Bài tập Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng lớp 12 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;4;2} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;4;3} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {AB,} \overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4; - 6;12} \right) = 2 \cdot \left( {2; - 3;6} \right)\).

Khi đó phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(3; −2; −2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 3;6} \right)\) là:

2(x – 3) – 3(y + 2) + 6(z + 2) = 0 hay 2x – 3y + 6z = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 2;0} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 2;0} \right)\).

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0; - 4} \right)\).

Phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua A(0; 2; 1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {0;0; - 4} \right)\) là:

−4(z – 1) = 0 hay z – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (MNP) có phương trình là: \(\frac{x}{4} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{1} = 1\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = \left( {1;0;0} \right)\), \(\overrightarrow {OB}  = \left( {0;1;0} \right)\).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB) là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {0;0;1} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng (OAB) là z = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Do M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục Ox, Oy, Oz nên M(4; 0; 0), N(0; 3; 0), P(0; 0; 3).

Phương trình mặt phẳng (MNP) là \(\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1\) ⇔ 3x + 4y + 4z – 12 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                    b) Sai.                 c) Đúng.                      d) Sai.

a) Đúng. Toạ độ vectơ là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 3; - 1} \right)\).

b) Sai. Toạ độ vectơ là \(\overrightarrow {AC}  = \left( {0; - 1;2} \right)\).

c) Đúng. Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến là:

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 7; - 2; - 1} \right) =  - 1 \cdot \left( {7;2;1} \right)\).

Do đó \(\overrightarrow n  = \left( {7;2;1} \right)\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

d) Sai. Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(1; 2; 1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {7;2;1} \right)\) có phương trình là:

7(x – 1) + 2(y – 2) + 1(z – 1) = 0 hay 7x + 2y + z − 12 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                   b) Đúng.            c) Đúng.              d) Sai.

a) Đúng. \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;3;3} \right)\).

b) Đúng. \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;3;3} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( {1;5;2} \right)\).

Ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

c) Đúng. \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 9; - 3;12} \right) =  - 3\left( {3;1; - 4} \right)\).

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3;1; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

d) Sai. Vì mặt phẳng (P) đi qua A đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC nên \(\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2;2; - 1} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương nên ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow j } \right] = \left( {1;0; - 2} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Đúng.                     d) Đúng.

a) Sai. \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 3; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2;0; - 2} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {6;6; - 6} \right) = 6 \cdot \left( {1;1; - 1} \right)\).

Chọn \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 1} \right)\).

b) Đúng. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0; 1; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 1} \right)\) là:

x + y – 1 – 1(z – 2) = 0 hay x + y – z + 1 = 0.

c) Đúng. Mặt phẳng (P) cắt trục Ox tại điểm M(−1; 0; 0).

d) Đúng. Thay N(1; −2; 0) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y – z + 1 = 0.

Ta có: 1 – 2 – 0 + 1 = 0.

Vậy N thuộc mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Sai.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; 2; 3) lên Ox, Oy, Oz nên A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3).

Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn là:

\(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0\).

b) Sai. Phương trình mặt phẳng (P) là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\).

c) Đúng. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC khi đó \(G\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3};1} \right)\).

d) Sai. Thay K(1; 1; m) vào phương trình mặt phẳng (P): 6x + 3y + 2z – 6 = 0.

Ta có: 6∙1 + 3∙1 + 2∙m – 6 = 0 hay 3 + 2m = 0 ⇔ m = \(\frac{{ - 3}}{2}\).

Vậy với m = \(\frac{{ - 3}}{2}\) thì K(1; 1; m) thuộc mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                          c) Sai.                    d) Đúng.

a) Đúng. Mặt phẳng (ABC) có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).

b) Sai. Độ dài OA, OB, OC theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai bằng 2 nên b = a + 2, c = a + 4.

Do đó b + c = a + 2 + a + 4 = 2a + 6.

c) Sai. Vì A(a; 0; 0) nên OA = a, B(0; b; 0) nên OB = b, C(0; 0; c) nên OC = c.

Độ dài OA, OB, OC theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai bằng 2 nên b = a + 2, c = a + 4.

Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{{a + 2}} + \frac{z}{{a + 4}} = 1\).

Do (ABC) đi qua M(2; −2; 3) nên ta có:

\[\frac{2}{a} + \frac{{ - 2}}{{a + 2}} + \frac{3}{{a + 4}} = 1 \Leftrightarrow {a^3} + 3{a^2} - 2a - 16 = 0 \Leftrightarrow a = 2\].

Với a = 2 thì b = 4; c = 6.

Mặt phẳng (ABC) có phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\).

Vậy m + n + p = −3.

d) Đúng. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow n  = \left( {6;3;2} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;6;5} \right)\), \[\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;8;9} \right)\].

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {14; - 14;14} \right) = 14 \cdot \left( {1; - 1;1} \right)\).

Chọn \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến của phương trình mặt phẳng (ABC).

Mặt phẳng (ABC) đi qua A(1; 1; 4) và nhận \(\overrightarrow n \) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

1(x – 1) – 1(y – 1) + 1(z – 4) = 0 hay x – y + z – 4 = 0.

Vậy a = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 11

Phương trình mặt chắn cắt tia Ox tại A(a; 0; 0), cắt tia Oy tại B(0; b; 0), cắt tia Oz tại C(0; 0; c) có dạng là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) (với a > 0, b > 0, c > 0).

Theo đề: \(\frac{{OA}}{1} = \frac{{OB}}{2} = \frac{{OC}}{4} \Leftrightarrow \frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{4} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{b}{2}}\\{c = 2b}\end{array}} \right.\).

Vì M(1; 3; −2) nằm trên mặt phẳng (P) nên \(\frac{1}{{\frac{b}{2}}} + \frac{3}{b} + \frac{{ - 2}}{{2b}} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{b} = 1 \Leftrightarrow b = 4\), khi đó a = 2, c = 8.

Vặy phương trình mặt phẳng (P) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{8} = 1 \Leftrightarrow 4x + 2y + z - 8 = 0\).

Do đó b + c – d = 11.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 41

Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

Phương trình mặt phẳng (P): \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\), OA + OB + OC = a + b + c.

M(1; 4; 9) thuộc mặt phẳng (P) \(\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\).

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

\(\begin{array}{l}\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c}} \right) \cdot \left( {a + b + c} \right)\\ = \left( {{{\left( {\sqrt {\frac{1}{a}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{4}{b}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{9}{c}} } \right)}^2}} \right) \cdot \left( {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2}} \right) \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}\end{array}\)

⇒ a + b + c ≥ 36.

Dấu “ = “ xảy ra khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1}\\{\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 6}\\{b = 12}\\{c = 18}\end{array}} \right.\).

Nên (P): \(\frac{x}{6} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{18}} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 36 = 0\).

Vậy b + c – d = 41.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Phương trình mặt phẳng (ABC) \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow  - 3x + 2y + z - 6 = 0\).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow n  = \left( { - 3;2;1} \right)\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SH \bot \left( {ABC} \right)}\\{SH \subset \left( {SHB} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {SHB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_1}} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SHB) ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow n }\\{\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {SB} }\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {SB} } \right]\).

\(\overrightarrow {SB}  = \left( {1; - 3; - 2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( { - 1; - 5;7} \right)\).

Do mặt phẳng (SHB) đi qua điểm B và nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 1; - 5;7} \right)\) là một vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình:

−1(x – 0) − 5(y – 3) + 7(z – 0) = 0 hay x + 5y – 7z – 15 = 0.

Vậy a = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( {2; - 2; - 3} \right)\).

Do đó: \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1;0} \right)\).

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; 3; 5) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;1;0} \right)\) có phương trình là:

1(x – 2) + 1(y – 3) + 0(z – 5) = 0 hay x + y – 5 = 0.

Thay M(1; m; 0) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y – 5 = 0.

Ta có: 1 + m – 5 = 0 hay m = 4.

Vậy m = 4.