Bài tập Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3; −2; −2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1). Phương trình mặt phẳng (ABC) là
2x – 3y + 6z = 0;
4y + 2z – 3 = 0;
3x + 2y + 1 = 0;
2y + z – 3 = 0.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;4;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;4;3} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4; - 6;12} \right) = 2\left( {2; - 3;6} \right)\).
Khi đó mặt phẳng (ABC) đi qua A(3; −2; −2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 3;6} \right)\) có phương trình là 2x – 3y + 6z = 0.
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0; 2; 1); B(3; 0; 1); C(1; 0; 1). Phương trình mặt phẳng (ABC) là:\(\)\(\)
z – 1 = 0;
x – 1 = 0;
y – 1 = 0;
4x + 6y – 8z + 2 = 0.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 2;0} \right)\).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0; - 4} \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là −4(z – 1) = 0 z – 1 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(3; 0; 0), N(0; −2; 0) và P(0; 0; 2). Mặt phẳng (MNP) có phương trình là:
\(\frac{x}{3} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{2} = - 1\);
\(\frac{x}{3} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{2} = 0\);
\(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\);
\(\frac{x}{3} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{2} = 1\).
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng (MNP) có phương trình là \(\frac{x}{3} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{2} = 1\).
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm O(0; 0; 0), A(0; 1; 0), B(0; 0; 1). Phương trình mặt phẳng (OAB) là
x = 0;
y = 1;
z = 1;
y + z = 0.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {0;0;1} \right)\).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {1;0;0} \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng (OAB) là x = 0.
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(5; 0; 0), B(0; 3; 0), C(4; 5; 0). Phương trình mặt phẳng (ABC) là
z = 0;
y = 3;
−x + 2y = 0;
x = 4.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 5;3;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;5;0} \right)\).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0; - 22} \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là 0(x – 5) + 0(y – 0) – 22z = 0 z = 0.
Trong không gian Oxyz, cho A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với bc ≠ 0. Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là
\(\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 0\);
\(\frac{x}{1} - \frac{y}{b} - \frac{z}{c} = 0\);
\(\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\);
\(\frac{x}{1} - \frac{y}{b} - \frac{z}{c} = 0\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình mặt phẳng (ABC) là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(5; 4; 3). Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục Ox, Oy, Oz. Phương trình của mặt phẳng (MNP) là
12x + 15y + 20z – 60 = 0;
12x + 15y + 20z + 60 = 0;
\(\frac{x}{5} + \frac{y}{4} + \frac{z}{3} = 0\);
\(\frac{x}{5} + \frac{y}{4} + \frac{z}{3} - 60 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Do M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục Ox, Oy, Oz nên M(5; 0; 0), N(0; 4; 0), P(0; 0; 3).
Phương trình mặt phẳng (MNP) là \(\frac{x}{5} + \frac{y}{4} + \frac{z}{3} = 1\) 12x + 15y + 20z – 60 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4). Biết phương trình mặt phẳng (ABC) là ax + by +cz −12 = 0. Khi đó giá trị của a + b + c bằng
−13;
19;
13;
−19.
Đáp án đúng là: C
Phương trình mặt phẳng (ABC) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 6x + 4y + 3z - 12 = 0\)
nên a + b + c = 13.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; −1; 0), C(0; 0; −3). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
−3x + 6y – 2z + 6 = 0;
−3x – 6y + 2z + 6 = 0;
−3x + 6y + 2z + 6 = 0;
−3x – 6y + 2z – 6 = 0.
Đáp án đúng là: C
Mặt phẳng (ABC) có dạng: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 1}} + \frac{z}{{ - 3}} = 1\) −3x + 6y + 2z + 6 = 0.
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(−3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; −2) là
4x − 3y + 6z + 12 = 0;
4x + 3y + 6z + 12 = 0;
4x + 3y – 6z + 12 = 0;
4x – 3y + 6z – 12 = 0.
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(−3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; −2) là
\(\frac{x}{{ - 3}} + \frac{y}{4} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\) 4x – 3y + 6z + 12 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3; −2; −2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1). Phương trình mặt phẳng (ABC) là:
2x – 3y + 6z = 0.
4y + 2z – 3 = 0.
3x + 2y + 1 = 0.
2y + z – 3 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;4;2} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;4;3} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {AB,} \overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4; - 6;12} \right) = 2 \cdot \left( {2; - 3;6} \right)\).
Khi đó phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(3; −2; −2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 3;6} \right)\) là:
2(x – 3) – 3(y + 2) + 6(z + 2) = 0 hay 2x – 3y + 6z = 0.
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0; 2; 1); B(3; 0; 1); C(1; 0; 1). Phương trình mặt phẳng (ABC) là:
z – 1 = 0.
x – 1 = 0.
y – 1 = 0.
4x + 6y – 8z + 2 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2;0} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 2;0} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0; - 4} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua A(0; 2; 1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {0;0; - 4} \right)\) là:
−4(z – 1) = 0 hay z – 1 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(4; 0; 0), N(0; −2; 0) và P(0; 0; 1). Mặt phẳng (MNP) có phương trình là:
\(\frac{x}{4} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{1} = - 1\).
\(\frac{x}{4} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{1} = 0\).
\(\frac{x}{4} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{ - 1}} = - 1\).
\(\frac{x}{4} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{1} = 1\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng (MNP) có phương trình là: \(\frac{x}{4} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{1} = 1\).
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm O(0; 0; 0), A(1; 0; 0), B(0; 1; 0). Phương trình mặt phẳng (OAB) là
x = 0.
y = 1.
z = 0.
y + z = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {1;0;0} \right)\), \(\overrightarrow {OB} = \left( {0;1;0} \right)\).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {0;0;1} \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng (OAB) là z = 0.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(4; 3; 3). Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục Ox, Oy, Oz. Phương trình của mặt phẳng (MNP) là?
3x + 4y + 4z − 12 = 0.
3x + 4y + 4z + 12 = 0.
\(\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 0\).
\(\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} - 12 = 0\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Do M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục Ox, Oy, Oz nên M(4; 0; 0), N(0; 3; 0), P(0; 0; 3).
Phương trình mặt phẳng (MNP) là \(\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1\) ⇔ 3x + 4y + 4z – 12 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 1), B(2; −1; 0), C(1; 1; 3).
Khi đó:
Toạ độ vectơ là \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3; - 1} \right)\).
Toạ độ vectơ là \(\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1;2} \right)\).
Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là: (7; 2; 1).
Mặt phẳng (ABC) có phương trình là 7x + 2y + z + 12 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Toạ độ vectơ là \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3; - 1} \right)\).
b) Sai. Toạ độ vectơ là \(\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 1;2} \right)\).
c) Đúng. Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến là:
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 7; - 2; - 1} \right) = - 1 \cdot \left( {7;2;1} \right)\).
Do đó \(\overrightarrow n = \left( {7;2;1} \right)\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
d) Sai. Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(1; 2; 1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {7;2;1} \right)\) có phương trình là:
7(x – 1) + 2(y – 2) + 1(z – 1) = 0 hay 7x + 2y + z − 12 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; −2; −1), B(4; 1; 2), C(2; 3; 1).
Khi đó:
\(\overrightarrow {AB} = \left( {3;3;3} \right)\).
Ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;1; - 4} \right)\).
Mặt phẳng (P) đi qua A đồng thời song song với Oy và đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;0;2} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;3;3} \right)\).
b) Đúng. \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;3;3} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;2} \right)\).
Ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
c) Đúng. \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 9; - 3;12} \right) = - 3\left( {3;1; - 4} \right)\).
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C và nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;1; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
d) Sai. Vì mặt phẳng (P) đi qua A đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC nên \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;2; - 1} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương nên ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow j } \right] = \left( {1;0; - 2} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; −2; 1), C(−2; 1; 0). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
Khi đó:
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (P) là x + y – z + 1 = 0.
Mặt phẳng (P) cắt trục Ox tại điểm M(−1; 0; 0).
Điểm N(1; −2; 0) thuộc mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;0; - 2} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {6;6; - 6} \right) = 6 \cdot \left( {1;1; - 1} \right)\).
Chọn \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\).
b) Đúng. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0; 1; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\) là:
x + y – 1 – 1(z – 2) = 0 hay x + y – z + 1 = 0.
c) Đúng. Mặt phẳng (P) cắt trục Ox tại điểm M(−1; 0; 0).
d) Đúng. Thay N(1; −2; 0) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y – z + 1 = 0.
Ta có: 1 – 2 – 0 + 1 = 0.
Vậy N thuộc mặt phẳng (P).
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và ba điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(1; 2; 3) lên các trục toạ độ. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
Khi đó:
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow n = \left( {6;3;2} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (P) là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 0\).
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC khi đó \(G\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3};1} \right)\).
Cho K(1; 1; m). Với m = 2 thì điểm K thuộc mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; 2; 3) lên Ox, Oy, Oz nên A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3).
Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn là:
\(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0\).
b) Sai. Phương trình mặt phẳng (P) là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\).
c) Đúng. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC khi đó \(G\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3};1} \right)\).
d) Sai. Thay K(1; 1; m) vào phương trình mặt phẳng (P): 6x + 3y + 2z – 6 = 0.
Ta có: 6∙1 + 3∙1 + 2∙m – 6 = 0 hay 3 + 2m = 0 ⇔ m = \(\frac{{ - 3}}{2}\).
Vậy với m = \(\frac{{ - 3}}{2}\) thì K(1; 1; m) thuộc mặt phẳng (P).
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0 ; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c đều dương. Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; −2; 3) sao cho độ dài OA, OB, OC theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai bằng 2.
Khi đó:
Mặt phẳng (ABC) có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).
b + c = 2a – 6.
Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng mx + ny + 2z + p = 0. Khi đó, giá trị của biểu thức m + n + p = 3.
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow n = \left( {6;3;2} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Mặt phẳng (ABC) có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).
b) Sai. Độ dài OA, OB, OC theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai bằng 2 nên b = a + 2, c = a + 4.
Do đó b + c = a + 2 + a + 4 = 2a + 6.
c) Sai. Vì A(a; 0; 0) nên OA = a, B(0; b; 0) nên OB = b, C(0; 0; c) nên OC = c.
Độ dài OA, OB, OC theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai bằng 2 nên b = a + 2, c = a + 4.
Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{{a + 2}} + \frac{z}{{a + 4}} = 1\).
Do (ABC) đi qua M(2; −2; 3) nên ta có:
\[\frac{2}{a} + \frac{{ - 2}}{{a + 2}} + \frac{3}{{a + 4}} = 1 \Leftrightarrow {a^3} + 3{a^2} - 2a - 16 = 0 \Leftrightarrow a = 2\].
Với a = 2 thì b = 4; c = 6.
Mặt phẳng (ABC) có phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\).
Vậy m + n + p = −3.
d) Đúng. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow n = \left( {6;3;2} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 1; 4), B(2; 7; 9), C(0; 9; 13). Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng ax − y + cz + d = 0. Hãy tìm giá trị của a?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;6;5} \right)\), \[\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;8;9} \right)\].
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {14; - 14;14} \right) = 14 \cdot \left( {1; - 1;1} \right)\).
Chọn \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến của phương trình mặt phẳng (ABC).
Mặt phẳng (ABC) đi qua A(1; 1; 4) và nhận \(\overrightarrow n \) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
1(x – 1) – 1(y – 1) + 1(z – 4) = 0 hay x – y + z – 4 = 0.
Vậy a = 1.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng (P) chứa điểm M(1; 3; −2), cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho \(\frac{{OA}}{1} = \frac{{OB}}{2} = \frac{{OC}}{4}\) . Phương trình mặt phẳng (P) có dạng 4x + by + cz + d = 0. Khi đó giá trị của biểu thức b + c – d bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 11
Phương trình mặt chắn cắt tia Ox tại A(a; 0; 0), cắt tia Oy tại B(0; b; 0), cắt tia Oz tại C(0; 0; c) có dạng là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) (với a > 0, b > 0, c > 0).
Theo đề: \(\frac{{OA}}{1} = \frac{{OB}}{2} = \frac{{OC}}{4} \Leftrightarrow \frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{4} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{b}{2}}\\{c = 2b}\end{array}} \right.\).
Vì M(1; 3; −2) nằm trên mặt phẳng (P) nên \(\frac{1}{{\frac{b}{2}}} + \frac{3}{b} + \frac{{ - 2}}{{2b}} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{b} = 1 \Leftrightarrow b = 4\), khi đó a = 2, c = 8.
Vặy phương trình mặt phẳng (P) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{8} = 1 \Leftrightarrow 4x + 2y + z - 8 = 0\).
Do đó b + c – d = 11.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 4; 9). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O) sao cho OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng 6x + by + cz − d = 0. Khi đó giá trị của biểu thức b + c − d bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 41
Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.
Phương trình mặt phẳng (P): \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\), OA + OB + OC = a + b + c.
M(1; 4; 9) thuộc mặt phẳng (P) \(\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\).
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
\(\begin{array}{l}\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c}} \right) \cdot \left( {a + b + c} \right)\\ = \left( {{{\left( {\sqrt {\frac{1}{a}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{4}{b}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{9}{c}} } \right)}^2}} \right) \cdot \left( {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2}} \right) \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}\end{array}\)
⇒ a + b + c ≥ 36.
Dấu “ = “ xảy ra khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1}\\{\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 6}\\{b = 12}\\{c = 18}\end{array}} \right.\).
Nên (P): \(\frac{x}{6} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{18}} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 36 = 0\).
Vậy b + c – d = 41.
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm S(−1; 6; 2), A(0; 0; 6), B(0; 3; 0), C(−2; 0; 0). Gọi H là chân đường cao vẽ từ S của tứ diện SABC. Mặt phẳng đi qua ba điểm S, B, H có dạng ax + by + cz – 15 = 0. Tìm a?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Phương trình mặt phẳng (ABC) \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow - 3x + 2y + z - 6 = 0\).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow n = \left( { - 3;2;1} \right)\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SH \bot \left( {ABC} \right)}\\{SH \subset \left( {SHB} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {SHB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
Gọi \(\overrightarrow {{n_1}} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SHB) ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow n }\\{\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {SB} }\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {SB} } \right]\).
\(\overrightarrow {SB} = \left( {1; - 3; - 2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( { - 1; - 5;7} \right)\).
Do mặt phẳng (SHB) đi qua điểm B và nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 1; - 5;7} \right)\) là một vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình:
−1(x – 0) − 5(y – 3) + 7(z – 0) = 0 hay x + 5y – 7z – 15 = 0.
Vậy a = 1.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(2; 3; 5), B(3; 2; 4) và C(4; 1; 2). Điểm M(1; m; 0) thuộc mặt phẳng (P). Tìm giá trị của m?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 2; - 3} \right)\).
Do đó: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1;0} \right)\).
Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; 3; 5) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;1;0} \right)\) có phương trình là:
1(x – 2) + 1(y – 3) + 0(z – 5) = 0 hay x + y – 5 = 0.
Thay M(1; m; 0) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y – 5 = 0.
Ta có: 1 + m – 5 = 0 hay m = 4.
Vậy m = 4.
Bạn có thích hoạt động này không?
