Bài tập Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có cặp vectơ chỉ phương lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) qua M(0; −2; 1) và có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {1;1; - 2} \right),\overrightarrow b = \left( {1;0;3} \right)\).
3x – 5y – z – 9 = 0;
3x – 5y – z + 9 = 0;
3x + 5y – z + 9 = 0;
3x – 5y + z – 9 = 0.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {3; - 5; - 1} \right)\).
Mặt phẳng (P) đi qua M(0; −2; 1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; - 5; - 1} \right)\) nên có phương trình 3(x – 0) – 5(y + 2) – (z – 1) = 0 3x – 5y – z – 9 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 4; 1), B(−1; 1; 3) và mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 5 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).
2y + 3z – 11 = 0;
2x – 3y – 11 = 0;
x – 3y + 2z – 5 = 0;
3y + 2z – 11 = 0.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3;2} \right)\), vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)\).
Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {0;8;12} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(2; 4; 1) suy ra phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) là 0(x – 2) + 8(y – 4) + 12(z – 1) = 0 2y + 3z – 11 = 0.
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 2; −1), B(−1; 0; 1) và mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc với (P).
2x – y + 3 = 0;
x + z = 0;
−x + y + z = 0;
3x – y + z = 0.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,\, - 2;\,\,2} \right),\,\,\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;\,\,2;\,\, - 1} \right).\]
Khi đó, \[\overrightarrow {{n_Q}} = - \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {{n_P},} \,\,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {1;\,\,0;\,\,1} \right).\]
Mặt phẳng (Q) nhận \[\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0;1} \right)\] làm 1 vectơ pháp tuyến và đi qua điểm A(1; 2; –1) nên có phương trình là:
1.(x ‒ 1) + 0.(y ‒ 2) + 1.(z + 1) = 0 hay x + z = 0.
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0; 1; 0), B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 2y – z = 0 có phương trình là
4x – 3y + 2z + 3 = 0;
4x – 3y – 2z + 3 = 0;
2x + y – 3z – 1 = 0;
4x + y – 2z – 1 = 0.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;1} \right)\), vectơ pháp tuyến mặt phẳng (Q): \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {4; - 3; - 2} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (P): 4x – 3(y – 1) – 2z = 0 4x – 3y – 2z + 3 = 0.
Cho hai mặt phẳng (α): 3x – 2y + 2z + 7 = 0, (β): 5x – 4y + 3z + 1 = 0. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả (α) và (β) là:
2x – y – 2z = 0;
2x – y + 2z = 0;
2x + y – 2z = 0;
2x + y – 2z + 1 = 0.
Đáp án đúng là: C
Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (α), (β) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3; - 2;2} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {5; - 4;3} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {2;1; - 2} \right)\).
Suy ra mặt phẳng (P) có phương trình là 2x + y – 2z = 0.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 4; 1), B(−1; 1; 3) và mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 5 = 0. Một mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) có dạng ax + by + cz – 11 = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?
a + b + c = 5;
a + b +c = 15;
a + b + c = −5;
a + b + c = −15.
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {0;8;12} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (Q): 0(x + 1) + 8(y – 1) + 12(z – 3) = 0 2y + 3z – 11 = 0.
Do đó a = 0; b = 2; c = 3. Do đó a + b + c = 5.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): ax + by + cz – 9 = 0 chứa hai điểm A(3; 2; 1), B(−3; 5; 2) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 3x + y + z + 4 = 0. Tính tổng S = a + b + c.
S = −12;
S = 2;
S = −4;
S = −2.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;3;1} \right)\); \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3;1;1} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2;9; - 15} \right)\) .
Phương trình mặt phẳng (P): 2(x – 3) + 9(y – 2) – 15(z – 1) = 0
2x + 9y – 15z – 9 = 0.
Suy ra a = 2; b = 9; c = −15. Do đó a + b + c = 2 + 9 + (−15) = −4.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 1) và hai mặt phẳng (P): 2x – y + 3z – 1 = 0, (Q): y = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).
3x – y + 2z – 4 = 0;
3x + y – 2z – 2 = 0;
3x – 2z = 0;
3x – 2z – 1 = 0.
Đáp án đúng là: D
Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)\), \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {0;1;0} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {{n_R}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 3;0;2} \right)\).
Mặt phẳng (R) có phương trình là −3x + 2z + 1 = 0 3x − 2z – 1 = 0.
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A(0; 1; 0), B(2; 0; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x – y – 1 = 0 là:
x – y + z – 1 = 0;
x + y – z + 1 = 0;
x – y – z – 1 = 0;
x + y – z – 1 = 0.
Đáp án đúng là: D
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 1;1} \right)\). Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng cần tìm là 1(x – 0) + 1(y – 1) – 1(z – 0) = 0
x + y – z – 1 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(−1; 3; 1), B(1; −1; 2), C(2; 1; 3), D(0; 1; −1). Mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD có phương trình là:
8x + 3y – 4z + 3 = 0;
x + 2y + 6z – 11 = 0;
x + 2z – 4 = 0;
2x + y – 1 = 0.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 4;1} \right),\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;0; - 4} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {16;6; - 8} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (P): 16(x + 1) + 6(y – 3) – 8(z – 1) = 0
8x + 3y – 4z + 3 = 0.
Trong không gian Oxyz. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0; −1; 2) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {2;1;3} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {1;1;2} \right)\).
−x − y + z −3 = 0.
−x + y + z + 1 = 0.
x − y + z − 1 = 0.
x – y − z + 1 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {2;1;3} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {1;1;2} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( { - 1; - 1;1} \right)\).
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0; −1; 2) có vectơ pháp tuyến\(\overrightarrow n = \left( { - 1; - 1;1} \right)\) có dạng −x − (y + 1) + 1(z − 2) = 0 ⇔ −x − y + z −3 = 0.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cặp vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {1;0;2} \right)\) có giá song song với mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua C(1; 1; 3).
2x – 6y + z + 7 = 0.
2x + 6y – z + 7 = 0.
2x – 6y – z − 7 = 0.
2x – 6y – z + 7 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {2;1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {1;0;2} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {2; - 6; - 1} \right)\).
Mặt phẳng (P) qua C(1; 1; 3) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 6; - 1} \right)\) nên ta có phương trình: 2(x – 1) – 6(y – 1) – (z – 3) = 0 hay 2x – 6y – z + 7 = 0.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) qua M(0; −2; 1) và có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {1;1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {1;0;3} \right)\).
3x − 5y – z − 9 = 0.
3x − 5y – z + 9 = 0.
3x + 5y – z + 9 = 0.
3x + 5y + z + 9 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {3; - 5; - 1} \right)\).
Mặt phẳng (P) đi qua M(0; −2; 1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; - 5; - 1} \right)\) nên có phương trình 3(x – 0) – 5(y + 2) – (z – 1) = 0 hay 3x – 5y – z – 9 = 0.
Trong không gian với toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm K(−1;2;3) và nhận hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;2;3} \right)\), \(\overrightarrow v = \left( {4;5;6} \right)\) làm vectơ chỉ phương?
x + 2y + z + 2 = 0.
x – 2y − z + 2 = 0.
x – 2y + z + 2 = 0.
x – 2y + z − 2 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 3;6; - 3} \right) = - 3 \cdot \left( {1; - 2;1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm K(−1;2;3) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:
(x + 1) – 2(y – 2) + (z – 3) hay x – 2y + z + 2 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1; 2; −4) và M'(5; 4; 2). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M' và nhận \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v = \left( {1; - 2;1} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương là:
7x + y + 5z – 29 = 0.
7x + y – 5z – 29 = 0.
7x + y + 5z + 29 = 0.
7x + y – 5z + 29 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {MM'} = \left( {4;2;6} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {7;1; - 5} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M' và nhận \(\overrightarrow n = \left( {7;1; - 5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:
7(x – 5) + 1(y – 4) – 5(z – 2) = 0 hay 7x + y – 5z – 29 = 0.
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; 1; 1) và có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right)\), \(\overrightarrow v = \left( {0;2; - 1} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của (P) là: \(\overrightarrow n = \left( { - 1;1;2} \right)\).
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là x – y – 2z + 1 = 0.
Điểm A(4; 3; 1) thuộc mặt phẳng (P).
Điểm B(2; 0; 8) thuộc mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 1;1;2} \right)\).
b) Đúng. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; 1; 1) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( { - 1;1;2} \right)\):
−1(x – 2) + y – 1 + 2(z – 1) = 0 ⇔ x – y – 2z + 1 = 0.
c) Đúng. Thay A(4; 3; 1) vào phương trình mặt phẳng (P): x – y – 2z + 1 = 0.
Ta có: 4 – 3 − 2∙1 + 1 = 0.
Vậy A thuộc mặt phẳng (P)
d) Sai. Thay B(2; 0; 8) vào phương trình mặt phẳng (P): x – y – 2z + 1 = 0.
Ta có: 2 – 0 − 2∙8 + 1 = − 13.
Vậy B không thuộc mặt phẳng (P).
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; −1; 2) và hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 1} \right)\), \(\overrightarrow v = \left( {0;1;3} \right)\). Xét mặt phẳng (Q) đi qua M và nhận vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) làm vectơ chỉ phương.
Khi đó:
Một vectơ pháp tuyến của (Q) là: \(\overrightarrow n = \left( {7; - 3;1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (Q) là 7x − 3y + z − 12 = 0.
Mặt phẳng (Q) đi qua gốc toạ độ O(0; 0; 0).
Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (Oxy) là điểm M'(1; −1; 0).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Vectơ pháp tuyến của (Q) là: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {7; - 3;1} \right)\).
b) Đúng. Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(1; −1; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {7; - 3;1} \right)\) là:
7(x – 1) – 3(y + 1) + (z – 2) = 0 ⇔ 7x − 3 y + z − 12 = 0.
c) Sai. Thay O(0; 0; 0) vào phương trình mặt phẳmg (Q): 7x − 3 y + z − 12 = 0.
Ta có: 7∙0 − 3∙0 + 0 – 12 = −12.
Vậy O không thuộc mặt phẳng (Q).
d) Đúng. Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (Oxy) là điểm M'(1; −1; 0).
Trong không gian Oxyz, cho điểm H(3; 4; 5). Gọi H' là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (Oxy). Xét mặt phẳng (P) đi qua H' và nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right)\), \(\overrightarrow v = \left( {2;1;3} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương.
Khi đó:
Toạ độ H'(3; 4; 0).
Phương trình mặt phẳng (P) là: 4x − 5y – z + 8 = 0.
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0; 0; 3).
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 8;10; - 2} \right)\) là vectơ pháp tuyến của (P).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. H' là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (Oxy) nên H'(3; 4; 0).
b) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {4; - 5; - 1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm H'(3; 4; 0) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {4; - 5; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:
4(x – 3) – 5(y – 4) – z = 0 ⇔ 4x − 5y – z + 8 = 0.
c) Sai. Thay M(0; 0; 3) vào phương trình mặt phẳng (P): 4x − 5y – z + 8 = 0.
Ta có: 4∙0 − 5∙0 – 3 + 8 = 5.
Vậy M không thuộc mặt phẳng (P).
d) Sai. \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 8;10; - 2} \right) = - 2 \cdot \left( {4; - 5;1} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow n \).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát: (3m − 1)x + 14y − 4z – 5 = 0 với m là tham số. Biết mặt phẳng (Q) nhận hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 3; - 1;4} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {1;1;1} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương.
Khi đó:
Tích có hướng của hai vectơ chỉ phương là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 5;7; - 2} \right)\).
Để mặt phẳng (Q) nhận \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) làm cặp vectơ chỉ phương khi m = 5.
Với m = 2 mặt phẳng đi qua điểm A(0; 2; −1) và nhận vectơ pháp tuyến của (Q) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là 5x + 14y – 4z + 32 = 0.
Với mọi giá trị của tham số m, vectơ \(\overrightarrow a = \left( {0;2;7} \right)\)luôn là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Q).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Tích có hướng của hai vectơ chỉ phương là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 5;7; - 2} \right)\).
b) Sai. Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) từ phương trình tổng quát là: \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3m - 1;14; - 4} \right)\).
Để (Q) nhận hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) làm cặp vectơ chỉ phương thì vectơ \(\overrightarrow {{n_Q}} \) phải cùng phương với tích có hướng \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 5;7; - 2} \right)\).
⇒ \(\overrightarrow {{n_Q}} = k \cdot \left( { - 5;7; - 2} \right) = \left( { - 5k;7k; - 2k} \right)\).
Khi đó\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3m - 1 = - 5k}\\{14 = 7k}\\{ - 4 = - 2k}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3m - 1 = - 5k{\rm{ }}}\\{k = 2{\rm{ }}}\\{k = 2{\rm{ }}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3m - 1 = - 10}\\{k = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 3}\\{k = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).
c) Sai. Với m = 2 mặt phẳng (Q) có phươmg trình là: 5x + 14y −4z – 5 = 0.
Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(0; 2; −1) và nhận \(\overrightarrow {\rm{w}} = \left( {5;14; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:
5x + 14(y – 2) − 4(z + 1) = 0 ⇔ 5x + 14y – 4z – 32 = 0.
d) Đúng. Để \(\overrightarrow a \) là vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Q) thì \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow {{n_Q}} = 0\).
Ta có: 0∙(3m – 1) + 2∙14 + 7∙(−4) = 0.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3), B(4; 5; 6) C(1; 2; 4).
Khi đó:
\(\overrightarrow {AB} = \left( {3;3;3} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {0;0;1} \right)\).
Tích có hướng của \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3; - 3;0} \right)\).
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng.
Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A đồng thời song song với trục Ox và đường thẳng BC là: 2y − 3z + 8 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;3;3} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {0;0;1} \right)\).
b) Đúng. Tích có hướng của \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3; - 3;0} \right)\).
c) Sai. Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng hướng.
d) Sai. Vì mặt phẳng (Q) song song với trục Ox và đường thẳng BC nên nhận \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 3; - 3; - 2} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương nên ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow i } \right] = \left( {0; - 2;3} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(1; 2; 3) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {0; - 2;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:
0(x – 1) − 2(y – 2) + 3(z – 3) = 0 hay 2y − 3z + 5 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho A(1; −2; −1), B(4; 1; 2), C(2; 3; 1). Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; −2; −1) đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC có phương trình x + By + Cz − 3 = 0. Tìm C.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −2
\(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;2; - 1} \right)\).
Vì mặt phẳng (P) song song với trục Oy và đường thẳng BC nên nhận \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;2; - 1} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương nên ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow j ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - 1;0;2} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; −2; −1) và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 1;0;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:
−(x – 1) + 2(z + 1) = 0 hay x – 2z – 3 = 0.
Vậy C = −2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(0; −2; 1) và hai vectơ\(\overrightarrow a = \left( {1;1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {1;0;3} \right)\). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M và nhận \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) làm cặp vectơ chỉ phương. Biết phương trình mặt phẳng (P) có dạng là: 3x − 5y + Cz + D = 0. Khi đó D có giá trị bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −9
Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} \) của mặt phẳng (P) là tích có hướng của cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \).
Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {3; - 5; - 1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận \(\overrightarrow {{n_P}} \) làm vectơ pháp tuyến là:
3x – 5(y + 2) – 1(z – 1) = 0 ⇔ 3x – 5y – z – 9 = 0.
Vậy D = −9.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; −1; 4). Gọi M' là hình chiếu vuông góc của M lên trục Oz. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua M và nhận \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v = \left( {3;2;1} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương. Biết phương trình của mặt phẳng (α) có dạng x + 2y + Cz + D = 0. Khi đó giá trị của D bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 28
Hình chiếu của M lên Oz là M'(0; 0; 4).
\(\overrightarrow u = \overrightarrow {MM'} = \left( { - 2;1;0} \right)\).
Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \)\(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {1;2; - 7} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(2; −1; 4) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}} \) làm vectơ pháp tuyến là:
1(x – 2) + 2(y + 1) − 7(z – 4) = 0 ⇔ x + 2y – 7z + 28 = 0.
Vậy D = 28.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(5; 1; 3) và B(2; −2; 0). Điểm M thoả mãn đẳng thức sau \(\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} \). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và nhận \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow v = \left( {1;0;2} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương. Biết phương trình của mặt phẳng (P) có dạng Ax + By + Cz −6 = 0. Hãy tính giá trị của biểu thức T = A + B + C?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0
Gọi M(x; y; z) .
Ta có \(\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} \).
Khi đó: \(\left( {5 - x;1 - y;3 - z} \right) = 2 \cdot \left( {2 - x; - 2 - y; - z} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 - x = 2 \cdot \left( {2 - x} \right)}\\{1 - y = 2 \cdot \left( { - 2 - y} \right)}\\{3 - z = - 2z}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{y = - 5}\\{z = - 3}\end{array}} \right.\)Þ M(−1; −5; −3).
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3; - 3} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 6;3;3} \right)\).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và nhận \(\overrightarrow n \) làm vectơ pháp tuyến là:
2(x + 1) – 1(y + 5) – 1(z + 3) = 0⇔ 2x − y – z – 6 = 0.
Suy ra A = 2; B = −1; C = −1. Do đó T = 2 – 1 – 1 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho A(1; 0; 2), B(3; 1; 2). Gọi M ∈ Oy sao cho OM = 3 và có tung độ dương. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M đồng thời song song với trục Oz và đường thẳng AB. Biết phương trình của mặt phẳng (P) có dạng Ax + By + Cx + 6 = 0. Xác định giá trị của A?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Do M thuộc trục Oy nên M(0; y; 0).
\(OM = \sqrt {{0^2} + {y^2} + {0^2}} = 3 \Leftrightarrow {y^2} = 9 \Leftrightarrow y = 3\) (do M có tung độ dương).
Khi đó M(0; 3; 0).
Vì mặt phẳng (P) song song với trục Oz và đường thẳng AB nên nhận \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;1;0} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương nên ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {1; - 2;0} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0; 3; 0) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:
1(x – 0) − 2(y – 3) + 0(z – 0) = 0 ⇔ x −2y + 6 = 0.
Vậy A = 1.
Bạn có thích hoạt động này không?
