Chứng minh: $\frac{1}{\mathrm{q}}-\frac{1}{\mathrm{q}+1}=\frac{1}{\mathrm{q}(\mathrm{q}+1)}.$ Áp dụng để tính nhanh biểu thức sau: $\mathrm{N}=\frac{1}{\mathrm{q}(\mathrm{q}+1)}+\frac{1}{(\mathrm{q}+1)(\mathrm{q}+2)}+...+\frac{1}{(\mathrm{q}+5)(\mathrm{q}+6)},$ với các mẫu thỏa mãn $\mathrm{x}\ne 0$.

Một công ty may mặc phải sản xuất 10.000 sản phẩm trong x ngày. Khi thực hiện không những đã làm xong sớm một ngày mà còn làm thêm được 80 sản phẩm.

a) Hãy biểu diễn qua x:

- Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch;

- Số sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày;

- Số sản phẩm làm thêm trong một ngày.

Tính số sản phẩm làm thêm trong một ngày với x = 25.

Nếu mua lẻ thì giá một chiếc bút bi là x đồng. Nhưng nếu mua từ 10 bút trở lên thì giá mỗi chiếc rẻ hơn 100 đồng. Cô Dung dùng 180 000 đồng để mua bút cho văn phòng. Hãy biểu diễn qua x:

- Tổng số bút mua được khi mua lẻ;

- Số bút mua được nếu mua cùng một lúc, biết rằng giá tiền một bút không quá 1200 đồng;

- Số bút được lợi khi mua cùng một lúc so với khi mua lẻ.

Thực hiện các phép tính sau:

a)$\frac{3\mathrm{a}+5}{6{\mathrm{a}}^3\mathrm{b}}-\frac{5-11\mathrm{a}}{6{\mathrm{a}}^3\mathrm{b}}$ với $\mathrm{a}\ne 0$ và $\mathrm{b}\ne 0$

b) $\frac{\mathrm{x}+6}{{\mathrm{x}}^2-4}-\frac{2}{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}$ với $\mathrm{x}\ne 0$ và $\mathrm{x}\ne \pm 2$

Làm tính trừ các phân thức sau:

a) $\frac{1}{3\mathrm{y}-1}-\frac{1}{3\mathrm{y}+1}-\frac{2\mathrm{y}-3}{1-9{\mathrm{y}}^2}$ với $\mathrm{y}\ne \pm \frac{1}{3};$ 

b) $\frac{3{\mathrm{m}}^2+2\mathrm{m}+1}{{\mathrm{m}}^3-1}-\frac{1-\mathrm{m}}{{\mathrm{m}}^2+\mathrm{m}+1}-\frac{2}{\mathrm{m}-1}$ với $\mathrm{m}\ne 1.$

Thực hiện phép trừ các phân thức sau:

a) $\frac{5}{\mathrm{u}}+\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{u}+6}-\frac{30}{{\mathrm{u}}^2+6\mathrm{u}}$ với $\mathrm{u}\ne -6$ và $\mathrm{u}\ne 0$ 

b) $\frac{3\mathrm{p}+1}{{(\mathrm{p}-1)}^2}-\frac{1}{\mathrm{p}+1}+\frac{\mathrm{p}+3}{1-{\mathrm{p}}^2}$ với $\mathrm{p}\ne \pm 1.$

Tìm phân thức A thỏa mãn đẳng thức sau: $\mathrm{A}+\frac{6}{{\mathrm{x}}^2-1}=\frac{3\mathrm{x}+2}{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1}-\frac{3\mathrm{x}-2}{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1}$ với $\mathrm{x}\ne \pm 1.$

Thực hiện phép trừ: $\frac{1}{\mathrm{b}-2}-\frac{1}{\mathrm{b}}$ (với $\mathrm{b}\ne 0$ và $\mathrm{b}\ne 2$). Sau đó áp dụng vào tính nhanh biểu thức sau: $\mathrm{B}=\frac{2}{\mathrm{b}(\mathrm{b}-2)}+\frac{2}{(\mathrm{b}-2)(\mathrm{b}-4)}+$$...+\frac{2}{(\mathrm{b}-2016)(\mathrm{b}-2018)},$ với các mẫu thỏa mãn $\mathrm{b}\ne 0$

Một xưởng may quần áo nhận được đơn đặt hàng 12.500 chiếc áo trong x ngày. Nhờ áp dụng những kỹ thuật tiên tiến nhất nên không những hoàn thành nhiệm vụ sớm 3 ngày mà dây chuyền còn may thêm được 700 chiếc.

a) Hãy biếu diễn qua x:

- Số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch;

- Số áo thực tế đã may được trong một ngày;

- Só áo may thêm trong một ngày.

b) Tính số áo may thêm trong một ngày với x = 25.