Bài tập Xác định các yếu tố cơ bản liên quan đến mặt phẳng (vectơ pháp tuyến, điểm thuộc, không thuộc mặt phẳng) lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho mặt phẳng (P): 2x – 3z – 1 = 0. Khi đó (P) có một vectơ pháp tuyến là:
\(\overrightarrow n = \left( {2; - 3;0} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {2; - 3;1} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {2;0; - 3} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {2; - 3; - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;0; - 3} \right)\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy).
\(\overrightarrow n = \left( {1;1;0} \right)\);
\(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\);
\(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\);
\(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0. Do đó mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α): x – 3y – 2z – 6 = 0. Vectơ nào không phải là vectơ pháp tuyến của (α).
\(\overrightarrow n = \left( {1; - 3; - 2} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( { - 1;3;2} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {1;3;2} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( { - 2;6;4} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1;3;2} \right)\) không là vectơ pháp tuyến của (α).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{3} = 1\). Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (α).
\(\overrightarrow n = \left( {3;6;2} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {2;1;3} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {3; - 6;2} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( { - 2; - 1; - 3} \right)\).
Đáp án đúng là: A
\(\left( \alpha \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{3} = 1\)\( \Leftrightarrow 3x + 6y + 2z - 6 = 0\).
Suy ra \(\overrightarrow n = \left( {3;6;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (α) vuông góc với trục tung có một vectơ pháp tuyến là
\(\overrightarrow n = \left( {0; - 8;0} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( { - 1;0;4} \right)\);
\(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\);
\(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng (α) vuông góc với trục tung nên nhận \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên \(\overrightarrow n = \left( {0; - 8;0} \right) = - 8\overrightarrow j \) nên \(\overrightarrow n = \left( {0; - 8;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).
Trong không gian Oxyz, điểm M(3; 4; −2) thuộc mặt phẳng nào dưới đây?
x + y + z + 5 = 0;
x – 1 = 0;
z – 2 = 0;
x + y – 7 = 0.
Đáp án đúng là: D
Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng ở câu D, ta được:
3 + 4 – 7 = 0. Vậy điểm M thuộc mặt phẳng x + y – 7 = 0.
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng (P): 2x – 2y + 3z + 6 = 0.
Q(3; −2; −3);
N(3; 0; 0);
P(2; −2; 3);
M(3; 3; −2).
Đáp án đúng là: D
Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 2.3 – 2.3 + 3.(−2) + 6 = 0. Do đó M (P).
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\) không đi qua điểm nào dưới đây?
P(0; 2; 0);
N(1; 2; 3);
M(1; 0; 0);
Q(0; 0; 3).
Đáp án đúng là: B
Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P), ta được \(\frac{1}{1} + \frac{2}{2} + \frac{3}{3} = 3 \ne 1\).
Do đó N (P).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + z – 5 = 0. Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng (P)?
P(0; 0; −5);
M(1; 1; 6);
Q(2; −1; 5);
N(−5; 0; 0).
Đáp án đúng là: B
Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:
1 – 2.1 + 6 – 5 = 0. Do đó M (P).
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào sau đây đi qua gốc tọa độ?
x + 20 = 0;
x – 2024 = 0;
y + 2025 = 0;
2x + 5y – 8z = 0.
Đáp án đúng là: D
Thay tọa độ O(0; 0; 0) vào phương trình mặt phẳng ở câu D ta được:
2.0 + 5.0 – 8.0 = 0 (luôn đúng).
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {1;0;3} \right)\). Khi đó tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là?
(2; 3; −1).
(3; 5; −2).
(2; −3; −1).
(3; −5; −1).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {3; - 5; - 1} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): x + y + z – 6 = 0. Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng (P).
Q(3; 3; 0).
N(2; 2; 2).
P(1; 2; 3).
M(1; −1; 1).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Thay Q(3; 3; 0) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y + z – 6 = 0.
Ta có: 3 + 3 + 0 – 6 = 0. Vậy Q thuộc mặt phẳng (P).
Thay N(2; 2; 2) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y + z – 6 = 0.
Ta có: 2 + 2 + 2 – 6 = 0. Vậy N thuộc mặt phẳng (P).
Thay P(1; 2; 3) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y + z – 6 = 0.
Ta có: 1 + 2 + 3 – 6 = 0. Vậy P thuộc mặt phẳng (P).
Thay M(1; −1; 1) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y + z – 6 = 0.
Ta có: 1 – 1 + 1 – 6 = −5. Vậy M không thuộc mặt phẳng (P).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + z – 2 = 0. Cho các điểm sau: A(1; −2; 2), B(2; −1; −1), C(1; 1; −1) và D(1; −1; −1). Hỏi có bao nhiêu điểm thuộc mặt phẳng (P)?
1.
2.
3.
4.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: A
Thay A(1; −2; 2) vào phương trình mặt phẳng (P): 2x – y + z – 2 = 0.
Ta có: 2∙1 + 2 + 2 – 2 = 4. Vậy A không thuộc mặt phẳng (P).
Thay B(2; −1; −1) vào phương trình mặt phẳng (P): 2x – y + z – 2 = 0.
Ta có: 2∙2 + 1 – 1 – 2 = 2. Vậy B không thuộc mặt phẳng (P).
Thay C(1; 1; −1) vào phương trình mặt phẳng (P): 2x – y + z – 2 = 0.
Ta có: 2∙1 – 1 – 1 – 2 = −2. Vậy C không thuộc mặt phẳng (P).
Thay D(1; −1; −1) vào phương trình mặt phẳng (P): 2x – y + z – 2 = 0.
Ta có: 1∙2 + 1 – 1 – 2 = 0. Vậy D thuộc mặt phẳng (P).
Vậy có 1 điểm thuộc mặt phẳng (P).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – y + 2z – 1 = 0. Vectơ nào dưới đây không phải là một vectơ pháp tuyến của (P)?
\(\overrightarrow n = \left( { - 3;1; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( {3;1;2} \right)\).
\(\overrightarrow b = \left( {3; - 1;2} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {6; - 2;4} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vectơ pháp tuyến của (P) là: \(\overrightarrow b = \left( {3; - 1;2} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( { - 3;1; - 2} \right) = - 1 \cdot \left( {3; - 1;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (P).
\(\overrightarrow u = \left( {6; - 2;4} \right) = 2 \cdot \left( {3; - 1;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (P).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy)?
\(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\).
\(\overrightarrow m = \left( {1;1;1} \right)\).
\(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\).
\(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Trong không gian cho hệ toạ độ Oxyz.
Khi đó:
Mặt phẳng (Oxy) có một pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).
Mặt phẳng (Oxz) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0;3;0} \right)\).
Mặt phẳng (Oyz) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( { - 2;0;0} \right)\).
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Mặt phẳng (Oxy) có một pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).
b) Đúng. Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0;3;0} \right)\).
c) Đúng. Mặt phẳng (Oyz) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( { - 2;0;0} \right)\).
d) Đúng. Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0.
Khi đó:
Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Điểm A(1; 3; 2) thuộc mặt phẳng (P)
Vectơ \(\overrightarrow m = \left( {2;4; - 2} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Sai. Thay A(1; 3; 2) vào mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0.
Ta có: 1 + 2∙3 – 1 + 1 = 7. Nên A không thuộc mặt phẳng (P).
c) Đúng. Thay B(1; 1; 4) vào mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0.
Ta có: 1 + 2∙1 – 4 + 1 = 0. Nên B thuộc mặt phẳng (P).
d) Đúng. Vectơ \(\overrightarrow m = \left( {2;4; - 2} \right) = 2 \cdot \left( {1;2; - 1} \right) = 2\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình: 2x − 3y + z − 5 = 0.
Khi đó:
Vetơ \(\overrightarrow u = \left( { - 4;6; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (P).
Điểm N(0; 0; 5) không thuộc mặt phẳng (P).
Điểm M(1; −1; 0) thuộc mặt phẳng (P).
Vec tơ \(\overrightarrow n = \left( {2; - 3;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Vetơ \(\overrightarrow u = \left( { - 4;6; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (P).
b) Sai. Thay N(0; 0; 5) vào mặt phẳng (P): 2x − 3y + z − 5 = 0.
Ta có: 2∙0 − 3∙0 + 5 – 5 = 0. Nên N thuộc mặt phẳng (P).
c) Đúng. Thay M(1; −1; 0) vào mặt phẳng (P): 2x − 3y + z − 5 = 0.
Ta có: 2∙1 − 3∙(−1) + 0 – 5 = 0. Nên M thuộc mặt phẳng (P).
d) Đúng. Vec tơ \(\overrightarrow n = \left( {2; - 3;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Trong gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 2024 = 0.
Khi đó:
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;3;1} \right)\).
Vectơ \(\overrightarrow m = \left( {6;9;3} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 4; - 6; - 2} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Điểm M(0; 0; 2024) không thuộc mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;3;1} \right)\).
b) Đúng. Vectơ \(\overrightarrow m = \left( {6;9;3} \right) = 3 \cdot \left( {2;3;1} \right) = 3\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
c) Đúng. Vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 4; - 6; - 2} \right) = - 2 \cdot \left( {2;3;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
d) Sai. Thay điểm M(0; 0; 2024) vào mặt phẳng (P): 2∙0 + 3∙0 + 2024 – 2024 = 0 ⇒ M ∈ (P).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0.
Khi đó:
Điểm M(−1; −1; −1) không thuộc mặt phẳng (P).
Điểm N(1; 1; 1) thuộc mặt phẳng (P).
Điểm K(−3; 0; 0) không thuộc mặt phẳng (P).
Điểm Q(0; 0; −3) thuộc mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Thay M(−1; −1; −1) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0.
Ta có: −1 − 1− 1 − 3 = −6 ≠ 0. Do đó, M không thuộc mặt phẳng (P).
b) Đúng. Thay N(1; 1; 1) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0.
Ta có: 1 + 1 + 1 – 3 = 0. Do đó, N thuộc mặt phẳng (P).
c) Đúng. Thay K(−3; 0; 0) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0.
Ta có: −3 + 0 + 0 – 3 = −6. Do đó, K không thuộc mặt phẳng (P).
d) Sai. Thay Q(0; 0; −3) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0.
Ta có: 0 + 0 – 3 – 3 = −6. Do đó, Q không thuộc mặt phẳng (P).
Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; −2; 0), B(2; 0; 3), C(−2; 1; 3) và D(0; 1; 1). Tính \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} \)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −24
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;3} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;3;3} \right)\); \(\overrightarrow {AD} = \left( { - 1;3;1} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3; - 12;9} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 12} \right) \cdot 3 + 9 \cdot 1 = - 24\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y – 7 = 0 và điểm M(a; 4; −2). Tìm a để M thuộc mặt phẳng (P)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Thay M(a; 4; −2) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y – 7 = 0 ta được
a + 4 – 7 = 0 ⇔ a = 3.
Vậy a = 3.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow m = \left( {4;3;1} \right)\), \(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\). Gọi \(\overrightarrow p = \left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là vectơ cùng hướng với \(\left[ {\overrightarrow m ,\overrightarrow n } \right]\). Biết \(\left| {\overrightarrow p } \right| = 15\), hãy tính giá trị của biểu thức S = x0 + y0 + z0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −3
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow m ,\overrightarrow n } \right] = \left( {3; - 4;0} \right)\).
\(\overrightarrow p \) cùng hướng với vectơ \(\left[ {\overrightarrow m ,\overrightarrow n } \right]\)⇒\(\overrightarrow p = k \cdot \left( {3; - 4;0} \right) = \left( {3k; - 4k;0} \right)\) (k > 0).
\(\left| {\overrightarrow p } \right| = 15 \Rightarrow \sqrt {9{k^2} + 16{k^2} + 0} = 15 \Leftrightarrow 5\left| k \right| = 15 \Leftrightarrow k = 3.\)
Với k = 3 \( \Rightarrow \overrightarrow p = \left( {9; - 12;0} \right)\).
⇒ S = x0 + y0 + z0 = 9 – 12 + 0 = −3.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho phương trình tổng quát của mặt phẳng (P): 2x − 6y − 8z + 1 = 0. Gọi \(\overrightarrow n = \left( {a;b;4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Khi đó, tung độ của vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) là
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −3
Mặt phẳng (P): 2x − 6y − 8z + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 6; - 8} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 6; - 8} \right) = - 2 \cdot \left( { - 1;3;4} \right) = - 2\overrightarrow n \).
Khi đó \(\overrightarrow n = \left( { - 1;3;4} \right)\).
Vậy b = −3.
Trong không gian Oxyz, cho hai vec tơ \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;0} \right)\), \(\overrightarrow v = \left( {1; - 1;2} \right)\). Biết mặt phẳng (P) song song với các giá của \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {a;b; - 1} \right)\). Tính giá trị của biểu thức T = a + b.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −6
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 2; - 4; - 1} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow n = \left( { - 2; - 4; - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (P).
Vậy T = a + b = −2 – 4 = −6.
