Bài tập Vận dụng kiến thức phương trình mặt phẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Hình dưới đây là hình ảnh minh họa của một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục theo mét). Biết A(50; 0; 0), D(0; 20; 0), B(3k; 2k; k) với k > 0 và (CBEF) có phương trình z = 3. Biết rằng tọa độ điểm B(a; b; c). Khi đó giá trị a + b + c bằng bao nhiêu?
9;
6;
3;
18.
Đáp án đúng là: D
Vì B(3k; 2k; k) (CBEF): z = 3 nên k = 3.
Suy ra B(9; 6; 3). Khi đó a + b + c = 18.
Khi gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là dm) vào một ngôi nhà 1 tầng, người ta thấy rằng mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục Oz. Biết rằng các vị trí A(3; 4; 33), D(9; 8; 35) lần lượt thuộc mặt dưới, mặt trên của mái nhà. Độ dày của mái nhà được tính bằng khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà đó. Hãy cho biết độ dày của mái nhà đó là bao nhiêu dm?
33;
4;
3;
2.
Đáp án đúng là: D
Do mặt dưới của mái nhà thuộc mặt phẳng vuông góc với trục Oz và đi qua A(3; 4; 33) nên phương trình mặt phẳng chứa mặt dưới của mái nhà là: z – 33 = 0.
Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng chứa mặt dưới của mái nhà bằng:
\(\frac{{\left| {35 - 33} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 2\).
Hai đứa trẻ đang chơi với một quả bóng. Bé giá ném quả bóng cho bé trai. Quả bóng di chuyển trong không khí, uốn cong 3 m về bên phải và rơi cách bé giá 5 m (xem hình)
Biết rằng mặt phẳng chứa quỹ đạo của quả bóng vuông góc với mặt đất và phương trình tổng quát của nó có dạng ax −3y + c = 0. Tính a + c?
1;
4;
3;
2.
Đáp án đúng là: B
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Ta có \(OC = \sqrt {O{B^2} - B{C^2}} = 4\). Suy ra B(3; 4; 0).
Mặt phẳng chứa quỹ đạo đi qua O(0; 0; 0) và nhận \(\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right),\overrightarrow {OB} \left( {3;4;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Suy ra vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( { - 4;3;0} \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng chứa quỹ đạo của quả bóng là
−4(x – 0) + 3(y – 0) + 0(z – 0) = 0 4x – 3y = 0.
Do đó a + c = 4.
Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục Oxyz như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và có tâm của mặt đáy trên lần lượt là A(3; 2; 3), B(6; 3; 3), C(9; 4; 2), D(6; 0; \(\frac{5}{2}\)).
Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC). (làm tròn đến hàng phần trăm).
2,58;
2,85;
3,85;
3,58.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {6;2; - 1} \right)\).
Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( { - 1;3;0} \right)\) nên phương trình (ABC):
x – 3y + 3 = 0.
Vậy khoảng cách \(d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.6 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{9\sqrt {10} }}{{10}} \approx 2,85\).
Trên bản thiết kế đồ họa 3D của một cánh đồng điện mặt trời (như hình dưới đây) trong không gian Oxyz, một tấm pin nằm trên mặt phẳng (P): 6x + 5y + z + 2 = 0; một tấm pin khác nằm trên mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(1; 1; 1) và song song với (P). Biết phương trình mặt phẳng (Q) có dạng Ax + By + Cz + D = 0. Tính A + B + C + D.
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: A
Vì (Q) // (P) nên (Q) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {6;5;1} \right)\).
Nên phương trình mặt phẳng (Q): 6x + 5y + z – 12 = 0.
Do đó A + B + C + D = 0.
Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo km) vào một trận địa pháo phòng không, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất. Trong tập luyện, một vùng mặt phẳng trong tầm hoạt động của pháo được giữ bởi 3 điểm pháo A(3; 0; 0), B(0; 1,5; 0), C(0; 0; −1,5). Một mục tiêu bay từ M(5; 2; 4) tới N(1; 0; −2). Khoảng cách từ điểm pháo A tới vị trí va chạm của mục tiêu khi tới mặt phẳng là bao nhiêu km (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
1,41;
1,14;
2,41;
2,14.
Đáp án đúng là: A
Gọi mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm pháo A(3; 0; 0), B(0; 1,5; 0), C(0; 0; −1,5) nên có phương trình là \(\frac{x}{3} + \frac{y}{{1,5}} + \frac{z}{{ - 1,5}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y - 2z - 3 = 0\).
Giả sử điểm G(xG; yG; zG) là vị trí khi mục tiêu bay tới mặt phẳng (P) để tới vị trí N nên G ∈ (P).
Do \(\overrightarrow {MG} ,\overrightarrow {MN} \) là 2 vectơ cùng hướng nên tồn tại số thực t > 0 sao cho \(\overrightarrow {MG} = t\overrightarrow {MN} \).
Ta có \(\overrightarrow {MG} = \left( {{x_G} - 5;{y_G} - 2;{z_G} - 4} \right);\overrightarrow {MN} = \left( { - 4; - 2; - 6} \right)\).
Nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} - 5 = - 4t\\{y_G} - 2 = - 2t\\{z_G} - 4 = - 6t\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = 5 - 4t\\{y_G} = 2 - 2t\\{z_G} = 4 - 6t\end{array} \right.\).
Vì G ∈ (P) 5 – 4t + 2(2 – 2t) – 2(4 – 6t) = 3 t = \(\frac{1}{2}\) G(3; 1; 1).
Do đó \(\overrightarrow {AG} = \left( {0;1;1} \right) \Rightarrow AG = \sqrt 2 \approx 1,41\).
Phần mềm điều khiển máy in 3D cho biết đầu in phun của máy đang đặt tại điểm M(3; 4; 24) (đơn vị: cm). Tính khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in có phương trình z – 4 = 0.
4;
5;
20;
10.
Đáp án đúng là: C
Ta có phương trình mặt phẳng là (P): z – 4 = 0.
Khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in là d(M, (P)) = \(\frac{{\left| {24 - 4} \right|}}{1} = 20\).
Một ngôi nhà có các bậc thang của cầu thang đã thiết lập hệ tọa độ Oxyz. Biết hai mặt bậc thang song song nằm trên hai mặt phẳng phân biệt: (P): 2x – y + 2z + 8 = 0 và (Q): 2x – y + 2z + 2 = 0. Khoảng cách giữa hai bậc thang này bằng bao nhiêu?
2;
3;
4;
5.
Đáp án đúng là: A
Lấy A(0; 0; −4) ∈ (P), dễ thấy (P) // (Q)
Khi đó \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 4} \right) + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{3} = 2\).
Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm A(2; 1; 5) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng (P): 2x – y – 2z + 13 = 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P).
2;
3;
4;
5.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 1 - 2.5 + 13} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 2\).
Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, người ta đưa ra một cách kiểm tra bốn nút lưới (đỉnh hình lập phương) bất kì có đồng phẳng hay không bằng cách gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào khung lưới ô vuông và lập phương trình mặt phẳng đi qua ba nút lưới trong bốn nút lưới đã cho. Giả sử ba nút lưới mà tọa độ lần lượt là (1; 1; 10), (4; 3; 1), (3; 2; 5) và mặt phẳng đi qua ba nút lưới đó có phương trình x + my + nz + p = 0. Tính giá trị m +n + p.
15;
16;
18;
10.
Đáp án đúng là: D
Giả sử A(1; 1; 10), B(4; 3; 1), C(3; 2; 5),
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;2; - 9} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {2;1; - 5} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)\).
Mặt phẳng (ABC) đi qua A(1; 1; 10) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: −(x – 1) – 3(y – 1) – (z – 10) = 0 x + 3y + z − 14 = 0.
Do đó m + n + p = 3 + 1 − 14 = 10.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilomet), một máy bay đang ở vị trí A(3; −2; 1) và hạ cánh ở vị trí B(4; 6,5; 0) trên đường băng. Có một lớp mây được mô phỏng bởi mặt phẳng (P) đi qua ba điểm M(8; 0; 0), N(0; −8; 0), P(0; 0; 0,8). Độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh là bao nhiêu km?
0,6.
0,5.
0,7.
0,3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Giả sử C(a; b; c) là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây đề hạ cánh nên C thuộc (P).
Mặt phẳng (P) có phương trình là \(\frac{x}{8} + \frac{y}{{ - 8}} + \frac{z}{{0,8}} = 1 \Leftrightarrow x - y + 10z - 8 = 0\) .
Vì \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ cùng hướng nên tồn tại một số thực t > 0 sao cho
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;8,5; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = t\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AC} = \left( {a - 3;b + 2;c - 1} \right)\).
Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - 3 = t}\\{b + 2 = 8,5t}\\{c - 1 = - t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = t + 3}\\{b = 8,5t - 2}\\{c = - t + 1}\end{array}} \right.\).
Do đó C(t + 3; 8,5t – 2; − t + 1).
Vì C thuộc (P) nên ta có t + 3 − 8,5t + 2 + 10∙(− t + 1) – 8 = 0 ⇔ t = \(\frac{2}{5}\).
Vậy C(3,4; 1,4; 0,6).
Độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây là 0,6 km.
Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Hai bức tường lần lượt thuộc các mặt phẳng (P), (Q) (như hình vẽ) của toà nhà lần lượt có phương trình: (P): 2x + 2y – 4z + 15 = 0, (Q): x + y – 2z + 1 = 0. Tính khoảng cách giữa hai bức tường (P) và (Q) của toà nhà (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
2,7.
2,6.
2,8.
2,9.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có:
(P): 2x + 2y – 4z + 15 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 4} \right) = 2 \cdot \left( {1;1; - 2} \right)\).
(Q): x + y – 2z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_P}} = 2\overrightarrow {{n_Q}} \) và 15 ≠ 2×1 nên (P) // (Q).
Chọn M(0; 1;1) thuộc mặt phẳng (Q). Do hai bức tường (P) và (Q) song song nên
d((Q), (P)) = d(M, (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 15} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{13}}{{\sqrt {24} }} \approx 2,7\).
Trong giờ thể dục học về kỹ thuật chuyền bóng da, Bình và Mạnh tập chuyền bóng cho nhau. Ở một động tác Bình chuyền bóng cho Mạnh, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang bên trái của Mạnh và rơi xuống vị trí cách chỗ Mạnh đứng 0,5m và cách chỗ Bình 4,5m. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho gốc toạ độ O tại vị trí của Bình, vị trí của Mạnh nằm trên tia Ox và mặt phẳng Oxy là mặt đất (tham khảo hình vẽ). Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng (P): x + by + cz + d = 0 và (P) vuông góc với mặt đất. Khi đó, giá trị của − b2 – c2 + 3d2 bằng bao nhiêu?
60.
80.
100.
−160.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Quả bóng rơi xuống điểm A(\(\sqrt {20} \); 0,5; 0).
Mặt phẳng (P): x + by + cz + d = 0 đi qua O nên d = 0, điểm A(\(\sqrt {20} \); 0,5; 0) thuộc (P) nên \(\sqrt {20} \) + 0,5b = 0 ⇔ b = \( - 4\sqrt 5 \).
Vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 4\sqrt 5 ;c} \right)\), vectơ pháp tuyến của mặt đất (Oxy) là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\).
Mặt khác (P) vuông góc với mặt đất nên
\(\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{n_{Oxy}}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}} \bot \vec k = 0 \Leftrightarrow 1 \cdot 0 + \left( { - 4\sqrt 5 } \right) \cdot 0 + c \cdot 1 = 0 \Leftrightarrow c = 0\).
Mặt phẳng (P) có phương trình là: x – 4\(\sqrt 5 \) = 0.
Vậy −2b2 – c2 + d2 = − 160.
Phần mềm điều khiển máy in 3D cho biết đầu in phun của máy đàn đặt tại điểm M(3; 4; 13) (đơn vị: cm). Tính khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in có phương trình 2x + 2y + z – 3 = 0.
8.
4.
5.
6.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
d(M, (P)) = \(\frac{{\left| {3 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 13 \cdot 1 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{24}}{3} = 8\).
Khi gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimet) vào một ngôi nhà hai tầng, người ta thấy rằng mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục Oz. Biết rằng các vị trí A(6; 9; 57), D(13; 21; 51) lần lượt thuộc mặt dưới, mặt trên của mái nhà. Độ dày của mái nhà được tính bằng khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà đó. Hãy cho biết độ dày của mái nhà đó bằng bao nhiêu dm?
6.
4.
5.
3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Do mặt dưới của mái nhà thuộc mặt phẳng vuông góc với trục Oz và đi qua điểm A(6; 9; 57) nên phương trình mặt phẳng chứa mặt dưới của mái nhà: z – 57 = 0.
Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng chứa dưới của mái nhà tầng bằng: \(\frac{{\left| {51 - 57} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 6\).
Vậy độ dày của mái nhà là 6 dm.
Người ta thiết kế một mái che hình chữ nhật ABCD phía trên sân khấu như hình vẽ. Một cổng chào hình chữ nhật EFHG cao 4 m dựng vuông góc với mặt đất. Người ta muốn làm các đoạn dây nối thanh ngang GE với mái che để gắn hoa và đèn. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ sau (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m).
Khi đó:
Toạ độ A(0; 0; 8), B(0; 20; 8), D(15; 0; 14), C(15; 20; 14).
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {80;0;300} \right)\).
Mặt phẳng (ABCD) có phương trình 4x + 15z – 120 = 0.
Độ dài ngắn nhất của dây nối thanh ngang GE với mái che bằng 1,8 (m) (kết quả làm tròn hàng đơn vị).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Giả sử toạ độ của các điểm mái che là: A(0; 0; 8), B(0; 20; 8), D(15; 0; 14), C(15; 20; 14).
b) Sai. \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;20;0} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {15;20;6} \right)\).
\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {120;0; - 300} \right)\).
c) Sai. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {120;0; - 300} \right)\).
Mặt phẳng (ABCD) đi qua A(0; 0; 8) và chọn \(\vec n = \left( {120;0; - 300} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 120(x – 0) + 0y – 300(z – 8) = 0 ⇔ 120x – 300z + 2400 = 0 hay 2x – 5z + 40 = 0.
d) Sai. Giả sử toạ độ G(8; 0; 4).
Khoảng cách từ điểm G(8; 0; 4) đến mặt phẳng (ABCD) chính là độ dài ngắn nhất từ thanh ngang GE với mái che được tính như sau:
d(G, (ABCD)) = \[\frac{{\left| {8 \cdot 2 - 5 \cdot 4 + 40} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{36}}{{\sqrt {29} }} \approx 6,7\].
Một sân golf được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt OAGD. BCFE có hai đáy song song với nhau. Mặt sân OAGD là hình chữ nhật và được gắn hệ trục Oxyz như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Mặt sân OAGD có chiều dài OA = 100(m), chiều rộng OD = 60(m) và toạ độ điểm B(10; 10; 8).
Khi đó:
Toạ độ điểm A(−100; 0; 0), D(0; 60; 0), G(100; 60; 0).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OBED) là \(\vec n = \left( {4;0; - 5} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (OBED) là 4x + 5z = 0.
d(B, (OAG)) = 8.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Từ hệ trục toạ độ ta có O(0; 0; 0), A(100; 0; 0), D(0; 60; 0), G(100; 60; 0).
b) Đúng. \(\overrightarrow {OB} = \left( {10;10;8} \right)\), \(\overrightarrow {OD} = \left( {0;60;0} \right)\).
\(\vec u = \left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OD} } \right] = \left( { - 480;0;600} \right) = 120 \cdot \left( { - 4;0;5} \right)\).
Chọn \(\overrightarrow n = \frac{1}{{120}} \cdot \overrightarrow u \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OBED).
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OBED) là \(\vec n = \left( {4;0; - 5} \right)\).
c) Sai. Phương trình mặt phẳng (OBED) đi qua O(0; 0; 0) và nhận \(\vec n = \left( {4;0; - 5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 4(x – 0) + 0(y – 0) - 5(z – 0) = 0 hay
–4x + 5z = 0.
d) Đúng. Từ hệ trục toạ độ có B(10; 10; 8).
d(B, (OAG)) = d(B, (Oxy)) = 8.
Một công trường xây dựng trường học đã thiết lập hệ toạ độ Oxyz. Các mặt kính của toà nhà được kí hiệu là (P), (Q), (R), biết:
(P): 2x + y – z – 10 = 0.
(Q): 6x + 3y – 3z + 15 = 0.
(R): x − 3y – z + 1 = 0.
Khi đó:
(P) // (Q).
(P) \( \bot \) (R).
(P), (Q), (R) đôi một vuông góc.
Khoảng cách giữa hai bức tường (P) và (Q) là \(\frac{{15}}{{\sqrt 6 }}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Mặt phẳng (P): 2x + y – z – 10 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 1} \right)\)
Mặt phẳng (Q): 6x + 3y – 3z + 15 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {6;3; - 3} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {6;3; - 3} \right) = 3 \cdot \left( {2;1; - 1} \right) = 3 \cdot \overrightarrow {{n_P}} \) và 3∙(-10) ≠ 15.
Vậy (P) // (Q).
b) Đúng. Mặt phẳng (R): x − 3y – z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_R}} = \left( {1; - 3; - 1} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_R}} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 0\).
Vậy (P) \( \bot \) (R).
c) Sai. Ta có (P) \( \bot \) (R) và (P) // (Q).
Mặt phẳng (R): x − 3y – z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_R}} = \left( {1; - 3; - 1} \right)\)
Mặt phẳng (Q): 6x + 3y – 3z + 15 = 0 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {6;3; - 3} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_R}} \cdot \overrightarrow {{n_Q}} = 6 \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 0\).
Vậy (R) \( \bot \) (Q).
Vậy (P), (Q), (R) không đôi một vuông góc.
d) Đúng. Chọn M(5; 0; 0) là điểm thuộc mặt phẳng (P).
Do (P) // (Q) nên:
d((P), (Q)) = d(M, (Q)) = \(\frac{{\left| {5 \cdot 6 + 0 \cdot 3 - 0 \cdot 3 + 15} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {3^2}} }} = \frac{{45}}{{3\sqrt 6 }} = \frac{{15}}{{\sqrt 6 }}\).
Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột trụ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 6m, 5m, 4m (tham khảo hình vẽ). Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 2m. Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ với B ∈ Ox, C ∈ Oy, tia Oz cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {AA'} \). Chọn gốc toạ độ O trùng với trung điểm của AC và mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1m.
Toạ độ các điểm A'(0; −1; 6), B(\(\sqrt 3 \); 0; 0), C(0; 1; 0).
Mặt phẳng (ABC) nhận \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng (A'B'C') nhận \(\vec n = \left( {0;1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
d(B', (ACC'A') = 3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ với O là trung điểm của AC.
Ta có A(0; − 1; 0), B(\(\sqrt 3 \); 0; 0), C(0; 1; 0), A'(0; −1; 6).
b) Đúng. Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {\sqrt 3 ;1;0} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {0;2;0} \right)\).
\(\vec u = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0;2\sqrt 3 } \right) = 2\sqrt 3 \cdot \left( {0;0;1} \right)\)
Chọn \(\vec k = \frac{1}{{2\sqrt 3 }} \cdot \overrightarrow u \) làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
Vậy mặt phẳng (ABC) nhận \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến.
c) Đúng. A'(0; −1; 6), B'(\(\sqrt 3 \); 0; 5), C'(0; 1; 4).
\(\overrightarrow {A'B'} = \left( {\sqrt 3 ;1; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {A'C'} = \left( {0;2; - 2} \right)\)
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 } \right) = 2\sqrt 3 \cdot \left( {0;1;1} \right)\).
Chọn \(\vec n = \frac{1}{{2\sqrt 3 }} \cdot \overrightarrow {{n_1}} \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (A'B'C').
Vậy mặt phẳng (A'B'C') nhận \(\vec n = \left( {0;1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
d) Sai. Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ với O là trung điểm AC.
Ta có A(0; −1; 0), C(0; 1; 0), A'(0; −1; 6), C'(0; 1; 4).
\(\overrightarrow {AC} = \left( {0;2;0} \right)\), \(\overrightarrow {AC'} = \left( {0;2;4} \right)\).
\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC'} } \right] = \left( {8;0;0} \right)\).
Mặt phẳng (ACC'A') đi qua A(0; −1; 0) và nhận \(\vec n = \left( {8;0;0} \right)\)làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 8(x − 0) + 0(y + 1) + 0(z − 0) = 0 hay 8x = 0.
d(B', (ACC'A')) = d(B, (ACC'A')) = \(\frac{{\left| {8 \cdot \sqrt 3 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \sqrt 3 \).
Khối rubik được gắn với hệ toạ độ Oxyz có đơn vị bằng độ dài cạnh hình lập phương nhỏ. Xét bốn điểm A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 2) và D(1; 1; 1).
Khi đó:
Khối rubik có cạnh bằng 3.
Điểm C là một đỉnh của khối rubik.
Phương trình mặt phẳng (ABC) là \(\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1\).
Điểm D thuộc mặt phẳng (ABC).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Khối rubik có cạnh bằng 3.
b) Sai. Điểm C không phải một đỉnh của khối rubik.
c) Đúng. Phương trình mặt phẳng (ABC) là \(\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1\).
d) Sai. Phương trình mặt phẳng (ABC) là \(\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1\) hay 2x + 2y + 3z – 6 = 0.
Thay tọa độ D(1; 1; 1) vào phương trình mặt phẳng (ABC), ta có:
2×1 + 2×1 + 3×1 – 6 = 1 ≠ 0.
Vậy D không thuộc mặt phẳng (ABC).
Hình vẽ minh hoạ một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt là các điểm A(2; 1; 3), B(4; 3; 3), C(6; 3; 2), D(k; 0; 3k). Biết rằng bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng, tính giá của k.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;0} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {4;2; - 1} \right)\).
\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;2; - 4} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(2; 1; 3) và nhận \(\vec n = \left( { - 2;2; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến: − 2(x – 2) + 2(y – 1) – 4(z – 3) = 0 hay – 2x + 2y – 4z + 14 = 0.
Vì A, B, C, D đồng phẳng nên D thuộc (ABC). Thay toạ độ điểm D vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta có: −2∙k + 2∙0 − 4∙3k + 14 = 0 hay k = 1.
Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét), một ngôi nhà như hình vẽ dưới đây có sàn nhà nằm trên mặt phẳng (Oxy). Hai mái nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng (P): x − 3y + 4 = 0, (Q): x − 3y – z + 1 = 0. Hỏi chiều cao của ngôi nhà tính từ sàn nhà đến nóc nhà (điểm cao nhất của mái nhà) là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Những điểm thuộc đường nóc nhà có toạ độ thoả mãn hệ:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 3y + 4 = 0}\\{x - 3y - z + 1 = 0}\end{array}} \right.\).
Chọn x = 2 nên y = 2.
Thay x = 2, y = 2 vào phương trình x − 3y – z + 1 = 0.
Ta có: 2 – 2∙3 – z + 1 = 0 ⟺ z = −3.
Vậy điểm A(2; 2; −3) là một điểm thuộc đường nóc nhà.
Khi đó chiều cao cần tìm của ngôi nhà là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy) bằng 3m
Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, người ta đưa ra một cách kiểm tra nút lưới (đỉnh hình lập phương) bất kì có đồng phẳng hay không bằng cách gắn hệ trục toạ độ Oxyz vào khung lưới ô vuông và lập phương trình mặt phẳng đi qua ba nút lưới trong bốn nút lưới đã cho. Giả sử có ba nút lưới có toạ độ lần lượt là (2; 1; 10), (3; 4; 1), (2; 5; 3) và mặt phẳng đi qua nút lưới đó có phương trình ax + by + cz – 77 = 0. Giá trị của a + b + c bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 26
Xét ba điểm A(2; 1; 10), B(3; 4; 1), C(2; 5; 3).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 9} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {0;4; - 7} \right)\).
\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {15;7;4} \right)\).
Mặt phẳng (ABC) đi qua A(2; 1; 10) và nhận \(\vec n = \left( {15;7;4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là: 15(x – 2) + 7(y – 1) + 4(z – 10) = 0 hay 15x + 7y + 4z – 77 = 0.
Vậy a + b + c = 15 + 7 + 4 = 26.
Một chiếc canô di chuyển trong một vùng nước có mặt đáy phẳng nhưng hơi dốc lên. Các điểm P(0; 0; −20), Q(50; 50; −15) và R(0; 50; −15) là các điểm thuộc mặt đáy. Trên canô có một cảm biến đo tiếng vọng đặt ở mặt nước. Khoảng cách từ cảm biến đến mặt đáy là bao nhiêu khi cảm biến ở điểm A(50; 50; 0)? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 15
\(\overrightarrow {PQ} = \left( {50;50;5} \right)\), \(\overrightarrow {PR} = \left( {0;50;5} \right)\).
\(\vec u = \left[ {\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PR} } \right] = \left( {0; - 250;2500} \right) = 250 \cdot \left( {0; - 1;10} \right)\).
Chọn \(\vec n = \frac{1}{{250}} \cdot \vec u\) làm vectơ pháp tuyến của mặt đáy.
Phương trình mặt đáy qua P và nhận \(\vec n = \left( {0; - 1;10} \right)\) làm vectơ pháp tuyến:
0(x – 0) – 1(y – 0) + 10(z + 20) = 0 hay – y + 10z + 200 = 0.
d(A, (PQR)) = \(\frac{{\left| {0 \cdot 50 - 1 \cdot 50 + 10 \cdot 0 + 200} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{10}^2}} }} = \frac{{150}}{{\sqrt {101} }} \approx 15\).
Trong một quảng trường, có hai bức tượng nghệ thuật được đặt cố định tại các vị trí A(1; 2; −1) và B(−2; 1; 0). Một trụ đèn chiếu sáng thông minh được lắp đặt trên một tấm kính lớn cố định, có phương trình (P): x – 2y + z + 4 = 0. Gọi toạ độ điểm đặt trụ đèn là M(a; b; c). Để tạo hiệu ứng ánh sáng đối xứng hoàn hảo giữa hai bức tượng, qua tính toán người thiết kế yêu cầu trụ đèn phải cách đều hai điểm A và B sao cho MA2 = MB2 = 2,75. Tính giá trị của a + b + c?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,5
Gọi I là trung điểm của AB do đó \(I\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{3}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)\) và (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
Khi đó mặt phẳng (Q) qua điểm \(I\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{3}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 1;1} \right)\) nên có phương trình là:
\( - 3 \cdot \left( {x + \frac{1}{2}} \right) - 1 \cdot \left( {y - \frac{3}{2}} \right) + 1 \cdot \left( {z + \frac{1}{2}} \right) = 0\) hay – 3x – y + z + \(\frac{1}{2}\) = 0.
Vì MA = MB nên M thuộc mặt phẳng (Q).
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y + z + 4 = 0}\\{ - 3x - y + z + \frac{1}{2} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2y + z = - x - 4}\\{ - y + z = 3x - \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 4x + \frac{7}{2}}\\{z = 7x + 3}\end{array}} \right.\).
Do đó \(M\left( {x;4x + \frac{7}{2};7x + 3} \right)\).
Có \(MA = \frac{{\sqrt {11} }}{2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {4x + \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {7x + 4} \right)^2} = \frac{{11}}{4}\).
\( \Leftrightarrow 66{x^2} + 66x + \frac{{66}}{4} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2}\).
Nên \(M\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{3}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)\).
Vậy a + b + c = \(\frac{1}{2}\).
Bạn có thích hoạt động này không?
