Đề kiểm tra Phương trình mặt phẳng lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

w Thay tọa độ điểm \(B\left( {4;\,2;\,1} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được:

\(3.4 - 2.1 + 2 = 0 \Leftrightarrow 12 = 0\) (Vô lí) \( \Rightarrow \) Điểm \(B \notin \left( P \right)\).

w Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;\,2;\,4} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được:

\(3.1 - 2.4 + 2 = 0 \Leftrightarrow  - 3 = 0\) (Vô lí) \( \Rightarrow \) Điểm \(A \notin \left( P \right)\).

w Thay tọa độ điểm \(D\left( {2;\,1;\,4} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được:

\(3.2 - 2.4 + 2 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0\) (Thỏa mãn) \( \Rightarrow \) Điểm \(D \in \left( P \right)\).

w Thay tọa độ điểm \(C\left( {2;\,4;\, - 1} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được:

Gọi \[\left( P \right)\] là mặt phẳng chứa điểm \(A\) và trục \(Oz\).

\[Oz\] đi qua điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \[\vec u = \left( {0;0;1} \right)\].

Mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + 4z - 5 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2;4} \right)\).

Do \[\left( Q \right)\]song song với \[\left( P \right)\] nên \[\left( Q \right)\]có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2;4} \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\), suy ra \(I\left( {1;\,1;\,2} \right)\).

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\)

\(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(I\left( {1;\,1;\,2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 6;\,2;\,2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

\[\left( P \right):2x - y + 3z - 1 = 0\] có vectơ pháp tuyến \[{\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {2;\, - 1;\,3} \right)\].

\(\left( Q \right):y = 0\) có vectơ pháp tuyến \[{\vec n_{\left( Q \right)}} = \left( {0;\,1;\,0} \right)\].

Do mặt phẳng \(\left( R \right)\) vuông góc với cả hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{\left( R \right)}} = \left[ {{{\vec n}_{\left( P \right)}},\,{{\vec n}_{\left( Q \right)}}} \right]\) \( \Rightarrow {\vec n_{\left( R \right)}} = \left( { - 3;\,0;\,2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( {2; - 2; - 3} \right)\) suy ra \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1;0} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {AC} \)\( \subset \left( {ABC} \right)\) nên \(\left( {ABC} \right)\) sẽ nhận \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.

Hiển nhiên \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(A\left( {2;3;5} \right)\) nên ta có phương trình của \(\left( {ABC} \right)\) là

Xét \((P):2x + y + z - 2 = 0\) và \(\left( {{Q_1}} \right):\,\,\,\,\,\,x + \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z - 1 = 0\) có \(\frac{2}{1} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} \ne \frac{1}{{ - \frac{1}{2}}} \Rightarrow \left( P \right)\)không song

song với \(\left( {{Q_1}} \right)\).

Xét \((P):2x + y + z - 2 = 0\) và \(\left( {{Q_2}} \right):\,\,\,x - y - z - 2 = 0\) có \(\frac{2}{1} \ne \frac{1}{{ - 1}} = \frac{1}{{ - 1}} \Rightarrow \left( P \right)\)không song song

với \(\left( {{Q_2}} \right)\).

Xét \((P):2x + y + z - 2 = 0\) và \(\left( {{Q_3}} \right):\,\,\,\,4x + 2y + 2z - 4 = 0\) có \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ne \frac{{ - 2}}{4} \Rightarrow \left( P \right)\) song song

với \(\left( {{Q_3}} \right)\).

Xét \((P):2x + y + z - 2 = 0\) và \(\left( {{Q_4}} \right):\,\,\,2x + y + z - 2 = 0\) có \(\frac{2}{2} = \frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{{ - 2}}{{ - 2}} \Rightarrow \left( P \right)\) trùng với

\(\left( P \right):\,\,\,mx + (m - 1)y + z - 10 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {m\,;\,m - 1\,;1} \right)\)

\((Q):2x + y - 2z + 3 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2\,;\,1\,;\, - 2} \right)\).

\(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\)vuông góc \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}}  \bot \overrightarrow {{n_Q}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}} .\,\overrightarrow {{n_Q}}  \Leftrightarrow m.2 + \left( {m - 1} \right).1 + 1.\left( { - 2} \right) = 0\)

Khoảng cách \(d\)từ \(A\)đến \(\left( P \right)\)là \(d(A,\,(P)) = \frac{{\left| {3{x_A} + 4{y_A} + 2{z_A} + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {3 - 8 + 6 + 4} \right|}}{{\sqrt {29} }}\)

\(\left( P \right):x + 2y + 3z - 1 = 0\) \(\left( Q \right):x + 2y + 3z + 6 = 0\). Ta có: \(\frac{1}{1} = \frac{2}{2} = \frac{3}{3} \ne \frac{{ - 1}}{6}\)

\(\left( P \right)\)//\(\left( Q \right)\) nên chọn A\(\left( {1;0;0} \right) \in \left( P \right)\). Vì \(\left( P \right)\)//\(\left( Q \right)\) nên \(d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \)\(d\left( {A,\left( Q \right)} \right)\) \( = \frac{{\left| {1 + 2.0 + 3.0 + 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{7}{{\sqrt {14} }}\)

Cách khác: Công thức tính nhanh: \(\left( P \right):Ax + By + Cz + {D_1} = 0;\,\,\left( Q \right)Ax + By + Cz + {D_2} = 0\)

\(\left( P \right)\)//\(\left( Q \right)\) \( \Rightarrow \)d\(\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right)\) =\(\frac{{\left| {{D_2} - {D_1}} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow i  = \left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\\\overrightarrow j  = \left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow i ,\,\overrightarrow j } \right] = \left( {0\,;\,0\,;1} \right) = \overrightarrow k \).

+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  = \left( {1\,;\, - 2\,;\, - 1} \right)\\\overrightarrow i  = \left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\,\overrightarrow i } \right] = \left( {0\,;\, - 1\,;2} \right)\).

+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {1\,;\, - 2\,;\, - 2} \right)\\\overrightarrow u  = \left( {1\,;\, - 2\,;\, - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow u } \right] = \left( { - 2\,;\, - 1\,;0} \right)\).

+ Ta có một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).

+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {2\,;\, - 2\,;\,2} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4\,;\,2\,; - 2} \right)\) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Mà \(\overrightarrow n  = \left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\) không cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) do \(\frac{4}{1} \ne \frac{2}{2}\) nên \(\overrightarrow n  = \left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\) không là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

+ Ta có một vecto pháp tuyến của mặt phẳng đi qua \(O\) và chứa đưởng thẳng \(AB\) là \(\left[ {\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {2\,;\,2\,;\,0} \right)\). Mà \(\overrightarrow n  = \left( {1\,;\,1\,;\,0} \right)\) cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {OB} } \right]\) nên \(\overrightarrow n  = \left( {1\,;\,1\,;\,0} \right)\) cũng là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng đi qua \(O\) và chứa đưởng thẳng \(AB\).

a) Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1;1} \right);\,\overrightarrow {AC}  = \left( {0;3;2} \right)\]

Vectơ pháp tuyến của \[\left( {ABC} \right)\] là \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 2;3} \right)\].

PT mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là: \[ - 1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 2} \right) + 3z = 0\] hay \[x + 2y - 3z + 3 = 0\]

b) Vectơ pháp tuyến của \[\left( \alpha  \right)\] là \[\overrightarrow n  = \,\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;2;1} \right)\].

PT mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] là: \[ - 1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 2} \right) + 1z = 0\] hay \[x - 2y - z - 5 = 0\]

c) Ta có trung điểm của đoạn \[AC\] là \[M\left( {1;\frac{{ - 1}}{2};1} \right)\]

Vectơ pháp tuyến của \[\left( \beta  \right)\] là \[\overrightarrow n  = \,\overrightarrow {AC}  = \left( {0;3;2} \right)\].

PT mặt phẳng \[\left( \beta  \right)\] là: \[0\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + \frac{1}{2}} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\] hay \[6y + 4z - 1 = 0\]

d) Ta có \[\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right);\,\overrightarrow {OC}  = \left( {1;1;2} \right)\]

Vectơ pháp tuyến của \[\left( \gamma  \right)\] là \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {0; - 2;1} \right)\].

PT mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là: \[0x - 2y + 1z = 0\] hay \[2y - z = 0\]

a) Ta có \[d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 4 - 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2\].

b) Ta có VTPT của hai mặt phẳng \[\left( P \right)\]và \[\left( Q \right)\]lần lượt là \[\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;2; - 2} \right)\].

Hơn nữa \[\frac{2}{1} \ne \frac{2}{2} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 2}}\] nên hai véctơ \[\overrightarrow {{n_P}} \] và \[\overrightarrow {{n_Q}} \] không cùng phương.

Do đó hai mặt phẳng \[\left( P \right)\]và \[\left( Q \right)\]cắt nhau.

c) Ta có hai mặt phẳng \[\left( P \right)\]và \[\left( R \right)\]song song nhau.

Lấy điểm \[O\left( {0;0;0} \right)\]thuộc mặt phẳng \[\left( R \right)\].

\[d\left( {\left( R \right),\left( P \right)} \right) = d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| 3 \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 1\]

d) Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có VTPT là \[\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;2; - 1} \right)\].Mặt phẳng \(\left( T \right)\) có VTPT là \[\overrightarrow {{n_T}}  = \left( {1;1;m} \right)\].

Vì hai mặt phẳng \[\left( P \right)\]và \[\left( T \right)\] cắt nhau nên hai VTPT \[\overrightarrow {{n_P}} \] và \[\overrightarrow {{n_T}} \] không cùng phương.

\[ \Rightarrow m \ne \frac{{ - 1}}{2}\].

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(I\left( {1;\;2;\;4} \right)\)

\[MA{\,^2} + MB{\,^2} = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = MI{\,^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA}  + IA{\,^2} + MI{\,^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB}  + IB{\,^2}\]

                    \( = 2.MI{\,^2} + 2\overrightarrow {MI} (\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} ) + IA{\,^2} + IB{\,^2} = 2.MI{\,^2} + IA{\,^2} + IB{\,^2}\)

\(MA{\,^2} + MB{\,^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất Û \(2.MI{\,^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất Û \(MI\) đạt giá trị nhỏ nhất.

\(\left( \alpha  \right):x - 2y + z + 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;\; - 2;\;1} \right)\)

Do \(M \in \left( \alpha  \right)\) nên \(M\left( {{x_0};\;{y_0};\;{z_0}} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( \alpha  \right)\\\overrightarrow {IM}  = k.\overrightarrow n \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 2{y_0} + {z_0} + 5 = 0\\{x_0} - 1 = k\\{y_0} - 2 =  - 2k\\{z_0} - 4 = k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{y_0} = 4\\{z_0} = 3\\k =  - 1\end{array} \right.\)

Do \[\left( P \right)\] song song với \[\left( \alpha  \right)\] nên \[\left( P \right)\] có phương trình: \[2x + 3y + z + m = 0\], điều kiện \[m \ne 1\].

Khi đó: \[\left( P \right)\] cắt các tia \[{\rm{O}}x\,,{\rm{O}}y\,,{\rm{O}}z\] lần lượt tại các điểm là: \[A\left( { - \frac{m}{2}\,;0\,;0} \right)\], \[B\left( {0\,; - \frac{m}{3}\,;0} \right)\], \[C\left( {0\,;0\,; - \,m} \right)\], với \[m < 0\].

Thể tích khối tứ diện \[OABC\] bằng \[6\] nên \[\frac{1}{6}OA\,.\,OB\,.\,OC = 6\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{6}.\left| { - \frac{m}{2}} \right|.\left| { - \frac{m}{3}} \right|.\left| { - \,m} \right| = 6 \Leftrightarrow  - \frac{{{m^3}}}{{36}} = 6\] (do \[m < 0\])

\[ \Leftrightarrow {m^3} =  - \,216 \Leftrightarrow m =  - \,6\] (thỏa mãn).

Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right),{\rm{ }}B\left( {0;b;0} \right),{\rm{ }}C\left( {0;0;c} \right)\) với \(a,b,c > 0.\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\); \[OA + OB + OC = a + b + c\]

\(M\left( {1;4;9} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) = \left( {{{\left( {\sqrt {\frac{1}{a}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{4}{b}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{9}{c}} } \right)}^2}} \right)\left( {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2}} \right) \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}.\)

\( \Rightarrow a + b + c \ge 36.\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi  Nên \(\left( P \right):\frac{x}{6} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{18}} = 1.\)

Gọi \(A,B\) là giao điểm của mp \(\left( Q \right)\) với trục \(Ox\) và \(Oy\), \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(AB\).

Vì khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng \(30m\) nên \(OH = 30\)

Theo giả thiết, ta có góc \(\widehat {OAH} = {38^0}\), khi đó \(OA = \frac{{OH}}{{\sin {{38}^0}}} = \frac{{30}}{{\sin {{38}^0}}}\), \({x_H} =  - OH\cos {52^0} =  - 30\cos {52^0}\), \({y_H} =  - OH\cos {38^0} =  - 30\cos {38^0}\)

Tọa độ điểm \(A\left( { - \frac{{30}}{{\sin {{38}^0}}};\,0\,;\,0} \right)\), \(H\left( { - 30\cos {{52}^0};\, - 30\cos {{38}^0};0} \right)\) chọn VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {1;\,\frac{{\cos {{38}^0}}}{{\cos {{52}^0}}}\,;\,0} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\) vuông góc \(OH\) nhận \(\overrightarrow n \) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình

\(\left( {x + \frac{{30}}{{\sin {{38}^0}}}} \right) + \frac{{\cos {{38}^0}}}{{\cos {{52}^0}}}y = 0 \Leftrightarrow x + \frac{{\cos {{38}^0}}}{{\cos {{52}^0}}}y + \frac{{30}}{{\sin {{38}^0}}} = 0\)

Vậy \(m + n = 68\).

Gắn hình chóp cụt vào hệ trục \[Oxyz\], ta có:

\[O(0;0;0),A(100;0;0),G(100;60;0),D(0;60;0),B(10;10;8)\]

 Do \[\overrightarrow {OA}  = (100;0;0),\overrightarrow {OB}  = (10;10;8)\] nên \[\vec n = [\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ] = (0; - 100;1000)\].

Suy ra mặt phẳng \[\left( {OACB} \right)\] có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_1}\,}  = \left( {0;1; - 10} \right)\].

Phương trình tổng quát của mặt phẳng \[\left( {OACB} \right)\] là \[y - 10z = 0\].