Bài tập Xác định các yếu tố cơ bản liên quan đến mặt phẳng (vectơ pháp tuyến, điểm thuộc, không thuộc mặt phẳng) lớp 12 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {3; - 5; - 1} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Thay Q(3; 3; 0) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y + z – 6 = 0.

Ta có: 3 + 3 + 0 – 6 = 0. Vậy Q thuộc mặt phẳng (P).

Thay N(2; 2; 2) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y + z – 6 = 0.

Ta có: 2 + 2 + 2 – 6 = 0. Vậy N thuộc mặt phẳng (P).

Thay P(1; 2; 3)  vào phương trình mặt phẳng (P): x + y + z – 6 = 0.

Ta có: 1 + 2 + 3 – 6 = 0. Vậy P thuộc mặt phẳng (P).

Thay M(1; −1; 1) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y + z – 6 = 0.

Ta có: 1 – 1 + 1 – 6 = −5. Vậy M không thuộc mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: A

Thay A(1; −2; 2) vào phương trình mặt phẳng (P): 2x – y + z – 2 = 0.

Ta có: 2∙1 + 2 + 2 – 2 = 4. Vậy A không thuộc mặt phẳng (P).

Thay B(2; −1; −1) vào phương trình mặt phẳng (P): 2x – y + z – 2 = 0.

Ta có: 2∙2 + 1 – 1 – 2 = 2. Vậy B không thuộc mặt phẳng (P).

Thay C(1; 1; −1) vào phương trình mặt phẳng (P): 2x – y + z – 2 = 0.

Ta có: 2∙1 – 1 – 1 – 2 = −2. Vậy C không thuộc mặt phẳng (P).

Thay D(1; −1; −1) vào phương trình mặt phẳng (P): 2x – y + z – 2 = 0.

Ta có: 1∙2 + 1 – 1 – 2 = 0. Vậy D thuộc mặt phẳng (P).

Vậy có 1 điểm thuộc mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vectơ pháp tuyến của (P) là: \(\overrightarrow b  = \left( {3; - 1;2} \right)\).

\(\overrightarrow n  = \left( { - 3;1; - 2} \right) =  - 1 \cdot \left( {3; - 1;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (P).

\(\overrightarrow u  = \left( {6; - 2;4} \right) = 2 \cdot \left( {3; - 1;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (P).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.             b) Đúng.                c) Đúng.           d) Đúng.

a) Đúng. Mặt phẳng (Oxy) có một pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {0;0;1} \right)\).

b) Đúng. Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {0;3;0} \right)\).

c) Đúng. Mặt phẳng (Oyz) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;0;0} \right)\).

d) Đúng. Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                      b) Sai.                   c) Đúng.           d) Đúng.

a) Đúng. Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1;2; - 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

b) Sai. Thay A(1; 3; 2) vào mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0.

Ta có: 1 + 2∙3 – 1 + 1 = 7. Nên A không thuộc mặt phẳng (P).

c) Đúng. Thay B(1; 1; 4) vào mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0.

Ta có: 1 + 2∙1 – 4 + 1 = 0. Nên B thuộc mặt phẳng (P).

d) Đúng. Vectơ \(\overrightarrow m  = \left( {2;4; - 2} \right) = 2 \cdot \left( {1;2; - 1} \right) = 2\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Hướng  dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                        c) Đúng.               d) Đúng.

a) Đúng. Vetơ \(\overrightarrow u  = \left( { - 4;6; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (P).

b) Sai. Thay N(0; 0; 5) vào mặt phẳng (P): 2x − 3y + z − 5 = 0.

Ta có: 2∙0 − 3∙0 + 5 – 5 = 0. Nên N thuộc mặt phẳng (P).

c) Đúng. Thay M(1; −1; 0) vào mặt phẳng (P): 2x − 3y + z − 5 = 0.

Ta có: 2∙1 − 3∙(−1) + 0 – 5 = 0. Nên M thuộc mặt phẳng (P).

d) Đúng. Vec tơ \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 3;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.              b) Đúng.                    c) Đúng.            d) Sai.

a) Đúng. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2;3;1} \right)\).

b) Đúng. Vectơ \(\overrightarrow m  = \left( {6;9;3} \right) = 3 \cdot \left( {2;3;1} \right) = 3\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

c) Đúng. Vectơ \(\overrightarrow u  = \left( { - 4; - 6; - 2} \right) =  - 2 \cdot \left( {2;3;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

d) Sai. Thay điểm M(0; 0; 2024) vào mặt phẳng (P): 2∙0 + 3∙0 + 2024 – 2024 = 0 ⇒ M ∈ (P).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                b) Đúng.                         c) Đúng.                 d) Sai.

a) Đúng. Thay M(−1; −1; −1) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0.

Ta có: −1 − 1− 1 − 3 = −6 ≠ 0. Do đó, M không thuộc mặt phẳng (P).

b) Đúng. Thay N(1; 1; 1) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0.

Ta có: 1 + 1 + 1 – 3 = 0. Do đó, N thuộc mặt phẳng (P).

c) Đúng. Thay K(−3; 0; 0) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0.

Ta có: −3 + 0 + 0 – 3 = −6. Do đó, K không thuộc mặt phẳng (P).

d) Sai. Thay Q(0; 0; −3) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0.

Ta có: 0 + 0 – 3 – 3 = −6. Do đó, Q không thuộc mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −24

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2;3} \right)\); \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;3;3} \right)\); \(\overrightarrow {AD}  = \left( { - 1;3;1} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3; - 12;9} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD}  = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 12} \right) \cdot 3 + 9 \cdot 1 =  - 24\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Thay M(a; 4; −2) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y – 7 = 0  ta được

a + 4 – 7 = 0 ⇔ a = 3.

Vậy a = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −3

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow m ,\overrightarrow n } \right] = \left( {3; - 4;0} \right)\).

\(\overrightarrow p \) cùng hướng với vectơ \(\left[ {\overrightarrow m ,\overrightarrow n } \right]\) ⇒ \(\overrightarrow p = k \cdot \left( {3; - 4;0} \right) = \left( {3k; - 4k;0} \right)\) (k > 0).

\(\left| {\overrightarrow p } \right| = 15 \Rightarrow \sqrt {9{k^2} + 16{k^2} + 0} = 15 \Leftrightarrow 5\left| k \right| = 15 \Leftrightarrow k = 3.\)

Với k = 3 \( \Rightarrow \overrightarrow p = \left( {9; - 12;0} \right)\).

⇒ S = x₀ + y₀ + z₀ = 9 – 12 + 0 = −3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −3

Mặt phẳng (P): 2x − 6y − 8z + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 6; - 8} \right)\)

Vì \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 6; - 8} \right) =  - 2 \cdot \left( { - 1;3;4} \right) =  - 2\overrightarrow n \).

Khi đó \(\overrightarrow n  = \left( { - 1;3;4} \right)\).

Vậy b = −3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −6

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 2; - 4; - 1} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow n  = \left( { - 2; - 4; - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (P).

Vậy T = a + b = −2 – 4 = −6.