{b}$=(n;-3;-2)

(P) //(Q) $\iff \left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=0\iff \left\{\begin{array}{l}-2M+3=0\\ n+10=0\\ -15-nm=0\end{array}\right.\iff \begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}m=\frac{3}{2}\\ n=-10\end{array}\right.\end{array}$

b=c

• Phương trình (ABC): $\frac{x}{1}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\Rightarrow \left(ABC\right)$ có VTPT: $\overrightarrow{n}=(1;\frac{1}{b};\frac{1}{c})$

• Phương trình (P): y-z+1=0  $\Rightarrow$(P) có VTPT: $\overrightarrow{n}=(0;1;-1)$.

• $\left(ABC\right)\perp \left(P\right)\iff \frac{1}{b}-\frac{1}{c}=0\iff b=c$.

b=c

• Phương trình (ABC): $\frac{x}{1}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\Rightarrow \left(ABC\right)$ có VTPT: $\overrightarrow{n}=(1;\frac{1}{b};\frac{1}{c})$

• Phương trình (P): y-z+1=0  $\Rightarrow$(P) có VTPT: $\overrightarrow{n}=(0;1;-1)$.

• $\left(ABC\right)\perp \left(P\right)\iff \frac{1}{b}-\frac{1}{c}=0\iff b=c$.

\(m + n = 3\)

+ \(\left( {{P_m}} \right):mx + 2y + nz + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {m;2;n} \right)\).

\(\left( {{Q_m}} \right):x - my + nz + 2 = 0\) có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_2}} \left( {1; - m;n} \right)\].

\(\left( \alpha  \right):4x - y - 6z + 3 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \left( {4; - 1; - 6} \right)\).

+ Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {{P_m}} \right)\) và \(\left( {{Q_m}} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{P_m}} \right) \bot \left( \alpha  \right)\\\left( {{Q_m}} \right) \bot \left( \alpha  \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \\\overrightarrow {{n_2}}  \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_\alpha }}  = 0\\\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow {{n_\alpha }}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m - 2 - 6n = 0\\4 + m - 6n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 1\end{array} \right..\)

Vậy \(m + n = 3\).

(P):x-y+2z-12=0

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3;-1;4)  đồng thời vuông góc với giá của $\overrightarrow{a}=(1;-1;2)$ nên nhận $\overrightarrow{a}=(1;-1;2)$ làm vectơ pháp tuyến. Do đó, (P)  có phương trình là

1(x-3)-1(y+1)+2(z-4)=0$\iff$x-y+2z-12=0.

\(3x - 5y - z - 6 = 0\)

Ta có $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=(-18;4;-3)$

Mặt phẳng (P)  đi qua \(M\left( {0; - 2;1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(-18;4;-3)$ nên có phương trình

-18(x-0)+4(y+2)-3(z-1)=0$\iff$18x-4y+3z-12=0.

Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình: 18x-4y+3z-12=0.

($\alpha$):3x-2y+z-1=0

$\overrightarrow{AB}=(-1;1;1),\overrightarrow{CD}=(0;1;-1)\Rightarrow \left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right]=(-2;-1;-1)$

($\alpha$)  đi qua A(1;1;0)  và có một VTPT là $\overrightarrow{n}=(2;1;1)\Rightarrow \left(\alpha \right):2x+y+z-3=0$

(P):3x-2y+z-1=0

Mặt phẳng (Q) cần tìm song song với mặt phẳng (P):3x-2y+z-3=0 nên có phương trình dạng (Q): 3x-2y+z+m=0, m$\ne -3$

Vì M $\in \left(Q\right): 3.2-2.1+(-3)+m=0\iff m=-1$ 

Vậy (Q): 3x-2y+z-1=0.

2x-3y+6z=0

Ta có:

$\overrightarrow{AB}=(0;4;2),\overrightarrow{AC}=(-3;4;3),\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(4;-6;12)$.

Ta có $\overrightarrow{n}=(4;-6;12)$ cùng phương $n_1=(2;-3;6)$

Mặt phẳng (ABC)  đi qua điểm C(0;2;1) và có một vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1=(2;-3;6)$ nên (ABC) có phương trình là:

2(x-0)-3(y-2)+6(z-1)=0$\iff$2x-3y+6z=0

Vậy phương trình cần tìm là: 2x-3y+6z=0.

2y+3z-11=0

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-3;-3;2)$, vectơ pháp tuyến của mp(P) là ${\overrightarrow{n}}_P=(1;-3;2)$.

Từ giả thiết suy ra $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_P}\right]=(0;8;12)$ là vectơ pháp tuyến của mp( Q)

Mp (Q) đi qua điểm A(2;4;1) suy ra phương trình tổng quát của mp (Q) là:

0(x-2)+8(y-4)+12(z-1)=0$\iff$2y+3z-11=0.

3x-2y+6z-12=0

Không mất tính tổng quát, ta giả sử M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A(2;-3;1) lên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oxz), (Oyz).

Khi đó, M(2;-3;0), N(2;0;1) và P(0;-3;1)

$\overrightarrow{MN}=(0;3;1) và \overrightarrow{MP}=(-2;0;1)$.

Ta có, $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ là cặp vectơ không cùng phương và có giá nằm trong (MNP)

Do đó, (MNP)  có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}\right]=(3;-2;6)$.

Mặt khác, (MNP)  đi qua M (2;-3;0)  nên có phương trình là:

3(x-2)-2(y+3)+6(z-0)=0$\iff$3x-2y+6z-12=0.

a) Lập phương trình mặt phẳng (OACB).

 Gắn hình chóp cụt OAGD.BCFE vào hệ trục Oxyz, ta có:

O(0;0;0),A(100;0;00,G(100;60;0),D(0;60;0),B(10;10$\overrightarrow{n}=(4;0;-5)$;8)

$\overrightarrow{OA}=(100;0;0),\overrightarrow{OB}=(10;10;8)$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OBED) là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right]=(0;-100;1000)=-100(0;1;-10)$

Phương trình mặt phẳng (OBED) đi qua điểm O(0;0;0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(0;1;-10)$ là: y-10z=0

b) Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (OBED) .

$\overrightarrow{OD}=(0;60;0),\overrightarrow{OB}=(10;10;8)$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OBED) là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OB}\right]=(480;0;-600)=120(4;0;-5)$

Phương trình mặt phẳng (OBED)  đi qua điểm O(0;0;0)  và có vectơ pháp tuyến  là:$\overrightarrow{n}=(4;0;-5)$ 

khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (OBED)  là: $d\left(G\right(OBED\left)\right)=\frac{\left|4.100-5.0\right|}{\sqrt{16+25}}=\frac{400\sqrt{41}}{41}\approx 62,5m$

Thiết lập hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, gốc O=B'.

Khi đó:$M(0;\frac{1}{2};1),N(\frac{1}{2};0;1),P(1;\frac{1}{2};0),Q(1;1;\frac{1}{2})$

a) Lập phương trình mặt phẳng (A'BC') .

b) Tính khoảng cách từ điểm Q đến mặt phẳng (MNP) .

c) Tính khoảng giữa hai mặt phẳng (A'BC') và  mặt phẳng (ACD').

$S(0;0;\frac{a\sqrt{3}}{2}),M(a;0;0),N(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0)$.

a) Lập phương trình mặt phẳng (SOM) .

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) .

c) Gọi Q là trung điểm SD. Tính khoảng giữa hai mặt phẳng (SAC) và  mặt phẳng (ONQ).

Chọn hệ trục tọa độ \[{\rm{Ox}}yz\]như hình vẽ.

Ta có \[O\left( {0;0;0} \right)\], \[A \in {\rm{Oz}},\;B \in Ox,\;C \in Oy\]sao cho \[AO = 5,\;OB = 2,\;OC = 4\]

\[ \Rightarrow A\left( {0;0;5} \right),\;B\left( {2;0;0} \right),\;C\left( {0;4;0} \right)\].

Khi đó: \[G\] là trọng tâm tam giác\[ABC\] nên \[G\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};\frac{5}{3}} \right)\]

\[M\]là trung điểm \[OB\]nên \[M\left( {1;0;0} \right)\]

\[N\]là trung điểm \[OC\]nên \[N\left( {0;2;0} \right)\].

K là trọng tâm tam giácAMN nên K($\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{5}{3}$)

a) Lập phương trình mặt phẳng (ABC) .

b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SMN) .

Hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AB\) \( \Rightarrow \) Góc giữa \(SB\) và mặt đáy là góc giữa \[SB\] và \(AB\) và bằng góc \(\widehat {SBA} = {45^{\rm{o}}}\).

Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow SA = 2a\).

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {0;2a;0} \right)\), \(C\left( {a;a;0} \right)\), \[D\left( {a;0;0} \right)\], \(S\left( {0;0;2a} \right)\), \(E\left( {\frac{a}{2};0;a} \right)\).

a) Lập phương trình mặt phẳng (SAC) .

b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AEC) .

phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm S, B, H là x+5y-7z-15=0

Phương trình Mặt phẳng (ABC): $\frac{x}{-2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=1\iff -3x+2y+z-6=0$.

H là chân đường cao vẽ từ S của tứ diện S.ABC nên H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) :$H(\frac{19}{14};\frac{31}{7};\frac{17}{4})$

 Mặt phẳng (SBH): $\left\{\begin{array}{l}qua B(0;3;0)\\ vtpt\left[\overrightarrow{BH},\overrightarrow{SB}\right]=(\frac{11}{14};\frac{55}{14};\frac{11}{2})=\frac{11}{14}(1;5;-7)\end{array}\right.$

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ : \(A\left( {0;0;0} \right)\),\(D\left( {2;0;0} \right)\),\(B\left( {0;4;0} \right)\),\(S\left( {0;0;4} \right)\).

\(M\) là trung điểm của \(SB\) \( \Rightarrow M\left( {0;2;2} \right)\).

Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_C} = {x_B} + {x_D}\\{y_A} + {y_C} = {y_B} + {y_D}\\{z_A} + {z_C} = {z_B} + {z_D}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 2\\{y_C} = 4\\{z_C} = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow C\left( {2;4;0} \right)\).

G là trọng tâm của tam giác SCD$\Rightarrow$ G($\frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{4}{3}$) 

a) Lập phương trình mặt phẳng (AMC) .

b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMG) .

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Có A(0;0;0),C(4;3;0),D(4;0;0)

G là trọng tâm của tam giác ACB'$\Rightarrow G(\frac{8}{3};1;\frac{5}{3})$

a) Tính độ dài cạnh GD' .

b) Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (AB'C) .

c) Tính khoảng giữa hai mặt phẳng (AB'D') và  mặt phẳng (CB'D').

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn:$A\equiv O,B(a,0,0),D(0;a,0),S(0;0;a)$

(như minh họa hình vẽ),

suy ra M($\frac{a}{2};0;\frac{a}{2}$) và N($0;\frac{a}{2};\frac{a}{2}$).

a) Tính tọa độ điểm G. .

G là trọng tâm của tam giác AMN$\Rightarrow G(\frac{a}{6};\frac{a}{6};\frac{a}{3})$

b) Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC) .

c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AMN) .

Hình vuông ABCD có độ dài đường chéo bằng a$\sqrt{2}$ suy ra hình vuông đó có cạnh bằng a.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(SBD\right)\cap \left(ABCD\right)=BD\\ SI\perp BD\\ AI\perp BD\end{array}\right.\Rightarrow \left(\right(SBD);(ABCD\left)\right)=(SI,AI)=SIA$.

Ta có .

Ta có A(0;0;0) , B(a;0;0), C(a;a;0), S(0;0;a) $\Rightarrow I(\frac{a}{2};0;\frac{a}{2})$

a) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB) .

b) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SCD) .

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó

S(0;0;$\frac{\sqrt{3}}{2}$);A($\frac{-a}{2};0;0$);C($\frac{a}{2};a;0$);D($\frac{-a}{2};a;0$)

suy ra G($0;0;\frac{a\sqrt{3}}{6}$) ; M($\frac{a}{4};\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{4}$); N($\frac{-a}{4};\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{4}$

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) .

b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (GMN) .