Ta có hình vẽ sau

a) y = 9x² + 5x + 4 là hàm số bậc hai với a = 9, b = 5 và c = 4.

b) y = 3x³ + 2x + 1 không là hàm số bậc hai vì bậc cao nhất là bậc ba.

c) y = -4(x + 2)³ + 2(2x³ + 1) + 5

⇔ y = -4(x³ + 3x².2 + 3.x.2² + 2³) + 4x³ + 2 + 5

⇔ y = -4x³ – 24x² – 48x – 32 + 4x³ + 2 + 5

⇔ y = – 24x² – 48x – 25

Là hàm số bậc hai với a = -24, b = -48, c = -25.

d) y = 5x² + $\sqrt{x}$ + 2 không là hàm số bậc hai vì có chứa hạng tử $\sqrt{x}$.

a) Để hàm số y = mx⁴ + (m + 1)x² + x + 3 là hàm bậc hai thì hệ số của x⁴ phải bằng 0 và hệ số của x² phải khác không tức là: $\left\{\begin{array}{l}m=0\\ m+1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=0\\ m\ne -1\end{array}\right.\iff m=0$.

Vậy với m = 0 thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.

b) Để hàm số y = (m – 2)x³ + (m – 1)x² + 5 là hàm số bậc hai thì hệ số của x³ phải bằng 0 và hệ số của x² phải khác không tức là: $\left\{\begin{array}{l}m-2=0\\ m-1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=2\\ m\ne 1\end{array}\right.\iff m=2$.

Vậy với m = 2 thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.

Xét hàm số bậc hai: y = x² + 2x + 3 có a = 1, b = 2 và c = 3.

Đỉnh S có tọa độ x_s = $\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{2.1}=-1$, y_s = (-1)² + 2.(-1) + 3 = 2. Hay S(-1; 2).

Vì hàm số bậc hai có a = 1 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

Ta có:

f(0) = a.0² + b.0 + c = 1 ⇔ c = 1.

f(1) = a.1² + b.1 + c = 2 ⇔ a + b + c = 2.

f(2) = a.2² + b.2 + c = 5 ⇔  4a + 2b + c = 5.

Khi đó, ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}c=1\\ a+b+c=2\\ 4a+2b+c=5\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}c=1\\ a+b=1\\ 4a+2b=4\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}c=1\\ a+b=1\\ 2a+b=2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}c=1\\ a=1\\ b=0\end{array}\right.$

Vậy a = 1, b = 0 và c = 1.

b) Với a = 1, b = 0 và c = 1 thì ta có hàm số: y = x² + 1.

Xét hàm số bậc hai: y = x² + 1, có:

Đỉnh S có tọa độ x_s = $\frac{-b}{2a}=\frac{-0}{2.1}=0$, y_s = 0² + 1 = 1. Hay S(0; 1).

Vì hàm số bậc hai có a = 1 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

Xét hàm số y = 2x² + x + m có a = 2, b = 1 và c = m.

Điểm đỉnh S có tọa độ x_S = $-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2.2}=-\frac{1}{4}$, y_S = $2.{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2+\left(-\frac{1}{4}\right)+m=m-\frac{1}{8}$.

Hàm số có a = 2 > 0 nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là m – $\frac{1}{8}$.

Mà giá trị nhỏ nhất bằng 5 nên m – $\frac{1}{8}$ = 5 ⇔ m = $\frac{41}{8}$.

Vậy với m = $\frac{41}{8}$ thì giá trị nhỏ nhất của hàm số là 5.

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = 2x² + 4x – 1 là một parabol (P):

- Có đỉnh S với hoành độ x_S = -1, tung độ y_S = -3;

- Có trục đối xứng là đường thẳng x = -1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

- Bề lõm quay lên trên vì a > 0;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -1).

Ngoài ra, phương trình 2x² + 4x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = $\frac{-2+\sqrt{6}}{2}$ và x₂ = $\frac{-2-\sqrt{6}}{2}$ nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ $\left(\frac{-2+\sqrt{6}}{2};0\right)$ và $\left(\frac{-2-\sqrt{6}}{2};0\right)$.

Ta được đồ thị hàm số như sau:

+) (P₁): y = - 2x² – 4x + 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = - 2x² – 4x + 2 là một parabol (P₁):

- Có đỉnh S với hoành độ x_S = -1, tung độ y_S = 4;

- Có trục đối xứng là đường thẳng x = -1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

- Bề lõm quay xuống dưới vì a < 0;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 2).

Quan sát trên hình vẽ, ta thấy đồ thị tương thích với hàm số (P₁) là đường cong màu xanh lá cây.

+) (P₂): y = 3x² – 6x + 5;

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = 3x² – 6x + 5 là một parabol (P₂):

- Có đỉnh S với hoành độ x_S = 1, tung độ y_S = 2;

- Có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

- Bề lõm quay lên trên vì a > 0;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 5).

Quan sát trên hình vẽ, ta thấy đồ thị tương thích với hàm số (P₂) là đường cong màu xanh dương.

+) (P₃): y = 4x² – 8x + 7:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = 4x² – 8x + 7 là một parabol (P₃):

- Có đỉnh S với hoành độ x_S = 1, tung độ y_S = 3;

- Có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

- Bề lõm quay lên trên vì a > 0;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 7, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 7).

Quan sát trên hình vẽ, ta thấy đồ thị tương thích với hàm số (P₃) là đường cong màu đỏ.

+) (P₄): y = -3x² – 6x + 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = -3x² – 6x – 1 là một parabol (P₄):

- Có đỉnh S với hoành độ x_S = -1, tung độ y_S = 2;

- Có trục đối xứng là đường thẳng x = -1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

- Bề lõm quay xuống dưới vì a < 0;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -1).

Quan sát trên hình vẽ, ta thấy đồ thị tương thích với hàm số (P₄) là đường cong màu cam.

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số có dạng parabol nên hàm số có dạng y = ax² + bx + c với a, b, c ∈ $ℝ$ và a ≠ 0. Hơn nữa đồ thị hàm số có bề lõm hướng lên trên nên a > 0.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm tọa độ (0; -4) nên ta có: 4 = a.0² + b.0 + c ⇔ c = 4.

Điểm đỉnh S của đồ thị hàm số có tọa độ x_S = 1,5 và y_S = -6.25

$\Rightarrow x_S=-\frac{b}{2a}=1,5\iff b=-3a$

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm (-1; 0) và (4; 0) nên thay x = -1 và y = 0 vào hàm số ta được: 0 = a(-1)² + b(-1) + c

⇔ 0 = a – b + c

Mà b = – 3a và c = 4 nên ta có: a + 3a + 4 = 0 ⇔ a = 1 ⇒ b = -3.

Vậy hàm số cần tìm là y = x² – 3x + 4.

Hình dây văng có dạng parabol, nên ta có hình vẽ sau: