Bài tập Nhân đa thức với đa thức có đáp án

$$\begin{gathered} A=\left(x-1\right)\left(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\right) \\ =\left(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x\right)-\left(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\right) \\ =x^6-1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} B=\left(x+1\right)\left(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1\right) \\ =\left(x^7-x^6+x^5-x^4+x^3-x^2+x\right)+\left(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1\right) \\ =x^7+1 \end{gathered}$$

Vì $a+b+c=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}a+c=-b\\ b+c=-a\\ a+b=-c\end{array}\right.$

Do đó $M=a\left(a+b\right)\left(a+c\right)=a\left(-c\right)\left(-b\right)=abc \left(1\right)$

$N=b\left(b+c\right)\left(b+a\right)=b\left(-a\right)\left(-c\right)=abc \left(2\right)$

$P=c\left(c+a\right)\left(c+b\right)=c\left(-b\right)\left(-a\right)=abc \left(3\right)$

Từ (1), (2) và (3) suy ra $M=N=P$

$$\begin{gathered} VT=\left(x+a\right)\left(x+b\right) \\ =x^2+bx+ax+ab \\ =x^2+\left(a+b\right)x+ab \\ =VP \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} VT=\left(x+a\right)\left(x+b\right)\left(x+c\right) \\ =\left(x^2+xb+xa+ab\right)\left(x+c\right) \\ =x^3+c{x}^2+b{x}^2+xbc+x^{2}a+xac+xab+abc \\ =x^3+\left(a+b+c\right)x^2+x\left(bc+ac+ab\right)+abc \\ =VP \end{gathered}$$

$\begin{array}{l}VP=4p\left(p-a\right)=2p.\left(2p-2a\right)\\ =\left(a+b+c\right)\left(a+b+c-2a\right)\\ =\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\\ ={\left(b+c\right)}^2-a^2\\ =2bc+b^2+c^2-a^2=VT\end{array}$

Vậy $2bc+b^2+c^2-a^2=4p\left(p-a\right)$

Quy tắc: Nhân chữ số hàng chục với chữ số hàng chục thêm 1 rối viết vào sau tích đó tích của hai chữ số đơn vị (tích này viết bằng hai chữ số).

Ta có

$$\begin{gathered} M=\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)+x^2 \\ =\left(x^2-ax-bx+ab\right)+\left(x^2-bx-cx+bc\right)+\left(x^2-ax-cx+ac\right)+x^2 \\ =4x^2-2x\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ac\right) \left(1\right) \end{gathered}$$

Theo giả thiết $x=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c\iff 2x=a+b+c$

Do đó thay vào (1) ta được $M=4x^2-4x^2+ab+bc+ac=ab+bc+ac$

Xét dãy số có số hạng tổng quát $u_n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$

Theo giả thiết $u_{n-1}+u_n=\frac{\left(n-1\right)n}{2}+\frac{n\left(n+1\right)}{2}=\frac{n^2-n+n^2+n}{2}=n^2$

Vậy tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là số chính phương

Vì a gồm 31 số 1 nên số a chia cho 3 dư 1

Vì b gồm 38 số 1 nên số b chia cho 3 dư 2

Đặt $\left\{\begin{array}{c}a=3n+1\\ b=3m+2\end{array}\right.$với $m,n\in Z$. Khi đó

$\begin{array}{l}ab-2=\left(3n+1\right)\left(3m+2\right)-2\\ =9mn+6n+3m+2-2\\ =3\left(mn+2n+m\right)⋮3\end{array}$

Vì tích của hai số tự nhiên liên tiếp là một số chẵn và có số tận cùng là 0; 2; 6

Do đó phần dư của tích hai số tự nhiên liên tiếp chia cho 3 là 0 hoặc 2

Mặt khác $3^{50}+1$ chia cho 3 dư 1

Từ (1) và (2) suy ra số $3^{50}+1$ không thể là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

$$\begin{gathered} A=\left(2^9+2^7+1\right)\left(2^{23}-2^{21}+2^{19}-2^{17}+2^{14}-2^{10}+2^9-2^7+1\right) \\ =2^{32}+\left(2^{23}+2^{23}-2^{24}\right)+\left(2^{18}-2^{17}-2^{17}\right)+\left(2^9+2^9-2^{10}\right)+1 \\ =2^{3}2+\left({2.2}^{23}-2^{24}\right)+\left(2^{18}-{2.2}^{17}\right)+\left({2.2}^9-2^{10}\right)+1 \\ =2^{32}+1 \end{gathered}$$

Vì $\left\{\begin{array}{c}\left(2^{32}+1\right)⋮\left(2^9+2^7+1\right)\\ \left(2^{32}+1\right)⋮\left(2^{23}-2^{21}+2^{19}-2^{17}+2^{14}+2^{10}+2^9-2^7+1\right)\end{array}\right.$

Nên $2^{32}+1$ không là số nguyên tố