20 câu trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Hàm số bậc hai (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
36 câu hỏi
Phần I: Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Cho hàm số \[y = - {x^2} + 4x + 1\]. Khẳng định nào sau đây sai?
Trên khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\], hàm số đồng biến.
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;2} \right)\].
Trên khoảng \[\left( {3; + \infty } \right)\], hàm số nghịch biến.
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {4; + \infty } \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;4} \right)\].
Đáp án đúng là: D
Đỉnh của parabol có hoành độ: \[{x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 2\].
Vì \(a = - 1 < 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;2} \right)\] và nghịch biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\].
Mà \[\left( { - \infty ;1} \right) \subset \left( { - \infty ;2} \right)\] và \[\left( {3; + \infty } \right) \subset \left( {2; + \infty } \right)\].
Vậy khẳng định D sai.
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 3\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( {1; + \infty } \right)\).
\(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
\(\left( { - 3; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có hàm số \(\left( P \right):\,y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 3\) là hàm số bậc hai có hệ số \(a = 1\) nên \[\left( P \right)\] có bề lõm hướng lên.
Hoành độ đỉnh của parabol \({x_I} = \frac{{ - b}}{{2a}} = 1\). Do đó hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
\(I\left( {0;1} \right)\).
\(I\left( {\frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\).
\(I\left( { - \frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\).
\(I\left( {\frac{1}{3};\, - \frac{2}{3}} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Hoành độ đỉnh của \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\) là
Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số \[y = {x^2} - 2x - 3\]?
Hình \[1\].
Hình \[2\].
Hình \[3\].
Hình \[4\].
Đáp án đúng là: D
Dựa vào đồ thị có:
\[\left( P \right):y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3\] có \[a = 1 > 0\] nên \[\left( P \right)\] có bề lõm hướng lên (loại hình \[2\]).
\[\left( P \right)\] có đỉnh \[I\] có \[{x_I} = 1\] (loại hình \[1\] và \[3\]).
Vậy \[\left( P \right):y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3\] có đồ thị là hình \[4\].
Xác định các hệ số \(a\) và \(b\) để parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + 4x - b\) có đỉnh \(I\left( { - 1; - 5} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 2\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 3\end{array} \right..\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({x_I} = - 1 \Rightarrow - \frac{4}{{2a}} = - 1 \Rightarrow a = 2.\)
Hơn nữa \(I \in \left( P \right)\) nên \( - 5 = a - 4 - b \Rightarrow b = 3.\)
Cho hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] có đồ thị như hình bên.
Khẳng định nào sau đây đúng?
\[a > 0\], \[b > 0\], \[c > 0\].
\[a > 0\], \[b < 0\], \[c < 0\].
\[a < 0\], \[b < 0\], \[c > 0\].
\[a < 0\], \[b > 0\], \[c > 0\].
Đáp án đúng là: D
Dựa vào đồ thị, nhận thấy:
* Đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm quay xuống dưới nên \(a < 0\).
* Đồ thị cắt trục tung tại tung độ bằng \(c\) nên \(c > 0\).
* Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = 3\) nên \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] mà theo Vi-et \[{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = 2\]\[ \Leftrightarrow b = - 2a \Rightarrow b > 0\].
Vậy \[a < 0\], \[b > 0\], \[c > 0\].
Tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\,:\,y = {x^2} - 4x\) với đường thẳng \(d\,:\,y = - x - 2\) là
\(M\left( {0;\, - 2} \right)\), \(N\left( {2;\, - 4} \right)\).
\(M\left( { - 1;\, - 1} \right)\), \(N\left( { - 2;\,0} \right)\).
\(M\left( {\, - 3;\,1} \right)\), \(N\left( {3;\, - 5} \right)\).
\(M\left( {1;\, - 3} \right)\), \(N\left( {2;\, - 4} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) là nghiệm của phương trình:
\({x^2} - 4x = - x - 2\, \Leftrightarrow \,{x^2} - 3x + 2 = 0\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).
Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) là \(M\left( {1;\, - 3} \right)\), \(N\left( {2;\, - 4} \right)\).
Khẳng định nào dưới đây đúng?
Hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\) có giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{25}}{{12}}\).
Hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{25}}{{12}}\).
Hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\) có giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{25}}{3}\).
Hàm số \(y = - 3{x^2} + x + 2\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{25}}{3}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\Delta = {1^2} - 4 \cdot \left( { - 3} \right) \cdot 2 = 25\).
Vì \(a = - 3 < 0\) nên hàm số có giá trị lớn nhất là: \(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{25}}{{12}}\).
Tìm giá trị thực của tham số \(m \ne 0\) để hàm số \(y = m{x^2} - 2mx - 3m - 2\) có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 10\) trên \(\mathbb{R}.\)
\(m = 1.\)
\(m = 2.\)
\(m = - 2.\)
\(m = - 1.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có \(x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{2m}}{{2m}} = 1\), suy ra \(y = - 4m - 2\).
Để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 10\) khi và chỉ khi\(T = 3\).
\(T = \frac{1}{2}\).
\(T = \frac{9}{2}\).
\(T = - \frac{3}{2}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có đỉnh \(I\left( {\frac{m}{2};\, - 2m} \right)\).
Do \(m > 0\) nên \(\frac{m}{2} > 0\). Khi đó hoành độ đỉnh \({x_I} \notin \left[ { - 2;\,0} \right]\).
Ta có bảng biến thiên:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;\,0} \right]\) là \(y\left( 0 \right) = 3\) tại \(x = 0\).
Ta có\(y = {x^2} - x + 1\).
\(y = {x^2} - x - 1\).
\(y = {x^2} + x - 1\).
\(y = {x^2} + x + 1\).
Đáp án đúng là: B
VìPhần II: Trắc nghiệm đúng, sai
Xét đồ thị của hàm số \(y = {x^2} - 4x - 5\).
c) Giao điểm của đồ thị với trục tung là \(C\left( {0\,; - 5} \right)\).
d) Đúng. Giao điểm của đồ thị với trục hoành:
Cho parabol \(y = {x^2} - 4x + 3\).
a) Trục đối xứng của đồ thị hàm số là đường thẳng \(x = 2\).
b) Tọa độ đỉnh của parabol là \(I\left( {2; - 3} \right)\).
b) Sai. Ta có \(x = 2 \Rightarrow y\left( 2 \right) = - 1\). Do đó \(I\left( {2; - 1} \right)\).
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - 2\).
c) Sai. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(y\left( 2 \right) = - 1\).
d) Parabol cắt trục \(Ox\) tại hai điểm \(A,\;B\). Khi đó diện tích tam giác \(IAB\) bằng \(1\).
Giả sử quả bóng nảy lên với vận tốc ban đầu \({v_0} = 7\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) ở độ cao \({y_0} = 0,8\,\left( {\rm{m}} \right)\).
a) Đúng. Thay \({v_0} = 7,{y_0} = 0,8\) vào công thức \(y = \frac{{ - 4,9{x^2}}}{{v_0^2{{\cos }^2}\alpha }} + \tan \alpha \cdot x + {y_0}\)
ta được \(y = \frac{{ - 0,1}}{{{{\cos }^2}\alpha }} \cdot {x^2} + \tan \alpha \cdot x + 0,8\).
b) Nếu \(\alpha = 30^\circ \), sau 2 giây quả bóng ở độ cao trên \(1,7\left( {\rm{m}} \right)\).
b) Sai. Với \(\alpha = 30^\circ \), ta có \(y = \frac{{ - 0,4}}{3} \cdot {x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot x + 0,8\).
Thay \(x = 2\) vào ta được \(y \approx 1,42\left( {\rm{m}} \right)\).
c) Nếu \(\alpha = 60^\circ \), quả bóng sẽ đạt độ cao tối đa là \(3\left( {\rm{m}} \right)\).
c) Sai. Với \(\alpha = 60^\circ \), ta có \(y = - 0,4 \cdot {x^2} + \sqrt 3 \cdot x + 0,8\).
Suy ra \({y_{\max }} = \frac{{107}}{{40}} = 2,675\left( {\rm{m}} \right)\) khi \(x = \frac{{5\sqrt 3 }}{4}\).
d) Nếu \(\alpha = 60^\circ \) và không có cầu thủ nào đón bóng bước 2 thì quả bóng sẽ chạm mặt sân cách vị trí tiếp xúc với cánh tay cầu thủ đón bóng bước 1 một khoảng là \(4,818\left( {\rm{m}} \right)\).
d) Đúng.
Với \(\alpha = 60^\circ \), ta có \(y = - 0,4 \cdot {x^2} + \sqrt 3 \cdot x + 0,8\).
Gọi \(A,B\) lần lượt là vị trí bóng tiếp xúc với tay cầu thủ và vị trí bóng chạm mặt sân.
Ta có \(OA = {y_0} = 0,8\); \(OB = \frac{{\sqrt {107} + 5\sqrt 3 }}{4}\).
Vị trí quả bóng rơi xuống sân cách vị trí tiếp xúc với cánh tay cầu thủ đón bóng bước 1 một khoảng là: \(AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}} \approx 4,818\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\;\left( P \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau:
a) \(a > 0\).
b) \(c > 0\).
c) \(a - 2b + c = 9\).
c) Sai. Khi \(x = 1\) thì \(y = - 2 \Rightarrow a + b + c = - 2\).
Khi \(x = 2\) thì \(y = 1 \Rightarrow 4a + 2b + c = 1\).
Ta có hệ phương trình:d) Đúng. Từ câu c), suy ra \(\left( P \right):y = 2{x^2} - 3x - 1\).
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\):
\(2{x^2} - 3x - 1 = x + 5 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\).
Vậy đường thẳng \(\left( d \right):y = x + 5\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.
Cho hàm số \(y = - {x^2} + 6x - 5\).
b) Đỉnh của đồ thị hàm số đã cho là \(I\left( {2;3} \right)\).
d) Đúng. Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và đồ thị \(\left( P \right)\) là:
\( - {x^2} + 6x - 5 = 4x - m \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 5 - m = 0\) \(\left( 1 \right)\)
Vậy đường thẳng \(d:y = 4x - m\) cắt đồ thị \(\left( P \right)\) tại 2 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' = 1 - 5 + m > 0 \Leftrightarrow m > 4.\)
Vật chuyển động có công thức vận tốc dạng hàm số bậc hai.
Ta có \(t = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot \frac{1}{2}}} = 4 \Rightarrow {v_{\min }} = \frac{1}{2} \cdot {4^2} - 4 \cdot 4 + 10 = 2\,({\rm{m/s)}}\).
Vậy vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[2\,{\rm{m/s}}\].
Đáp án: 2.
Khi đó, ta có \(T = a + b - c = - \frac{1}{4} + 1 + 5 = 5,75.\)
Đáp án: \(5,75\).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ.
Khi đó đường parabol \(\left( P \right)\) có phương trình dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\) sẽ đi qua ba điểm có tọa độ là \(\left( { - 1,6;0} \right)\), \(\left( {1,6;0} \right)\) và \(\left( { - 0,6;2} \right)\).
Ta có hệ phương trìnhSuy ra phương trình đường parabol \(\left( P \right)\) là \(y = - \frac{{10}}{{11}}{x^2} + \frac{{128}}{{55}}\).
Giao điểm của \(\left( P \right)\) với trục \(Oy\) là đỉnh \(I\left( {0;\frac{{128}}{{55}}} \right)\).
Vậy chiều cao của cái cổng là \(OI = \frac{{128}}{{55}} \approx 2,33\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Đáp án: \(2,33\).
Một nhà hát có sức chứa 800 người. Với giá vé 40 nghìn đồng trung bình sẽ có 300 người đến nhà hát mỗi ngày. Để tăng doanh thu, nhà hát đã khảo sát thị trường và thấy rằng nếu giá vé cứ giảm 10 nghìn đồng sẽ có thêm 100 người đến mỗi ngày. Gọi \(A\) nghìn đồng là giá vé để doanh thu từ tiền bán vé của nhà hát là lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức \({A^2} + 2025\).
Gọi giá vé bán của nhà hát là \(x\) (\(0 < x < 40\)).
Khi đó số tiền giảm giá vé so với giá cũ 40 nghìn đồng là \(\left( {40 - x} \right)\) nghìn đồng.
Số người đến nhà hát tăng thêm mỗi ngày: \(\frac{{40 - x}}{{10}} \cdot 100 = 10\left( {40 - x} \right) = 400 - 10x\).
Số người đến nhà hát mỗi ngày: \(300 + 400 - 10x = 700 - 10x\).
Doanh thu từ tiền bán vé của nhà hát bằng \(f\left( x \right) = x\left( {700 - 10x} \right) = - 10{x^2} + 700x\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc hai, đạt giá trị lớn nhất tại \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{700}}{{2 \cdot \left( { - 10} \right)}} = 35\).
Do đó để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất thì giá vé của nhà hát là \(A = 35\) .
Giá trị biểu thức \({A^2} + 2025 = {35^2} + 2025 = 3250\).
Đáp án: 3250.
Gọi \[x\] là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi da xanh (\[x\]: đồng, \[35\,000 \le x \le 60\,000\]).
Tương ứng với giá bán là \[x\] thì số quả bán được là:
\[30 + \frac{{10}}{{1\,000}}\left( {60\,000 - x} \right) = - \frac{1}{{100}}x + 630\].
Gọi \[f\left( x \right)\] là hàm lợi nhuận thu được (\[f\left( x \right)\]: đồng), ta có:
Lợi nhuận thu được lớn nhất khi hàm \[f\left( x \right)\] đạt giá trị lớn nhất trên \[\left[ {35000\,;60000} \right]\].
