Đề kiểm tra Phương trình mặt phẳng lớp 12 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai vectơ \[\overrightarrow a = \left( {2;1; - 2} \right)\]và vectơ \[\overrightarrow b = \left( {1;0;2} \right)\]. Tìm tọa độ vectơ \[\overrightarrow c \]là tích có hướng của \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \].
\[\overrightarrow c = \left( {2;6; - 1} \right)\].
\[\overrightarrow c = \left( {4;6; - 1} \right)\].
\[\overrightarrow c = \left( {4; - 6; - 1} \right)\].
\[\overrightarrow c = \left( {2; - 6; - 1} \right)\]
Áp dụng công thức tính tích có hướng trong hệ trục tọa độ \[Oxyz\] ta được:
\[\overrightarrow c = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {2; - 6; - 1} \right)\].
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 3y + z + 2 = 0\). Véctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?
\({\vec n_2}\left( {2;3;1} \right)\).
\({\vec n_3}\left( {2;3;2} \right)\).
\({\vec n_1}\left( {2;3;0} \right)\).
\({\vec n_4}\left( {2;0;3} \right)\).
Véctơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \({\vec n_2}\left( {2;3;1} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z - 5 = 0.\) Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( P \right)\)?
\(P\left( {0;0; - 5} \right)\).
\(M\left( {1;1;6} \right)\).
\(Q\left( {2; - 1;5} \right)\).
\(N\left( { - 5;0;0} \right)\).
Ta có \(1 - 2.1 + 6 - 5 = 0\) nên \(M\left( {1;1;6} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 1;2;0} \right)\) và \(B\left( {3;0;2} \right)\). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) có phương trình là
\(x + y + z - 3 = 0\).
\(2x - y + z + 2 = 0\).
\(2x + y + z - 4 = 0\).
\(2x - y + z - 2 = 0\).
Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\). Suy ra \(I\left( {1;1;1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 2;2} \right)\).
Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) đi qua trung điểm \(I\) của \(AB\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm vtpt, nên có phương trình là \(\left( \alpha \right):2x - y + z - 2 = 0\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)\).
\(x - 2y + 3z + 12 = 0\).
\(x - 2y - 3z - 6 = 0\).
\(x - 2y + 3z - 12 = 0\).
\(x - 2y - 3z + 6 = 0\).
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)\) là \(1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y + 3z + 12 = 0\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm\[A\left( {5; - 4;2} \right)\]và \(B\left( {1;2;3} \right)\). Viết phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(AB\).
\[2x - 3y - z - 20 = 0\].
\[3x - y + 3z - 25 = 0\].
\[2x - 3y - z + 8 = 0\].
\[3x - y + 3z - 13 = 0\].
\[\overrightarrow {AB} = ( - 4;6;2) = - 2(2; - 3; - 1)\]
\[\left( P \right)\] đi qua \[A\left( {5; - 4;2} \right)\] nhận \(\overrightarrow n = (2; - 3; - 1)\) làm VTPT
Do đó, phương trình mặt phẳng \[\left( P \right):\] \[2\left( {x - 5} \right) - 3\left( {y + 4} \right) - 1\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y - z - 20 = 0\]
Trong không gian \[Oxyz\], cho ba điểm \(A\left( { - 1;1;1} \right)\), \(B\left( {2;1;0} \right)\)\(C\left( {1; - 1;2} \right)\). Mặt phẳng đi qua\(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) có phương trình là
\(3x + 2z + 1 = 0\).
\(x + 2y - 2z + 1 = 0\).
\(x + 2y - 2z - 1 = 0\).
\(3x + 2z - 1 = 0\).
Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1; - 2;2} \right)\) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) cần tìm.
\(\overrightarrow n = - \overrightarrow {BC} = \left( {1;2; - 2} \right)\) cũng là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\)là \(x + 2y - 2z + 1 = 0\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \(M\left( {2\,;\, - 1\,;\,4} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,3x - 2y + z + 1 = 0\). Phương trình của mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
\(2x - 2y + 4z - 21 = 0\).
\(3x - 2y + z - 12 = 0\).
\(2x - 2y + 4z + 21 = 0\).
\(3x - 2y + z + 12 = 0\)
Phương trình của mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
\(3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) + \left( {z - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 2y + z - 12 = 0\).
Trong không gian \[Oxyz\], tính khoảng cách từ \[M\left( {1;2; - 3} \right)\] đến mặt phẳng \[\left( P \right):\,x + 2y + 2{\rm{z}} - 10 = 0\].
\[\frac{{11}}{3}\].
\[3\].
\[\frac{7}{3}\].
\[\frac{4}{3}\].
Ta có \[d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 + 2.\left( { - 3} \right) - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| { - 11} \right|}}{3} = \frac{{11}}{3}\].
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz - 9 = 0\) chứa hai điểm \(A\left( {3;2;1} \right)\), \(B\left( { - 3;5;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + y + z + 4 = 0\). Tính tổng \(S = a + b + c\).
\(S = - 12\).
\(S = 2\).
\(S = - 4\).
\(S = - 2\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;3;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {3;1;1} \right)\) là VTPT của mp\(\left( Q \right)\).
Mp\(\left( P \right)\) chứa hai điểm \(A\left( {3;2;1} \right)\), \(B\left( { - 3;5;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( p \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {2;9; - 15} \right)\) là VTPT của mp\(\left( P \right)\)
Vì \(A\left( {3;2;1} \right) \in \left( P \right)\) \( \Rightarrow \left( P \right):2x + 9y - 15z - 9 = 0\) hoặc \(\left( P \right): - 2x - 9y + 15z + 9 = 0\)
Mặt khác \(\left( P \right):ax + by + cz - 9 = 0\)\( \Rightarrow a = 2;b = 9;c = - 15\).
Vậy \(S = a + b + c = 2 + 9 + \left( { - 15} \right) = - 4\).
Trong không gian \(Oxyz\), điểm \[M\] thuộc trục \[Oy\] và cách đều hai mặt phẳng: \[\left( P \right):x + y - z + 1 = 0\] và \[\left( Q \right):x - y + z - 5 = 0\] có tọa độ là
\[M\left( {0; - 3;0} \right)\].
\[M\left( {0;3;0} \right)\].
\[M\left( {0; - 2;0} \right)\].
\[M\left( {0;1;0} \right)\].
Ta có \(M \in Oy\, \Rightarrow \,M\left( {0;\,y;\,0} \right)\).
Theo giả thiết: \[d\left( {M\left( P \right)} \right) = d\left( {M\left( Q \right)} \right)\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{{\left| {y + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\left| { - y - 5} \right|}}{{\sqrt 3 }}\,\, \Leftrightarrow \,y = - 3\].
Vậy \(M\left( {0;\, - 3;\,0} \right)\).
Trong không gian hệ toạ độ \[Oxyz\], lập phương trình các mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( \beta \right):x + y - z + 3 = 0\) và cách \(\left( \beta \right)\) một khoảng bằng \(\sqrt 3 \).
\(x + y - z + 6 = 0\); \(x + y - z = 0\).
\(x + y - z + 6 = 0\).
\(x - y - z + 6 = 0\); \(x - y - z = 0\).
\(x + y + z + 6 = 0\); \(x + y + z = 0\).
Gọi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cần tìm.
Vì \(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( \beta \right)\) nên phương trình \(\left( \alpha \right)\) có dạng : \(x + y - z + c = 0\) với \(c \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
Lấy điểm \(I\left( { - 1; - 1;1} \right) \in \left( \beta \right)\).
Vì khoảng cách từ \(\left( \alpha \right)\) đến \(\left( \beta \right)\) bằng \(\sqrt 3 \) nên ta có :
\(d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 1 - 1 - 1 + c} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {c - 3} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 0\\c = 6\end{array} \right.\). (thỏa điều kiện \(c \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)).
Vậy phương trình \(\left( \alpha \right)\) là: \(x + y - z + 6 = 0\); \(x + y - z = 0\).
Trong không gian \[Oxyz\], Cho tam giác \[ABC\] với \[A\left( {1;1;1} \right),B\left( {1;2;2} \right),C\left( {4;1;0} \right)\]. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\[\overrightarrow {AB} = \left( {0;1;1} \right)\].
Tích có hướng của hai vectơ \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \] là \[\overrightarrow a = \left( { - 1;3; - 3} \right)\].
\(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow b = \left( {6; - 2; - 4} \right)\) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng\[\left( {ABC} \right)\].
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {AOB} \right)\] là: \[\overrightarrow n = \left( {1;1;2} \right)\].
a) Đúng.
\[\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right) = \left( {0;1;1} \right)\]
b) Đúng.
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( {0;1;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3;0; - 1} \right)\]
\[\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;3; - 3} \right)\]
c) Sai.
Ta có: \[\overrightarrow {BC} = \left( {3; - 1; - 2} \right)\]
Do đó \(\overrightarrow b = 2\overrightarrow {BC} \) nên \(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng phương. Do đó \(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow b \) không phải là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].
d) Sai
Mặt phẳng \[\left( {AOB} \right)\] có cặp vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {OA} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {1;2;2} \right)\] nên có vectơ pháp tuyến là: \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {0; - 1;1} \right)\].
Trong không gian \[Oxyz\], Cho các điểm \[A\left( {1; - 2; - 1} \right),B\left( {4;1;2} \right),C\left( {2;3;1} \right)\]. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\[\overrightarrow {AB} = \left( {3;3;3} \right)\].
Ba điểm \[A,B,C\] không thẳng hàng.
Mặt phẳng đi qua 3 điểm \[A,B,C\] có vectơ pháp tuyến là: \[\overrightarrow a = \left( {3;1; - 4} \right)\].
Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] đi qua \(A\) đồng thời song song với \(Oy\) và đường thẳng \(BC\) có vectơ pháp tuyến là: \[\overrightarrow n = \left( {1;0;2} \right)\].
a) Đúng
\[\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right) = \left( {3;3;3} \right)\]
b) Đúng
Hai vectơ \[\overrightarrow {AB} = \left( {3;3;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;2} \right)\] không cùng phương nên 3 điểm \[A,B,C\] không thẳng hàng.
c) Đúng
Mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] có cặp vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {AB} = \left( {3;3;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;2} \right)\] nên có vectơ pháp tuyến là: \[\overrightarrow b = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 9; - 3;12} \right)\]. Do đó \[\overrightarrow a = \left( {3;1; - 4} \right)\] cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].
d) Sai.
Vectơ \[\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\] có giá song song mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]; vectơ \[\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;2; - 1} \right)\] có giá song song mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]. Hai vectơ \[\overrightarrow j ,\overrightarrow {BC} \] không cùng phương.
Do đó: mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] có cặp vectơ chỉ phương \[\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;2; - 1} \right)\] nên mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] có vectơ pháp tuyến là: \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow j ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - 1;0;2} \right)\].
Trong không gian \(Oxyz\) cho ba điểm \(A\left( {1;2;0} \right)\), \(B\left( {1;0;2} \right)\), \(C\left( {2;1;3} \right)\), và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 2z + 7 = 0\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có một véctơ pháp tuyến là \(\left( {2;1;1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(M\left( {3;1;5} \right)\) .
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(6.\)
a) Sai.
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {0; - 2;2} \right),\overrightarrow {BC} \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - 4;2;2} \right) = 2\left( { - 2;1;1} \right) = 2.\overrightarrow n \)
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có một véctơ pháp tuyến: \(\overrightarrow n \left( { - 2;1;1} \right).\)
b) Đúng
Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\): \( - 2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) + 1\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow - 2x + y + z = 0\).
Thay toạ độ điểm \(M\left( {3;1;5} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\): \( - 2.3 + 1 + 5 = 0\): thoả mãn.
c) Sai.
Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;2} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow n = - 2.1 - 1.1 + 1.2 = - 1 \ne 0 \Rightarrow \) Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
d) Sai.
\(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2 + 2.0 + 7} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 4} }} = \sqrt 6 .\)
Trong không gian với hệ tọa độ\(Oxyz\) , cho 3 điểm \(A\left( {a;0;0} \right)\), \(B\left( {0;b;0} \right)\), \(C\left( {0;0;c} \right)\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) đều dương.
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(G\left( {1;2;3} \right)\) sao cho \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)là \(6x + 3y + 2z + 18 = 0\)
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(H\left( {1;1;1} \right)\) sao cho \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\)là \(x + y + z - 3 = 0\)
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2; - 2;3} \right)\) sao cho độ dài \(OA,OB,OC\)theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai bằng \(2\). Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) tới mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng \(\frac{m}{n}\) với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản, khi đó \(T = m + n = 19\).
a) Đúng
Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta có mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)
b) Sai
Vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{3} = 1}\\{\frac{b}{3} = 2}\\{\frac{c}{3} = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = 6}\\{c = 9}\end{array}} \right.\)
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1 \Leftrightarrow \)\(6x + 3y + 2z - 18 = 0\)
c) Đúng
Vì \(H\left( {1;1;1} \right)\) là trực tâm \(\Delta ABC\) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{H \in \left( {ABC} \right)}\\{\overrightarrow {HA} .\overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AC} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1}\\{ - b + c = 0}\\{a - c = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = 3}\\{c = 3}\end{array}} \right.\)
Phương trình \(\left( {ABC} \right)\)là: \(x + y + z - 3 = 0\)
d) Đúng
Giả sử mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt tia \[Ox\] tại điểm có hoành độ bằng \(a\) \(\left( {a > 0} \right)\) khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{{a + 2}} + \frac{z}{{a + 4}} = 1\).
Do \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2; - 2;3} \right)\) nên ta có \(\frac{2}{a} + \frac{{ - 2}}{{a + 2}} + \frac{3}{{a + 4}} = 1\)\( \Leftrightarrow a = 2\).
Vậy \(\left( \alpha \right)\) cắt \[Ox,Oy,Oz\] lần lượt tại \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0;4;0} \right)\),\(C\left( {0;0;6} \right)\).
Gọi \(d = d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)\).
Áp dụng công thức tính nhanh ta có \(\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} = \frac{{49}}{{144}}\)\( \Rightarrow {d^2} = \frac{{144}}{{49}} \Rightarrow d = \frac{{12}}{7}\).
Vậy: \(T = m + n = 19\).
Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{O}}xyz\), cho ba điểm \(A(1;4;5)\), \(B(3;4;0),C(2; - 1;0)\) và mặt phẳng \((P):3x + 3y - 2z - 29 = 0\). Gọi \(M(a;b;c)\) là điểm thuộc \((P)\) sao cho biểu thức \(T = M{A^2} + M{B^2} + 3M{C^2}\) đạt GTNN. Tính tổng \(a + b + c\).
Chọn điểm \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow I\left( {2;1;1} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}T = M{A^2} + M{B^2} + 3M{C^2}\\\,\,\,\,\, = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + 3{\overrightarrow {MC} ^2}\\\,\,\,\,\, = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\\,\,\,\,\, = 5M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}\\\,\,\,\,\, = 5M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}\end{array}\)
\({T_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}\)
Suy ra, \(M\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\)
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với \(\left( P \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;3; - 2} \right)\)
\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + 3t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\)
\(M \in \Delta \Rightarrow M\left( {2 + 3t;1 + 3t;1 - 2t} \right)\)
\(\begin{array}{l}M \in \left( P \right) \Leftrightarrow 3\left( {2 + 3t} \right) + 3\left( {1 + 3t} \right) - 2\left( {1 - 2t} \right) - 29 = 0\\ \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {5;4; - 1} \right)\end{array}\)
Vậy \(a + b + c = 5 + 4 - 1 = 8\).
Trong không gian \[Oxyz\] cho các điểm \[A\left( {2;0;0} \right),B\left( {0;4;0} \right),C\left( {0;0;6} \right),D\left( {2;4;6} \right)\]. Gọi \[\left( P \right)\]là mặt phẳng song song với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\],\[\left( P \right)\] cách đều \[D\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]. Phương trình của mặt phẳng \[\left( P \right)\] là \[ax + by + 2z + d = 0\] với \(a,b,d \in \mathbb{Z}\). Giá trị của \(d\) bằng bao nhiêu?
Phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là: \[\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\]
Mặt phẳng \[\left( P \right)\] song song với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] nên \[\left( P \right)\]có dạng:\[6x + 3y + 2z + d = 0{\rm{ }}\left( {d \ne - 12} \right)\]
Vì \[\left( P \right)\] cách đều \[D\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] nên ta có:\[d\left( {D;\left( P \right)} \right) = d\left( {\left( {ABC} \right);\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow d\left( {D;\left( P \right)} \right) = d\left( {A;\left( P \right)} \right)\]\[ \Leftrightarrow \left| {36 + d} \right| = \left| {12 + d} \right| \Leftrightarrow d = - 24\].
Vậy phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] là: \[6x + 3y + 2z - 24 = 0\]
Cho hai điểm \(A\left( {3; - 1;2} \right)\), \(B\left( {2;3; - 3} \right)\), \(C\left( { - 2;1; - 2} \right)\) và mặt phẳng\(\left( {Oyz} \right)\). Gọi \(M(a;b;c)\) là điểm thuộc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) sao \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \) có giá trị min . Tính tổng \(a - 2b + c\).
Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\), sao cho \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow I\) là trong tâm \(\Delta ABC\)\( \Rightarrow \) \(I\left( {1;1; - 1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \)
\( = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)\)
\( = 3M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + \left( {\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA} } \right)\), (mà \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \))
\( = 3M{I^2} + \left( {\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA} } \right)\)
Vì điểm \(I,A,B,C\) cố định nên \(\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA} \) có giá trị không đổi.
Để \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \) có giá trị min \( \Leftrightarrow MI\) min.
Mà \(I\) cố định nên \(M\) là hình chiếu của \(I\) lên\(\left( {Oyz} \right)\), suy ra \(M\left( {0;1; - 1} \right)\).
Vậy \(a - 2b + c = 0 - 2.1 - 1 = - 3\).
Biết góc quan sát ngang của một camera là \(116^\circ \). Trong không gian \(Oxyz\), camera được đặt tại điểm \(A\left( {2;1;5} \right)\) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z + 13 = 0\). Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) của camera là hình tròn có đường kính bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng chục)
Gọi \(A,B,C\) là các điểm như hình vẽ bên dưới và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Hình vẽ
Theo đề \(\widehat {BAC} = 116^\circ \Rightarrow \widehat {BAH} = 58^\circ \).
Khi đó \(AH = {\rm{d}}\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 2 - 1 - 2 \cdot 5 + 13} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 2\) (đvđd).
Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), ta có:
\(\tan \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AH}} \Rightarrow BH = \tan 58^\circ \cdot 2 = 2\tan 58^\circ \) (đvđd).
Suy ra \(BC = 2BH = 2 \cdot 2\tan 58^\circ \approx 6,4\)(đvđd)
Vậy vùng quan sát của camera trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) là hình tròn có đường kính khoảng \(6,4\) (đvđd).
Một phần sân trường được định vị bởi các điểm \(A,B,C,D\), như hình vẽ
Bước đầu chúng được lấy “thăng bằng” để có cùng độ cao, biết \(ABCD\) là hình thang vuông ở \(A\) và \(B\) với độ dài \(AB = 25\,{\rm{m}}\), \(AD = 15\,{\rm{m}}\), \(BC = 18\,{\rm{m}}\). Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phàn sân trường phải thoát nước về góc sân ở \(C\) nên người ta lấy độ cao ở các điểm \(B\), \(C\), \(D\) xuống thấp hơn so với độ cao ở \(A\) là \(10\,{\rm{cm}}\), \(a\,{\rm{cm}}\), \(6\,{\rm{cm}}\) tương ứng. Giá trị của \(a\) là
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho: \[O \equiv A\], tia \[Ox \equiv AD\]; tia \(Oy \equiv AB\).
Khi đó, \(A\left( {0;\,0;\,0} \right)\); \(B\left( {0;\,2500;\,0} \right)\); \(C\left( {1800;\,2500;\,0} \right)\);\(D\left( {1500;\,0;\,0} \right)\).
Khi hạ độ cao các điểm ở các điểm \(B\), \(C\), \(D\) xuống thấp hơn so với độ cao ở \(A\) là \(10\,{\rm{cm}}\), \(a\,{\rm{cm}}\), \(6\,{\rm{cm}}\) tương ứng ta có các điểm mới \(B'\left( {0\,;\,2500\,;\, - 10} \right)\); \(C'\left( {1800\,;\,2500\,;\, - a} \right)\);\(D'\left( {1500\,;\,0\,;\, - 6} \right)\).
Theo bài ra có bốn điểm \(A\); \(B'\); \(C'\); \(D'\) đồng phẳng.
Phương trình mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right):x + y + 250z = 0\).
Do \(C'\left( {1800\,;\,\,2500\,;\, - a} \right) \in \left( {AB'D'} \right)\) nên có: \(1800 + 2500 - 250a = 0 \Leftrightarrow a = 17,2\).
Vậy \(a = 17,2\,{\rm{cm}}\).
Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hơi, Nam và An đang tập chuyền bóng cho nhau, Nam ném bóng cho An đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Nam và rơi xuống vị trí cách An \(0,5m\) và cách Nam \(4,5m\) được mô tả bằng hình vẽ bên dưới
Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right):ax + \frac{1}{2}y + cx + d = 0\) và vuông góc với mặt đất. Khi đó giá trị của \(a + c + d\) bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Chọn hệ trục như hình vẽ. Gọi \(M\) là điểm mà quả bóng chạm đất.
Khi đó \({x_M} = 0,5\), \({y_M} = \sqrt {4,{5^2} - 0,{5^2}} = 2\sqrt 5 \)
Vì \(\left( \alpha \right) \bot \left( {Oxy} \right)\) nên \(\left( \alpha \right)\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Mà \(\left( \alpha \right)\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {OM} = \left( {0,5;2\sqrt 5 ;0} \right)\)
Khi đó véc tơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow {OM} } \right] = \left( { - 2\sqrt 5 ;0,5;0} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha \right): - 2\sqrt 5 x + 0,5y = 0\) nên \(a = - 2\sqrt 5 ;b = 0,5;c = 0;d = 0 \Rightarrow a + b + c + d \approx - 4,5\).
