Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

Lời giải

+ Vì \(90^\circ  < \alpha  < 180^\circ \)\( \Rightarrow \cos \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - \frac{1}{9}}  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

+ \(\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \tan \alpha  = \frac{{ - \sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Lời giải

a) Theo định lí côsin, ta có

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos B = {5^2} + {8^2} - 2.5.8.\cos 60^\circ  = 49\). Suy ra \(AC = 7\).

Ta có \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow \sin A = \frac{{BC.\sin B}}{{AC}} = \frac{{8.\sin 60^\circ }}{7} = \frac{{8\sqrt 3 }}{{14}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{7}\)   \( \Rightarrow \widehat A \approx {81^0}{47^'}\) 

b) Ta có \(S = \frac{1}{2}BA.BC.\sin B = \frac{1}{2}5.8.\sin 60^\circ  = 10\sqrt 3 \) hay \(S \approx 17,32\)

Theo định lí sin   \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{AC}}{{2\sin B}} = \frac{7}{{2\sin 60^\circ }} = \frac{7}{{\sqrt 3 }} = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}\)   hay \(R \approx 4,04\)

Lời giải

Xét tam giác ABD, ta có:\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos \widehat {BAD} \Rightarrow BD \approx 9,27\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

\(\frac{{AD}}{{\sin \widehat {ABD}}} = \frac{{BD}}{{\sin \widehat {BAD}}} \Rightarrow \sin \widehat {ABD} = \frac{{AD.\sin BAD}}{{BD}} \approx 0,079 \Rightarrow \widehat {ABD} \approx 78^\circ  \Rightarrow \widehat {CBD} \approx 22^\circ .\)

\({S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{BCD}} = \frac{1}{2}.7,11.10,48.\sin 60^\circ  + \frac{1}{2}.7,11.9,27.\sin 22^\circ  \approx 44,61\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).\)

Số tiến cần mua: \({S_{ABCD}}.10.000.000 = 446100000\) đồng.

Lời giải

a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) 

Ta có:

 \[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 2a.2a.\cos 60^\circ \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 2{a^2}\end{array}\]        

b) Phân tích vectơ \(\overrightarrow {AG} \) theo \(\overrightarrow {AB} \)và \(\overrightarrow {AC} \)

Gọi N là trung điểm BC, ta có:

 \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AN} \\\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

Lời giải

a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ) = 3.3.\cos {60^0} = \frac{9}{2}.\)

b) \(\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \) \( = \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} ) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)

c) \[|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} | = 3|\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MC} |\]

\[ \Leftrightarrow \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {CA} } \right|\] \[ \Leftrightarrow MG = CA = 3\] (\(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)).

Vậy \(\Delta ABC\) cố định suy ra \(G\) cố định tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(G\) bán kính \({\rm{3}}\,{\rm{cm}}\).

Lời giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {6;\,3} \right)\), \(\overrightarrow {BC}  = \left( {0;\, - 6} \right)\), \(\overrightarrow {CA}  = \left( { - 6;\,3} \right)\).

Do đó: \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{6^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 5 \), \(BC = 6\), \(CA = 3\sqrt 5 \). Ta thấy \(AB = CA\left( { = 3\sqrt 5 } \right)\) nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + C{A^2} - 2AB.CA.\cos A\)

\( \Leftrightarrow \cos A = \frac{{A{B^2} + C{A^2} - B{C^2}}}{{2AB.CA}} = \frac{3}{5}\) \( \Rightarrow \widehat A \approx 53^\circ 8'\).

Khi đó \(\widehat B = \widehat C = \frac{{180^\circ  - \widehat A}}{2} \approx 63^\circ 26'\).

b) Gọi \(H\left( {x;\,y} \right)\) là tọa độ trực tâm của tam giác \(ABC\).

Ta có \(\overrightarrow {AH}  = \left( {x + 4;\,y - 1} \right)\), \(\overrightarrow {BH}  = \left( {x - 2;\,y - 4} \right)\).

Do \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {BC} \), \(\overrightarrow {BH}  \bot \overrightarrow {CA} \) hay \(\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 0\), \(\overrightarrow {BH}  \cdot \overrightarrow {CA}  = 0\). Khi đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 4} \right).0 + \left( {y - 1} \right).\left( { - 6} \right) = 0\\\left( {x - 2} \right).\left( { - 6} \right) + \left( {y - 4} \right).3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Vậy \(H\left( {\frac{1}{2};\,1} \right)\).

Lời giải

a) Ta có hình vẽ:

Theo đề bài hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} \), \(\overrightarrow {{F_2}} \) cùng tác động vào một vật tại điểm \(O\)

Giả sử \(\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {OA} \), \(\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {OB} \)

Theo quy tắc hình bình hành ta có: \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OC} \)

\(\left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}}  = \sqrt {{{20}^2} + {{20}^2}}  = 20\sqrt 2 \)

Vậy vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng \(20\sqrt 2 \,\,\left( N \right)\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 2;1} \right)\,\,,\,\,\overrightarrow {MP}  = \left( { - 4;4} \right)\,\).

Ta có:

\(\,{\overrightarrow {MN} ^2} = 5,\,\,{\overrightarrow {MP} ^2} = 32,\,\,\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP}  = 12\)

\(S = \frac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {MN} }^2}.{{\overrightarrow {MP} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP} } \right)}^2}}  = \frac{1}{2}\sqrt {5.32 - {{12}^2}}  = 2\)

Lời giải

Ta có hình vẽ:

Đặt \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow a \,\,;\,\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow b \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b \,\, & ;\,\,\,\overrightarrow {BN}  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\,\,;\,\,\,\overrightarrow {BM}  = \frac{1}{2}\left( {2\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\)

\(\overrightarrow {NA}  = \overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BN}  = \frac{1}{4}\left( { - \overrightarrow a  + 3\overrightarrow b } \right),\,\,\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {BN}  = \frac{1}{4}\left( {3\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\)

Khi đó \(\overrightarrow {NA} .\overrightarrow {NM}  = 0\)

Suy ra tam giác \(AMN\) vuông tại \(N.\)

Mặt khác: \(N{A^2} = \frac{1}{{16}}.\left( {{{\overrightarrow a }^2} + 9{{\overrightarrow b }^2} - 6\overrightarrow a \overrightarrow b } \right) = \frac{5}{8}{a^2},\,\,{M^2} = \frac{1}{{16}}.\left( {9{{\overrightarrow a }^2} + {{\overrightarrow b }^2} + 6\overrightarrow a \overrightarrow b } \right) = \frac{5}{8}{a^2}\)

Suy ra tam giác \(AMN\) cân tại \(N.\)

Vậy tam giác \(AMN\) vuông cân tại \(N\) (đpcm)

Lời giải

Chứng minh được : \[a\overrightarrow {IA}  + b\overrightarrow {IB}  + c\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \]

\[ \Rightarrow a\left( {\overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {CA} } \right) + b\left( {\overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {CB} } \right) + c\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \overrightarrow {CI}  = \frac{1}{{a + b + c}}\left( {a.\overrightarrow {CA}  + b.\overrightarrow {CB} } \right)\]

\[\overrightarrow {GI}  = \overrightarrow {CI}  - \overrightarrow {CG}  = \left( {\frac{a}{{a + b + c}} - \frac{1}{3}} \right)\overrightarrow {CA}  + \left( {\frac{b}{{a + b + c}} - \frac{1}{3}} \right)\overrightarrow {CB} \]

\(IG \bot IC \Leftrightarrow \overrightarrow {CI} .\overrightarrow {GI}  = 0\)

\[ \Leftrightarrow \left[ {\left( {2a - b - c} \right)\overrightarrow {CA}  + \left( {2b - a - c} \right)\overrightarrow {CB} } \right]\left( {a\overrightarrow {CA}  + b\overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow 0 \]

\[ \Leftrightarrow \left( {ab + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} } \right)\left[ {b\left( {2a - b - c} \right) + a\left( {2b - a - c} \right)} \right] = 0\]

(vì \[ab + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  = ab + ab\cos C = ab\left( {1 + \cos C} \right) > 0\])

\[ \Leftrightarrow \]\[b\left( {2a - b - c} \right) + a\left( {2b - a - c} \right) = 0\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow b\left( {3a - a - b - c} \right) + a\left( {3b - a - b - c} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a + b + c} \right) = 6ab.\end{array}\]

Lời giải

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;6} \right)\) ; \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 6;3} \right)\) không cùng phương.

Suy ra \(A,\)\(B,\)\(C\) là ba đỉnh của một tam giác.

b) Gọi \(H\left( {x;y} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC.

Ta có: \(\overrightarrow {AH}  = \left( {x - 3;y + 1} \right)\); \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 4; - 3} \right)\)

           \(\overrightarrow {BH}  = \left( {x - 1;y - 5} \right)\); \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 6;3} \right)\)

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên: \(\left\{ \begin{array}{l} - 4\left( {x - 3} \right) - 3\left( {y + 1} \right) = 0\\ - 6\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 5} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right.\) . Vậy \(H\left( {0;3} \right)\).

Lời giải

a) Diện tích hình chữ nhật \[S = d.r = 15,45.3,94 = 60,873\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]

\[\begin{array}{l}\Delta d = 0,01\,{\rm{m hay }}d = 15,45\,{\rm{m}} \pm 0,01\,{\rm{m}}\\\Delta r = 0,01\,{\rm{m hay }}d = 3,94\,{\rm{m}} \pm 0,01\,{\rm{m}}\end{array}\]

Cận trên là \[\left( {15,45 + 0,01} \right)\left( {3,94 + 0,01} \right) = 61,067\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\].

Cận dưới là \[\left( {15,45 - 0,01} \right)\left( {3,94 - 0,01} \right) = 60,679\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\].

Số gần đúng của diện tích hình chữ nhật nằm trong khoảng \[60,679 \le S \le 61,067\]

Ước lượng sai số tuyệt đối của diện tích hình chữ nhật là \[\left| {S - {S_0}} \right| \le 0,194\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\].

b) Làm tròn ước lượng sai số diện tích đến hàng phần trăm ta được: \[0,19\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\].

Lời giải

Sắp xếp theo thứ tự không giảm: 30; 50; 158; 159; 162; 163; 164; 166; 168; 170; 170

Tứ phân vị: \({Q_1} = 158,\,\,{Q_2} = 163,\,\,{Q_3} = 168\)

Khoảng tứ phân vị: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 168 - 158 = 10\)

Khoảng biến thiên: \[R = 170 - 30 = 140\]

Ta có: \({Q_1} - 1,5.{\Delta _Q} = 158 - 1,5.10 = 143\)

\({Q_3} + 1,5.{\Delta _Q} = 168 + 1,5.10 = 183\)

Ta có: 30 < 143, 50 < 143

Giá trị bất thường: 30; 50.

Lời giải

Ta lập bảng phân bố tần số như sau:

Ta có: \[\overline x  = \frac{1}{n}\left( {{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_k}{x_k}} \right)\]

             \[ = \frac{1}{{25}}\left( \begin{array}{l}1.30 + 1.35 + 1.39 + 1.41 + 1.45 + 1.48 + 1.50 + 1.51 + 1.54 + 1.58\\ + 1.60 + 3.61 + 2.65 + 1.68 + 3.72 + 2.75 + 1.80 + 1.83 + 1.84\end{array} \right) = 60,2\]

Phương sai: \(s_x^2 = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{({x_1} - \overline x )}^2} + {n_2}{{({x_2} - \overline x )}^2} + ... + {n_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}} \right] = 216,8\)

Độ lệch chuẩn \({s_x} = \sqrt {s_x^2}  = \sqrt {216,8}  = 14,724\).

Lời giải

a) Sắp xếp theo thứ tự không giảm các giá trị của mẫu dữ liệu

40  41  42  43  44  45  45  46  47 48

Giá trị trung bình là: \(\overline x  = \frac{{40 + 41 + 42 + 43 + 44 + 45.2 + 46 + 47 + 48}}{{10}} = 44,1\).

Trung vị/tứ phân vị thứ hai: \({Q_2} = \frac{{44 + 45}}{2} = 44,5.\)

b) Phương sai \(s_x^2 = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + {n_3}{{\left( {{x_3} - \overline x } \right)}^2} + ...{n_8}{{\left( {{x_8} - \overline x } \right)}^2}} \right]\)

\(\begin{array}{l}s_x^2 = \frac{1}{{10}}\left[ {{{\left( {40 - 44,1} \right)}^2} + {{\left( {41 - 44,1} \right)}^2} + {{\left( {42 - 44,1} \right)}^2} + {{\left( {43 - 44,1} \right)}^2} + {{\left( {44 - 44,1} \right)}^2}} \right. + \\\quad \quad \left. { + 2.{{\left( {45 - 44,1} \right)}^2} + {{\left( {46 - 44,1} \right)}^2} + {{\left( {47 - 44,1} \right)}^2} + {{\left( {48 - 44,1} \right)}^2}} \right] = 6,09.\end{array}\)