Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (1; 1; 3), \(\overrightarrow {AC} \) = (2; 2; 4).

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) = \(\left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\2&4\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\4&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\2&2\end{array}} \right|} \right)\) = (−2; 2; 0) = −2(1; −1; 0).

\(\overrightarrow n \) = (1; −1; 0) chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

1(x – 1) – 1(y – 0) + 0(z + 3) = 0 hay x – y – 1 = 0.

Ta có: A(2; 0; 0), B(0; −3; 0), C(0; 0; 1) nên phương trình mặt phẳng (ABC) viết theo phương trình mặt phẳng đoạn chắn là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 3}} + \frac{z}{1} = 1\).

a) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) là: \(d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {2 - 2.( - 1) - 2.3 + 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\) = \(\frac{7}{3}\).

b) Phương trình mặt phẳng (β) đi qua A và song song với (α) có vectơ pháp tuyến

\(\overrightarrow {{n_\beta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} \)= (1; −2; −2).

Do đó, ta có phương trình mặt phẳng (β) là: 1(x – 2) – 2(y + 1) – 2(z – 3) = 0

hay x – 2y – 2z + 2 = 0.

a) Ta có: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) = (1; 2; 3), \(\overrightarrow {AB} \) = (1; 2; 2).

Do đó, \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\2&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\1&2\end{array}} \right|} \right)\) = (−2; 1; 0).

Vậy phương trình mặt phẳng (β) là:

−2(x – 2) + 1(y + 1) + 0(z – 0) = 0

⇔ −2x + y + 5 = 0 hay 2x – y – 5 = 0.

b) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (1; 2; 2), \(\overrightarrow i \) = (1; 0; 0) (\(\overrightarrow i \) là vectơ chỉ phương của Ox).

Do mặt phẳng (P) chứa A, B và (P) ∥ Ox nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow i } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&2\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\1&0\end{array}} \right|} \right)\) = (0; 2; −2) = 2(0; 1; −1).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

0(x – 2) + 1(y + 1) – 1(z – 0) = 0 ⇔ y – z + 1 = 0.

a) Ta có: \(\overrightarrow {OH} \) = (3; 2; 4), \(\overrightarrow j \) = (0; 1; 0) (\(\overrightarrow j \) là vectơ chỉ phương của Oy).

Vì mặt phẳng (P) chứa điểm H và trục Oy nên

\(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow j } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&4\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&3\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\0&1\end{array}} \right|} \right)\) = (−4; 0; 3).

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:

−4(x – 0) + 0(y – 0) +3(z – 0) = 0

⇔ −4x + 3z = 0.

b) Do H là trực tâm tam giác ABC nên OH ⊥ (ABC)

⇒ \(\overrightarrow {OH} \) = (3; 2; 4) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

3(x – 3) + 2(y – 2) + 4(z – 4) = 0

⇔ 3x + 2y + 4z – 29 = 0.

Ta có khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy) là h = d(A, (Oxy) = 1.

Bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu tâm A, bán kính bằng R = 2 với mặt phẳng (Oxy) là r = \(\sqrt {{R^2} - {1^2}} = \sqrt 3 \).

Vậy bán kính vùng phủ sóng trên mặt phẳng (Oxy) bằng \(\sqrt 3 \).

Ta có: phương trình mặt phẳng chứa mặt sàn căn phòng: x + 2y + 2z – 1 = 0.

Phương trình mặt phẳng chứa trần căn phòng là: x + 2y + 2z – 3 = 0.

Lấy điểm M(3; 0; 0) thuộc mặt phẳng trần căn phòng.

Khoảng cách giữa mặt sàn và trần căn phòng là: d = \(\frac{{\left| {3 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }}\)= \(\frac{2}{3}\) < 1 nên không thể kê được chiếc tủ có chiều cao bằng 1.