Bài tập Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có cặp vectơ chỉ phương lớp 12 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = \left( {2;1;3} \right)\), \(\overrightarrow b  = \left( {1;1;2} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( { - 1; - 1;1} \right)\).

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0; −1; 2) có vectơ pháp tuyến\(\overrightarrow n  = \left( { - 1; - 1;1} \right)\) có dạng −x − (y + 1) + 1(z − 2) = 0 ⇔ −x − y  + z −3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = \left( {2;1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow b  = \left( {1;0;2} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {2; - 6; - 1} \right)\).

Mặt phẳng (P) qua C(1; 1; 3) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 6; - 1} \right)\) nên ta có phương trình: 2(x – 1) – 6(y – 1) – (z – 3) = 0 hay 2x – 6y – z + 7 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {3; - 5; - 1} \right)\).

Mặt phẳng (P) đi qua M(0; −2; 1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 5; - 1} \right)\) nên có phương trình 3(x – 0) – 5(y + 2) – (z – 1) = 0 hay 3x – 5y – z – 9 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 3;6; - 3} \right) =  - 3 \cdot \left( {1; - 2;1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm K(−1;2;3) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:

(x + 1) – 2(y – 2) + (z – 3) hay x – 2y + z + 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {4;2;6} \right)\).

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {7;1; - 5} \right)\).

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M' và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {7;1; - 5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:

7(x – 5) + 1(y – 4) – 5(z – 2) = 0 hay 7x + y – 5z – 29 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.      b) Đúng.       c) Đúng.      d) Sai.

a) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 1;1;2} \right)\).

b) Đúng. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; 1; 1) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( { - 1;1;2} \right)\):

−1(x – 2) + y – 1 + 2(z – 1) = 0 ⇔ x – y – 2z + 1 = 0.

c) Đúng. Thay A(4; 3; 1) vào phương trình mặt phẳng (P): x – y – 2z + 1 = 0.

Ta có: 4 – 3 − 2∙1 + 1 = 0.

Vậy A thuộc mặt phẳng (P)

d) Sai. Thay B(2; 0; 8) vào phương trình mặt phẳng (P): x – y – 2z + 1 = 0.

Ta có: 2 – 0 − 2∙8 + 1 = − 13.

Vậy B không thuộc mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                        b) Đúng                   c) Sai.                d) Đúng.

a) Đúng. Vectơ pháp tuyến của (Q) là: \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {7; - 3;1} \right)\).

b) Đúng. Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(1; −1; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {7; - 3;1} \right)\) là:

7(x – 1) – 3(y + 1) + (z – 2) = 0 ⇔ 7x − 3 y + z − 12 = 0.

c) Sai. Thay O(0; 0; 0) vào phương trình mặt phẳmg (Q): 7x − 3 y + z − 12 = 0.

Ta có: 7∙0 − 3∙0 + 0 – 12 = −12.

Vậy O không thuộc mặt phẳng (Q).

d) Đúng. Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (Oxy) là điểm M'(1; −1; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                   b) Đúng.            c) Sai.              d) Sai.

a) Đúng.  H' là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (Oxy) nên H'(3; 4; 0).

b) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {4; - 5; - 1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm H'(3; 4; 0) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {4; - 5; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:

4(x – 3) – 5(y – 4) – z = 0 ⇔ 4x − 5y – z + 8 = 0.

c) Sai. Thay M(0; 0; 3) vào phương trình mặt phẳng (P): 4x − 5y – z + 8 = 0.

Ta có: 4∙0 − 5∙0 – 3 + 8 = 5.

Vậy M không thuộc mặt phẳng (P).

d) Sai. \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 8;10; - 2} \right) =  - 2 \cdot \left( {4; - 5;1} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow n \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.         b) Sai.                c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Tích có hướng của hai vectơ chỉ phương là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 5;7; - 2} \right)\).

b) Sai. Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) từ phương trình tổng quát là: \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {3m - 1;14; - 4} \right)\).

Để (Q) nhận hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) làm cặp vectơ chỉ phương thì vectơ \(\overrightarrow {{n_Q}} \) phải cùng phương với tích có hướng \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 5;7; - 2} \right)\).

⇒ \(\overrightarrow {{n_Q}}  = k \cdot \left( { - 5;7; - 2} \right) = \left( { - 5k;7k; - 2k} \right)\).

Khi đó\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3m - 1 =  - 5k}\\{14 = 7k}\\{ - 4 =  - 2k}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3m - 1 =  - 5k{\rm{ }}}\\{k = 2{\rm{           }}}\\{k = 2{\rm{         }}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3m - 1 =  - 10}\\{k = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m =  - 3}\\{k = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

c) Sai. Với m = 2 mặt phẳng (Q) có phươmg trình là: 5x + 14y −4z – 5 = 0.

Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(0; 2; −1) và nhận \(\overrightarrow {\rm{w}}  = \left( {5;14; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:

5x + 14(y – 2) − 4(z + 1) = 0 ⇔ 5x + 14y – 4z – 32 = 0.

d) Đúng. Để \(\overrightarrow a \) là vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Q) thì \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow {{n_Q}}  = 0\).

Ta có: 0∙(3m – 1) + 2∙14 + 7∙(−4) = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.               c) Sai.                        d) Sai.

a) Đúng. \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;3;3} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( {0;0;1} \right)\).

b) Đúng. Tích có hướng của \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3; - 3;0} \right)\).

c) Sai. Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng hướng.

d) Sai. Vì mặt phẳng (Q) song song với trục Ox và đường thẳng BC nên nhận \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3; - 3; - 2} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương nên ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là: \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow i } \right] = \left( {0; - 2;3} \right)\).

Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(1; 2; 3) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {0; - 2;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:

0(x – 1) − 2(y – 2) + 3(z – 3) = 0 hay 2y − 3z + 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −2

\(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2;2; - 1} \right)\).

Vì mặt phẳng (P) song song với trục Oy và đường thẳng BC nên nhận \(\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2;2; - 1} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương nên ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow j ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - 1;0;2} \right)\).

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; −2; −1) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( { - 1;0;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:

−(x – 1) + 2(z + 1) = 0 hay x – 2z – 3 = 0.

Vậy C = −2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −9

Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} \) của mặt phẳng (P) là tích có hướng của cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {3; - 5; - 1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận \(\overrightarrow {{n_P}} \) làm vectơ pháp tuyến là:

3x – 5(y + 2) – 1(z – 1) = 0 ⇔ 3x – 5y – z – 9 = 0.

Vậy D = −9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 28

Hình chiếu của M lên Oz là M'(0; 0; 4).

\(\overrightarrow u  = \overrightarrow {MM'}  = \left( { - 2;1;0} \right)\).

Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \)\(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {1;2; - 7} \right)\).

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(2; −1; 4) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}} \) làm vectơ pháp tuyến là:

1(x – 2) + 2(y + 1) − 7(z – 4) = 0 ⇔ x + 2y – 7z + 28 = 0.

Vậy D = 28.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

Gọi M(x; y; z) .

Ta có \(\overrightarrow {MA}  = 2\overrightarrow {MB} \).

Khi đó: \(\left( {5 - x;1 - y;3 - z} \right) = 2 \cdot \left( {2 - x; - 2 - y; - z} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 - x = 2 \cdot \left( {2 - x} \right)}\\{1 - y = 2 \cdot \left( { - 2 - y} \right)}\\{3 - z =  - 2z}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1}\\{y =  - 5}\\{z =  - 3}\end{array}} \right.\)Þ M(−1; −5; −3).

Có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 3; - 3} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 6;3;3} \right)\).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và nhận \(\overrightarrow n \) làm vectơ pháp tuyến là:

2(x + 1) – 1(y + 5) – 1(z + 3) = 0⇔ 2x − y – z – 6 = 0.

Suy ra A = 2; B = −1; C = −1. Do đó T = 2 – 1 – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Do M thuộc trục Oy nên M(0; y; 0).

\(OM = \sqrt {{0^2} + {y^2} + {0^2}}  = 3 \Leftrightarrow {y^2} = 9 \Leftrightarrow y = 3\) (do M có tung độ dương).

Khi đó M(0; 3; 0).

Vì mặt phẳng (P) song song với trục Oz và đường thẳng AB nên nhận \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;1;0} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương nên ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {1; - 2;0} \right)\).

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0; 3; 0) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:

1(x – 0) − 2(y – 3) + 0(z – 0) = 0 ⇔ x −2y + 6 = 0.

Vậy A = 1.